Tabela matematyczna - Mathematical table

Stara księga otwarta na kolumny liczb oznaczone sinus, tangens i secans
Przednie strony z książki z 1619 r. zawierającej tablice matematyczne Matthiasa Berneggera , przedstawiające wartości funkcji trygonometrycznych sinusa, stycznej i siecznej . Kąty mniejsze niż 45° znajdują się na lewej stronie, kąty większe niż 45° po prawej. Cosinus, cotangens i cosecans można znaleźć za pomocą wpisu na sąsiedniej stronie.

Tabele matematyczne to listy liczb pokazujące wyniki obliczeń z różnymi argumentami. Tablice funkcji trygonometrycznych były używane w starożytnej Grecji i Indiach do zastosowań w astronomii i nawigacji na niebie . Były one szeroko stosowane, dopóki kalkulatory elektroniczne nie stały się tanie i powszechne , aby uprościć i drastycznie przyspieszyć obliczenia . Tabele logarytmów i funkcji trygonometrycznych były powszechne w podręcznikach do matematyki i nauk ścisłych, a specjalistyczne tabele zostały opublikowane do wielu zastosowań.

Historia i użytkowanie

Pierwsze znane tablice funkcji trygonometrycznych sporządzili Hipparchus (ok. 190 – ok. 120 pne) i Menelaos (ok. 70–140 n.e.), ale oba zaginęły. Wraz z zachowaną tablicą Ptolemeusza (ok. 90 – ok. 168 n.e.) wszystkie były tablicami akordów, a nie półakordów, czyli funkcji sinusa . Tabeli przedstawionej przez indyjskiego matematyka Aryabhata (476-550 CE) jest określana jako pierwsza tablica sinus zawsze wykonana. Stół Aryabhaty pozostał standardowym stołem sinusowym w starożytnych Indiach. Podejmowano ciągłe próby poprawy dokładności tej tabeli, których kulminacją było odkrycie przez Madhavę z Sangamagmamy rozszerzenia szeregu potęgowego funkcji sinusów i cosinusów (ok. 1350 – ok. 1425) oraz zestawienie tabeli sinusów przez Madhavę z wartościami z dokładnością do siedmiu lub ośmiu miejsc po przecinku.

Te tablice matematyczne z 1925 r. zostały rozdane przez Komisję Egzaminacyjną College'u uczniom biorącym udział w matematycznych częściach testów

Tablice logarytmów pospolitych były używane do czasu wynalezienia komputerów i kalkulatorów elektronicznych do szybkiego mnożenia, dzielenia i potęgowania, łącznie z wyciąganiem n-tych pierwiastków.

W XIX wieku zaproponowano mechaniczne komputery specjalnego przeznaczenia, znane jako silniki różnicowe, do wielomianowych aproksymacji funkcji logarytmicznych, czyli do obliczania dużych tablic logarytmicznych. Było to motywowane głównie błędami w tablicach logarytmicznych tworzonych przez ówczesne ludzkie komputery . Wczesne komputery cyfrowe zostały opracowane podczas II wojny światowej, po części do tworzenia specjalistycznych tablic matematycznych do celowania artylerii . Od 1972 roku, wraz z wprowadzeniem i rosnącym wykorzystaniem kalkulatorów naukowych , większość tabel matematycznych przestała być używana.

Jedną z ostatnich poważnych prób skonstruowania takich tabel był projekt tabel matematycznych, który został rozpoczęty w Stanach Zjednoczonych w 1938 r. jako projekt Works Progress Administration (WPA), zatrudniający 450 niepracujących urzędników do zestawiania wyższych funkcji matematycznych. Trwało to przez II wojnę światową.

Tabele funkcji specjalnych są nadal używane. Na przykład, korzystanie z tablic wartości skumulowanej funkcji rozkładu z rozkładem normalnym - tak zwane standardowe normalne stoły - pozostaje powszechne dzisiaj, zwłaszcza w szkołach, choć używanie kalkulatorów naukowych i graficznych robi takie tabele zbędny.

Tworzenie tabel przechowywanych w pamięci o dostępie swobodnym jest powszechną techniką optymalizacji kodu w programowaniu komputerowym, gdzie użycie takich tabel przyspiesza obliczenia w przypadkach, gdy wyszukiwanie tabeli jest szybsze niż odpowiednie obliczenia (szczególnie jeśli dany komputer nie mieć sprzętową implementację obliczeń). W istocie, szybkość obliczeniową zamienia się na przestrzeń pamięci komputera wymaganą do przechowywania tabel.

Tablice logarytmów

Strona z 1617 Logarithmorum Chilias Prima Henry'ego Briggsa przedstawiająca logarytm o podstawie 10 (wspólny) liczb całkowitych od 0 do 67 do czternastu miejsc po przecinku.
Część XX-wiecznej tabeli logarytmów pospolitych w podręczniku Abramowitz i Stegun .
Strona z tabeli logarytmów funkcji trygonometrycznych z 2002 American Practical Navigator . W celu ułatwienia interpolacji dołączono kolumny różnic .

