Matematyka i architektura - Mathematics and architecture
Matematyka i architektura są ze sobą powiązane, ponieważ, podobnie jak w przypadku innych sztuk , architekci używają matematyki z kilku powodów. Oprócz matematyki potrzebnej przy inżynierii budynków , architekci wykorzystują geometrię : do określenia formy przestrzennej budynku; od Pitagorejczyków z VI wieku p.n.e. do tworzenia form uznanych za harmonijne, a tym samym do rozplanowania budynków i ich otoczenia zgodnie z zasadami matematycznymi, estetycznymi, a czasem religijnymi; do ozdabiania budynków obiektami matematycznymi, takimi jak teselacje ; oraz spełnienie celów środowiskowych, takich jak zminimalizowanie prędkości wiatru wokół podstaw wysokich budynków.
W starożytnym Egipcie , starożytnej Grecji , Indiach i świecie islamu budynki, w tym piramidy , świątynie, meczety, pałace i mauzolea, zostały ze względów religijnych rozplanowane w określonych proporcjach. W architekturze islamskiej geometryczne kształty i geometryczne wzory płytek są używane do ozdabiania budynków, zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz. Niektóre świątynie hinduistyczne mają strukturę przypominającą fraktal , w której części przypominają całość, przekazując przesłanie o nieskończoności w hinduskiej kosmologii . W chińskiej architektury The tulou z prowincji Fujian są okrągłe, gminne struktury obronne. W XXI wieku ornamentykę matematyczną ponownie stosuje się do pokrywania budynków użyteczności publicznej.
W renesansowej architektury , symetria i proporcje zostały celowo podkreślone przez architektów, takich jak Leon Battista Alberti , Sebastiano Serlio i Andrea Palladio pod wpływem Witruwiusz „s De architectura od starożytnego Rzymu i arytmetyki pitagorejczyków ze starożytnej Grecji. Pod koniec XIX wieku Władimir Szuchow w Rosji i Antoni Gaudi w Barcelonie byli pionierami w stosowaniu struktur hiperboloidowych ; w Sagrada Família Gaudí zastosował również hiperboliczne paraboloidy , teselacje, łuki łańcuchowe , katenoidy , helikoidy i powierzchnie rządzone . W XX wieku style, takie jak nowoczesna architektura i dekonstruktywizm, badały różne geometrie, aby osiągnąć pożądane efekty. Minimalne powierzchnie zostały wykorzystane w pokryciach dachowych podobnych do namiotów, jak na międzynarodowym lotnisku w Denver , podczas gdy Richard Buckminster Fuller był pionierem w użyciu mocnych cienkowarstwowych konstrukcji zwanych kopułami geodezyjnymi .
Pola połączone
Architekci Michael Ostwald i Kim Williams , rozważając związki architektury i matematyki , zauważają, że dziedziny powszechnie rozumiane mogą wydawać się tylko słabo powiązane, ponieważ architektura jest zawodem zajmującym się praktyczną materią wznoszenia budynków, podczas gdy matematyka jest czystą badanie liczby i innych obiektów abstrakcyjnych. Twierdzą jednak, że są one silnie powiązane i istniały od starożytności . W starożytnym Rzymie Witruwiusz opisał architekta jako człowieka, który znał wystarczająco wiele innych dyscyplin, przede wszystkim geometrii , by móc nadzorować wykwalifikowanych rzemieślników we wszystkich innych niezbędnych dziedzinach, takich jak murarze i stolarze. To samo miało zastosowanie w średniowieczu , gdzie absolwenci uczyli się arytmetyki , geometrii i estetyki wraz z podstawowym programem nauczania gramatyki, logiki i retoryki ( trivium ) w eleganckich salach wykonanych przez mistrzów budowlanych, którzy prowadzili wielu rzemieślników. Mistrz budowlany na szczycie swojego zawodu otrzymał tytuł architekta lub inżyniera. W renesansie The quadrivium z arytmetyka, geometria, muzyka i astronomia stała się dodatkowo spodziewać Syllabus człowieka renesansu , takich jak Leon Battista Alberti . Podobnie w Anglii Sir Christopher Wren , znany dziś jako architekt, był najpierw znanym astronomem.
Williams i Ostwald, dokonując dalszego przeglądu interakcji matematyki i architektury od 1500 r., zgodnie z podejściem niemieckiego socjologa Theodora Adorno , identyfikują trzy tendencje wśród architektów, a mianowicie: być rewolucyjnym , wprowadzając zupełnie nowe idee; reakcyjny , nie wprowadzający zmian; lub revivalist , faktycznie cofając się. Twierdzą, że architekci unikali szukania inspiracji w matematyce w czasach odrodzenia. To wyjaśniałoby, dlaczego w okresach odrodzenia, takich jak odrodzenie gotyku w XIX-wiecznej Anglii, architektura miała niewielki związek z matematyką. Jednocześnie zauważają, że w czasach reakcyjnych, takich jak włoski manieryzm z lat 1520-1580, czy XVII-wieczne ruchy barokowe i palladiańskie , z matematyką rzadko korzystano. W przeciwieństwie do tego, rewolucyjne ruchy początku XX wieku, takie jak futuryzm i konstruktywizm, aktywnie odrzucały stare idee, przyjmując matematykę i prowadząc do architektury modernistycznej . Również pod koniec XX wieku architekci szybko przejęli geometrię fraktalną , podobnie jak aperiodyczne kafelki , aby zapewnić interesujące i atrakcyjne pokrycia dla budynków.
