Nierówność Markowa - Markov's inequality

Nierówność Markowa daje górną granicę dla miary zbioru (zaznaczonej na czerwono), gdzie przekracza dany poziom . Granica łączy poziom ze średnią wartością .

f(x)

\varepsilon

\varepsilon

f

W teorii prawdopodobieństwa , Nierówność Markowa daje górna granica dla prawdopodobieństwa , że nieujemna funkcja o zmiennej losowej jest większa lub równa w pewnym pozytywnym stałej . Jej nazwa pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka Andrieja Markowa , choć pojawiła się wcześniej w pracy Pafnuty Czebyszewa (nauczyciela Markowa), a wiele źródeł, zwłaszcza w analizie , określa ją jako nierówność Czebyszewa (czasami nazywając ją pierwszą nierównością Czebyszewa, podczas gdy odnosząc się do nierówności Czebyszewa jako drugiej nierówności Czebyszewa) lub nierówności Bienaymé .

Nierówność Markowa (i inne podobne nierówności) wiążą prawdopodobieństwa z oczekiwaniami i zapewniają (często luźne, ale nadal użyteczne) granice dla funkcji dystrybucji skumulowanej zmiennej losowej.

Oświadczenie

Jeśli $X$ jest nieujemną zmienną losową i $a > 0$ , to prawdopodobieństwo, że $X$ jest co najmniej $a$ jest co najwyżej oczekiwaniem $X$ podzielonym przez $a$ :

{\ Displaystyle \ Operatorname {P} (X \ geq a) \ Leq {\ Frac {\ Operator {E} (X)} {a}}.}

Niech (gdzie ); wtedy możemy przepisać poprzednią nierówność jako ${\ Displaystyle a = {\ tylda {a}} \ cdot \ nazwa operatora {E} (X)}$ ${\tylda {a}}>0$

{\ Displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq {\ tylda {a}} \ cdot \ operatorname {E} (X)) \ leq {\ Frac {1} {\ tylda {a}}}.}

W języku teorii miary nierówność Markowa stwierdza, że jeśli $(X, Σ, μ)$ jest przestrzenią miary , jest mierzalną rozszerzoną funkcją o wartościach rzeczywistych , a $ε$ $> 0$ , to $f$

{\ Displaystyle \ mu (\ {x \ w X: | f (x) | \ geq \ varepsilon \}) \ leq {\ Frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {X} | f | \, d\mu .}

Ta teoretyczna definicja miary jest czasami określana jako nierówność Czebyszewa .

Wersja rozszerzona dla monotonicznie rosnących funkcji

Jeśli $φ$ jest monotonicznie rosnącą nieujemną funkcją dla nieujemnych liczb rzeczywistych, $X$ jest zmienną losową, $a \geq 0$ , a $φ (a) > 0$ , to

{\ Displaystyle \ Operatorname {P} (| X | \ geq a) \ leq {\ Frac {\ Operator {E} (\ varphi (| X |))} {\ varphi (a)}}.}

Bezpośrednim następstwem, używającym wyższych momentów $X$ obsługiwanych przy wartościach większych niż 0, jest

{\ Displaystyle \ Operatorname {P} (| X | \ geq a) \ Leq {\ Frac {\ Operator {E} (| X | ^ {n})} {a ^ {n}}}.}

Dowody

Oddzielamy przypadek, w którym przestrzeń miary jest przestrzenią prawdopodobieństwa od przypadku bardziej ogólnego, ponieważ przypadek prawdopodobieństwa jest bardziej dostępny dla ogólnego czytelnika.

Intuicja

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} (X) = \ nazwa operatora {P} (X <a) \ cdot \ nazwa operatora {E} (X | X < a) + \ nazwa operatora {P} (X \ geq a) \ cdot \nazwa operatora {E} (X|X\geq a)}$ gdzie jest większe niż 0, ponieważ rv jest nieujemne i jest większe niż ponieważ warunkowe oczekiwanie uwzględnia tylko wartości większe niż te, które może przyjąć rv . ${\ Displaystyle \ Operatorname {E} (X | X <a)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {E} (X | X \ geq a)}$ $a$ $a$ ${\ Displaystyle X}$

Stąd intuicyjnie , co bezpośrednio prowadzi do . ${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X) \ GEq \ operatorname {P} (X \ geq a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X \ geq a) \ geq a \ cdot \ operatorname {P} ( X\geq a)}$ ${\ Displaystyle \ Operatorname {P} (X \ geq a) \ Leq {\ Frac {\ Operator {E} (X)} {a}}}$

Dowód teoretyczny prawdopodobieństwa

Metoda 1: Z definicji oczekiwania:

{\ Displaystyle \ Operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ dx}

Jednak X jest nieujemną zmienną losową, więc

{\ Displaystyle \ Operatorname {E} (X) = \ inft _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ dx = \ inft _ {0} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}

Z tego możemy wywnioskować,

{\ Displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0} ^ {a} xf (x) \ dx + \ int _ {a} ^ {\ infty} xf (x) \, dx \ geq \ int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty } f(x)\,dx=a\nazwa operatora {Pr} (X\geq a)}

Stąd dzielenie przez pozwala nam to zobaczyć $a$

{\ Displaystyle \ Pr (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X) / a}

Metoda 2: Dla każdego zdarzenia niech będzie wskaźnikową zmienną losową , czyli jeśli występuje i nie. ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle I_ {E}}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle I_ {E} = 1}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle I_ {E} = 0}$

Używając tej notacji, mamy jeśli zdarzenie ma miejsce i jeśli . Następnie, biorąc pod uwagę , ${\ Displaystyle I_ {(X \ geq a)} = 1}$ ${\ Displaystyle X \ geq a}$ ${\ Displaystyle I_ {(X \ geq a)} = 0}$ ${\ Displaystyle X<a}$ $a>0$

