Analiza matematyczna - Mathematical analysis
Analiza to dział matematyki zajmujący się granicami i pokrewnymi teoriami, takimi jak różniczkowanie , całkowanie , miara , szeregi nieskończone i funkcje analityczne .
Teorie te są zwykle badane w kontekście liczb i funkcji rzeczywistych i zespolonych . Analiza wyewoluowała z rachunku różniczkowego , który obejmuje podstawowe pojęcia i techniki analizy. Analizę można odróżnić od geometrii ; Jednakże, może być stosowany do każdego miejsca z przedmiotów matematycznych , które ma definicję bliskości (A przestrzeni topologicznej ) lub konkretne odległości między obiektami (A przestrzeni metrycznej ).
Historia
Starożytny
Analiza matematyczna formalnie rozwinęła się w XVII wieku podczas rewolucji naukowej , ale wiele jej pomysłów wywodzi się z wcześniejszych matematyków. Wczesne wyniki analizy były domyślnie obecne w początkach starożytnej matematyki greckiej . Na przykład nieskończona suma geometryczna jest zawarta w paradoksie Zenona dotyczącym dychotomii . Później greccy matematycy, tacy jak Eudoxus i Archimedes, wyraźniej, ale nieformalnie, używali pojęć granic i zbieżności, kiedy używali metody wyczerpania do obliczania powierzchni i objętości regionów i brył. Wyraźne użycie nieskończenie małych pojawia się w The Method of Mechanical Theorems Archimedesa , pracy odkrytej na nowo w XX wieku. W Azji chiński matematyk Liu Hui zastosował metodę wyczerpania w III wieku naszej ery, aby znaleźć pole koła. Z literatury dżinskiej wynika, że Hindusi byli w posiadaniu wzorów na sumę szeregu arytmetycznego i geometrycznego już w IV wieku pne Acarya Bhadrabāhu używa sumy szeregu geometrycznego w swojej Kalpasūtrze w 433 pne W indyjskiej matematyce szczególnie przypadki szeregów arytmetycznych pojawiły się pośrednio w literaturze wedyjskiej już w 2000 r. p.n.e.
Średniowieczny
Zu Chongzhi ustanowił metodę, która później została nazwana zasadą Cavalieri, aby znaleźć objętość kuli w V wieku. W XII wieku indyjski matematyk Bhāskara II podał przykłady pochodnych i użył tego, co jest obecnie znane jako twierdzenie Rolle'a .
W 14 wieku, Madhawa z Sangamagramy opracowane serii nieskończonej ekspansji, zwany obecnie szereg Taylora , z funkcjami takimi jak sinus , cosinus , tangens i tangens . Równolegle z rozwojem szeregu funkcji trygonometrycznych Taylora , oszacował również wielkość składników błędów wynikających z obcinania tych szeregów i dał racjonalne przybliżenie pewnego szeregu nieskończonego. Jego zwolennicy w Kerala School of Astronomy and Mathematics dalej rozwijali jego prace, aż do XVI wieku.
Nowoczesny
Podwaliny
Współczesne podstawy analizy matematycznej powstały w XVII-wiecznej Europie. Zaczęło się to, gdy Fermat i Kartezjusz opracowali geometrię analityczną , która jest prekursorem współczesnego rachunku różniczkowego. Metoda nierównowagi Fermata pozwoliła mu wyznaczyć maksima i minima funkcji oraz tangensy krzywych. Publikacja Kartezjusza La Géométrie w 1637 r., która wprowadziła kartezjański układ współrzędnych , jest uważana za ustanowienie analizy matematycznej. Kilkadziesiąt lat później Newton i Leibniz niezależnie opracowali rachunek różniczkowy nieskończenie mały , który wraz z bodźcem prac stosowanych, które trwały przez XVIII wiek, przekształcił się w takie zagadnienia analityczne, jak rachunek wariacyjny , równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe , analiza Fouriera. i generowania funkcji . W tym okresie techniki rachunku różniczkowego były stosowane do przybliżania problemów dyskretnych za pomocą zadań ciągłych.
