Pomiar koła - Measurement of a Circle

Pomiar koła lub wymiaru koła ( gr . Κύκλου μέτρησις , Kuklou metrēsis ) to traktat składający się z trzech twierdzeń Archimedesa , ok. 250 pne. Traktat to tylko ułamek tego, co było dłuższą pracą.

Propozycje

Propozycja pierwsza

Okrąg i trójkąt mają równe pole powierzchni.

Twierdzenie pierwsze stwierdza: Pole dowolnego koła jest równe trójkątowi prostokątnemu, w którym jeden z boków pod kątem prostym jest równy promieniowi, a drugi obwódowi koła. Dowolny okrąg o obwodzie c i promieniu r jest równy pod względem powierzchni z trójkątem prostokątnym, którego dwie odnogi c i r . Twierdzenie to potwierdza metoda wyczerpania .

Twierdzenie drugie

Twierdzenie dwa stany:

Pole koła odnosi się do kwadratu o średnicy od 11 do 14.

Twierdzenie to nie mógł zostać postawione przez Archimedesa, ponieważ opiera się ono na wyniku trzeciego zdania.

Twierdzenie trzecie

Twierdzenie trzy stany:

Stosunek obwodu dowolnego koła do jego średnicy jest większy, ale mniejszy niż .

Przybliża to to, co teraz nazywamy stałą matematyczną π . Znalazł te granice na wartości π poprzez wpisanie i opisanie okręgu dwoma podobnymi regularnymi wielokątami o 96 bokach .

Przybliżenie do pierwiastków kwadratowych

To twierdzenie zawiera również dokładne przybliżenie pierwiastka kwadratowego z 3 (jeden większy i jeden mniejszy) oraz innych większych, niedoskonałych pierwiastków kwadratowych ; jednak Archimedes nie wyjaśnia, w jaki sposób znalazł te liczby. Podaje górną i dolną granicę 3 jako 1351 / 780 > 3 > 265 / 153 . Jednak te granice są znane z badania równania Pella i zbieżności powiązanego z nim ułamka ciągłego , co prowadzi do wielu spekulacji, jak wiele z tej teorii liczb mogło być dostępnych dla Archimedesa. Dyskusja na temat tego podejścia sięga co najmniej od Thomasa Fanteta de Lagny , FRS (porównaj Chronologię obliczeń π ) w 1723 r., Ale bardziej wyraźnie potraktował ją Hieronymus Georg Zeuthen . We wczesnych latach osiemdziesiątych XIX wieku Friedrich Otto Hultsch (1833–1906) i Karl Heinrich Hunrath (ur. 1847) zauważyli, że granice można szybko znaleźć za pomocą prostych dwumianowych granic pierwiastków kwadratowych zbliżonych do idealnego kwadratu wzorowanego na elementach II.4 , 7; tę metodę preferuje Thomas Little Heath . Chociaż wspomina się tylko o jednej trasie prowadzącej do granic, w rzeczywistości istnieją dwie inne, co sprawia, że ​​granice są prawie nieuniknione, jednak metoda działa. Ale granice mogą być również wyznaczone przez iteracyjną konstrukcję geometryczną sugerowaną przez Żołądek Archimedesa w układzie regularnego dwunastokąta. W tym przypadku zadaniem jest racjonalne przybliżenie tangensa π / 12.

Bibliografia