Architekci używają matematyki z kilku powodów, pomijając konieczne użycie matematyki w inżynierii budynków . Po pierwsze wykorzystują geometrię, ponieważ określa ona formę przestrzenną budynku. Po drugie, używają matematyki do projektowania form, które są uważane za piękne lub harmonijne. Od czasów pitagorejczyków z ich religijną filozofią liczby, architekci w starożytnej Grecji , starożytnym Rzymie , świecie islamu i włoskim renesansie wybierali proporcje środowiska zabudowanego – budynków i ich projektowanego otoczenia – zgodnie z zasadami matematycznymi i estetycznymi. a czasem zasady religijne. Po trzecie, do ozdabiania budynków mogą wykorzystywać obiekty matematyczne, takie jak teselacje . Po czwarte, mogą wykorzystywać matematykę w formie modelowania komputerowego, aby osiągnąć cele środowiskowe, takie jak zminimalizowanie wirujących prądów powietrza u podstawy wysokich budynków.
estetyka świecka
Starożytny Rzym
Witruwiusz
Wpływowy starożytny rzymski architekt Witruwiusz twierdził, że projekt budynku takiego jak świątynia zależy od dwóch cech: proporcji i symetrii . Proporcja zapewnia, że każda część budynku harmonijnie łączy się z każdą inną częścią. Symetria w użyciu Witruwiusza oznacza coś bliższego angielskiemu terminowi modularity niż symetria lustrzana , ponieważ ponownie odnosi się do montażu (modułowych) części w cały budynek. W swojej Bazylice w Fano używa proporcji małych liczb całkowitych, zwłaszcza liczb trójkątnych (1, 3, 6, 10, ...), aby podzielić strukturę na (witruwiańskie) moduły . Zatem szerokość bazyliki na długość wynosi 1:2; nawa wokół niego jest tak wysoka, jak szeroka, 1:1; kolumny mają pięć stóp grubości i pięćdziesiąt stóp wysokości, 1:10.
Witruwiusz w swoim De architectura , ok. ok. 153 r., wymienił trzy cechy wymagane od architektury . 15 pne: stanowczość, użyteczność (lub „towar” w XVI-wiecznej angielszczyźnie Henry'ego Wottona ) i zachwyt. Mogą one służyć jako kategorie do klasyfikacji sposobów wykorzystania matematyki w architekturze. Twardość obejmuje wykorzystanie matematyki w celu zapewnienia, że budynek stoi, stąd narzędzia matematyczne stosowane w projektowaniu i wspieraniu konstrukcji, na przykład w celu zapewnienia stabilności i modelowania wydajności. Użyteczność wynika po części z efektywnego zastosowania matematyki, wnioskowania i analizowania zależności przestrzennych i innych w projekcie. Zachwyt jest atrybutem powstałego budynku, wynikającym z ucieleśnienia w budynku zależności matematycznych; zawiera w sobie walory estetyczne, zmysłowe i intelektualne.
Panteon
Panteon w Rzymie przetrwał w stanie nienaruszonym, ilustrujący strukturę klasycznej rzymskiej, proporcji i dekoracji. Główną strukturą jest kopuła, z wierzchołkiem pozostawionym otwartym jako okrągłe oculus, aby wpuścić światło; frontowany jest krótką kolumnadą z trójkątnym frontonem. Wysokość do oculusa i średnica wewnętrznego koła są takie same, 43,3 metra (142 stopy), więc całe wnętrze zmieściłoby się dokładnie w sześcianie, a wnętrze mogłoby pomieścić kulę o tej samej średnicy. Wymiary te mają większy sens, gdy są wyrażone w starożytnych rzymskich jednostkach miary : Kopuła ma długość 150 stóp rzymskich ; oculus ma średnicę 30 stóp rzymskich; drzwi mają wysokość 40 stóp rzymskich. Panteon pozostaje największą na świecie kopułą z niezbrojonego betonu.
renesans
Pierwszym renesansowym traktatem o architekturze był 1450 De re aedificatoria Leona Battisty Albertiego (O sztuce budowania); stała się pierwszą drukowaną książką o architekturze w 1485 r. Opierała się częściowo na De architectura Witruwiusza i, za pośrednictwem Nikomacha, na arytmetyce pitagorejskiej. Alberti zaczyna od sześcianu i wyprowadza z niego proporcje. Zatem przekątna lica daje stosunek 1: √ 2 , a średnica kuli otaczającej sześcian daje 1: √ 3 . Alberti udokumentował również odkrycie przez Filippo Brunelleschiego perspektywy liniowej , opracowanej w celu umożliwienia projektowania budynków, które wyglądałyby pięknie proporcjonalnie, patrząc z dogodnej odległości.
Kolejnym ważnym tekst był Sebastiano Serlio „s Regole generali d'architettura (General Rules of Architecture); pierwszy tom ukazał się w Wenecji w 1537; tom z 1545 r. (książki 1 i 2) obejmował geometrię i perspektywę . Dwie metody konstruowania perspektyw stosowane przez Serlio były błędne, ale nie przeszkodziło to w powszechnym wykorzystaniu jego pracy.