Modernizacja
W XVIII wieku Euler wprowadził pojęcie funkcji matematycznej . Prawdziwa analiza zaczęła wyłaniać się jako niezależny temat, kiedy Bernard Bolzano wprowadził nowoczesną definicję ciągłości w 1816 roku, ale prace Bolzano stały się powszechnie znane dopiero w latach siedemdziesiątych XIX wieku. W 1821 Cauchy zaczął opierać rachunek różniczkowy na solidnych podstawach logicznych, odrzucając zasadę ogólności algebry szeroko stosowaną we wcześniejszych pracach, zwłaszcza przez Eulera. Zamiast tego Cauchy sformułował rachunek w kategoriach idei geometrycznych i nieskończenie małych . Tak więc jego definicja ciągłości wymagała nieskończenie małej zmiany w x, aby odpowiadała nieskończenie małej zmianie w y . Wprowadził także pojęcie ciągu Cauchy'ego i zapoczątkował formalną teorię analizy zespolonej . Poisson , Liouville , Fourier i inni badali równania różniczkowe cząstkowe i analizę harmoniczną . Wkład tych matematyków i innych, takich jak Weierstrass , rozwinął (ε, δ)-definicję podejścia granicznego , tworząc w ten sposób nowoczesną dziedzinę analizy matematycznej.
W połowie XIX wieku Riemann przedstawił swoją teorię integracji . Ostatnią trzecią wieku nastąpił arithmetization analizy przez Weierstrassa , którzy uważali, że był z natury geometrycznej rozumowanie mylące i wprowadził „epsilon-delta” definicji z limitem . Następnie matematycy zaczęli martwić się, że zostały one zakładając istnienie kontinuum od liczb rzeczywistych bez dowodu. Następnie Dedekind skonstruował liczby rzeczywiste za pomocą cięć Dedekinda , w których formalnie zdefiniowane są liczby niewymierne, które służą do wypełnienia „luki” między liczbami wymiernymi, tworząc w ten sposób kompletny zbiór: kontinuum liczb rzeczywistych, które zostało już opracowane przez Simona Stevina pod względem rozwinięć dziesiętnych . W tym czasie próby udoskonalenia twierdzeń o całkowaniu Riemanna doprowadziły do zbadania „wielkości” zbioru nieciągłości funkcji rzeczywistych.
Zaczęto również badać „ potwory ” ( funkcje nigdzie ciągłe, funkcje ciągłe, ale nigdzie nieróżniczkowe , krzywe wypełniające przestrzeń ). W tym kontekście Jordan rozwinął swoją teorię miary , Cantor rozwinął to, co obecnie nazywa się naiwną teorią mnogości , a Baire udowodnił twierdzenie Baire'a o kategorii . Na początku XX wieku rachunek różniczkowy został sformalizowany przy użyciu aksjomatycznej teorii mnogości . Lebesgue rozwiązał problem miary, a Hilbert wprowadził przestrzenie Hilberta do rozwiązania równań całkowych . Idea unormowanej przestrzeni wektorowej pojawiła się w powietrzu, a w latach dwudziestych Banach stworzył analizę funkcjonalną .
Ważne koncepcje
Przestrzenie metryczne
W matematyce , o przestrzeń metryczna jest zestaw , w którym pojęcie odległości (nazywana metryką ) między elementami zestawu jest zdefiniowana.
Wiele analiz odbywa się w jakiejś przestrzeni metrycznej; najczęściej używane są prosta rzeczywista , płaszczyzna zespolona , przestrzeń euklidesowa , inne przestrzenie wektorowe i liczby całkowite . Przykłady analizy bez metryki obejmują teorię miary (która opisuje rozmiar, a nie odległość) i analizę funkcjonalną (która bada topologiczne przestrzenie wektorowe, które nie muszą mieć żadnego poczucia odległości).
Formalnie przestrzeń metryki to uporządkowana para, gdzie jest zbiorem i jest metryką na , czyli funkcją
tak, że dla dowolnego , obowiązuje:
- wtedy i tylko wtedy, gdy ( tożsamość nieodróżnialnych ),
- ( symetria ) i
- ( trójkąt nierówności ).
Biorąc trzecią własność i pozwalając , można wykazać, że ( nieujemne ).
