Zestaw zerowy - Null set

W analizie matematycznej , wykorzystując zestaw zerowy jest mierzalny zestaw , który ma miary zero . Można to określić jako zestaw, które mogą być pokryte przez policzalnych związek odstępach dowolnie małej całkowitej długości. ${\ Displaystyle N \ podzbiór \ mathbb {R}}$

Pojęcie zbioru zerowego nie powinno być mylone ze zbiorem pustym zdefiniowanym w teorii mnogości . Chociaż pusty zbiór ma miarę Lebesgue'a zero, istnieją również niepuste zbiory, które są null. Na przykład każdy niepusty policzalny zbiór liczb rzeczywistych ma miarę Lebesgue'a zero i dlatego jest null.

Mówiąc bardziej ogólnie, na danej przestrzeni miar zbiór wartości null jest takim zbiorem , że . $M=(X,\Sigma,\mu)$ ${\ Displaystyle S \ podzbiór X}$ ${\ Displaystyle \ mu (S) = 0}$

Przykład

Każdy skończony lub przeliczalnie nieskończony podzbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem zerowym. Na przykład, zarówno zbiór liczb naturalnych, jak i zbiór liczb wymiernych są przeliczalnie nieskończone i dlatego są zbiorami zerowymi, gdy są traktowane jako podzbiory liczb rzeczywistych.

Zbiór Cantora jest przykładem niezliczona zerowym zestawie.

Definicja

Załóżmy, że jest to podzbiór prostej rzeczywistej taki, że ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ forall \ varepsilon > 0 \ \ istnieje \ lewo \ {U_ {n} \ prawo \} _ {n}: U_ {n} = (a_ {n}, b_ {n}) \ podzbiór \ mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n} \right|<\varepsilon \,,}

gdzie $U n$ są przedziałami i $| U |$ jest długością $U$ , to $A$ jest zbiorem zerowym, znanym również jako zbiór o zerowej zawartości.

W terminologii matematycznej analizy definicja ta wymaga, aby nie być sekwencją z otwartymi pokrywami z $A$ na której granica z długościami pokrywy jest równa zero.

Nieruchomości

Zbiór pusty jest zawsze zbiorem wartości null. Mówiąc bardziej ogólnie, każda przeliczalna unia zestawów null jest zerowa. Każdy mierzalny podzbiór zbioru o wartości null sam w sobie jest zbiorem o wartości null. Razem, te fakty pokazują, że zbiory m- null z X tworzą sigma-ideał na X . Podobnie, mierzalne zbiory m- null tworzą sigma-ideał sigma-algebry zbiorów mierzalnych. Tak więc zbiory null mogą być interpretowane jako zbiory pomijalne , definiujące pojęcie prawie wszędzie .

Miara Lebesgue'a

Miara Lebesgue'a jest standardowym sposobem przypisywania długości , powierzchni lub objętości do podzbiorów przestrzeni euklidesowej .

Podzbiór N z ma zerową Lebesgue'a i jest uważany za zerowy w zestaw , wtedy i tylko wtedy, gdy: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Dla dowolnych liczbę dodatnią ε , jest sekwencja

{że n}

w odstępach w taki sposób, że N jest zawarty w związku z

{

I

n

}

, a całkowita długość związku jest mniejsza niż ε .

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

Ten warunek można uogólnić na , używając n - kostek zamiast przedziałów. W rzeczywistości pomysł może mieć sens na dowolnej rozmaitości Riemanna , nawet jeśli nie ma tam miary Lebesgue'a. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Na przykład:

W odniesieniu do , wszystkie zestawy singleton mają wartość null, a zatem wszystkie zestawy policzalne mają wartość null. W szczególności, zbiór Q z liczb wymiernych jest zbiorem null, mimo że gęste w . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
Standardowa konstrukcja zbioru Cantora jest przykładem zerowego zbioru niepoliczalnego w ; możliwe są jednak inne konstrukcje, które przypisują Cantorowi jakąkolwiek miarę. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
Wszystkie podzbiory, których wymiar jest mniejszy niż n, mają pustą miarę Lebesgue'a w . Na przykład proste linie lub okręgi są zbiorami wartości null w . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$
Lemat Sarda : zbiór wartości krytycznych funkcji gładkiej ma miarę zero.

