Numer Markowa - Markov number

Liczba Markowa lub liczba Markoffa jest dodatnią liczbą całkowitą x , y lub z , która jest częścią rozwiązania równania Markowa diofantycznego

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

studiował Andrey Markoff  ( 1879 , 1880 ).

Pierwsze kilka liczb Markowa to

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (sekwencja A002559 w OEIS )

pojawiające się jako współrzędne trójek Markowa

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), ...

Istnieje nieskończenie wiele liczb Markowa i trójek Markowa.

Drzewo Markowa

Istnieją dwa proste sposoby uzyskania nowej trójki Markowa ze starej ( x ,  y ,  z ). Po pierwsze, można permutować 3 liczby x , y , z , więc w szczególności można znormalizować trójki tak, że x  ≤  y  ≤  z . Po drugie, jeśli ( x ,  y ,  z ) jest trójką Markowa, to po skoku Vieta tak jest ( x ,  y , 3 xy  −  z ). Dwukrotne wykonanie tej operacji zwraca tę samą potrójną operację, od której rozpoczęto. Połączenie każdej znormalizowanej trójki Markowa z 1, 2 lub 3 znormalizowanymi trójkami, które można z tego uzyskać, daje wykres zaczynający się od (1,1,1), jak na diagramie. Ten wykres jest połączony; innymi słowy, każda trójka Markowa może być połączona z (1,1,1) sekwencją tych operacji. Jeśli zaczniemy na przykład od (1, 5, 13), otrzymamy jego trzech sąsiadów (5, 13, 194), (1, 13, 34) i (1, 2, 5) w drzewie Markowa, jeśli z jest ustawiony odpowiednio na 1, 5 i 13. Na przykład, zaczynając od (1, 1, 2) i wymieniając y i z przed każdą iteracją przekształcenia, wyliczamy trójki Markowa z liczbami Fibonacciego. Zaczynając od tej samej trójki i handlując x i z przed każdą iteracją, otrzymujemy trójki z liczbami Pella.

Wszystkie liczby Markowa w regionach przylegających do obszaru 2 są nieparzystymi liczbami Pella (lub liczbami n takimi, że 2 n ²  − 1 jest kwadratem, OEIS :  A001653 ), a wszystkie liczby Markowa w regionach przylegających do obszaru 1 są nieparzyste liczby Fibonacciego ( OEIS :  A001519 ). Tak więc istnieje nieskończenie wiele trójek Markowa postaci

${\ Displaystyle (1, F_ {2n-1}, F_ {2n + 1}), \,}$

gdzie F _x jest x- tą liczbą Fibonacciego. Podobnie istnieje nieskończenie wiele trójek Markowa postaci

${\ Displaystyle (2, P_ {2n-1}, P_ {2n+1}), \,}$

gdzie P _x jest x- tą liczbą Pell .

Inne właściwości

Oprócz dwóch najmniejszych osobliwych trójek (1,1,1) i (1,1,2), każda trójka Markowa składa się z trzech różnych liczb całkowitych.

Jedyność hipoteza mówi, że dla danej liczby Markowa C , istnieje dokładnie jedna znormalizowane rozwiązanie mające c jak największego elementu: Dowody tej hipotezy zostały twierdził, ale nikt zdaje się być poprawne.

Nieparzyste liczby Markowa są o 1 większe niż wielokrotności 4, a nawet liczby Markowa są o 2 większe niż wielokrotności 32.

W swoim artykule z 1982 r. Don Zagier przypuszczał, że n- ta liczba Markowa jest asymptotycznie podana przez

${\ Displaystyle m_ {n} = {\ tfrac {1} {3}} e ^ {C {\ sqrt {n}} + o (1)} \ quad {\ tekst {z}} C = 2.3523414972 \ ldots. }$

Błąd jest przedstawiony poniżej. ${\ Displaystyle (\ log (3m_ {n}) / C) ^ {2}-n}$

Ponadto, wskazał, że , przybliżeniem pierwotnego wzoru diofantycznego jest równoważna z f ( t ) = arcosh (3 t / 2). Przypuszczenie zostało udowodnione przez Grega McShane'a i Igora Rivina w 1995 roku przy użyciu technik geometrii hiperbolicznej. ${\ Displaystyle x ^ {2} + Y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz + 4/9}$${\ Displaystyle f (x) + f (y) = f (z)}$

N p liczbę Lagrange'a można obliczyć z n -tego numeru Markowa ze wzorem

${\ Displaystyle L_ {n} = {\ sqrt {9-{4 \ ponad {m_ {n}} ^ {2}}}}. \,}$

Liczby Markowa są sumami (nie niepowtarzalnych) par kwadratów.

