Projekt mechanizmu - Mechanism design

Powyższy diagram Stanleya Reitera ilustruje grę w projektowanie mechanizmów. Lewa górna przestrzeń przedstawia przestrzeń tekstu, a prawa górna przestrzeń X przestrzeń wyników. Wybór społeczna funkcja odwzorowuje profilu typu do wyniku. W grach z projektowaniem mechanizmów agenci wysyłają komunikaty w środowisku gry . Równowagę w grze można zaprojektować tak, aby realizowała jakąś funkcję wyboru społecznego .${\ Displaystyle \ Theta}$${\displaystyle f(\theta)}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\ Displaystyle \ xi (M, g, \ theta )}$${\displaystyle f(\theta)}$

Projektowanie mechanizmów to dziedzina ekonomii i teorii gier, która przyjmuje podejście „najpierw cele” do projektowania mechanizmów ekonomicznych lub zachęt , w kierunku pożądanych celów, w strategicznych warunkach , w których gracze działają racjonalnie . Ponieważ zaczyna się na końcu gry, a następnie cofa się, nazywana jest również teorią gier odwrotnych . Ma szerokie zastosowania, od ekonomii i polityki w takich dziedzinach, jak projektowanie rynku , teoria aukcji i teoria wyboru społecznego do systemów sieciowych (internetowy routing międzydomenowy, sponsorowane aukcje wyszukiwania).

Projekt mechanizmu bada koncepcje rozwiązań dla klasy prywatnych gier informacyjnych. Leonid Hurwicz wyjaśnia, że ​​„w problemie projektowym głównym „danym” jest funkcja celu, natomiast mechanizm jest niewiadomą. Dlatego problem projektowania jest „odwrotnością” tradycyjnej teorii ekonomii, która zazwyczaj poświęcona jest analizie działania danego mechanizmu”. Tak więc dwie cechy wyróżniające te gry to:

• że „projektant” gry wybiera strukturę gry, a nie ją dziedziczy
• że projektant jest zainteresowany wynikiem gry

Nagroda Nobla w dziedzinie nauk ekonomicznych w 2007 r. została przyznana Leonidowi Hurwiczowi , Ericowi Maskinowi i Rogerowi Myersonowi „za stworzenie podstaw teorii projektowania mechanizmów”.

Intuicja

W interesującej klasie gier bayesowskich jeden z graczy, zwany „zleceniodawcą”, chciałby uzależnić swoje zachowanie od informacji prywatnie znanych innym graczom. Na przykład zleceniodawca chciałby poznać prawdziwą jakość używanego samochodu, który sprzedaje sprzedawca. Nie może się niczego nauczyć, po prostu pytając sprzedawcę, ponieważ w jego interesie jest zniekształcanie prawdy. Jednak w projektowaniu mechanizmów zleceniodawca ma jedną zaletę: może zaprojektować grę, której zasady mogą wpłynąć na innych, aby działali tak, jak on sobie życzy.

Bez teorii projektowania mechanizmów problem zleceniodawcy byłby trudny do rozwiązania. Musiałby rozważyć wszystkie możliwe partie i wybrać tę, która najlepiej wpłynie na taktykę innych graczy. Ponadto zleceniodawca musiałby wyciągać wnioski z agentów, którzy mogą go okłamywać. Dzięki konstrukcji mechanizmu, a w szczególności zasadzie objawienia , zleceniodawca musi brać pod uwagę tylko gry, w których agenci zgodnie z prawdą zgłaszają swoje prywatne informacje.