W 1570 roku Andrea Palladio opublikował w Wenecji wpływową I quattro libri dell'architettura (Cztery księgi architektury) . Ta szeroko drukowana książka była w dużej mierze odpowiedzialna za rozpowszechnianie idei włoskiego renesansu w całej Europie, wspomagana przez takich zwolenników, jak angielski dyplomata Henry Wotton z jego 1624 Elementami architektury . Proporcje każdego pokoju w willi zostały obliczone na podstawie prostych matematycznych proporcji, takich jak 3:4 i 4:5, a różne pokoje w domu były ze sobą powiązane. Wcześniej architekci wykorzystywali te formuły do równoważenia pojedynczej symetrycznej fasady; jednak projekty Palladia dotyczyły całej, zazwyczaj kwadratowej, willi. Palladio zezwolił na szereg proporcji w Quattro libri , stwierdzając:
Istnieje siedem rodzajów pomieszczeń, które są najpiękniejsze, o odpowiednich proporcjach i okazują się lepsze: mogą być okrągłe, choć są to rzadkie; lub kwadratowy; lub ich długość będzie równa przekątnej kwadratu szerokości; lub kwadrat i trzeci; lub półtora kwadratu; lub kwadrat i dwie trzecie; lub dwa kwadraty.
W 1615 roku Vincenzo Scamozzi opublikował późnorenesansowy traktat L'idea dell'architettura universale (Idea architektury uniwersalnej). Próbował powiązać projekt miast i budynków z ideami Witruwiusza i pitagorejczyków oraz z nowszymi ideami Palladia.
Dziewiętnasty wiek
Konstrukcje hiperboloidowe były używane od końca XIX wieku przez Władimira Szuchowa do budowy masztów, latarni morskich i chłodni kominowych. Ich efektowny kształt jest zarówno estetyczny, jak i mocny, oszczędnie wykorzystując materiały konstrukcyjne. Pierwsza hiperboloidalna wieża Szuchowa została wystawiona w Niżnym Nowogrodzie w 1896 roku.
Dwudziesty wiek
Ruch nowoczesnej architektury z początku XX wieku , zapoczątkowany przez rosyjski konstruktywizm , wykorzystywał prostoliniową geometrię euklidesową (zwaną także kartezjańską ). W ruchu De Stijl poziom i pion były postrzegane jako konstytuujące uniwersalizm. Postać architektonicznych polega na umieszczeniu tych dwóch kierunkach tendencje razem za pomocą samolotów płaszczyzny dachu, ścian i balkonów, które albo przesuwać się i przecinają się wzajemnie, a w 1924 Rietvelda domu przez Gerrit Rietveld .
Modernistyczni architekci mogli swobodnie korzystać zarówno z krzywych, jak i płaszczyzn. Stacja Arnos Charlesa Holdena z 1933 roku ma okrągłą halę biletową z cegły z płaskim betonowym dachem. W 1938 roku malarz Bauhausu László Moholy-Nagy przyjął siedem elementów biotechnicznych Raoula Heinricha Francé , a mianowicie kryształ, kulę, stożek, płaszczyznę, (prostopadłościenny) pasek, (cylindryczny) pręt i spiralę jako rzekome podstawowe cegiełki architektury inspirowanej naturą.
Le Corbusier zaproponował antropometryczną skalę proporcji w architekturze, Modulor , opartą na domniemanym wzroście człowieka. Le Corbusier's Chapelle Notre-Dame du Haut z 1955 roku wykorzystuje krzywe o swobodnych formach, których nie można opisać wzorami matematycznymi. Mówi się, że kształty przywodzą na myśl naturalne formy, takie jak dziób statku lub modlące się dłonie. Projekt jest tylko w największej skali: nie ma hierarchii szczegółów w mniejszych skalach, a zatem nie ma wymiaru fraktalnego; to samo dotyczy innych słynnych dwudziestowiecznych budynków, takich jak Opera w Sydney , międzynarodowe lotnisko w Denver i Muzeum Guggenheima w Bilbao .
Współczesna architektura , w opinii 90 czołowych architektów, którzy odpowiedzieli na World Architecture Survey 2010 , jest niezwykle zróżnicowana; za najlepsze uznano Muzeum Guggenheima Franka Gehry'ego w Bilbao.
Budynek terminalu międzynarodowego portu lotniczego Denver, ukończony w 1995 roku, ma dach z tkaniny, podtrzymywany jako minimalna powierzchnia (tj. jego średnia krzywizna wynosi zero) za pomocą stalowych lin. Przywołuje na myśl ośnieżone góry Kolorado i namioty tipi rdzennych Amerykanów .
Architekt Richard Buckminster Fuller słynie z projektowania mocnych cienkowarstwowych konstrukcji zwanych kopułami geodezyjnymi . Montreal biosferze kopuła 61 m (200 stóp) wysoka; jego średnica wynosi 76 metrów (249 stóp).
Opera w Sydney ma dramatyczny dach składający się z strzelistych białych sklepień, przypominających żagle statku; aby umożliwić ich budowanie przy użyciu znormalizowanych komponentów, wszystkie sklepienia składają się z trójkątnych przekrojów kulistych muszli o tym samym promieniu. Mają one wymaganą jednolitą krzywiznę w każdym kierunku.
