Analiza matematyczna - Mathematical analysis

Dziwne atraktorem wynikające z równania różniczkowego . Równania różniczkowe są ważnym obszarem analizy matematycznej o wielu zastosowaniach w nauce i inżynierii .

Analiza to dział matematyki zajmujący się granicami i pokrewnymi teoriami, takimi jak różniczkowanie , całkowanie , miara , szeregi nieskończone i funkcje analityczne .

Teorie te są zwykle badane w kontekście liczb i funkcji rzeczywistych i zespolonych . Analiza wyewoluowała z rachunku różniczkowego , który obejmuje podstawowe pojęcia i techniki analizy. Analizę można odróżnić od geometrii ; Jednakże, może być stosowany do każdego miejsca z przedmiotów matematycznych , które ma definicję bliskości (A przestrzeni topologicznej ) lub konkretne odległości między obiektami (A przestrzeni metrycznej ).

Historia

Archimedes zastosował metodę wyczerpania, aby obliczyć obszar wewnątrz okręgu, znajdując obszar regularnych wielokątów o coraz większej liczbie boków. Był to wczesny, ale nieformalny przykład granicy , jednego z najbardziej podstawowych pojęć w analizie matematycznej.

Starożytny

Analiza matematyczna formalnie rozwinęła się w XVII wieku podczas rewolucji naukowej , ale wiele jej pomysłów wywodzi się z wcześniejszych matematyków. Wczesne wyniki analizy były domyślnie obecne w początkach starożytnej matematyki greckiej . Na przykład nieskończona suma geometryczna jest zawarta w paradoksie Zenona dotyczącym dychotomii . Później greccy matematycy, tacy jak Eudoxus i Archimedes, wyraźniej, ale nieformalnie, używali pojęć granic i zbieżności, kiedy używali metody wyczerpania do obliczania powierzchni i objętości regionów i brył. Wyraźne użycie nieskończenie małych pojawia się w The Method of Mechanical Theorems Archimedesa , pracy odkrytej na nowo w XX wieku. W Azji chiński matematyk Liu Hui zastosował metodę wyczerpania w III wieku naszej ery, aby znaleźć pole koła. Z literatury dżinskiej wynika, że ​​Hindusi byli w posiadaniu wzorów na sumę szeregu arytmetycznego i geometrycznego już w IV wieku pne Acarya Bhadrabāhu używa sumy szeregu geometrycznego w swojej Kalpasūtrze w 433 pne W indyjskiej matematyce szczególnie przypadki szeregów arytmetycznych pojawiły się pośrednio w literaturze wedyjskiej już w 2000 r. p.n.e.

Średniowieczny

Zu Chongzhi ustanowił metodę, która później została nazwana zasadą Cavalieri, aby znaleźć objętość kuli w V wieku. W XII wieku indyjski matematyk Bhāskara II podał przykłady pochodnych i użył tego, co jest obecnie znane jako twierdzenie Rolle'a .

W 14 wieku, Madhawa z Sangamagramy opracowane serii nieskończonej ekspansji, zwany obecnie szereg Taylora , z funkcjami takimi jak sinus , cosinus , tangens i tangens . Równolegle z rozwojem szeregu funkcji trygonometrycznych Taylora , oszacował również wielkość składników błędów wynikających z obcinania tych szeregów i dał racjonalne przybliżenie pewnego szeregu nieskończonego. Jego zwolennicy w Kerala School of Astronomy and Mathematics dalej rozwijali jego prace, aż do XVI wieku.

Nowoczesny

Podwaliny

Współczesne podstawy analizy matematycznej powstały w XVII-wiecznej Europie. Zaczęło się to, gdy Fermat i Kartezjusz opracowali geometrię analityczną , która jest prekursorem współczesnego rachunku różniczkowego. Metoda nierównowagi Fermata pozwoliła mu wyznaczyć maksima i minima funkcji oraz tangensy krzywych. Publikacja Kartezjusza La Géométrie w 1637 r., która wprowadziła kartezjański układ współrzędnych , jest uważana za ustanowienie analizy matematycznej. Kilkadziesiąt lat później Newton i Leibniz niezależnie opracowali rachunek różniczkowy nieskończenie mały , który wraz z bodźcem prac stosowanych, które trwały przez XVIII wiek, przekształcił się w takie zagadnienia analityczne, jak rachunek wariacyjny , równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe , analiza Fouriera. i generowania funkcji . W tym okresie techniki rachunku różniczkowego były stosowane do przybliżania problemów dyskretnych za pomocą zadań ciągłych.