Podwaliny

Mechanizm

Gra w projektowanie mechanizmów to gra o prywatne informacje, w której jeden z agentów, zwany zleceniodawcą, wybiera strukturę wypłat. Po Harsanyi  ( 1967 ) agenci otrzymują tajne "wiadomości" z natury zawierające informacje istotne dla wypłat. Na przykład wiadomość może zawierać informacje o ich preferencjach lub jakości towaru na sprzedaż. Tę informację nazywamy "typem" agenta (zazwyczaj notowanym i odpowiednio do tego przestrzenią typów ). Agenci następnie zgłaszają zleceniodawcy typ (zazwyczaj oznaczony czapką ), który może być strategicznym kłamstwem. Po raporcie, zleceniodawca i agenci otrzymują wynagrodzenie zgodnie z wybraną przez zleceniodawcę strukturą wypłat. ${\displaystyle \theta}$${\ Displaystyle \ Theta}$${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}}$

Czas gry to:

1. Zleceniodawca zobowiązuje się do mechanizmu, który przyznaje wynik jako funkcję zgłaszanego typu${\displaystyle y()}$${\displaystyle y}$
2. Agenci zgłaszają, być może nieuczciwie, profil typu ${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}}$
3. Mechanizm jest wykonywany (agenci otrzymują wynik )${\displaystyle y({\kapelusz {\theta}})}$

Aby zrozumieć, kto co otrzymuje, często dzieli się wynik na alokację dóbr i transfer pieniężny, gdzie oznacza alokację dóbr wydanych lub otrzymanych w funkcji typu, a transfer pieniężny w funkcji rodzaj. ${\displaystyle y}$${\ Displaystyle y (\ theta ) = \ {x (\ theta ), t (\ theta ) \}, \ x \ w X, t \ w T}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

Jako punkt odniesienia projektant często określa, co by się stało pod pełną informacją. Zdefiniuj funkcja wyboru społecznego odwzorowująca profil (prawdziwego) typu bezpośrednio na alokację otrzymanych lub wyświadczonych dóbr, ${\displaystyle f(\theta)}$

${\displaystyle f(\theta):\theta \rightarrow X}$

W przeciwieństwie do tego mechanizm mapuje zgłoszony profil typu na wynik (ponownie zarówno alokacja towaru, jak i przekaz pieniężny ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle y ({\ kapelusz {\ theta}}): \ Theta \rightarrow Y}$

Zasada objawienia

Proponowany mechanizm stanowi grę bayesowską (grę informacji prywatnych), a jeśli jest dobrze zachowana, gra ma równowagę bayesowsko-nasha . W równowadze agenci strategicznie wybierają swoje raporty w zależności od typu

${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}(\theta)}$

W takim układzie trudno jest rozwiązać równowagę bayesowską, ponieważ obejmuje ona rozwiązywanie strategii najlepszej odpowiedzi agentów i najlepszego wnioskowania z możliwego strategicznego kłamstwa. Dzięki oszałamiającemu wynikowi zwanemu zasadą objawienia, bez względu na mechanizm, projektant może ograniczyć uwagę do równowagi, w której agenci zgodnie z prawdą zgłaszają typ. Zasada objawienia mówi: „Każdemu bayesowskiej równowadze Nasha odpowiada gra bayesowska z takim samym wynikiem równowagi, ale w której gracze zgodnie z prawdą zgłaszają typ”.

Jest to niezwykle przydatne. Zasada ta pozwala znaleźć równowagę bayesowską, zakładając, że wszyscy gracze są uczciwi (z zastrzeżeniem ograniczenia zgodności zachęty ). Za jednym ciosem eliminuje potrzebę rozważenia strategicznego zachowania lub kłamstwa.

Jego dowód jest całkiem bezpośredni. Załóżmy grę bayesowską, w której strategia i wypłata agenta są funkcjami tego typu i tego, co robią inni, . Z definicji strategia równowagi agenta i to Nash w oczekiwanej użyteczności: ${\ Displaystyle u_ {i} \ lewo (s_ {i} (\ theta _ {i}), s_ {-i} (\ theta _ {-i}), \ theta _ {i} \ po prawej)}$${\ Displaystyle s (\ theta _ {i})}$

${\ Displaystyle s_ {i} (\ theta _ {i}) \ w \ arg \ max _ {s'_ {i} \ w S_ {i}} \ suma _ {\ theta _ {-i}} \ p (\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(s'_{i},s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _ {i}\prawda)}$

Wystarczy zdefiniować mechanizm, który skłoniłby agentów do wybrania tej samej równowagi. Najłatwiejszym do zdefiniowania jest to, że mechanizm angażuje się w odgrywanie dla nich strategii równowagi agentów .