Ruch dekonstruktywizmu końca XX wieku tworzy celowy nieład za pomocą tego, co Nikos Salingaros w A Theory of Architecture nazywa losowymi formami o wysokiej złożoności, używając nierównoległych ścian, nałożonych siatek i złożonych powierzchni dwuwymiarowych, jak w Disney Concert Hall i Muzeum Guggenheima Franka Gehry'ego. , Bilbao. Do XX wieku studenci architektury byli zobowiązani do posiadania podstaw w matematyce. Salingaros argumentuje, że najpierw „nadmiernie uproszczony, napędzany politycznie” modernizm, a następnie „antynaukowy” dekonstruktywizm skutecznie oddzieliły architekturę od matematyki. Uważa, że to „odwrócenie wartości matematycznych” jest szkodliwe, ponieważ „wszechobecna estetyka” niematematycznej architektury uczy ludzi „odrzucania informacji matematycznych w środowisku budowlanym”; twierdzi, że ma to negatywny wpływ na społeczeństwo.
New Obiektywizm : Waltera Gropiusa „s Bauhaus , Dessau , 1925
Cylinder : Charles Holden jest ARNOS Grove stacja metra 1933
Modernizm : Le Corbusier „s Chapelle Notre Dame du Haut , 1955
Kopuła geodezyjna : Montréal Biosphère autorstwa R. Buckminstera Fullera , 1967
Krzywizna jednolita : Opera w Sydney , 1973
Dekonstruktywizm : Disney Concert Hall , Los Angeles, 2003
Zasady religijne
Starożytny Egipt
Te piramidy w starożytnym Egipcie są grobowce zbudowane z proporcji matematycznych, ale te, które były i czy twierdzenie Pitagorasa użyto, są dyskutowane. Stosunek wysokości skosu do połowy długości podstawy Wielkiej Piramidy w Gizie jest mniejszy niż 1% od złotego podziału . Gdyby taka była metoda projektowania, oznaczałoby to użycie trójkąta Keplera (kąt twarzowy 51°49'), ale według wielu historyków nauki złoty podział nie był znany aż do czasów pitagorejczyków . Wielka Piramida mogła być również oparta na trójkącie o stosunku podstawy do przeciwprostokątnej 1:4/π (kąt twarzowy 51°50').
Proporcje niektórych piramid mogą być również oparte na trójkącie 3:4:5 (kąt twarzy 53°8'), znanym z papirusu matematycznego Rhinda (ok. 1650–1550 p.n.e.); po raz pierwszy przypuszczał to historyk Moritz Cantor w 1882 roku. Wiadomo, że kąty proste zostały dokładnie ułożone w starożytnym Egipcie za pomocą splecionych sznurów do pomiaru, które Plutarch zapisał w Izydzie i Ozyrysie (ok. 100 ne), że Egipcjanie podziwiali 3: 4:5 trójkąta, a zwój sprzed 1700 roku p.n.e. wykazał podstawowe formuły kwadratowe . Historyk Roger L. Cooke zauważa, że „Trudno wyobrazić sobie kogoś zainteresowanego takimi warunkami bez znajomości twierdzenia Pitagorasa”, ale zauważa również, że żaden tekst egipski przed rokiem 300 p.n.e. nie wspomina o zastosowaniu tego twierdzenia do określenia długości trójkąta. boki i że istnieją prostsze sposoby na skonstruowanie kąta prostego. Cooke konkluduje, że przypuszczenie Cantora pozostaje niepewne; domyśla się, że starożytni Egipcjanie prawdopodobnie znali twierdzenie Pitagorasa, ale „nie ma dowodów na to, że używali go do konstruowania kątów prostych”.
Starożytne Indie
Vaastu Shastra , starożytne indyjskie kanony architektury i urbanistyki, wykorzystują symetryczne rysunki zwane mandalami . Do uzyskania wymiarów budynku i jego elementów wykorzystywane są złożone obliczenia. Projekty mają na celu zintegrowanie architektury z naturą, względnymi funkcjami różnych części konstrukcji i starożytnymi wierzeniami wykorzystującymi wzory geometryczne ( yantra ), symetrię i wyrównanie kierunkowe . Jednak pierwsi budowniczowie mogli przypadkowo natrafić na matematyczne proporcje. Matematyk Georges Ifrah zauważa, że proste „sztuczki” ze sznurkiem i kołkami można wykorzystać do układania kształtów geometrycznych, takich jak elipsy i kąty proste.
Matematyka fraktali została wykorzystana, aby pokazać, że powodem, dla którego istniejące budynki mają uniwersalny urok i są wizualnie satysfakcjonujące, jest to, że zapewniają widzowi poczucie skali przy różnych odległościach oglądania. Na przykład, w wysokich Gopuram bramami z hinduskich świątyń, takich jak Temple Virupaksha w Hampi wybudowany w VII wieku, a inne, takie jak Mahadev Temple Kandariya w Khajuraho , części i cała mają ten sam znak, ze wymiar fraktalny w zakres 1,7 do 1,8. Grupa mniejszych wież ( shikhara , dosł. „góra”) o najwyższej, centralnej wieży, która reprezentuje świętą górę Kailash , siedzibę Pana Śiwy , przedstawia niekończące się powtarzanie wszechświatów w kosmologii hinduskiej . Religioznawca William J. Jackson zaobserwował wzór wież zgrupowanych wśród mniejszych wież, które same zgrupowano wśród jeszcze mniejszych wież, że:
Idealna forma z wdziękiem wymyślona sugeruje nieskończone, rosnące poziomy istnienia i świadomości, rozszerzające się rozmiary wznoszące się ku transcendencji powyżej, a jednocześnie mieszczące święte głęboko w sobie.