Modernizacja

W XVIII wieku Euler wprowadził pojęcie funkcji matematycznej . Prawdziwa analiza zaczęła wyłaniać się jako niezależny temat, kiedy Bernard Bolzano wprowadził nowoczesną definicję ciągłości w 1816 roku, ale prace Bolzano stały się powszechnie znane dopiero w latach siedemdziesiątych XIX wieku. W 1821 Cauchy zaczął opierać rachunek różniczkowy na solidnych podstawach logicznych, odrzucając zasadę ogólności algebry szeroko stosowaną we wcześniejszych pracach, zwłaszcza przez Eulera. Zamiast tego Cauchy sformułował rachunek w kategoriach idei geometrycznych i nieskończenie małych . Tak więc jego definicja ciągłości wymagała nieskończenie małej zmiany w x, aby odpowiadała nieskończenie małej zmianie w y . Wprowadził także pojęcie ciągu Cauchy'ego i zapoczątkował formalną teorię analizy zespolonej . Poisson , Liouville , Fourier i inni badali równania różniczkowe cząstkowe i analizę harmoniczną . Wkład tych matematyków i innych, takich jak Weierstrass , rozwinął (ε, δ)-definicję podejścia granicznego , tworząc w ten sposób nowoczesną dziedzinę analizy matematycznej.

W połowie XIX wieku Riemann przedstawił swoją teorię integracji . Ostatnią trzecią wieku nastąpił arithmetization analizy przez Weierstrassa , którzy uważali, że był z natury geometrycznej rozumowanie mylące i wprowadził „epsilon-delta” definicji z limitem . Następnie matematycy zaczęli martwić się, że zostały one zakładając istnienie kontinuum od liczb rzeczywistych bez dowodu. Następnie Dedekind skonstruował liczby rzeczywiste za pomocą cięć Dedekinda , w których formalnie zdefiniowane są liczby niewymierne, które służą do wypełnienia „luki” między liczbami wymiernymi, tworząc w ten sposób kompletny zbiór: kontinuum liczb rzeczywistych, które zostało już opracowane przez Simona Stevina pod względem rozwinięć dziesiętnych . W tym czasie próby udoskonalenia twierdzeń o całkowaniu Riemanna doprowadziły do ​​zbadania „wielkości” zbioru nieciągłości funkcji rzeczywistych.

Zaczęto również badać „ potwory ” ( funkcje nigdzie ciągłe, funkcje ciągłe, ale nigdzie nieróżniczkowe , krzywe wypełniające przestrzeń ). W tym kontekście Jordan rozwinął swoją teorię miary , Cantor rozwinął to, co obecnie nazywa się naiwną teorią mnogości , a Baire udowodnił twierdzenie Baire'a o kategorii . Na początku XX wieku rachunek różniczkowy został sformalizowany przy użyciu aksjomatycznej teorii mnogości . Lebesgue rozwiązał problem miary, a Hilbert wprowadził przestrzenie Hilberta do rozwiązania równań całkowych . Idea unormowanej przestrzeni wektorowej pojawiła się w powietrzu, a w latach dwudziestych Banach stworzył analizę funkcjonalną .

Ważne koncepcje

Przestrzenie metryczne

W matematyce , o przestrzeń metryczna jest zestaw , w którym pojęcie odległości (nazywana metryką ) między elementami zestawu jest zdefiniowana.

Wiele analiz odbywa się w jakiejś przestrzeni metrycznej; najczęściej używane są prosta rzeczywista , płaszczyzna zespolona , przestrzeń euklidesowa , inne przestrzenie wektorowe i liczby całkowite . Przykłady analizy bez metryki obejmują teorię miary (która opisuje rozmiar, a nie odległość) i analizę funkcjonalną (która bada topologiczne przestrzenie wektorowe, które nie muszą mieć żadnego poczucia odległości).

Formalnie przestrzeń metryki to uporządkowana para, gdzie jest zbiorem i jest metryką na , czyli funkcją

tak, że dla dowolnego , obowiązuje:

  1. wtedy i tylko wtedy, gdy    ( tożsamość nieodróżnialnych ),
  2.    ( symetria ) i
  3.    ( trójkąt nierówności ).

Biorąc trzecią własność i pozwalając , można wykazać, że     ( nieujemne ).