${\ Displaystyle y ({\ kapelusz {\ theta}}): \ Theta \ rightarrow S (\ Theta ) \ rightarrow Y}$

W ramach takiego mechanizmu agenci oczywiście uznają za optymalne ujawnienie typu, ponieważ mechanizm i tak wykorzystuje strategie, które i tak uznali za optymalne. Formalnie wybierz takie, które ${\displaystyle y(\theta)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ theta _ {i} \ w {} i \ arg \ max _ {\ theta '_ {i} \ w \ theta} \ suma _ {\ theta _ {-i}} \ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left(y(\theta '_{i},\theta _{-i}),\theta _{ i}\right)\\[5pt]&=\sum _{\theta _{-i}}\ p(\theta _{-i}\mid \theta _{i})\ u_{i}\left (s_{i}(\theta ),s_{-i}(\theta _{-i}),\theta _{i}\right)\end{aligned}}}$

Możliwość wdrożenia

Projektant mechanizmu generalnie też ma nadzieję

• zaprojektować mechanizm, który „realizuje” funkcję wyboru społecznego social${\displaystyle y()}$
• znaleźć mechanizm maksymalizujący pewne kryterium wartości (np. zysk)${\displaystyle y()}$

Aby wdrożyć funkcję wyboru społecznego jest znaleźć jakąś funkcję transferu że środki motywuje do wsiadania . Formalnie, jeśli profil strategii równowagi w ramach mechanizmu odwzorowuje tę samą alokację dóbr jako funkcję wyboru społecznego, ${\displaystyle f(\theta)}$${\displaystyle t(\theta)}$${\displaystyle f(\theta)}$

${\displaystyle f(\theta)=x\lewo({\kapelusz {\theta}}(\theta)\prawo)}$

mówimy, że mechanizm realizuje funkcję wyboru społecznego.

Dzięki zasadzie objawienia projektant zazwyczaj może znaleźć funkcję transferu, aby zrealizować wybór społeczny, rozwiązując powiązaną grę prawdy. Jeśli agenci uznają za optymalne, aby zgłosić typ zgodnie z prawdą, ${\displaystyle t(\theta)}$

${\displaystyle {\kapelusz {\theta}}(\theta)=\theta}$

mówimy, że taki mechanizm jest rzeczywiście możliwy do wdrożenia (lub po prostu „możliwy do wdrożenia”). Zadanie polega więc na znalezieniu możliwej do zrealizowania w sposób zgodny z prawdą i przypisaniu tej funkcji transferu do oryginalnej gry. Alokacja jest możliwa do zrealizowania zgodnie z prawdą, jeśli istnieje funkcja transferu taka, że ${\displaystyle t(\theta)}$${\displaystyle x(\theta)}$${\displaystyle t(\theta)}$

${\displaystyle u(x(\theta),t(\theta),\theta)\geq u(x({\kapelusz {\theta}}),t({\kapelusz {\theta}}),\theta )\ \forall \theta ,{\hat {\theta }}\in \Theta }$

co jest również nazywane ograniczeniem zgodności zachęt (IC).

W zastosowaniach stan IC jest kluczem do opisu kształtu w jakikolwiek użyteczny sposób. W pewnych warunkach może nawet analitycznie wyodrębnić funkcję przenoszenia. Dodatkowo czasami dodaje się ograniczenie uczestnictwa ( indywidualnej racjonalności ), jeśli agenci mają możliwość nie grania. ${\displaystyle t(\theta)}$

Konieczność

Rozważmy ustawienie, w którym wszystkie agenty mają funkcję użytkową typu warunkowego . Rozważmy również alokację dóbr, która jest wartością wektorową i rozmiarem (co pozwala na liczbę dóbr) i załóżmy, że jest ona odcinkowo ciągła w odniesieniu do jej argumentów. ${\displaystyle u(x,t,\theta)}$${\displaystyle x(\theta)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Funkcja jest możliwa do zaimplementowania tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x(\theta)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ theta}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy u/\ częściowy x_ {k}} {\ lewo |\partial u/\partial t\right|}}\right){\frac {\partial x}{\partial \theta }}\geq 0}$

zawsze i i x jest ciągłe w . Jest to warunek konieczny i wywodzi się z warunków pierwszego i drugiego rzędu problemu optymalizacji agenta przy założeniu mówienia prawdy. ${\displaystyle x=x(\theta)}$${\displaystyle t=t(\theta)}$${\displaystyle \theta}$