Świątynia Meenakshi Amman to duży kompleks z wieloma świątyniami, z koncentrycznymi ulicami Madurai , zgodnie z shastrami. Cztery bramy to wysokie wieże ( gopurams ) z powtarzającą się strukturą przypominającą fraktal, jak w Hampi. Ogrodzenia wokół każdej świątyni są prostokątne i otoczone wysokimi kamiennymi murami.
Starożytna Grecja
Pitagoras (ok. 569 – ok. 475 pne) i jego zwolennicy, pitagorejczycy, utrzymywali, że „wszystkie rzeczy są liczbami”. Zaobserwowali harmonie wytwarzane przez nuty z określonymi małymi całkowitymi współczynnikami częstotliwości i argumentowali, że budynki również powinny być projektowane z takimi współczynnikami. Greckie słowo symmetria pierwotnie oznaczało harmonię kształtów architektonicznych w precyzyjnych proporcjach od najmniejszych szczegółów budynku aż po cały jego projekt.
Parthenon wynosi 69,5 m (228 stóp) długości 30,9 m (101 stóp) i o szerokości 13,7 metra (45 stóp) od wysokiej do gzymsu. Daje to stosunek szerokości do długości wynoszący 4:9 i to samo dla wysokości do szerokości. Zestawienie ich razem daje wysokość:szerokość:długość 16:36:81, czyli ku uciesze pitagorejczyków 4 2 :6 2 :9 2 . To ustawia moduł na 0,858 m. Prostokąt 4:9 może być skonstruowany jako trzy sąsiadujące ze sobą prostokąty o bokach w stosunku 3:4. Każdy półprostokąt jest wtedy wygodnym trójkątem prostokątnym 3:4:5, umożliwiającym sprawdzenie kątów i boków za pomocą odpowiednio zawiązanej liny. Obszar wewnętrzny (naos) podobnie ma proporcje 4:9 (21,44 m (70,3 stopy) szerokości i 48,3 m długości); stosunek średnicy zewnętrznych kolumn 1,905 m (6,25 stopy) do rozstawu ich środków 4,293 m (14,08 stopy) również wynosi 4:9.
Partenon jest uważany przez autorów, takich jak John Julius Norwich, za „najdoskonalszą świątynię dorycką, jaką kiedykolwiek zbudowano”. Jego wyszukane udoskonalenia architektoniczne obejmują „subtelną korespondencję między krzywizną stylobatu, zwężeniem ścian naos i entasis kolumn”. Entasis odnosi się do subtelnego zmniejszenia średnicy kolumn w miarę ich podnoszenia. Stylobate to platforma, na której stoją kolumny. Podobnie jak w innych klasycznych świątyniach greckich, platforma ma lekko paraboliczną krzywiznę w górę, która odprowadza wodę deszczową i wzmacnia budynek przed trzęsieniami ziemi. Można zatem przypuszczać, że kolumny wychylają się na zewnątrz, ale w rzeczywistości pochylają się lekko do wewnątrz, tak że gdyby posuwały się dalej, spotkałyby się około półtora kilometra nad środkiem budynku; ponieważ wszystkie mają tę samą wysokość, krzywizna zewnętrznej krawędzi stylobate jest przekazywana na ościeżnicę i dach powyżej: „wszyscy przestrzegają zasady budowy delikatnych krzywizn”.
Złoty podział był znany w 300 rpne, kiedy Euklides opisał metodę konstrukcji geometrycznej. Argumentowano, że złoty podział był używany przy projektowaniu Partenonu i innych starożytnych budowli greckich, a także rzeźb, obrazów i waz. Jednak nowi autorzy, tacy jak Nikos Salingaros, wątpią we wszystkie te twierdzenia. Eksperymenty przeprowadzone przez informatyka George'a Markowsky'ego nie wykazały preferencji dla złotego prostokąta .
Architektura islamu
Historyk sztuki islamu Antonio Fernandez-Puertas sugeruje, że Alhambra , podobnie jak Wielki Meczet w Kordobie , została zaprojektowana przy użyciu hiszpańsko -muzułmańskiej stopy lub codo o długości około 0,62 metra (2,0 stopy). W pałacowym Dworze Lwów proporcje układają się w szereg surdów . Prostokąta o bokach 1 a √ 2 ma (o twierdzenie Pitagorasa ) przekątnej √ 3 , w którym opisano trójkąta prostokątnego wykonany przez boków boiska; seria jest kontynuowana z √ 4 (co daje stosunek 1:2), √ 5 i tak dalej. Wzory dekoracyjne mają podobne proporcje, √ 2 generujące kwadraty w kołach i gwiazdy ośmioramienne, √ 3 generujące gwiazdy sześcioramienne. Nie ma dowodów na poparcie wcześniejszych twierdzeń, że złoty podział był używany w Alhambrze. Trybunał Lions jest ujęta w Sali dwie siostry i Sali Abencerrajes; regularny sześciokąt można narysować ze środków tych dwóch sal i czterech wewnętrznych rogów Dworu Lwów.