Sekwencje i ograniczenia

Sekwencja jest uporządkowana lista. Podobnie jak zestaw zawiera elementy członkowskie (zwane również elementami lub terminami ). W przeciwieństwie do zestawu kolejność ma znaczenie i dokładnie te same elementy mogą pojawiać się wielokrotnie w różnych pozycjach sekwencji. Dokładniej, ciąg można zdefiniować jako funkcję, której dziedziną jest policzalny, całkowicie uporządkowany zbiór, taki jak liczby naturalne .

Jedną z najważniejszych właściwości ciągu jest zbieżność . Nieformalnie sekwencja zbiega się, jeśli ma limit . Kontynuując nieformalnie, ciąg ( pojedynczo-nieskończony ) ma granicę, jeśli zbliża się do pewnego punktu x , zwanego granicą, ponieważ n staje się bardzo duże. Oznacza to, że dla abstrakcyjnego ciągu ( a n ) (przy n biegnącym od 1 do nieskończoności rozumianej) odległość między a n i x zbliża się do 0 jako n → ∞, oznaczona

Główne oddziały

Prawdziwa analiza

Analiza rzeczywista (tradycyjnie teoria funkcji zmiennej rzeczywistej ) to dział analizy matematycznej zajmujący się liczbami rzeczywistymi i funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. W szczególności dotyczy on analitycznych właściwości rzeczywistych funkcji i sekwencji oraz zbieżności , a granicach od sekwencji liczb rzeczywistych z rachunku liczb rzeczywistych, a ciągłości , gładkość i własności związane z funkcji o wartościach rzeczywistych.

Kompleksowa analiza

Kompleksowa analiza , tradycyjnie znany jako teorii funkcji zmiennej zespolonej , jest gałęzią analizy matematycznej, który bada funkcje na liczbach zespolonych . Jest przydatny w wielu gałęziach matematyki, w tym w geometrii algebraicznej , teorii liczb , matematyce stosowanej ; a także w fizyce , w tym hydrodynamice , termodynamice , inżynierii mechanicznej , elektrotechnice , aw szczególności kwantowej teorii pola .

Analiza zespolona dotyczy w szczególności funkcji analitycznych zmiennych zespolonych (lub, bardziej ogólnie, funkcji meromorficznych ). Ponieważ oddzielne części rzeczywiste i urojone dowolnej funkcji analitycznej muszą spełniać równanie Laplace'a , analiza zespolona ma szerokie zastosowanie w dwuwymiarowych problemach fizyki .

Analiza funkcjonalna

Analiza funkcjonalna jest gałąź analizy matematycznej, rdzeń, który jest utworzony przez badanie przestrzeni wektorowej obdarzonych pewnego rodzaju struktury odpowiednich wartości (na przykład takie wewnętrznego produktu , normy , topologii , etc.) i operatorów liniowych działających na tych przestrzeniach i poszanowanie tych struktur w odpowiednim sensie. Historyczne korzenie analizy funkcjonalnej tkwią w badaniu przestrzeni funkcji i formułowaniu własności przekształceń funkcji, takich jak transformata Fouriera, jako przekształceń definiujących operatory ciągłe , unitarne itp. między przestrzeniami funkcyjnymi. Ten punkt widzenia okazał się szczególnie przydatny do badania równań różniczkowych i całkowych .

Równania różniczkowe

Równanie różniczkowe jest matematyczne równanie o nieznanej funkcji jednej lub kilku zmiennych , które odnosi się do wartości tej samej funkcji i jego pochodnych w różnych zamówień . Równania różniczkowe odgrywają znaczącą rolę w inżynierii , fizyce , ekonomii , biologii i innych dyscyplinach.

Równania różniczkowe pojawiają się w wielu dziedzinach nauki i technologii, szczególnie tam, gdzie znana jest lub postulowana jest deterministyczna relacja obejmująca pewne stale zmieniające się wielkości (modelowane przez funkcje) i ich szybkości zmian w przestrzeni lub czasie (wyrażone jako pochodne). Ilustruje to mechanika klasyczna , w której ruch ciała jest opisywany przez jego położenie i prędkość wraz ze zmianą wartości czasu. Prawa Newtona pozwalają (biorąc pod uwagę położenie, prędkość, przyspieszenie i różne siły działające na ciało) dynamicznie wyrażać te zmienne jako równanie różniczkowe dla nieznanej pozycji ciała w funkcji czasu. W niektórych przypadkach to równanie różniczkowe (nazywane równaniem ruchu ) można rozwiązać w sposób jawny.