Sekwencje i ograniczenia
Sekwencja jest uporządkowana lista. Podobnie jak zestaw zawiera elementy członkowskie (zwane również elementami lub terminami ). W przeciwieństwie do zestawu kolejność ma znaczenie i dokładnie te same elementy mogą pojawiać się wielokrotnie w różnych pozycjach sekwencji. Dokładniej, ciąg można zdefiniować jako funkcję, której dziedziną jest policzalny, całkowicie uporządkowany zbiór, taki jak liczby naturalne .
Jedną z najważniejszych właściwości ciągu jest zbieżność . Nieformalnie sekwencja zbiega się, jeśli ma limit . Kontynuując nieformalnie, ciąg ( pojedynczo-nieskończony ) ma granicę, jeśli zbliża się do pewnego punktu x , zwanego granicą, ponieważ n staje się bardzo duże. Oznacza to, że dla abstrakcyjnego ciągu ( a n ) (przy n biegnącym od 1 do nieskończoności rozumianej) odległość między a n i x zbliża się do 0 jako n → ∞, oznaczona
Główne oddziały
Prawdziwa analiza
Analiza rzeczywista (tradycyjnie teoria funkcji zmiennej rzeczywistej ) to dział analizy matematycznej zajmujący się liczbami rzeczywistymi i funkcjami zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych. W szczególności dotyczy on analitycznych właściwości rzeczywistych funkcji i sekwencji oraz zbieżności , a granicach od sekwencji liczb rzeczywistych z rachunku liczb rzeczywistych, a ciągłości , gładkość i własności związane z funkcji o wartościach rzeczywistych.
Kompleksowa analiza
Kompleksowa analiza , tradycyjnie znany jako teorii funkcji zmiennej zespolonej , jest gałęzią analizy matematycznej, który bada funkcje na liczbach zespolonych . Jest przydatny w wielu gałęziach matematyki, w tym w geometrii algebraicznej , teorii liczb , matematyce stosowanej ; a także w fizyce , w tym hydrodynamice , termodynamice , inżynierii mechanicznej , elektrotechnice , aw szczególności kwantowej teorii pola .
Analiza zespolona dotyczy w szczególności funkcji analitycznych zmiennych zespolonych (lub, bardziej ogólnie, funkcji meromorficznych ). Ponieważ oddzielne części rzeczywiste i urojone dowolnej funkcji analitycznej muszą spełniać równanie Laplace'a , analiza zespolona ma szerokie zastosowanie w dwuwymiarowych problemach fizyki .
Analiza funkcjonalna
Analiza funkcjonalna jest gałąź analizy matematycznej, rdzeń, który jest utworzony przez badanie przestrzeni wektorowej obdarzonych pewnego rodzaju struktury odpowiednich wartości (na przykład takie wewnętrznego produktu , normy , topologii , etc.) i operatorów liniowych działających na tych przestrzeniach i poszanowanie tych struktur w odpowiednim sensie. Historyczne korzenie analizy funkcjonalnej tkwią w badaniu przestrzeni funkcji i formułowaniu własności przekształceń funkcji, takich jak transformata Fouriera, jako przekształceń definiujących operatory ciągłe , unitarne itp. między przestrzeniami funkcyjnymi. Ten punkt widzenia okazał się szczególnie przydatny do badania równań różniczkowych i całkowych .
Równania różniczkowe
Równanie różniczkowe jest matematyczne równanie o nieznanej funkcji jednej lub kilku zmiennych , które odnosi się do wartości tej samej funkcji i jego pochodnych w różnych zamówień . Równania różniczkowe odgrywają znaczącą rolę w inżynierii , fizyce , ekonomii , biologii i innych dyscyplinach.
Równania różniczkowe pojawiają się w wielu dziedzinach nauki i technologii, szczególnie tam, gdzie znana jest lub postulowana jest deterministyczna relacja obejmująca pewne stale zmieniające się wielkości (modelowane przez funkcje) i ich szybkości zmian w przestrzeni lub czasie (wyrażone jako pochodne). Ilustruje to mechanika klasyczna , w której ruch ciała jest opisywany przez jego położenie i prędkość wraz ze zmianą wartości czasu. Prawa Newtona pozwalają (biorąc pod uwagę położenie, prędkość, przyspieszenie i różne siły działające na ciało) dynamicznie wyrażać te zmienne jako równanie różniczkowe dla nieznanej pozycji ciała w funkcji czasu. W niektórych przypadkach to równanie różniczkowe (nazywane równaniem ruchu ) można rozwiązać w sposób jawny.
