Matematyka w średniowiecznym islamie - Mathematics in medieval Islam

Matematyka w Złotym Wieku Islamu , zwłaszcza w IX i X wieku, opierała się na matematyce greckiej ( Euklid , Archimedes , Apolloniusz ) i matematyce indyjskiej ( Aryabhata , Brahmagupta ). Poczyniono ważne postępy, takie jak pełne opracowanie systemu wartości miejsca dziesiętnego z uwzględnieniem ułamków dziesiętnych , pierwsze usystematyzowane badanie algebry oraz postępy w geometrii i trygonometrii .

Dzieła arabskie odegrały ważną rolę w przekazywaniu matematyki Europie od X do XII wieku.

Koncepcje

„Równania sześcienne i przecięcia przekrojów stożkowych” Omara Khayyáma – pierwsza strona dwurozdziałowego rękopisu przechowywanego na Uniwersytecie w Teheranie

Algebra

Nauka algebry , której nazwa wywodzi się od arabskiego słowa oznaczającego ukończenie lub „ponowne połączenie zepsutych części”, rozkwitła w złotym wieku islamu . Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi , uczony z Domu Mądrości w Bagdadzie , jest razem z greckim matematykiem Diophantusem , znanym jako ojciec algebry. W swojej książce The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , Al-Khwarizmi zajmuje się sposobami rozwiązywania dodatnich pierwiastków równań wielomianowych pierwszego i drugiego stopnia (liniowych i kwadratowych) . Wprowadza również metodę redukcji iw przeciwieństwie do Diofanta podaje ogólne rozwiązania dla równań, którymi się zajmuje.

Algebra Al-Khwarizmiego była retoryczna, co oznacza, że ​​równania były napisane pełnymi zdaniami. Było to w przeciwieństwie do pracy algebraicznej Diofanta, która była synkopowana, co oznacza, że ​​używa się pewnej symboliki. Przejście do algebry symbolicznej, w której używane są tylko symbole, można zaobserwować w pracach Ibn al-Banna' al-Marrakushi i Abū al-Ḥasan ibn Ali al-Qalaṣadī .

O pracy wykonanej przez Al-Khwarizmi, JJ O'Connor i Edmund F. Robertson powiedzieli:

„Być może jeden z najbardziej znaczących osiągnięć matematyki arabskiej rozpoczął się w tym czasie od prac al-Khwarizmiego, a mianowicie początków algebry. Ważne jest, aby zrozumieć, jak ważna była ta nowa idea. To było rewolucyjne odejście od greckie pojęcie matematyki, które było zasadniczo geometrią. Algebra była teorią unifikującą, która pozwalała na traktowanie liczb wymiernych , niewymiernych , wielkości geometrycznych itp. jako „obiektów algebraicznych”. Dała matematyce zupełnie nową ścieżkę rozwoju, o wiele szerszą w koncepcji do tego, co istniało wcześniej, i dostarczyło wehikułu dla przyszłego rozwoju przedmiotu. Innym ważnym aspektem wprowadzenia idei algebraicznych było to, że pozwoliło to na zastosowanie matematyki do siebie w sposób, który nie miał miejsca wcześniej.”

Kilku innych matematyków w tym okresie rozszerzyło zakres algebry Al-Chwarizmiego. Abu Kamil Shuja” napisał książkę algebry wraz z ilustracjami geometrycznymi i dowodami. Wymienił także wszystkie możliwe rozwiązania niektórych swoich problemów. Abu al-Jud , Omar Khayyam , wraz z Sharaf al-Dīn al-Tūsī , znaleźli kilka rozwiązań równania sześciennego . Omar Khayyam znalazł ogólne rozwiązanie geometryczne równania sześciennego.

Równania sześcienne

Aby rozwiązać równanie trzeciego stopnia x 3  +  a 2 x  =  b Khayyám skonstruował parabolę x 2  =  ay , okrąg o średnicy b / a 2 , oraz pionową linię przechodzącą przez punkt przecięcia. Rozwiązanie podaje długość poziomego odcinka linii od początku do przecięcia linii pionowej i osi x .

Omar Khayyam (c 1038/48 w. Iran - 1123/24) napisał Traktat o Wykazanie algebry zawierającej systematyczne rozwiązanie równań sześciennych lub trzeciego rzędu , wychodząc poza Algebra al-Khwarizmi. Khayyám uzyskał rozwiązania tych równań, znajdując punkty przecięcia dwóch przekrojów stożkowych . Metodę tę stosowali Grecy, ale nie uogólniali jej na wszystkie równania z pierwiastkami dodatnimi .

Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (? w Tus, Iran – 1213/4) opracował nowatorskie podejście do badania równań sześciennych — podejście, które polegało na znalezieniu punktu, w którym wielomian sześcienny uzyskuje swoją maksymalną wartość. Na przykład, aby rozwiązać równanie z i b pozytywnych, mógłby zauważyć, że punkt maksimum krzywej występuje w , a równanie to nie ma rozwiązania, jedno rozwiązanie albo dwa roztwory, w zależności od tego, czy wysokość krzywej w tym momencie była mniejsza, równa lub większa niż . Jego zachowane prace nie wskazują, w jaki sposób odkrył swoje wzory na maksima tych krzywych. Zaproponowano różne przypuszczenia, aby wyjaśnić ich odkrycie.

Wprowadzenie

Najwcześniejsze ukryte ślady indukcji matematycznej można znaleźć w dowodzie Euklidesa , że liczba liczb pierwszych jest nieskończona (ok. 300 pne). Pierwsze wyraźne sformułowanie zasady indukcji zostało podane przez Pascala w jego Traité du triangle aithmétique (1665).

W międzyczasie al-Karaji (ok. 1000) wprowadził niejawny dowód przez indukcję dla ciągów arytmetycznych i kontynuował go al-Samaw'al , który użył go w szczególnych przypadkach twierdzenia dwumianowego i własności trójkąta Pascala .

Liczby niewymierne

Grecy odkryli liczby niewymierne , ale nie byli z nich zadowoleni i radzili sobie jedynie poprzez rozróżnienie między wielkością a liczbą . Według greckiego poglądu, wielkości zmieniały się w sposób ciągły i mogły być używane dla jednostek takich jak odcinki linii, podczas gdy liczby były dyskretne. Dlatego irracjonalne mogą być traktowane tylko geometrycznie; i rzeczywiście matematyka grecka była głównie geometryczna. Islamscy matematycy, w tym Abū Kāmil Shujā ibn Aslam i Ibn Tahir al-Baghdadi, powoli usunęli rozróżnienie między wielkością a liczbą, pozwalając, by irracjonalne wielkości pojawiały się jako współczynniki w równaniach i były rozwiązaniami równań algebraicznych. Pracowali swobodnie z irracjonalnymi obiektami matematycznymi, ale nie badali dokładnie ich natury.

W XII wieku, łacińskie przekłady Al-Khwarizmi „s arytmetyki na cyframi indyjskich wprowadził dziesiętną pozycyjny system liczbowy do świata zachodniego . Jego Compendious Book on Calculation by Completion and Balanced przedstawił pierwsze systematyczne rozwiązanie równań liniowych i kwadratowych . W renesansowej Europie był uważany za pierwotnego wynalazcę algebry, chociaż obecnie wiadomo, że jego prace opierają się na starszych źródłach indyjskich lub greckich. On zmieniony Ptolemeusza „s geografii i napisał na astronomii i astrologii. Jednak CA Nallino sugeruje, że oryginalne dzieło al-Chwarizmiego nie było oparte na Ptolemeuszu, ale na pochodnej mapie świata, przypuszczalnie w języku syryjskim lub arabskim .

Trygonometria sferyczna

Sferyczne prawo sinusów odkryto w X wieku: przypisywano je różnie Abu-Mahmudowi Khojandiemu , Nasirowi al-Din al-Tusiemu i Abu Nasrowi Mansurowi , przy czym współautorem był Abu al-Wafa' Buzjani . Ibn al-Jayyānī Mu'adh „s Książka nieznanych łuków kuli w 11 wieku wprowadził ogólne twierdzenie sinusów. Płaskie prawo sinusów zostało opisane w XIII wieku przez Nasira al-Dīn al-Tūsī . W swoim O figurze sektorowej określił prawo sinusów dla płaskich i sferycznych trójkątów i dostarczył dowodów na to prawo.

