Maksymalny ideał - Maximal ideal

W matematyce , a dokładniej w teorii pierścieni , ideałem maksymalnym jest ideał, który jest maksymalny (w odniesieniu do zbioru inkluzji ) spośród wszystkich właściwych ideałów. Innymi słowy, I jest maksymalnym ideałem pierścienia R, jeśli między I i R nie ma innych ideałów .

Ideały maksymalne są ważne, ponieważ iloraz pierścieni przez ideały maksymalne są pierścieniami prostymi , aw szczególnym przypadku pierścieni przemiennych jednostkowych są również polami .

W nieprzemiennej teorii pierścieni maksymalny prawy ideał jest definiowany analogicznie jako maksymalny element w posecie właściwych prawicowych ideałów i podobnie maksymalny lewy ideał jest definiowany jako maksymalny element z posetu właściwych lewych ideałów. Ponieważ jednostronny maksymalny ideał A niekoniecznie jest dwustronny, iloraz R / A niekoniecznie jest pierścieniem, ale jest prostym modułem nad R . Jeśli R ma unikalny maksymalny ideał prawostronny, wtedy R jest znany jako pierścień lokalny , a maksymalny ideał prawostronny jest również unikalnym maksymalnym lewym i unikalnym maksymalnym dwustronnym ideałem pierścienia i jest w rzeczywistości rodnikiem Jacobsona J( R ).

Możliwe jest, że pierścień ma unikalny maksymalny ideał dwustronny, a mimo to nie ma unikalnych maksymalnych ideałów jednostronnych: na przykład w pierścieniu 2 na 2 macierze kwadratowe nad polem ideał zerowy jest maksymalnym ideałem dwustronnym , ale istnieje wiele maksymalnych słusznych ideałów.

Definicja

Istnieją inne równoważne sposoby wyrażania definicji maksymalnych jednostronnych i maksymalnych dwustronnych ideałów. Mając pierścień R i idealny ideał I z R (czyli I ≠ R ), I jest maksymalnym ideałem R, jeśli spełniony jest dowolny z następujących warunków równoważnych:

• Nie istnieje żaden inny idealny ideał J od R tak, że I ⊊ J .
• Dla dowolnego idealnego J z I ⊆ J , albo J = I albo J = R .
• Pierścień ilorazowy R / I jest pierścieniem prostym.

Istnieje analogiczna lista dla jednostronnych ideałów, dla których podane zostaną tylko wersje prawej strony. Dla prawego ideału A pierścienia R , następujące warunki są równoważne temu, że A jest maksymalnym prawym ideałem R :

• Nie istnieje żaden inny właściwy prawy ideał B z R tak, że A ⊊ B .
• Dla dowolnego idealnego ideału B z A ⊆ B , albo B = A albo B = R .
• Moduł ilorazu R / A jest prostym prawym modułem R.

Ideały maksymalne prawo/lewo/dwustronne są pojęciem podwójnym do pojęcia ideałów minimalnych .

Przykłady

• Jeśli F jest polem, jedynym maksymalnym ideałem jest {0}.
• W pierścieniu Z liczb całkowitych ideały maksymalne są ideałami głównymi generowanymi przez liczbę pierwszą.
• Mówiąc bardziej ogólnie, wszystkie niezerowe ideały pierwsze są maksymalne w głównej idealnej dziedzinie .
• Ideałem jest maksymalny ideał w ringu . Ogólnie rzecz biorąc, ideały maksymalne mają postać, w której jest liczbą pierwszą i wielomianem, w którym jest nierozkładalny modulo .${\ Displaystyle (2, x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle (p,f(x))}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle p}$
• Każdy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym w pierścieniu boolowskim, tj. pierścieniu składającym się tylko z elementów idempotentnych. W rzeczywistości każdy ideał pierwszy jest maksymalny w pierścieniu przemiennym, ilekroć istnieje liczba całkowita, taka jak dla any .${\ Displaystyle R}$${\displaystyle n>1}$${\ Displaystyle x ^ {n} = x}$${\ Displaystyle x \ w R}$
• Maksymalne ideały pierścienia wielomianowego są głównymi ideałami generowanymi przez niektórych .${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x]}$${\displaystyle xc}$${\ Displaystyle c \ w \ mathbb {C}}$
• Mówiąc bardziej ogólnie, ideały maksymalne pierścienia wielomianowego K [ x ₁ , ..., x _n ] nad ciałem algebraicznie domkniętym K są ideałami postaci ( x ₁  −  a ₁ , ..., x _n  −  a _n ) . Ten wynik jest znany jako słaby Nullstellensatz .