Tabele zawierające wspólne logarytmy (podstawa 10) były szeroko stosowane w obliczeniach przed pojawieniem się elektronicznych kalkulatorów i komputerów, ponieważ logarytmy przekształcają problemy mnożenia i dzielenia w znacznie łatwiejsze problemy dodawania i odejmowania. Logarytmy o podstawie 10 mają dodatkową właściwość, która jest unikalna i użyteczna: Wspólny logarytm liczb większych niż jeden, które różnią się tylko współczynnikiem potęgi dziesiątej, mają tę samą część ułamkową, znaną jako mantysa . Tablice wspólnych logarytmów zazwyczaj zawierały tylko mantysy ; całkowitą część logarytmu, znaną jako cecha , można łatwo określić, licząc cyfry w oryginalnej liczbie. Podobna zasada pozwala na szybkie obliczenie logarytmów liczb dodatnich mniejszych niż 1. Tak więc pojedyncza tablica wspólnych logarytmów może być użyta dla całego zakresu dodatnich liczb dziesiętnych. Zobacz logarytm wspólny, aby uzyskać szczegółowe informacje na temat wykorzystania cech i mantys.

Historia

W 1544 roku Michael Stifel opublikował Arithmetica integra , który zawiera tablicę liczb całkowitych i potęg dwójki , uważaną za wczesną wersję tablicy logarytmicznej.

Metoda logarytmów została publicznie ogłoszona przez Johna Napiera w 1614 r. w książce zatytułowanej Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Opis cudownej reguły logarytmów ). Książka zawierała pięćdziesiąt siedem stron wyjaśnień i dziewięćdziesiąt stron tabel związanych z logarytmami naturalnymi . Angielski matematyk Henry Briggs odwiedził Napiera w 1615 roku i zaproponował przeskalowanie logarytmów Napiera w celu utworzenia tego, co jest obecnie znane jako logarytm pospolity lub logarytm o podstawie 10. Napier przekazał Briggsowi obliczenie poprawionej tabeli. W 1617 r. opublikowali Logarithmorum Chilias Prima („Pierwszy Tysiąc Logarytmów”), który podał krótki opis logarytmów i tabelę dla pierwszych 1000 liczb całkowitych obliczonych z dokładnością do 14 miejsca po przecinku.

Postęp obliczeniowy dostępny za pośrednictwem wspólnych logarytmów, odwrotności liczb zasilanych lub notacji wykładniczej , był taki, że obliczenia ręczne były znacznie szybsze.

Tabele trygonometryczne

Obliczenia trygonometryczne odegrały ważną rolę we wczesnych badaniach astronomicznych. Wczesne tabele były konstruowane przez wielokrotne stosowanie tożsamości trygonometrycznych (takich jak tożsamości półkąta i sumy kątów) w celu obliczenia nowych wartości ze starych.

Prosty przykład

Aby obliczyć funkcję sinus 75 stopni, 9 minut, 50 sekund za pomocą tabeli funkcji trygonometrycznych, takiej jak tabela Berneggera z 1619 zilustrowana powyżej, można po prostu zaokrąglić do 75 stopni, 10 minut, a następnie znaleźć wpis 10 minut na Strona 75 stopni, pokazana powyżej po prawej, czyli 0,9666746.

Jednak ta odpowiedź jest dokładna tylko do czterech miejsc po przecinku. Jeśli ktoś chciałby mieć większą dokładność, mógłby interpolować liniowo w następujący sposób:

Z tabeli Berneggera:

grzech (75° 10′) = 0,9666746
grzech (75° 9′) = 0,9666001

Różnica między tymi wartościami wynosi 0,0000745.

Ponieważ na minutę łuku jest 60 sekund, mnożymy różnicę przez 50/60, aby uzyskać poprawkę (50/60)*0.0000745 ≈ 0.0000621; a następnie dodaj tę poprawkę do sin (75° 9′), aby otrzymać :

grzech (75° 9′ 50″) ≈ grzech (75° 9′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622

Nowoczesny kalkulator podaje sin(75° 9′ 50″) = 0,96666219991, więc nasza interpolowana odpowiedź jest zgodna z 7-cyfrową precyzją tabeli Berneggera.

W przypadku tabel o większej precyzji (więcej cyfr na wartość) do uzyskania pełnej dokładności może być potrzebna interpolacja wyższego rzędu. W erze przed komputerami elektronicznymi interpolacja danych tablicowych w ten sposób była jedynym praktycznym sposobem uzyskania wysokiej dokładności funkcji matematycznych potrzebnych w zastosowaniach takich jak nawigacja, astronomia i geodezja.

Aby zrozumieć znaczenie dokładności w zastosowaniach takich jak nawigacja, należy zauważyć, że na poziomie morza jedna minuta łuku wzdłuż równika ziemskiego lub południka (a właściwie każdego wielkiego koła ) to w przybliżeniu jedna mila morska (1,852 km lub 1,151 mil).

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ B J J O'Connor i EF Robertson (czerwiec 1996). "Funkcje trygonometryczne" . Źródło 4 marca 2010 .
  2. ^ ER Hedrick, Tablice logarytmiczne i trygonometryczne (Macmillan, New York, 1913).
  3. ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra , Londyn: Iohan Petreium
  4. ^ Buchsztab, AA; Pechaev, VI (2001) [1994], "Arytmetyka" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
  5. ^ Vivian Shaw Groza i Susanne M. Shelley (1972), matematyka Precalculus , New York: Holt, Rinehart i Winston, s. 182, numer ISBN  978-0-03-077670-0
  6. ^ Ernest William Hobson (1914), John Napier i wynalezienie logarytmów, 1614 , Cambridge: The University Press
  7. ^ Abramowitz i Stegun Podręcznik funkcji matematycznych, Wprowadzenie § 4

Linki zewnętrzne