Teoria miary

Środek na zestawie jest systematyczny sposób, aby przypisać numer telefonu do każdego odpowiedniego podzbioru tego zbioru, intuicyjnie interpretować jako jego wielkości. W tym sensie miara jest uogólnieniem pojęć długości, powierzchni i objętości. Szczególnie ważnym przykładem jest środek Lebesgue'a w przestrzeni euklidesowej , która wyznacza konwencjonalną długość , powierzchnia i objętość w euklidesowej geometrii do odpowiednich podgrup wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Na przykład miarą Lebesgue'a przedziału w liczbach rzeczywistych jest jego długość w potocznym znaczeniu tego słowa, a konkretnie 1.

Technicznie rzecz biorąc, miara jest funkcją, która przypisuje nieujemną liczbę rzeczywistą lub +∞ do (pewnych) podzbiorów zbioru . Musi przypisać 0 do pustego zbioru i być ( przeliczalnie ) addytywnym: miara „dużego” podzbioru, który można rozłożyć na skończoną (lub policzalną) liczbę „mniejszych” rozłącznych podzbiorów, jest sumą miar „mniejsze” podzbiory. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ktoś chce powiązać spójny rozmiar z każdym podzbiorem danego zestawu, jednocześnie spełniając inne aksjomaty miary, znajduje się tylko trywialne przykłady, takie jak miara zliczania . Problem ten został rozwiązany poprzez zdefiniowanie miary tylko na podzbiorze wszystkich podzbiorów; tak zwane podzbiory mierzalne , które są wymagane do utworzenia -algebry . Oznacza to, że policzalne sumy , policzalne przecięcia i dopełnienia mierzalnych podzbiorów są mierzalne. Zbiory niemierzalne w przestrzeni euklidesowej, na których nie można spójnie zdefiniować miary Lebesgue'a, są z konieczności skomplikowane w tym sensie, że źle pomieszane z ich dopełnieniem. Istotnie, ich istnienie jest nietrywialną konsekwencją aksjomatu wyboru .

Analiza numeryczna

Analiza numeryczna to nauka o algorytmach wykorzystujących przybliżenie numeryczne (w przeciwieństwie do ogólnych manipulacji symbolicznych ) dla problemów analizy matematycznej (w odróżnieniu od matematyki dyskretnej ).

Współczesna analiza numeryczna nie poszukuje dokładnych odpowiedzi, ponieważ w praktyce często nie da się uzyskać dokładnych odpowiedzi. Zamiast tego większość analiz numerycznych dotyczy uzyskiwania przybliżonych rozwiązań przy zachowaniu rozsądnych granic błędów.

Analiza numeryczna naturalnie znajduje zastosowanie we wszystkich dziedzinach inżynierii i nauk fizycznych, ale w XXI wieku nauki przyrodnicze, a nawet sztuka przyjęły elementy obliczeń naukowych. Zwykłe równania różniczkowe pojawiają się w mechanice nieba (planety, gwiazdy i galaktyki); numeryczna algebra liniowa jest ważna w analizie danych; stochastyczne równania różniczkowe i łańcuchy Markowa są niezbędne w symulowaniu żywych komórek w medycynie i biologii.

Analiza wektorowa

Analiza tensorowa

Inne tematy

Aplikacje

Techniki z analizy znajdują się również w innych obszarach, takich jak:

Nauk fizycznych

Zdecydowana większość mechaniki klasycznej , względności i mechaniki kwantowej opiera się na analizie stosowanej, aw szczególności na równaniach różniczkowych . Przykłady ważnych równań różniczkowych obejmują drugie prawo Newtona , równanie Schrödingera i równania pola Einsteina .

Analiza funkcjonalna jest również ważnym czynnikiem w mechanice kwantowej .

Przetwarzanie sygnałów

Podczas przetwarzania sygnałów, takich jak dźwięk , fale radiowe , fale świetlne, fale sejsmiczne , a nawet obrazy, analiza Fouriera może wyizolować poszczególne składniki złożonego kształtu fali, koncentrując je w celu łatwiejszego wykrycia lub usunięcia. Duża rodzina technik przetwarzania sygnału składa się z przekształcania sygnału Fouriera, manipulowania przekształconymi danymi Fouriera w prosty sposób i odwracania transformacji.

Inne obszary matematyki

Techniki z analizy są wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, m.in.:

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki