Okrągła średnia - Circular mean

W matematycznych i statystycznych , A okrągły średnią lub kątowe średnia jest średnią przeznaczone do kątów i podobne ilości cyklicznych, takich jak daytimes i części ułamkowych z liczb rzeczywistych . Jest to konieczne, ponieważ większość zwykłych środków może nie być odpowiednia dla wielkości kątowych. Na przykład średnia arytmetyczna 0° i 360° wynosi 180°, co jest mylące, ponieważ 360° równa się 0° modulo pełnego cyklu. Jako inny przykład, „średni czas” między 23:00 a 1 w nocy to północ lub południe, w zależności od tego, czy te dwie godziny są częścią jednej nocy, czy częścią jednego dnia kalendarzowego. Średnia kołowa jest jednym z najprostszych przykładów statystyki kołowej i statystyki przestrzeni nieeuklidesowych .

Definicja

Ponieważ średnia arytmetyczna nie zawsze jest odpowiednia dla kątów, można zastosować następującą metodę, aby uzyskać zarówno wartość średnią, jak i miarę wariancji kątów:

Przekształć wszystkie kąty na odpowiadające im punkty na okręgu jednostkowym , np . na . Oznacza to, konwersja współrzędnych biegunowych do współrzędnych kartezjańskich . Następnie oblicz średnią arytmetyczną tych punktów. Wynikowy punkt będzie leżeć w obrębie dysku jednostkowego. Przekształć ten punkt z powrotem we współrzędne biegunowe. Kąt jest rozsądną średnią kątów wejściowych. Otrzymany promień będzie równy 1, jeśli wszystkie kąty są równe. Jeśli kąty są równomiernie rozłożone na okręgu, to wynikowy promień będzie równy 0 i nie ma średniej kołowej. (W rzeczywistości niemożliwe jest zdefiniowanie ciągłej operacji średniej na okręgu.) Innymi słowy, promień mierzy koncentrację kątów.

Biorąc pod uwagę kąty, wspólnym wzorem na średnią przy użyciu wariantu atan2 funkcji arctangens jest

lub używając liczb zespolonych :

Aby dopasować powyższe wyprowadzenie przy użyciu średnich arytmetycznych punktów, sumy musiałyby zostać podzielone przez . Jednak skalowanie nie ma znaczenia dla i , dlatego można je pominąć.

To obliczenie daje inny wynik niż średnia arytmetyczna, przy czym różnica jest większa, gdy kąty są szeroko rozłożone. Na przykład średnia arytmetyczna trzech kątów 0°, 0° i 90° wynosi (0+0+90)/3 = 30°, ale średnia wektorowa wynosi 26,565°. Co więcej, przy średniej arytmetycznej wariancja kołowa jest określona tylko ±180°.

Nieruchomości

Okrągły środek

Odległość jest równa połowie kwadratu odległości euklidesowej między dwoma punktami na okręgu jednostkowym powiązanym z i .

Przykład

Prostym sposobem obliczenia średniej szeregu kątów (w przedziale [0°, 360°)] jest obliczenie średniej z cosinusów i sinusów każdego kąta i otrzymanie kąta poprzez obliczenie odwrotnego tangensa. Rozważmy następujące trzy kąty jako przykład: 10, 20 i 30 stopni. Intuicyjnie obliczenie średniej polegałoby na zsumowaniu tych trzech kątów i podzieleniu przez 3, co w tym przypadku faktycznie daje poprawny średni kąt 20 stopni. Obracając ten system przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o 15 stopni, trzy kąty stają się 355 stopni, 5 stopni i 15 stopni. Naiwna średnia wynosi teraz 125 stopni, co jest błędną odpowiedzią, ponieważ powinna wynosić 5 stopni. Średnią wektorową można obliczyć w następujący sposób, wykorzystując średni sinus i średni cosinus :

Można to bardziej zwięźle stwierdzić, zdając sobie sprawę, że dane kierunkowe są w rzeczywistości wektorami o długości jednostkowej. W przypadku danych jednowymiarowych te punkty danych mogą być dogodnie reprezentowane jako liczby zespolone o jednostkowej wielkości , gdzie jest mierzonym kątem. Średni wektor wynikowy dla próbki wynosi wtedy:

Przykładowy kąt średni jest zatem argumentem średniej wypadkowej:

Długość wypadkowego wektora średniej próbki wynosi:

i będzie miał wartość od 0 do 1. Zatem wypadkowy wektor średniej próbki może być reprezentowany jako:

Podobne obliczenia są również używane do definiowania wariancji kołowej .

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Christopher M. Bishop: Rozpoznawanie wzorców i uczenie maszynowe (Informatyka i statystyka) , ISBN  0-387-31073-8

Dalsza lektura

Jammalamadaka, S. Rao i SenGupta, A. (2001). Tematy w statystyce cyrkularnej , sekcja 1.3, World Scientific Press, Singapur. ISBN  981-02-3778-2

Zewnętrzne linki