Jeżeli λ jest miarą Lebesgue'a dla , a π jest miarą Lebesgue'a dla , to miara iloczynu . Jeśli chodzi o zbiory zerowe, następującą równoważność nazwano twierdzeniem Fubiniego : ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ razy \ lambda = \ pi}$

Dla i ${\ Displaystyle A \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle A_ {x} = \ {y: (x, y) \ w A \}}$ ${\ Displaystyle \ pi (A) = 0 \ iff \ Lambda \ lewo (\ lewo \ {x: \ lambda \ lewo (A_ {x} \ po prawej)> 0 \ po prawej \} \ po prawej) = 0.}$

Zastosowania

Zbiory zerowe odgrywają kluczową rolę w definicji całki Lebesgue'a : jeśli funkcje $f$ i $g$ są równe z wyjątkiem zbioru zerowego, to $f$ jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ jest, a ich całki są równe. To motywuje formalnej definicji $L p$ przestrzeniach jak kompletów klas równoważności funkcji, które różnią się tylko w zestawach null.

Miara, w której wszystkie podzbiory zestawów o wartości null są mierzalne, jest kompletna . Każda niekompletna miara może zostać uzupełniona w celu utworzenia pełnej miary, stwierdzając, że podzbiory zestawów o wartości null mają miarę zero. Miara Lebesgue'a jest przykładem kompletnej miary; w niektórych konstrukcjach definiuje się to jako zakończenie niekompletnego środka Borel .

Podzbiór zbioru Cantora, który nie jest mierzalny w borelu

Miara borelowska nie jest kompletna. Jedną prostą konstrukcją jest rozpoczęcie od standardowego zbioru Cantora $K$ , który jest domknięty, stąd mierzalny w skali borelowskiej i który ma miarę zero, i znalezienie podzbioru $F$ o $K,$ który nie jest mierzalny w skali borelowskiej. (Ponieważ miara Lebesgue'a jest kompletna, to $F$ jest oczywiście mierzalne.)

Po pierwsze, musimy wiedzieć, że każdy zbiór miar dodatnich zawiera podzbiór niemierzalny. Niech $f$ będzie funkcją Cantora , funkcją ciągłą, która jest lokalnie stała na $K c$ i monotonicznie rosnąca na [0, 1], gdzie $f (0) = 0$ i $f (1) = 1$ . Oczywiście $f (K c)$ jest policzalne, ponieważ zawiera jeden punkt na składnik $K c$ . Stąd $f (K c)$ ma miarę zero, więc $f (K)$ ma miarę jeden. Potrzebujemy ściśle monotonicznej funkcji , więc rozważmy $g (x) = f (x)+ x$ . Ponieważ $g (x)$ jest ściśle monotoniczne i ciągłe, jest to homeomorfizm . Ponadto $g (K)$ ma miarę jeden. Niech $E \subset g (K)$ będzie niemierzalne i niech $F = g -1 (E)$ . Ponieważ $g$ jest injektywny, mamy, że $F \subset K$ , a więc $F$ jest zbiorem zerowym. Gdyby jednak była mierzalna borelowska, to $g (F)$ również byłoby mierzalne borelowsko (tu używamy faktu, że preobraz zbioru borelowskiego przez funkcję ciągłą jest mierzalny; $g (F) = (g -1) -1 (F)$ jest wstępnym obrazem F poprzez funkcję ciągłą $h = g -1$ .) Zatem $F$ jest zerowym, ale nieborelowskim zbiorem mierzalnym.

Haar null

W rozłącznie banachowskiej przestrzeni $(X +)$ , operacja przenosi grupę dowolnym podzbiorem $\subset$ $X$ w THE przekłada $+$ $x$ dla każdego $x$ $\in$ $X$ . Gdy istnieje prawdopodobieństwo środek $μ$ na Ď-algebrze borelowskich podzbiorów w $X$ takich, że dla wszystkich $x$ , $μ$ $($ $+$ $x$ $) = 0$ , a następnie jest Haar zerowy zestaw .

Termin odnosi się do zerowej niezmienności miar tłumaczeń, kojarząc ją z całkowitą niezmiennością znalezioną z miarą Haara .

Niektóre właściwości algebraiczne grup topologicznych zostały powiązane z rozmiarami podzbiorów i zbiorów zerowych Haara. Zbiory zerowe Haara zostały użyte w polskich grupach, aby pokazać, że gdy $A$ nie jest zbiorem ubogim, to $A- 1 A$ zawiera otwarte sąsiedztwo elementu tożsamości . Ta właściwość została nazwana na cześć Hugo Steinhausa, ponieważ jest konkluzją twierdzenia Steinhausa .

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Capiński, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Miara, całka i prawdopodobieństwo . Skoczek. P. 16. Numer ISBN 978-1-85233-781-0.
Jones, Frank (1993). Integracja Lebesgue'a na przestrzeniach euklidesowych . Jonesa i Bartletta. P. 107. Numer ISBN 978-0-86720-203-8.
Oktoby, John C. (1971). Miara i kategoria . Springer-Verlag. P. 3. Numer ISBN 978-0-387-05349-3.

Languages

In other projects