Nieruchomości

• Ważny ideał pierścienia, zwany rodnikiem Jacobsona, można zdefiniować za pomocą maksymalnych ideałów prawych (lub maksymalnych lewych).
• Jeśli R jest jednostkowym pierścieniem przemiennym z idealnym m , to k = R / m jest polem wtedy i tylko wtedy, gdy m jest maksymalnym ideałem. W takim przypadku R / m jest znane jako pole pozostałości . Ten fakt może zawieść w niejednostkowych pierścieniach. Na przykład jest maksymalnym ideałem w , ale nie jest dziedziną.${\ Displaystyle 4 \ mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z}}$${\ Displaystyle 2 \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$
• Jeśli L jest maksymalnym lewym ideałem, to R / L jest prostym lewym modułem R. I odwrotnie, w pierścieniach z jednością każdy prosty lewy moduł R powstaje w ten sposób. Nawiasem mówiąc, pokazuje to, że zbiór reprezentantów prostych lewych modułów R jest w rzeczywistości zbiorem, ponieważ może być zgodny z częścią zbioru maksymalnych lewych ideałów R .
• Twierdzenie Krulla (1929): Każdy niezerowy pierścień jednostkowy ma maksymalny ideał. Wynik jest również prawdziwy, jeśli „ideał” zostanie zastąpiony przez „właściwy ideał” lub „lewy ideał”. Mówiąc bardziej ogólnie, prawdą jest, że każdy niezerowy skończenie generowany moduł ma maksymalny podmoduł. Załóżmy , że I jest ideałem, który nie jest R (odpowiednio A jest słusznym ideałem, który nie jest R ). Wtedy R / I jest pierścieniem o jedności (odpowiednio R / A jest skończenie wygenerowanym modułem), a więc powyższe twierdzenia można zastosować do ilorazu, aby stwierdzić, że istnieje maksymalny ideał (odpowiednio maksymalny prawy ideał) R zawierające I (odpowiednio A ).
• Twierdzenie Krulla może zawieść dla pierścieni bez jedności. Radykalny pierścień , czyli pierścień, w którym Jacobson radykalny jest cały pierścień, nie ma prostych modułów, a tym samym ma prawo lub w lewo maksymalny ideałów. Zobacz regularne ideały, aby poznać możliwe sposoby obejścia tego problemu.
• W przemiennym pierścieniu z jednością każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym . Odwrotność nie zawsze jest prawdziwa: na przykład w dowolnej dziedzinie całkowania nieciałowego ideał zerowy jest ideałem pierwszym, który nie jest maksymalny. Pierścienie przemienne, w których ideały pierwsze są maksymalne, znane są jako pierścienie zerowymiarowe , gdzie używanym wymiarem jest wymiar Krulla .
• Maksymalny ideał nieprzemiennego pierścienia może nie być liczbą pierwszą w sensie przemiennym. Na przykład niech będzie pierścień wszystkich macierzy nad . Ten pierścień ma maksymalny ideał dla dowolnej liczby pierwszej , ale nie jest to ideał pierwszy, ponieważ (w przypadku ) i nie są w , ale . Jednak maksymalne ideały nieprzemiennych pierścieni są pierwsze w uogólnionym sensie poniżej.${\ Displaystyle M_ {n \ razy n} (\ mathbb {Z})}$${\displaystyle n\razy n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle M_ {n \ razy n} (p \ mathbb {Z})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=2}$${\ Displaystyle A = {\ tekst {diag}} (1, p)}$${\ Displaystyle B = {\ tekst {diag}} (p, 1)}$${\ Displaystyle M_ {n \ razy n} (p \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle AB = pI_ {2} \ w M_ {n \ razy n} (p \ mathbb {Z})}$

Uogólnienie

Dla R -module A , A ilość modułem M z A jest modułem M ≠ spełniających tę właściwość, że w żadnym innym modułem N , M ⊆ N ⊆ oznacza N = M lub N = A . Równoważnie M jest maksymalnym modułem podrzędnym wtedy i tylko wtedy, gdy moduł ilorazowy A / M jest modułem prostym . Maksymalne prawo ideałów pierścienia R są dokładnie maksymalne Submoduły modułu R _R .

W przeciwieństwie do pierścieni z jednością, niezerowy moduł niekoniecznie musi mieć maksymalne podmoduły. Jednakże, jak zauważono powyżej, skończenie generowane niezerowe moduły mają maksymalne submoduły, a także moduły rzutowe mają maksymalne submoduły.

Podobnie jak w przypadku pierścieni, rodnik modułu można zdefiniować za pomocą maksymalnych podmodułów. Ponadto, ilość idee można uogólnić określające maksymalne podzespół bimodule M o bimodule B być właściwe pod-bimodule z M , która znajduje się w żadnej innej odpowiedniej pod-bimodule z M . Maksymalne idee R są wówczas dokładnie maksymalne cząstkowe bimodules z bimodule _R R _R .

Bibliografia

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Pierścienie i kategorie modułów , Graduate Texts in Mathematics, 13 (2 wyd.), New York: Springer-Verlag, s. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR  1245487
• Lam, TY (2001), A first course in noncommutative rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 wyd.), New York: Springer-Verlag, s. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, MR  1838439