Jego znaczenie można zrozumieć w dwóch częściach. Pierwsza część mówi, że krańcowa stopa substytucji (MRS) agenta wzrasta w zależności od typu,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy \ theta}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy u/\ częściowy x_ {k}}} {\ po lewej | \ częściowy u/ \ częściowy t \ po prawej |} }\right)={\frac {\częściowy }{\częściowy \theta }}\mathrm {MRS} _{x,t}}$

Krótko mówiąc, agenci nie powiedzą prawdy, jeśli mechanizm nie zaoferuje wyższym typom agentów lepszej oferty. W przeciwnym razie, wyższe typy stojące przed jakimkolwiek mechanizmem, który karze wysokie typy za raportowanie, kłamią i deklarują, że są niższymi typami, naruszając ograniczenie IC dotyczące mówienia prawdy. Drugi kawałek to stan monotonii, który czeka, aby się wydarzyć,

${\displaystyle {\frac {\częściowy x}{\częściowy \theta}}}$

co, aby być pozytywnym, oznacza, że ​​wyższe typy muszą otrzymać więcej dobra.

Istnieje możliwość interakcji tych dwóch elementów. Jeśli dla jakiegoś asortymentu kontrakt oferował mniejszą ilość wyższym typom , możliwe jest, że mechanizm zrekompensuje to, dając wyższe typy rabatu. Ale taka umowa już istnieje dla agentów niskiego typu, więc to rozwiązanie jest patologiczne. Takie rozwiązanie pojawia się czasem w procesie rozwiązywania mechanizmu. W takich przypadkach należy go „ wyprasować ”. W środowisku wielu dobrze jest też możliwe, że projektant nagradzać agenta z więcej jednego dobra zastąpić mniej od drugiego (np masło na margarynę ). Wiele dobrych mechanizmów jest ciągłym problemem w teorii projektowania mechanizmów. ${\ Displaystyle \ częściowe x/\ częściowe \ theta <0}$

Dostateczność

Dokumenty projektowe mechanizmu zwykle przyjmują dwa założenia, aby zapewnić możliwość wdrożenia:

1. ${\displaystyle {\frac {\częściowy}}{\częściowy \theta}}{\frac {\częściowy u/\częściowy x_{k}}{\z lewej|\częściowy u/\częściowy t\w prawo |}}>0 \ \dla wszystkich k}$

Jest to znane pod kilkoma nazwami: warunek pojedynczego krzyżowania, warunek sortowania i warunek Spence-Mirrlees. Oznacza to, że funkcja użyteczności ma taki kształt, że typ MRS agenta rośnie.

2. ${\ Displaystyle \ istnieje K_ {0}, K_ {1} {\ tekst { taki, że}} \ lewo | {\ Frac {\ częściowe u / \ częściowe x_ {k}} {\ częściowe u / \ częściowe t}} \right|\leq K_{0}+K_{1}|t|}$

Jest to warunek techniczny ograniczający tempo wzrostu MRS.

Te założenia są wystarczające, aby zapewnić, że każdy monotoniczny jest możliwy do wdrożenia ( istnieje, który może go wdrożyć). Ponadto, w ustawieniu jedno-dobrym warunek pojedynczego przecięcia jest wystarczający, aby zapewnić, że tylko monotonika jest możliwa do zrealizowania, więc projektant może ograniczyć swoje poszukiwania do monotonii . ${\displaystyle x(\theta)}$${\displaystyle t(\theta)}$${\displaystyle x(\theta)}$${\displaystyle x(\theta)}$