Selimiye Meczet w Edirne , Turcja, został zbudowany przez Sinan zapewnienie miejsca, gdzie mihrab może być widoczny z każdego miejsca wewnątrz budynku. Bardzo duża przestrzeń centralna jest odpowiednio ułożona w ośmiokąt, utworzony przez osiem ogromnych filarów i nakryty okrągłą kopułą o średnicy 31,25 metra (102,5 stóp) i wysokości 43 metrów (141 stóp). Ośmiokąt jest uformowany w kwadrat z czterema półkopułami i na zewnątrz czterema wyjątkowo wysokimi minaretami o wysokości 83 metrów (272 stóp). Plan budynku jest więc kołem, wewnątrz ośmiokąta, wewnątrz kwadratu.
Architektura Mogołów
Architektura Mogołów , jak widać w opuszczonym cesarskim mieście Fatehpur Sikri i kompleksie Taj Mahal , ma charakterystyczny porządek matematyczny i silną estetykę opartą na symetrii i harmonii.
Taj Mahal jest przykładem architektury Mogołów, zarówno reprezentujących raj , jak i ukazujących potęgę cesarza Mogołów Szahdżahana poprzez swoją skalę, symetrię i kosztowną dekorację. Mauzoleum z białego marmuru , ozdobione pietra dura , wielka brama ( Darwaza-i rauza ), inne budynki, ogrody i ścieżki tworzą jednolitą hierarchiczną konstrukcję. Budynki obejmują meczet z czerwonego piaskowca na zachodzie i prawie identyczny budynek, Jawab lub „odpowiedź” na wschodzie, aby zachować dwustronną symetrię kompleksu. Formalny charbagh („ogród poczwórny”) składa się z czterech części, symbolizujących cztery rajskie rzeki i oferujących widoki i odbicia mauzoleum. Są one podzielone na 16 parterów.
Kompleks Taj Mahal został ułożony na siatce podzielonej na mniejsze siatki. Historycy architektury Koch i Barraud zgadzają się z tradycyjnymi relacjami, które podają, że szerokość kompleksu wynosi 374 jardy mogolskie lub gaz , przy czym głównym obszarem są trzy 374 kwadraty gazowe. Zostały one podzielone w obszarach takich jak bazar i karawanseraj na 17-gazowe moduły; ogród i tarasy składają się z modułów 23 gazowych i szerokości 368 gazowych (16 x 23). Mauzoleum, meczet i pensjonat ułożone są na siatce 7 gazowej. Koch i Barraud zauważają, że jeśli ośmiokąt, używany wielokrotnie w kompleksie, ma boki 7 jednostek, to ma szerokość 17 jednostek, co może pomóc w wyjaśnieniu doboru proporcji w kompleksie.
Architektura chrześcijańska
Christian patriarchalnej bazyliki z Hagia Sophia w Bizancjum (obecnie Stambuł ), pierwszy zbudowany w 537 (i dwukrotnie przebudowany), był przez tysiąc lat największa katedra kiedykolwiek zbudowano. Zainspirował wiele późniejszych budynków, w tym sułtana Ahmeda i inne meczety w mieście. Architektury bizantyjskiej zawiera nawę zwieńczony okrągłym kopuły oraz dwóch pół-kopuł, wszystkie o tej samej średnicy (31 m (102 stóp)), przy czym pięć kolejnych mniejszych pół-kopuł tworzących absydę i czterech zaokrąglonych narożach rozległego prostokątny wnętrze. Zostało to zinterpretowane przez średniowiecznych architektów jako reprezentujące przyziemność poniżej (kwadratowa podstawa) i boskie niebiosa powyżej (strzelista kulista kopuła). Cesarz Justynian wykorzystał jako architektów dwa geometry, Izydora z Miletu i Anthemiusza z Tralles ; Isidore skompilował prace Archimedesa na temat geometrii bryłowej i był pod jego wpływem.
Znaczenie chrztu wodnego w chrześcijaństwie znalazło odzwierciedlenie w skali architektury baptystycznej . Najstarsze baptysterium na Lateranie w Rzymie, zbudowane w 440 r., zapoczątkowało trend na ośmioboczne baptysterium; chrzcielnica wewnątrz tych budynków był często ośmioboczna, choć największa włoska Chrzcielnica w Pizie , wybudowany w latach 1152 i 1363, jest okrągły, z ośmioboczną czcionki. Ma wysokość 54,86 metra (180,0 stóp) i średnicę 34,13 metra (112,0 stóp) (stosunek 8:5). Św. Ambroży pisał, że chrzcielnice i baptysterium były ośmiokątne, „ponieważ ósmego dnia, zmartwychwstając, Chrystus rozluźnia niewolę śmierci i przyjmuje zmarłych z ich grobów”. Św. Augustyn podobnie opisał ósmy dzień jako „wieczny... uświęcony przez zmartwychwstanie Chrystusa”. Ośmioboczna Baptysterium św. Jana we Florencji , zbudowana w latach 1059-1128, jest jedną z najstarszych budowli w tym mieście i jedną z ostatnich w bezpośredniej tradycji klasycznej starożytności; był niezwykle wpływowy w późniejszym renesansie florenckim, ponieważ główni architekci, w tym Francesco Talenti , Alberti i Brunelleschi, używali go jako modelu architektury klasycznej.
