Lutz-Kelker bias - Lutz–Kelker bias

Lutz-Kelker Odchylenie to miało systematyczne odchylenia , która wynika z założenia, że liczba możliwych do zaobserwowania gwiazdek rośnie wraz z kwadratem odległości. W szczególności, powoduje zmierzone paralaksy do gwiazd być większe niż ich rzeczywistych wartości. Odchylenie w kierunku pomiaru większych paralaksy z kolei powoduje niedoszacowanie odległości i dlatego niedoszacowanie na obiekcie w jasności .

Dla danego pomiaru paralaksy z towarzyszącym niepewności, obie gwiazdy bliżej i dalej może, ze względu na niepewność pomiaru, pojawiają się w danym paralaksy. Zakładając jednolity rozkład gwiazdowy liczba gwiazd na zakresie jednostkowym paralaksy będzie proporcjonalna do (o ile jest prawdą, paralaksa) i w związku z tym nie będzie więcej gwiazdy muszli objętości w dalszej odległości. W wyniku tej zależności, więcej gwiazd będą mieli prawdziwe paralaksy mniejsza od obserwowanej paralaksy. W ten sposób mierzona paralaksy będą systematycznie nastawione na wartość większą niż rzeczywiste paralaksy. Powoduje to wywnioskować jasnością i odległości są zbyt małe, co stwarza pozorną problem dla astronomów próbujących zmierzyć odległość. Istnienie (lub w inny sposób) tego błędu i konieczności korygowania dla niego stała się istotna w astronomii z precyzja pomiarów dokonanych przez paralaksy Hipparcos satelity, a ostatnio z publikacji danych o wysokiej precyzji Gaia misji. ${\ Displaystyle 1 / p ^ {4}}$${\ P} displaystyle$

Metoda korekcji ze względu na Lutz i Kelker umieściliśmy bound na prawdziwej paralaksy gwiazd. Nie jest ważne, ponieważ prawdziwe paralaksy (w odróżnieniu od zmierzonej paralaksy) nie może być znany. Integracja przez wszystkich prawdziwych paralaksy (cała przestrzeń) zakłada, że ​​gwiazdy są równie widoczne na wszystkich dystansach i prowadzi do rozbieżnych całek plonach nieprawidłowego obliczenia. W związku z tym nie należy stosować korekty Lutz-Kelker. W ogóle, inne korekty błędu systematycznego są wymagane, w zależności od kryteriów wyboru gwiazd pod uwagę.

Zakres skutków uprzedzeń są również omawiane w kontekście bieżących pomiarów wyższej precyzji i wybór gwiezdnej próbki, gdzie oryginalne gwiezdne założenia dystrybucyjne nie są ważne. Różnice te wynikają w oryginalnym omówieniu efektów będzie w dużej mierze przesadzone i silnie uzależnione od wyboru gwiezdnej próbki. Pozostaje to również możliwe, że stosunki z innymi formami uprzedzeń statystycznych, takich jak MALMQUIST uprzedzeń może mieć roszczenie wpływa na ukos Lutz-Kelker dla przynajmniej niektórych próbek.

Opis matematyczny

Oryginalny opis

Funkcja rozkładu

Matematycznie Lutz-Kelker Odchylenie wywodzi się z zależności z gęstością od zaobserwowanych paralaksą, która przekłada się na prawdopodobieństwa warunkowego od paralaksy pomiarów. Zakładając Gaussa rozkład obserwowanej paralaksy o prawdziwej paralaksy z powodu błędów w pomiarze, możemy napisać warunkowe prawdopodobieństwo funkcję rozkładu pomiaru paralaksy z zważywszy, że prawdziwa paralaksy jest jako ${\ Displaystyle P_ {o}}$${\ P} displaystyle$

${\ Displaystyle g (p_ {o} | P) = {\ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ Sigma}}} \ exp {{\ duży (} {\ dfrac {- (p_ {o} - p) ^ {2}, {2} \ Sigma ^ {2}}} {\ Wielkie)}}}$

ponieważ jest oszacowanie prawdziwego paralaksy na podstawie zmierzonej paralaksy, prawdopodobieństwo warunkowe prawdziwej istoty paralaksy , biorąc pod uwagę, że obserwowana paralaksa jest to interesujące. W pierwotnym leczeniu zjawiska Lutz i Kelker, to prawdopodobieństwo, stosując Bayesa twierdzenie jest wyrażony jako ${\ P} displaystyle$${\ Displaystyle P_ {o}}$