Wyróżnione wyniki

Twierdzenie o równoważności przychodów

Vickrey  ( 1961 ) podaje słynny wynik, że każdy członek dużej klasy aukcji zapewnia sprzedającemu taki sam oczekiwany dochód i że oczekiwany dochód jest najlepszym, jaki może osiągnąć sprzedający. Tak jest, jeśli

1. Kupujący mają identyczne funkcje wyceny (która może być funkcją typu)
2. Typy kupujących są dystrybuowane niezależnie
3. Typy kupujących są pobierane z ciągłej dystrybucji
4. Rozkład typów niesie ze sobą monotoniczną właściwość współczynnika ryzyka
5. Mechanizm sprzedaje kupującemu towar o najwyższej wycenie

Ostatni warunek jest kluczowy dla twierdzenia. Wynika z tego, że sprzedający, aby osiągnąć wyższy przychód, musi zaryzykować przekazanie przedmiotu pośrednikowi o niższej wycenie. Zwykle oznacza to, że musi zaryzykować niesprzedawanie przedmiotu w ogóle.

mechanizmy Vickreya-Clarke-Grovesaves

Model aukcji Vickreya (1961) został później rozszerzony przez Clarke'a  ( 1971 ) i Grovesa na problem wyboru publicznego, w którym koszty projektu publicznego ponoszą wszyscy agenci, np. czy zbudować most miejski. Wynikający z tego mechanizm „Vickrey-Clarke-Groves” może motywować agentów do wyboru społecznie efektywnej alokacji dobra publicznego, nawet jeśli agenci mają prywatne wyceny. Innymi słowy, może rozwiązać „ tragedię wspólnego dobra ” – pod pewnymi warunkami, w szczególności quasilinearną użytecznością lub jeśli nie jest wymagana równowaga budżetowa.

Rozważ ustawienie, w którym liczba agentów ma quasilinearną użyteczność z prywatnymi wycenami, w których waluta jest wyceniana liniowo. Projektant VCG projektuje zgodny z bodźcami (a więc w pełni możliwy do wdrożenia) mechanizm, aby uzyskać prawdziwy profil typu, z którego projektant wdraża społecznie optymalną alokację ${\ Displaystyle I}$${\displaystyle v(x,t,\theta)}$${\displaystyle t}$

${\ Displaystyle X_ {I} ^ {*} (\ theta ) \ w {\ underset {x \ w X} {\ operatorname {argmax}}} \ suma _ {i \ w I} v (x \ theta _ {ja})}$

Sprytność mechanizmu VCG to sposób, w jaki motywuje on do prawdziwego objawienia. Eliminuje bodźce do błędnych raportów, karząc każdego agenta kosztami zniekształceń, które powoduje. Wśród zgłoszeń, które agent może składać, mechanizm VCG dopuszcza zgłoszenie „null” mówiące, że jest on obojętny na dobro publiczne i zależy mu tylko na przekazie pieniędzy. To skutecznie usuwa agenta z gry. Jeśli agent zdecyduje się zgłosić typ, mechanizm VCG obciąża agenta opłatą, jeśli jego zgłoszenie jest kluczowe , to znaczy, jeśli jego zgłoszenie zmienia optymalną alokację x , aby zaszkodzić innym agentom. Płatność jest naliczana

${\ Displaystyle t_ {i} ({\ kapelusz {\ theta}}) = \ suma _ {j \ w II} v_ {j} (x_ {Ii} ^ {*} (\ theta _ {II}), \ theta _{j})-\sum _{j\in Ii}v_{j}(x_{I}^{*}({\hat {\theta }}_{i},\theta _{I}) ,\theta _{j})}$

co sumuje zniekształcenie użyteczności innych agentów (a nie jego własnych) spowodowane raportowaniem jednego agenta.

Twierdzenie Gibbarda-Satterthwaite'a

Gibbard  ( 1973 ) i Satterthwaite  ( 1975 ) podają wynik o niemożliwości podobny w duchu do twierdzenia o niemożliwości Arrowa . W przypadku bardzo ogólnej klasy gier można zaimplementować tylko „dyktatorskie” funkcje wyboru społecznego.