Cyfra pięć jest użyta „wylewnie” w kościele pielgrzymkowym św. Jana Nepomucena z 1721 r. na Zelená hora, niedaleko Žďára nad Sazavou w Czechach, zaprojektowanym przez Jana Blažeja Santiniego Aichela . Nawa jest okrągła, otoczona pięcioma parami kolumn i pięcioma owalnymi kopułami naprzemiennie z ostrołukowymi apsydami. Kościół ma ponadto pięć bram, pięć kaplic, pięć ołtarzy i pięć gwiazd; legenda głosi, że gdy św. Jan Nepomuceński zginął śmiercią męczeńską, nad jego głową pojawiło się pięć gwiazdek. Pięciokrotna architektura może również symbolizować pięć ran Chrystusa i pięć liter „Tacui” (łac. „milczyłam” [o tajemnicach konfesjonału ]).
Antoni Gaudí użył szerokiej gamy struktur geometrycznych, z których niektóre były minimalnymi powierzchniami, w Sagrada Família w Barcelonie , rozpoczętej w 1882 roku (i nie ukończonej od 2015 roku). Należą do nich paraboloidy hiperboliczne i hiperboloidy obrotowe , teselacje, łuki łańcuchowe , katenoidy , helikoidy i powierzchnie rządzone . Ta zróżnicowana mieszanka geometrii jest twórczo łączona na różne sposoby wokół kościoła. Na przykład, na Fasadzie Męki Pańskiej Sagrada Família, Gaudí montował kamienne „gałęzie” w formie hiperbolicznych paraboloidów, które nakładają się na siebie na swoich wierzchołkach (wskazówki), a zatem nie spotykają się w jednym punkcie. Natomiast w kolumnadzie znajdują się hiperboliczne powierzchnie paraboloidalne, które płynnie łączą się z innymi strukturami, tworząc powierzchnie nieograniczone. Co więcej, Gaudí wykorzystuje naturalne wzory , same w sobie matematyczne, z kolumnami wywodzącymi się z kształtów drzew i nadprożami wykonanymi z niezmodyfikowanego bazaltu, naturalnie pękniętych (poprzez ochłodzenie ze stopionej skały) w sześciokątne kolumny .
Katedra Najświętszej Marii Panny Wniebowziętej w San Francisco z 1971 roku ma dach dwuspadowy złożony z ośmiu segmentów paraboloidów hiperbolicznych, ułożonych tak, że dolny poziomy przekrój dachu jest kwadratem, a górny krzyż chrześcijański . Budynek jest kwadratowy o boku 77,7 m (255 stóp) i wysokości 57,9 m (190 stóp). Katedra w Brasília z 1970 roku autorstwa Oscara Niemeyera w inny sposób wykorzystuje strukturę hiperboloidową; jest zbudowany z 16 identycznych betonowych belek, każda ważąca 90 ton, ułożonych w okrąg, tworząc hiperboloidę rewolucji, białe belki tworzą kształt przypominający ręce modlące się do nieba. Z zewnątrz widoczna jest tylko kopuła: większość budynku znajduje się pod ziemią.
Kilka średniowiecznych kościołów w Skandynawii jest okrągłych , w tym cztery na duńskiej wyspie Bornholm . Jeden z najstarszych z nich, kościół Østerlars z ok. 1900 roku . 1160, ma okrągłą nawę wokół masywnej okrągłej kamiennej kolumny, przeprutej łukami i ozdobionej freskiem. Okrągła budowla ma trzy kondygnacje i była podobno ufortyfikowana, a najwyższa kondygnacja służyła do obrony.
Sklepienie nawy głównej Hagia Sophia , Stambuł ( przypisy ), 562
Ośmioboczna baptysterium św. Jana we Florencji ukończone w 1128
Pięciokrotnie symetrie: Jan Santini Aichel „s Kościół pielgrzymkowy św Jana Nepomucena na Zielonej Górze, 1721
Pasja fasada Antoni Gaudí jest Sagrada Familia , Barcelona , rozpoczął 1882
Oscar Niemeyer „s Katedra Brazylii , 1970
Centralna kolumna nordyckiego okrągłego kościoła Østerlars na Bornholmie , Dania
.jpg)
Dekoracja matematyczna
Islamska dekoracja architektoniczna
Budynki islamskie są często ozdobione geometrycznymi wzorami, które zazwyczaj wykorzystują kilka teselacji matematycznych , utworzonych z płytek ceramicznych ( girih , zellige ), które same mogą być gładkie lub ozdobione paskami. Symetrie, takie jak gwiazdy z sześcioma, ośmioma lub wielokrotnością ośmiu punktów, są używane we wzorach islamskich. Niektóre z nich oparte są na motywie pieczęci „Khatem Sulemani” lub Salomona, który jest ośmioramienną gwiazdą złożoną z dwóch kwadratów, z których jeden jest obrócony o 45 stopni od drugiego w tym samym środku. Wzory islamskie wykorzystują wiele z 17 możliwych grup tapet ; już w 1944 r. Edith Müller wykazała, że Alhambra wykorzystywała do dekoracji 11 grup tapet, podczas gdy w 1986 r. Branko Grünbaum twierdził, że znalazł w Alhambrze 13 grup tapet, twierdząc kontrowersyjnie, że pozostałe cztery grupy nie występują nigdzie w islamie. ornament.