Teoria miary
Środek na zestawie jest systematyczny sposób, aby przypisać numer telefonu do każdego odpowiedniego podzbioru tego zbioru, intuicyjnie interpretować jako jego wielkości. W tym sensie miara jest uogólnieniem pojęć długości, powierzchni i objętości. Szczególnie ważnym przykładem jest środek Lebesgue'a w przestrzeni euklidesowej , która wyznacza konwencjonalną długość , powierzchnia i objętość w euklidesowej geometrii do odpowiednich podgrup wymiarowej przestrzeni euklidesowej . Na przykład miarą Lebesgue'a przedziału w liczbach rzeczywistych jest jego długość w potocznym znaczeniu tego słowa, a konkretnie 1.
Technicznie rzecz biorąc, miara jest funkcją, która przypisuje nieujemną liczbę rzeczywistą lub +∞ do (pewnych) podzbiorów zbioru . Musi przypisać 0 do pustego zbioru i być ( przeliczalnie ) addytywnym: miara „dużego” podzbioru, który można rozłożyć na skończoną (lub policzalną) liczbę „mniejszych” rozłącznych podzbiorów, jest sumą miar „mniejsze” podzbiory. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ktoś chce powiązać spójny rozmiar z każdym podzbiorem danego zestawu, jednocześnie spełniając inne aksjomaty miary, znajduje się tylko trywialne przykłady, takie jak miara zliczania . Problem ten został rozwiązany poprzez zdefiniowanie miary tylko na podzbiorze wszystkich podzbiorów; tak zwane podzbiory mierzalne , które są wymagane do utworzenia -algebry . Oznacza to, że policzalne sumy , policzalne przecięcia i dopełnienia mierzalnych podzbiorów są mierzalne. Zbiory niemierzalne w przestrzeni euklidesowej, na których nie można spójnie zdefiniować miary Lebesgue'a, są z konieczności skomplikowane w tym sensie, że źle pomieszane z ich dopełnieniem. Istotnie, ich istnienie jest nietrywialną konsekwencją aksjomatu wyboru .
Analiza numeryczna
Analiza numeryczna to nauka o algorytmach wykorzystujących przybliżenie numeryczne (w przeciwieństwie do ogólnych manipulacji symbolicznych ) dla problemów analizy matematycznej (w odróżnieniu od matematyki dyskretnej ).
Współczesna analiza numeryczna nie poszukuje dokładnych odpowiedzi, ponieważ w praktyce często nie da się uzyskać dokładnych odpowiedzi. Zamiast tego większość analiz numerycznych dotyczy uzyskiwania przybliżonych rozwiązań przy zachowaniu rozsądnych granic błędów.
Analiza numeryczna naturalnie znajduje zastosowanie we wszystkich dziedzinach inżynierii i nauk fizycznych, ale w XXI wieku nauki przyrodnicze, a nawet sztuka przyjęły elementy obliczeń naukowych. Zwykłe równania różniczkowe pojawiają się w mechanice nieba (planety, gwiazdy i galaktyki); numeryczna algebra liniowa jest ważna w analizie danych; stochastyczne równania różniczkowe i łańcuchy Markowa są niezbędne w symulowaniu żywych komórek w medycynie i biologii.
Analiza wektorowa
Analiza tensorowa
Inne tematy
- Rachunek wariacyjny zajmuje się ekstremistycznymi funkcjonałami , w przeciwieństwie do zwykłego rachunku różniczkowego, który zajmuje się funkcjami .
- Analiza harmoniczna zajmuje się reprezentacją funkcji lub sygnałów jako superpozycji fal podstawowych .
- Analiza geometryczna polega na wykorzystaniu metod geometrycznych w badaniu równań różniczkowych cząstkowych oraz zastosowaniu teorii równań różniczkowych cząstkowych do geometrii.
- Analiza Clifforda , badanie funkcji Clifforda, które są anihilowane przez operatory Diraca lub Diraca, określane ogólnie jako funkcje monogeniczne lub analityczne Clifforda.