Funkcja wyboru społecznego f () jest dyktatorska, jeśli jeden agent zawsze otrzymuje swoją najbardziej uprzywilejowaną alokację dóbr,

${\ Displaystyle {\ tekst {dla }} f (\ Theta ) {\ tekst {, }} \ istnieje ja \ w I {\ tekst {takie, że }} u_ {i} (x, \ theta _ {i}) \geq u_{i}(x',\theta _{i})\ \forall x'\in X}$

Twierdzenie to mówi, że w warunkach ogólnych każda realnie realizowana funkcja wyboru społecznego musi być dyktatorska, jeśli:

1. X jest skończony i zawiera co najmniej trzy elementy
2. Preferencje są racjonalne
3. ${\ Displaystyle f (\ Theta ) = X}$

Twierdzenie Myersona-Satterthwaite'a

Myerson i Satterthwaite ( 1983 ) pokazują, że nie ma skutecznego sposobu na wymianę dobra przez dwie strony, gdy każda z nich ma dla niego tajną i prawdopodobnie różniącą się wycenę, bez ryzyka zmuszenia jednej strony do handlu ze stratą. Jest to jeden z najbardziej niezwykłych negatywnych wyników w ekonomii — rodzaj negatywnego zwierciadła podstawowych twierdzeń ekonomii dobrobytu .

Przykłady

Dyskryminacja cenowa

Mirrlees  ( 1971 ) wprowadza ustawienie, w którym funkcja przenoszenia t () jest łatwa do rozwiązania. Ze względu na swoje znaczenie i łatwość obsługi jest to powszechne ustawienie w literaturze. Rozważ jedno dobre ustawienie z jednym agentem, w którym agent ma quasilinearne narzędzie z nieznanym parametrem typu${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle u(x,t,\theta)=V(x,\theta)-t}$

i w którym zleceniodawca ma wcześniejszy CDF nad typem agenta . Zleceniodawca może produkować dobra po wypukłym koszcie krańcowym c ( x ) i chce zmaksymalizować oczekiwany zysk z transakcji ${\displaystyle P(\theta)}$

${\ Displaystyle \ max _ {x (\ theta ), t (\ theta )} \ mathbb {E} _ {\ theta} \ lewo [t (\ theta) -c \ lewo (x (\ theta) \ prawo) \dobrze]}$

podlega warunkom IC i IR

${\displaystyle u(x(\theta),t(\theta),\theta)\geq u(x(\theta'),t(\theta'),\theta )\\forall \theta,\theta' }$

${\displaystyle u(x(\theta),t(\theta),\theta)\geq {\podkreślenie {u}}(\theta)\\forall \theta}$

Główną zasadą jest tutaj monopolista próbujący ustalić schemat cenowy maksymalizujący zysk, w którym nie może zidentyfikować typu klienta. Typowym przykładem są linie lotnicze, które ustalają ceny biletów dla podróżujących w celach biznesowych, turystycznych i studenckich. Ze względu na stan IR musi dać każdemu typowi wystarczająco dobrą ofertę, aby zachęcić do uczestnictwa. Ze względu na stan układu scalonego musi dać każdemu typowi wystarczająco dobrą ofertę, aby typ preferował swoją ofertę od innych.

Sztuczka podana przez Mirrleesa (1971) polega na wykorzystaniu twierdzenia o obwiedni do wyeliminowania funkcji transferu z oczekiwania na maksymalizację,

${\ Displaystyle {\ tekst {niech}} U (\ theta ) = \ max _ {\ theta '} u \ lewo (x (\ theta '), t (\ theta '), \ theta \ prawo)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{d\theta}}={\frac {\częściowy u}{\częściowy \theta}}={\frac {\częściowy V}{\częściowy \theta}}}$