Złożona geometria i kafelki sklepień muqarnas w meczecie Sheikh Lotfollah , Isfahan , 1603-1619
Luwr Abu Zabi budowany w 2015 roku, jego kopuła zbudowana z warstw gwiazd wykonanych z ośmiokątów, trójkątów i kwadratów
.jpg)
Nowoczesna dekoracja architektoniczna
Pod koniec XX wieku architekci przejęli nowatorskie konstrukcje matematyczne, takie jak geometria fraktalna i aperiodyczne kafelki, aby zapewnić interesujące i atrakcyjne pokrycia budynków. W 1913 modernistyczny architekt Adolf Loos ogłosił, że „Ornament to zbrodnia”, wpływając na myślenie architektoniczne przez resztę XX wieku. W XXI wieku architekci ponownie zaczynają badać zastosowanie ornamentu . Zdobnictwo XXI wieku jest niezwykle różnorodne. Centrum koncertowo-konferencyjne Harpa Henninga Larsena 2011 w Reykjaviku ma coś, co wygląda jak kryształowa ściana skalna wykonana z dużych bloków szkła. Projekt Foreign Office Architects 2010 Ravensbourne College w Londynie jest ozdobnie mozaiką z 28 000 anodyzowanych aluminiowych płytek w kolorze czerwonym, białym i brązowym, łączących okrągłe okna o różnych rozmiarach. Teselacja wykorzystuje trzy rodzaje płytek, trójkąt równoboczny i dwa nieregularne pięciokąty. Biblioteka Kazumi Kudo Kanazawa Umimirai tworzy dekoracyjną siatkę wykonaną z małych okrągłych bloków szkła osadzonych w gładkich betonowych ścianach.
Ravensbourne College , Londyn, 2010
Centrum Koncertowo-Konferencyjne Harpa , Islandia, 2011
Biblioteka Kanazawa Umimirai , Japonia, 2011
Museo Soumaya , Meksyk, 2011
Obrona
Europa
Architektura fortyfikacji ewoluowała od średniowiecznych fortec , które miały wysokie murowane mury, do niskich, symetrycznych fortów gwiaździstych, zdolnych odeprzeć ostrzał artyleryjski między połową XV a XIX wiekiem. Geometria kształtów gwiazd była podyktowana koniecznością unikania martwych stref, w których atakująca piechota mogła schronić się przed ogniem obronnym; boki wystających punktów były ustawione pod kątem, aby umożliwić taki ogień zamiatać ziemię i zapewnić krzyżowy ogień (z obu stron) poza każdy wystający punkt. Znani architekci, którzy zaprojektowali takie systemy obronne, to Michał Anioł , Baldassare Peruzzi , Vincenzo Scamozzi i Sébastien Le Prestre de Vauban .
Historyk architektury Siegfried Giedion twierdził, że fortyfikacja w kształcie gwiazdy miała kształtujący wpływ na kształtowanie idealnego miasta renesansowego : „Renesans był zahipnotyzowany przez jeden typ miasta, który przez półtora wieku – od Filarete do Scamozzi – był pod wrażeniem wszystkie utopijne schematy: to jest miasto w kształcie gwiazdy”.
Plan fortyfikacji Coevorden . XVII wiek
Palmanova , Włochy , weneckie miasto w gwiezdnym forcie . XVII wiek
Neuf-Brisach , Alzacja , jedna z fortyfikacji Vauban
Chiny
W chińskiej architektury The tulou z prowincji Fujian są okrągłe, gminne struktury obronne, głównie z pustymi ścianami i jednym żelaza galwanicznie drewnianych drzwi, jakiś historia sięga XVI wieku. Ściany zwieńczone są dachami, które łagodnie opadają na zewnątrz i do wewnątrz, tworząc pierścień. Środek koła stanowi otwarty, brukowany dziedziniec, często ze studnią, otoczony drewnianymi galeriami o wysokości do pięciu pięter.
Cele środowiskowe
.jpg){kind=link}
Architekci mogą również dobrać formę budynku do celów środowiskowych. Na przykład, Foster and Partners ' 30 St Mary Axe , London, znany jako « Ogórek » dla jego ogórka -Jak kształtu, to bryły obrotowej zaprojektowane przy użyciu modelowania parametrycznego . Jego geometrię wybrano nie tylko ze względów estetycznych, ale aby zminimalizować wirujące prądy powietrza u podstawy. Pomimo pozornie zakrzywionej powierzchni budynku, wszystkie tafle szkła tworzące jego powłokę są płaskie, z wyjątkiem soczewki na górze. Większość paneli ma kształt czworoboków , ponieważ można je wyciąć z prostokątnego szkła z mniejszymi stratami niż panele trójkątne.
Tradycyjne yakhchal (lód dół) z perskiego funkcjonuje jako chłodnicy wyparnej . Konstrukcja naziemna miała kształt kopuły, ale posiadała podziemne miejsce do przechowywania lodu, a czasem także żywności. Podziemna przestrzeń i gruba żaroodporna konstrukcja izolowała magazyn przez cały rok. Przestrzeń wewnętrzna była często dodatkowo chłodzona wiatrochronami . Lód był dostępny w lecie do robienia mrożonego deseru faloodeh .