{\ Displaystyle aI_ {(X \ geq a)} \ leq X}

co jest jasne, jeśli weźmiemy pod uwagę dwie możliwe wartości . Jeśli , to i tak . W przeciwnym razie mamy , dla którego i tak . ${\ Displaystyle X \ geq a}$ ${\ Displaystyle X<a}$ ${\ Displaystyle I_ {(X \ geq a)} = 0}$ ${\ Displaystyle aI_ {(X \ geq a)} = 0 \ równoważnik X}$ ${\ Displaystyle X \ geq a}$ ${\ Displaystyle I_ {X\ geq a} = 1}$ ${\ Displaystyle aI_ {X \ geq a} = a \ leq X}$

Ponieważ jest funkcją monotonicznie rosnącą, uwzględnienie oczekiwań po obu stronach nierówności nie może jej odwrócić. W związku z tym, $\operatorname {E}$

{\ Displaystyle \ Operatorname {E} (aI_ {(X \ geq a)}) \ Leq \ Operatorname {E} (X).}

Teraz, używając liniowości oczekiwań, lewa strona tej nierówności jest taka sama jak

{\ Displaystyle a \ operatorname {E} (I_ {(X \ geq a)}) = a (1 \ cdot \ operatorname {P} (X \ geq a) + 0 \ cdot \ operatorname {P} (X <a ))=a\nazwa operatora {P} (X\geq a).}

Tak więc mamy

{\ Displaystyle a \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X)}

a ponieważ a > 0, możemy podzielić obie strony przez a .

Dowód teorii miary

Możemy założyć, że funkcja jest nieujemna, ponieważ do równania wchodzi tylko jej wartość bezwzględna. Rozważmy teraz funkcję o wartościach rzeczywistych s na X daną przez $f$

{\ Displaystyle s (x) = {\ zacząć {przypadki} \ varepsilon i {\ tekst {jeśli}} f (x) \ geq \ varepsilon \ \ 0 i {\ tekst {jeśli}} f (x) < \varepsilon \end{cases}}}

Następnie . Zgodnie z definicją całki Lebesgue'a ${\ Displaystyle 0 \ leq s (x) \ leq f (x)}$

{\ Displaystyle \ int _ {X} f (x) \, d \ mu \ geq \ int _ {X} s (x) \, d \ mu = \ varepsilon \ mu (\ {x \ w X: \, f(x)\geq \varepsilon \})}

a ponieważ , obie strony można podzielić przez , uzyskując ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$ $\varepsilon$

{\ Displaystyle \ mu (\ {x \ w X: \, f (x) \ geq \ varepsilon \}) \ leq {1 \ nad \ varepsilon} \ int _ {X} f \ d \ mu.}

Następstwa

Nierówność Czebyszewa

Nierówność Czebyszewa wykorzystuje wariancję do ograniczenia prawdopodobieństwa, że zmienna losowa daleko odbiega od średniej. Konkretnie,

{\ Displaystyle \ Operatorname {P} (| X-\ Operator {E} (X) | \ geq a) \ Leq {\ Frac {\ Operator {Var} (X)} {a ^ {2}}}}

dla dowolnego $a > 0$ . Tutaj $Var(X)$ jest wariancją X, zdefiniowaną jako:

{\ Displaystyle \ Operatorname {Var} (X) = \ Operatorname {E} [(X-\ Operatorname {E} (X)) ^ {2}].}

Nierówność Czebyszewa wynika z nierówności Markowa, biorąc pod uwagę zmienną losową

{\ Displaystyle (X-\operator {E} (X)) ^ {2}}

i stałą, dla której czytamy nierówność Markowa $a^{2},$

{\ Displaystyle \ Operatorname {P} ((X-\ Operator {E} (X)) ^ {2} \ Geq a ^ {2}) \ Leq {\ Frac {\ Operator {Var} (X)} {a ^{2}}}.}

Argument ten można podsumować (gdzie „MI” wskazuje na użycie nierówności Markowa):

{\ Displaystyle \ operatorname {P} (| X \ operatorname {E} (X) | \ geq a) = \ operatorname {P} \ lewo ((X \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \geq a^{2}\right)\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} \left((X- \operatorname {E} (X))^{2}\right)}{a^{2}}}={\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.}

Inne następstwa

Wynik „monotoniczny” można wykazać za pomocą:

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) = \ operatorname {P} {\ duży (} \ varphi (| X |) \ geq \ varphi (a) {\ duży)} \ {\ overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\nazwa operatora {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$
Wynik że dla nieujemnej zmiennej losowej $X$ , kwantyl funkcja od $X$ spełnia:

${\ Displaystyle Q_ {X} (1-p) \ leq {\ Frac {\ Operator {E} (X)} {p}}}$

dowód za pomocą

${\ Displaystyle p \ leq \ operatorname {P} (X \ geq Q_ {X} (1-p)) \, {\ overset {\ underset {\ operatorname {MI}} {}} {\ leq}} \, {\frac {\nazwa operatora {E} (X)}{Q_{X}(1-p)}}.}$
Pozwolić być samosprzężonego matrycy wartościach zmiennej losowej i $> 0$ . Następnie $M\succeq 0$

${\ Displaystyle \ operatorname {P} (M \ npreceq a \ cdot I) \ leq {\ Frac {\ operatorname {tr} \ lewo (E (M) \ prawo)} {na}}.}$

można pokazać w podobny sposób.

Przykłady

Zakładając, że żaden dochód nie jest ujemny, nierówność Markowa pokazuje, że nie więcej niż 1/5 populacji może mieć więcej niż 5-krotność średniego dochodu.

Languages

In other projects