Nieruchomość Markowa - Markov property

Pojedyncza realizacja trójwymiarowego ruchu Browna dla czasów 0 ≤ t ≤ 2. Ruchy Browna mają właściwość Markowa, ponieważ przemieszczenie cząstki nie zależy od jej przeszłych przemieszczeń.

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce termin własność Markowa odnosi się do pozbawionej pamięci właściwości procesu stochastycznego . Został nazwany na cześć rosyjskiego matematyka Andrieja Markowa . Termin silna właściwość Markowa jest podobny do właściwości Markowa, z tym wyjątkiem, że znaczenie „obecnego” definiuje się za pomocą zmiennej losowej znanej jako czas zatrzymania .

Termin założenie Markowa jest używany do opisania modelu, w którym zakłada się, że właściwość Markowa zachowuje, takiego jak ukryty model Markowa .

Pole losowe Markowa rozszerza tę właściwość na dwa lub więcej wymiarów lub na zmienne losowe zdefiniowane dla połączonej sieci przedmiotów. Przykładem modelu dla takiej zmiennej jest model Isinga .

Dyskretny proces stochastyczny spełniający właściwość Markowa jest znany jako łańcuch Markowa .

Wprowadzenie

Proces stochastyczny ma własność Markowa, jeśli warunkowy rozkład prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu (zależny zarówno od przeszłych, jak i obecnych wartości) zależy tylko od stanu obecnego; to znaczy, biorąc pod uwagę teraźniejszość, przyszłość nie zależy od przeszłości. Mówi się, że proces z tą własnością jest procesem markowskim lub procesem Markowa . Najbardziej znanym procesem Markowa jest łańcuch Markowa . Ruchy Browna to kolejny dobrze znany proces Markowa.

Historia

Definicja

Niech będzie przestrzenią prawdopodobieństwa z filtracją dla jakiegoś ( całkowicie uporządkowanego ) zbioru indeksów ; i niech będzie mierzalną przestrzenią . -Valued stochastycznego procesu przystosowany do filtrowania mówi się, że posiadają właściwości Markowa , jeśli dla każdej i każdy z , ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {s}, \ s \ w I)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$${\ Displaystyle X = \ {X_ {t}: \ Omega \ do S \} _ {t \ w I}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle s, t \ in I}$${\ Displaystyle s <t}$

${\ Displaystyle P (X_ {t} \ w A \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}) = P (X_ {t} \ w A \ mid X_ {s}).}$

W przypadku, gdy jest zbiorem dyskretnym z dyskretną algebrą sigma i można to przeformułować w następujący sposób: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle I = \ mathbb {N}}$

${\ Displaystyle P (X_ {n} = x_ {n} \ mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, \ kropki, X_ {0} = x_ {0}) = P (X_ {n} = x_ {n} \ mid X_ {n-1} = x_ {n-1}).}$

Alternatywne sformułowania

Alternatywnie, właściwość Markova można sformułować w następujący sposób.

${\ displaystyle \ operatorname {e} [f (X_ {t}) \ mid {\ mathcal {F}} _ {s}] = \ operatorname {E} [f (X_ {t}) \ mid \ sigma (X_ {s})]}$

dla wszystkich i ograniczone i wymierne. ${\ displaystyle t \ geq s \ geq 0}$${\ displaystyle f: S \ rightarrow \ mathbb {R}}$

Silna własność Markowa

Załóżmy, że jest to proces stochastyczny na przestrzeni prawdopodobieństwa z naturalną filtracją . Wtedy dla dowolnej chwili zatrzymania na , możemy zdefiniować ${\ Displaystyle X = (X_ {t}: t \ geq 0)}$ ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \} _ {t \ geq 0}}$ ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau} = \ {A \ in {\ mathcal {F}}: \ forall t \ geq 0 \ {\ tau \ leq t \} \ cap A \ in {\ mathcal {F}} _ {t} \}}$ .

Wtedy mówi się, że ma silną własność Markowa, jeśli dla każdego czasu zatrzymania , uwarunkowanego zdarzeniem , mamy to dla każdego , jest niezależne od danego . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ {\ tau <\ infty \}}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ Displaystyle X _ {\ tau + t}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}}$${\ displaystyle X _ {\ tau}}$

Silna własność Markowa implikuje zwykłą własność Markowa, ponieważ biorąc czas zatrzymania , można wydedukować zwykłą własność Markowa. ${\ displaystyle \ tau = t}$

W prognozowaniu

W dziedzinie modelowania predykcyjnego i prognozowania probabilistycznego właściwość Markowa jest uważana za pożądaną, ponieważ może umożliwić rozumowanie i rozwiązanie problemu, który w przeciwnym razie nie byłby możliwy do rozwiązania ze względu na jego niemożność rozwiązania . Taki model jest znany jako model Markowa .

Przykłady

Załóżmy, że urna zawiera dwie czerwone kule i jedną zieloną. Jedna piłka została wylosowana wczoraj, jedna piłka została wylosowana dzisiaj, a ostatnia piłka zostanie wylosowana jutro. Wszystkie losowania są „bez wymiany”.

Załóżmy, że wiesz, że dzisiejsza piłka była czerwona, ale nie masz informacji o wczorajszej piłce. Szansa, że ​​jutrzejsza piłka będzie czerwona, wynosi 1/2. Dzieje się tak, ponieważ jedyne dwa pozostałe wyniki tego losowego eksperymentu to:

Z drugiej strony, jeśli wiesz, że zarówno dzisiejsze, jak i wczorajsze piłki były czerwone, to jutro masz gwarancję zdobycia zielonej piłki.

Ta rozbieżność pokazuje, że rozkład prawdopodobieństwa dla koloru jutra zależy nie tylko od wartości bieżącej, ale także od informacji o przeszłości. Ten stochastyczny proces obserwowanych kolorów nie ma właściwości Markowa. Korzystając z tego samego eksperymentu powyżej, jeśli próbkowanie „bez zamiany” zostanie zmienione na próbkowanie „z wymianą”, proces obserwowanych kolorów będzie miał właściwość Markowa.

Własność Markowa w postaci uogólnionej jest stosowana w obliczeniach Monte Carlo łańcucha Markowa w kontekście statystyki bayesowskiej .

Zobacz też

• Przyczynowy stan Markowa
• Równanie Chapmana – Kołmogorowa
• Histereza
• Koc Markowa
• Łańcuch Markowa
• Proces decyzyjny Markowa
• Model Markowa

Bibliografia