Twierdzenie Markowa

Markoff ( 1879 , 1880 ) wykazał, że jeśli

${\ Displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$

jest nieokreśloną binarną formą kwadratową ze współczynnikami rzeczywistymi i wyróżnikiem , to są liczby całkowite x ,  y , dla których f przyjmuje niezerową wartość co najwyżej wartości bezwzględnej ${\ Displaystyle D = b ^ {2}-4ac}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

chyba że f jest formą Markowa : stała razy forma

${\ Displaystyle px ^ {2} + (3p-2a) xy + (b-3a) y ^ {2}}$

takie, że

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} 0 <a < p/2 \ \ aq \ równoważne \ pm r {\ pmod {p}} \ \ bp-a ^ {2} = 1 \ koniec {przypadki} }}$

gdzie ( p ,  q ,  r ) jest trójką Markowa.

Istnieje również twierdzenie Markowa w topologii , nazwane na cześć syna Andreya Markova, Andreya Andreevicha Markova .

Matryce

Niech Tr oznacza funkcję śledzenia po macierzach. Jeśli X i Y są w SL ₂ ( ℂ ), to

Tr ( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) + Tr( X ⋅ Y ⋅ X ⁻¹ ⋅ Y ⁻¹ ) + 2 = Tr( X ) ² + Tr( Y ) ² + Tr( X ⋅ Y ) ²

więc jeśli Tr( X ⋅ Y ⋅ X ⁻¹ ⋅ Y ⁻¹ ) = −2 to

Tr( X ) Tr( Y ) Tr( X ⋅ Y ) = Tr( X ) ² + Tr( Y ) ² + Tr( X ⋅ Y ) ²

W szczególności, gdy X i Y mają również całkowitą dane następnie tR ( X ) / 3, tR ( Y ) / 3, i TR ( X ⋅ Y ) / 3 są Markowa potrójne. Jeśli X ⋅ Y ⋅ Z  =  1 , a następnie tR ( X ⋅ Y ) = Tr ( Z ), a więc więcej symetrycznie jeśli X , Y i Z są SL ₂ (ℤ) z X ⋅ Y ⋅ Z  = 1 i komutatorem z dwa z nich mają ślad -2, to ich ślady/3 są trójką Markowa.

Zobacz też

• Widmo Markowa

Uwagi

Bibliografia

• Obiady, JWS (1957). Wprowadzenie do przybliżenia diofantycznego . Cambridge Tracts w matematyce i fizyce matematycznej. 45 . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Zbl  0077.04801 .
• Kusick, Tomasz; Flahive, Mari (1989). Widma Markoffa i Lagrange'a . Matematyka. Ankiety i Monografie. 30 . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 0-8218-1531-8. Zbl  0685.10023 .
• Guy, Richard K. (2004). Nierozwiązane problemy w teorii liczb . Springer-Verlag . s. 263-265. Numer ISBN 0-387-20860-7. Zbl  1058.11001 .
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Problem z widmem Markowa" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Markoff, A. „Sur les formes quadratiques binaires indéfinies”. Matematyka Annalen . Springer Berlin / Heidelberg. ISSN  0025-5831 .

Markoff, A. (1879). „Pierwsze wspomnienie” . Matematyka Annalen . 15 (3-4): 381-406. doi : 10.1007/BF02086269 . S2CID  179177894 .

Markoff, A. (1880). „Drugie wspomnienie” . Matematyka Annalen . 17 (3): 379–399. doi : 10.1007/BF01446234 . S2CID  121616054 .