- analiza p- adyczna , studium analizy w kontekście liczb p- adycznych , które różni się w kilka interesujących i zaskakujących sposobów od swoich rzeczywistych i złożonych odpowiedników.
- Analiza niestandardowa , która bada liczby hiperrzeczywiste i ich funkcje oraz zapewnia rygorystyczne traktowanie nieskończenie małych i nieskończenie dużych liczb.
- Analiza obliczeniowa , badanie, które części analizy można przeprowadzić w sposób obliczeniowy .
- Rachunek stochastyczny – pojęcia analityczne opracowane dla procesów stochastycznych .
- Analiza z wartościami zbioru – stosuje pomysły z analizy i topologii do funkcji o wartościach zbioru.
- Analiza wypukła , badanie zbiorów i funkcji wypukłych.
-
Analiza idempotentna – analiza w kontekście idempotentnego semiringu , gdzie brak addytywnej odwrotności jest nieco kompensowany przez idempotentną regułę A + A = A.
- Analiza tropikalna – analiza idempotentnego semiringu zwanego semiringiem tropikalnym (lub algebrą max-plus / min-plus algebrą ).
Aplikacje
Techniki z analizy znajdują się również w innych obszarach, takich jak:
Nauk fizycznych
Zdecydowana większość mechaniki klasycznej , względności i mechaniki kwantowej opiera się na analizie stosowanej, aw szczególności na równaniach różniczkowych . Przykłady ważnych równań różniczkowych obejmują drugie prawo Newtona , równanie Schrödingera i równania pola Einsteina .
Analiza funkcjonalna jest również ważnym czynnikiem w mechanice kwantowej .
Przetwarzanie sygnałów
Podczas przetwarzania sygnałów, takich jak dźwięk , fale radiowe , fale świetlne, fale sejsmiczne , a nawet obrazy, analiza Fouriera może wyizolować poszczególne składniki złożonego kształtu fali, koncentrując je w celu łatwiejszego wykrycia lub usunięcia. Duża rodzina technik przetwarzania sygnału składa się z przekształcania sygnału Fouriera, manipulowania przekształconymi danymi Fouriera w prosty sposób i odwracania transformacji.
Inne obszary matematyki
Techniki z analizy są wykorzystywane w wielu dziedzinach matematyki, m.in.:
- Analityczna teoria liczb
- Kombinatoryka analityczna
- Ciągłe prawdopodobieństwo
- Entropia różniczkowa w teorii informacji
- Gry różnicowe
- Geometria różniczkowa , zastosowanie rachunku różniczkowego do określonych przestrzeni matematycznych zwanych rozmaitościami, które posiadają skomplikowaną strukturę wewnętrzną, ale zachowują się lokalnie w prosty sposób.
- Rozmaitości różniczkowe
- Topologia różnicowa
- Równania różniczkowe cząstkowe
Zobacz też
- Konstruktywna analiza
- Historia rachunku różniczkowego
- Analiza hiperkompleksowa
- Analiza nieklasyczna
- Logika parakonsystentna
- Płynna, nieskończenie mała analiza
- Kalendarium rachunku różniczkowego i analizy matematycznej
Bibliografia
Dalsza lektura
- Aleksandrow [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Александр Дани́лович] ; Ławrentiew [Лавре́нтьев], Michaił Aleksiejewicz [Михаи́л Алексе́евич] ; Nikolskiĭ [Нико́льский], Siergiej Michajłowicz [Серге́й Миха́йлович] ; Delone [Делоне́], Borys Nikołajewicz [Бори́с Никола́евич] ; Pietrowskiĭ [Петро́вский], Iwan Georgiewicz [Ива́н Гео́ргиевич] ; Sobolew [Со́болев], Siergiej Lwowicz [Серге́й Льво́вич] ; Ladyženskaja [Лады́женская], Olga Aleksandrowna [Óльга Алекса́ндровна] ; Kryłow [Крылоў], Władimir Iwanowicz [Уладзімір Іванавіч] ; Keldysz [Ке́лдыш], Mścisław