${\ Displaystyle g (p | p_ {o}) = {\ dfrac {g (p_ {o} | p) \ g (P)} {g (p_ {o})}}}$

gdzie i są znane ze stanu prawdopodobieństwa z prawdziwym i obserwowano paralaksy odpowiednio. ${\ Displaystyle g (P)} DP$${\ Displaystyle g (p_ {o}) dp_ {o}}$

Uzależnienie od Odległość

Gęstości prawdopodobieństwa znalezienia gwiazdę z obserwowanej wielkości na odległość może być podobnie jak napisane ${\ Displaystyle m}$${\ S} displaystyle$

${\ Displaystyle H (s | m) = {\ dfrac {H (m | i) \ h (i)} {h (m)}}}$

gdzie jest gęstość prawdopodobieństwa znalezienia gwiazdę pozornej wielkości m z określoną odległość . Tutaj będzie zależna od funkcji jasności gwiazdy, która zależy od jego bezwzględnej wielkości . Jest to funkcja gęstości o pozornej wielkości niezależnie od odległości. Prawdopodobieństwo gwiazdy będącej w odległości będzie proporcjonalna do takich, które ${\ Displaystyle H (M | y)}$${\ S} displaystyle$${\ Displaystyle H (M | y)}$${\ Displaystyle h (m)}$${\ S} displaystyle$${\ Displaystyle y ^ {2}}$

${\ Displaystyle H (s) \ propto n (e) \ y ^ {2}}$

Zakładając równomierny rozkład gwiazd w przestrzeni, gęstość numer staje się stały i możemy napisać ${\ Displaystyle N (y)}$

${\ Displaystyle g (P) \ DP = H (s | m) \ {\ Bigg |} {\ dfrac {\ częściowy s} {\ częściowo P}} {\ Bigg |} _ {m} \ DP \ propto s ^ {2}, {\ Bigg |} {\ dfrac {\ częściowy s} {\ częściowo P}} {\ Bigg |} _ {m} DP}$, Gdzie . ${\ Displaystyle s = 1 / P}$

Ponieważ mamy do czynienia z rozkładem prawdopodobieństwa prawdziwej paralaksy opartego na stałej obserwowanej paralaksy, gęstość prawdopodobieństwa staje się nieistotny i możemy stwierdzić, że dystrybucja będzie miał proporcjonalność${\ Displaystyle g (p_ {o})}$

${\ Displaystyle g (p | p_ {o}) \ propto g (p | p_ {o}) \ p ^ {- 4}}$ a zatem,

${\ Displaystyle g (p | p_ {o}) \ propto {\ dfrac {1} {P ^ {4}}} \ exp {\ duży (} {- {\ dfrac {(p-p_ {o}) ^ {2}, {2} \ \ Sigma ^ {2}}}} {\ Wielkie)}}$

Normalizacja

Warunkowe prawdopodobieństwo prawdziwego paralaksy na podstawie obserwowanej paralaksy jest rozbieżny wokół zera dla prawdziwego paralaksy. Dlatego też nie jest możliwe, aby unormować tę prawdopodobieństwa. Po pierwotnym opisie błędu, możemy zdefiniować normalizację poprzez włączenie obserwowanej paralaksy jako

${\ Displaystyle g (p | p_ {o}) \ propto {\ duży (} {\ dfrac {p_ {o}} {t}} {\ Wielkie)} ^ {4} \ \ exp {\ duży (} { - {\ dfrac {(p-p_ {o}) ^ {2}, {2} \ \ Sigma ^ {2}}}} {\ Wielkie)}}$

Włączenie nie narusza zasadę proporcjonalności, ponieważ jest to stały stały. Ponadto w tej zdefiniowanej „ normalizacji ”, otrzymamy prawdopodobieństwo 1, gdy prawda paralaksy jest równa obserwowanej paralaksy, niezależnie od błędów w pomiarze. Dlatego możemy zdefiniować bezwymiarową paralaksy i uzyskać bezwymiarową dystrybucję prawdziwego paralaksy jako ${\ Displaystyle P_ {o}}$${\ Displaystyle Z: = p / p_ {o}}$

${\ Displaystyle G (z) \ propto z ^ {- 4} \ \ exp {\ duży (} {- {\ dfrac {(Z-1) ^ {2}} {2 \ (\ Sigma / p_ {o} ) ^ {2}}}} {\ Wielkie)}}$

Tutaj oznacza punkt, w którym pomiar paralaksy jest równa jej wartości rzeczywistej, gdzie rozkład prawdopodobieństwa powinny być skupione. Jednak podział ten, ze względu na czynnik będzie odbiegać od punktu do mniejszych wartości. Stwarza to systematyczne Lutz-Kelker Bias . Wartość tego błędu będzie opierać się na wartości , krańcowej niepewności pomiaru paralaksy. ${\ Displaystyle Z = 1}$${\ Displaystyle z ^ {- 4}}$${\ Displaystyle Z = 1}$${\ Displaystyle \ Sigma / p_ {o}}$