Liczby ujemne

W IX wieku matematycy islamscy byli zaznajomieni z liczbami ujemnymi z prac matematyków indyjskich, ale rozpoznawanie i używanie liczb ujemnych w tym okresie pozostawało nieśmiałe. Al-Khwarizmi nie używał liczb ujemnych ani ujemnych współczynników. Ale w ciągu pięćdziesięciu lat Abu Kamil zilustrował zasady znaków rozszerzania mnożenia . Al-Karaji napisał w swojej książce al-Fakhrī, że „ilości ujemne należy liczyć jako terminy”. W X wieku Abū al-Wafā' al-Būzjānī uważał długi za liczby ujemne w Księdze o tym, co jest konieczne z nauki arytmetyki dla skrybów i biznesmenów .

W XII wieku następcy al-Karaji mieli określić ogólne zasady znaków i używać ich do rozwiązywania podziałów wielomianowych . Jak pisze al-Samaw'al :

iloczyn liczby ujemnej — al-naqih — przez liczbę dodatnią — al-zaʾid — jest ujemny, a przez liczbę ujemną jest dodatni. Jeśli odejmiemy liczbę ujemną od większej liczby ujemnej, reszta jest ich ujemną różnicą. Różnica pozostaje dodatnia, jeśli odejmiemy liczbę ujemną od mniejszej liczby ujemnej. Jeśli odejmiemy liczbę ujemną od liczby dodatniej, reszta jest ich sumą dodatnią. Jeśli odejmiemy liczbę dodatnią od pustej potęgi ( martaba khāliyya ), reszta jest taka sama ujemna, a jeśli odejmiemy liczbę ujemną od pustej potęgi, reszta będzie tą samą liczbą dodatnią.

Podwójna fałszywa pozycja

Między IX a X wiekiem egipski matematyk Abu Kamil napisał zaginiony traktat o wykorzystaniu podwójnej fałszywej pozycji, znany jako Księga Dwóch Błędów ( Kitāb al-khaṭāʾayn ). Najstarsze zachowane pismo z Bliskiego Wschodu na temat podwójnego fałszywego stanowiska to pismo Qusta ibn Luqa (X wiek), arabskiego matematyka z Baalbek w Libanie . Uzasadnił tę technikę formalnym dowodem geometrycznym w stylu euklidesowym . W tradycji średniowiecznej matematyki muzułmańskiej podwójne fałszywe stanowisko było znane jako hisāb al-khaṭānayn („rozliczanie po dwóch błędach”). Był używany przez wieki do rozwiązywania praktycznych problemów, takich jak kwestie handlowe i prawne (rozbiory majątku według zasad dziedziczenia Koranu ), a także czysto rekreacyjne. Algorytm był często zapamiętywany za pomocą mnemoników , takich jak werset przypisywany Ibn al-Yasaminowi i diagramy w skali równowagi wyjaśnione przez al-Hassara i Ibn al-Banna , którzy byli matematykami pochodzenia marokańskiego .

Inne ważne postacie

Sally P. Ragep, historyk nauki w islamie, oszacowała w 2019 r., że „dziesiątki tysięcy” arabskich rękopisów w naukach matematycznych i filozofii pozostają nieprzeczytane, co daje badania, które „odzwierciedlają indywidualne uprzedzenia i ograniczone skupienie się na stosunkowo niewielu tekstach i uczeni".

Galeria

Zobacz też

Bibliografia

Źródła

Dalsza lektura

Książki o matematyce islamskiej
Rozdziały książek o matematyce islamskiej
Książki o nauce islamskiej
Książki o historii matematyki
Artykuły w czasopismach na temat matematyki islamskiej
Bibliografie i biografie
  • Brockelmann, Carl . Geschichte der Arabischen Litteratur . 1.–2. Zespół, 1.–3. Uzupełnienie pasma. Berlin: Emil Fischer, 1898, 1902; Leiden: Brill, 1937, 1938, 1942.
  • Sánchez Pérez, José A. (1921). Biografías de Matemáticos Árabes que florecieron en España . Madryt: Estanislao Maestre.
  • Sezgin, Fuat (1997). Geschichte Des Arabischen Schrifttums (w języku niemieckim). Wydawnictwa akademickie Brill. Numer ISBN 90-04-02007-1.
  • Suter, Heinrich (1900). Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke . Abhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften Mit Einschluss Ihrer Anwendungen, X Heft. Lipsk.
Telewizyjne filmy dokumentalne

Zewnętrzne linki