Wsiewołodowicz [Мстисла́в Все́володович] ; Mardzaniswili [Марджанишвили], Konstantin Konstantinovich [Konstantin Konstantinowicz] ; Postnikow [Постников], Aleksiej Georgiewicz [Алексей Георгиевич] ; Kołmogorow [Колмого́ров], Andriej Nikołajewicz [Андре́й Никола́евич] ; Lebiediew [Ле́бедев], Siergiej Aleksiejewicz [Серге́й Алексе́евич] ; Kantorowicz [Kantorouwicz], Leonid Witalijewicz [Леони́д ита́льевич] ; Stečkin [Сте́чкин], Sergey Borisovich [Серге́й Бори́сович] ; Faddeev [Фадде́ев], Dmitrij Konstantinowicz [Дми́трий Константи́нович] ; Aleksandrow [Алекса́ндров], Paweł Siergiejewicz [Па́вел Серге́евич] ; Gel'fand [Гельфа́нд], Israïl Moyseyovich [Изра́иль Моисе́евич] ; Mal'cev [Ма́льцев], Anatolij Iwanowicz [Анато́лий Ива́нович] (marzec 1969). Aleksandrow [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Александр Дани́лович] ; Kołmogorow [Колмого́ров], Andriej Nikołajewicz [Андре́й Никола́евич] ; Ławrentiew [Лавре́нтьев], Michaił Aleksiejewicz [Михаи́л Алексе́евич] (red.). Matematyka: jej treść, metody i znaczenie . 1-3 . przetłumaczone przez Goulda, Sydney Henry ; Hirsch, Kurt August ; Bartha, Tamas. Tłumaczenie pod redakcją Goulda (2nd ed.). Cambridge, Massachusetts, USA: The MIT Press / American Mathematical Society . LCCN 64-7547 . MIT 106, 107, 108. ark:/13960/t4sj8550w. [1] (Uwaga 3 miękka objętości w futerałem oryginalny rosyjski tytułowy w marcu 1956 r., Математика, ее содержание, методы и значение [2], [3], [4] . Pierwsze wydanie angielskie w 6 objętościach AMS w 1962/1963, poprawione wydanie angielskie w 3 tomach przez MIT Press w sierpniu 1964: [5] , drugie wydanie przez MIT Press w kwietniu 1965. Pierwsze wydanie MIT w miękkiej oprawie w marcu 1969. Przedrukowane w jednym tomie przez Dover.)
- Apostol, Tom M. (1974). Analiza matematyczna (wyd. 2). Addison-Wesley . Numer ISBN 978-0-201-00288-1.
- Binmore, Kenneth George (1981) (1981). Podstawy analizy: proste wprowadzenie . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge .
- Johnsonbaugh, Richard ; Pfaffenberger, William Elmer (1981). Podstawy analizy matematycznej . Nowy Jork: M. Dekker .
- Nikolskiĭ [Нико́льский], Siergiej Michajłowicz [Серге́й Миха́йлович] (2002). „Analiza matematyczna” . W Hazewinkel, Michiel (red.). Encyklopedia Matematyki . Springer-Verlag . Numer ISBN 978-1-4020-0609-8.
- Fusco, Nicola ; Marcelini, Paolo ; Sbordone, Carlo (1996). Analisi Matematica Due (w języku włoskim). Liguori Editore . Numer ISBN 978-88-207-2675-1.
- Rombaldi, Jean-Etienne (2004). Éléments d'analyse réelle: CAPES et agrégation interne de mathématiques (w języku francuskim). Nauki EDP . Numer ISBN 978-2-86883-681-6.
- Rudin, Walter (1976). Zasady analizy matematycznej (3rd ed.). Nowy Jork, USA: McGraw-Hill . Numer ISBN 978-0-07-054235-8.
- Rudin, Walter (1987). Analiza rzeczywista i zespolona (3rd ed.). Nowy Jork, USA: McGraw-Hill . Numer ISBN 978-0-07-054234-1.
- Whittakera, Edmunda Taylora ; Watson, George Neville (1927-01-02). Kurs współczesnej analizy: wprowadzenie do ogólnej teorii procesów nieskończonych i funkcji analitycznych; z opisem głównych funkcji transcendentalnych (wyd. 4). Cambridge, Wielka Brytania: w University Press . Numer ISBN 0-521-06794-4. (vi+608 stron) (przedruk: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
- "Analiza rzeczywista - notatki do kursu" (PDF) .