Zakres Effects

oryginalny Leczenie

W pierwotnym leczeniu ukos Lutz-Kelker gdyż została zaproponowana niepewność pomiaru paralaksy jest uważany jedynym źródłem uprzedzeń. W wyniku paralaksy zależność rozkładów gwiazdowych, mniejsza niepewność w obserwowanej paralaksy spowoduje jedynie nieznaczne odchylenia od prawdziwej wartości paralaksy. Większe wątpliwości w przeciwieństwie przyniesie wyższe systematyczne odchylenia obserwowanej paralaksy od jego prawdziwej wartości. Duże błędy pomiaru paralaksy się widoczne w obliczeniach jasność i dlatego są łatwe do wykrycia. W konsekwencji, początkowe leczenie zjawiska uważa nastawienie być skuteczne, gdy niepewność obserwowanego parallax, jest bliska 15% zmierzonej wartości . To był bardzo silny oświadczenie stwierdzające, że jeśli niepewność w paralaksy w około 15-20%, nastawienie jest tak skuteczne, że tracimy większość informacji paralaksy i odległość. Kilka późniejsze prace nad zjawiskiem odrzucił ten argument i wykazano, że zakres jest rzeczywiście bardzo próbka oparta i może być zależna od innych źródeł uprzedzeń. Dlatego ostatnio uważa się, że zakres próbek najbardziej gwiazdowych nie jest tak drastyczna jak pierwszy zaproponował. ${\ Displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle P_ {o}}$

późniejsze dyskusje

W następstwie pierwotnego oświadczenia, zakres skutków uprzedzeń, jak również jego istnienie i względne metody korekcji zostały omówione w wielu pracach w najnowszej literaturze, w tym późniejszych pracach samego Lutz. Kilka kolejnych stan pracy, że założenie o równomiernym rozkładzie gwiezdnej nie mogą być stosowane w zależności od wyboru gwiezdnej próbki. Co więcej, skutki różnych rozkładów gwiazd w przestrzeni, jak również, że z błędów pomiarowych przyniesie różne formy uprzedzeń. Sugeruje to, że nastawienie jest w dużej mierze zależny od konkretnego wyboru rozkładów próbek i błąd pomiaru, chociaż termin bias Lutz-Kelker jest powszechnie stosowany ogólnie dla zjawiska na wszystkich próbkach gwiazdowych. Jest również wątpliwość, czy innych źródeł błędów i uprzedzeń, takich jak MALMQUIST: Bias faktycznie przeciw-skutkowych lub nawet anulować nastawienie Lutz-Kelker, tak, że efekty nie są tak drastyczne, jak pierwotnie opisany przez Lutz i Kelker. Ogólnie rzecz biorąc, różnice te są omawiane spowodować skutki uprzedzeń być w dużej mierze przesadzone w pierwotnym leczeniu.

Niedawno skutki uprzedzeń Lutz-Kelker stał się istotne w kontekście pomiarów precyzyjnych z Gaia misji. Zakres skutków Lutz-Kelker stronniczość w sprawie niektórych próbek został omówiony w ostatnich Gaia publikacji danych, w tym pierwotnych założeń i możliwości różnych dystrybucjach. Pozostaje ważne, aby podjąć działania polaryzacji ostrożnie dotyczące doboru próby, ponieważ oczekuje się dystrybucja gwiezdny być nierównomierne w dużych skalach odległości. W rezultacie, jest wątpliwość, czy metody korekty, w tym korekty Lutz-Kelker zaproponowanej w oryginalnej pracy, mają zastosowanie dla danej próbki gwiazdowego, ponieważ oczekuje się efektów zależy od rozkładu gwiezdnej. Ponadto, zgodnie z oryginalnego opisu i uzależnienia ukos na błędy pomiaru, oczekuje się, że efekty będą niższe ze względu na większą precyzję obecnych instrumentów, takich jak Gaia .

Historia

Oryginalny opis zjawiska został przedstawiony w artykule autorstwa Thomasa E. Lutz i Douglas H. Kelker w Publikacji Astronomical Society of the Pacific , Vol. 85, nr 507, s. 573 artykuł zatytułowany „na wykorzystaniu trygonometrycznych paralaksy do kalibracji jasność Systems. Theory” choć wiadomo było, po pracach Trumpler & Weavera w 1953 Dyskusja na temat błędu statystycznego na bieżąco pomiarów w astronomii do tyłu tak wcześnie, jak się Eddington w 1913 roku.

Referencje