Integracja,

${\ Displaystyle U (\ theta ) = {\ podkreślenie {u}} (\ theta _ {0}) + \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta }{\ Frac {\ częściowe V} \częściowa {\tylda {\theta }}}}d{\tylda {\theta }}}$

gdzie jest jakiś typ indeksu. Zastąpienie zachęty zgodnej z maksymandą, ${\ Displaystyle \ theta _ {0}}$${\displaystyle t(\theta)=V(x(\theta),\theta)-U(\theta)}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ mathbb {E} _ {\ theta} \ lewo [V (x (\ theta), \ theta) - {\ podkreślenie {u}} (\ theta _ {0}) -\int _{\theta _{0}}^{\theta }{\frac {\partial V}{\partial {\tilde {\theta }}}}d{\tilde {\theta }}-c\ left(x(\theta )\right)\right]\\&{}=\mathbb {E} _{\theta }\left[V(x(\theta ),\theta )-{\underline {u} }(\theta _{0})-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial V}{\partial \theta }}-c\left( x(\theta )\right)\right]\end{aligned}}}$

po integracji przez części. Ta funkcja może być maksymalizowana punktowo.

Ponieważ jest zgodny z zachętami, projektant może już zrezygnować z ograniczenia IC. Jeśli funkcja użyteczności spełnia warunek Spence-Mirrleesa, to istnieje funkcja monotoniczna . Ograniczenie IR można sprawdzić w stanie równowagi, a taryfę opłat odpowiednio podnieść lub obniżyć. Dodatkowo zwróć uwagę na obecność wskaźnika ryzyka w wyrażeniu. Jeśli rozkład typu nosi właściwość współczynnika ryzyka monotonicznego, FOC jest wystarczający do rozwiązania dla t (). Jeśli nie, konieczne jest sprawdzenie, czy ograniczenie monotoniczności (patrz wystarczalność powyżej) jest spełnione wszędzie wzdłuż harmonogramów alokacji i opłat. Jeśli nie, to projektant musi zastosować prasowanie Myerson. ${\displaystyle U(\theta)}$${\displaystyle x(\theta)}$

Prasowanie Myersona

Możliwe jest znalezienie harmonogramu towarów lub cen, które spełniają warunki pierwszego rzędu, ale nie są monotonne. Jeśli tak, to konieczne jest "rozprasowanie" harmonogramu poprzez wybranie jakiejś wartości, przy której funkcja ma być spłaszczona.

W niektórych aplikacjach projektant może rozwiązać warunki pierwszego rzędu dla harmonogramów cen i alokacji, ale okaże się, że nie są one monotoniczne. Na przykład w ustawieniu quasilinearnym często dzieje się tak, gdy sam współczynnik ryzyka nie jest monotonny. Zgodnie z warunkiem Spence-Mirrlees optymalne harmonogramy cen i alokacji muszą być monotoniczne, więc projektant musi wyeliminować każdy przedział, w którym harmonogram zmienia kierunek, spłaszczając go.

Intuicyjnie, co się dzieje jest znaleziska projektant to optymalna do pęczek niektórych rodzajów razem i dać im taką samą umowę. Zwykle projektant motywuje wyższe typy do wyróżnienia się, dając im lepszą ofertę. Jeżeli na marginesie jest zbyt mało wyższych typów, projektant nie uważa za opłacalne udzielanie niższym typom koncesji (tzw. renta informacyjna ) w celu obciążenia wyższych typów kontraktem na dany typ.

Rozważmy monopolistę sprzedającego agentom o quasilinearnej użyteczności, jak w powyższym przykładzie. Załóżmy, że harmonogram alokacji spełniający warunki pierwszego rzędu ma pojedynczy wewnętrzny szczyt w i pojedynczy wewnętrzny dołek w , zilustrowany po prawej stronie. ${\displaystyle x(\theta)}$${\displaystyle \theta_{1}}$${\displaystyle \theta_{2}>\theta_{1}}$

• Idąc za Myersonem (1981) spłaszcz to, wybierając satysfakcjonujące${\displaystyle x}$
  $${\ Displaystyle \ int _ {\ phi _ {2} (x)} ^ {\ phi _ {1} (x)} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy V}} {\ częściowy x}} (x \ theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\częściowy ^{2}V}{\częściowy \theta \,\partial x}}(x, \theta )-{\frac {\częściowy c}{\częściowy x}}(x)\right)d\theta =0}$$

  
  gdzie jest funkcją odwrotną odwzorowania x do i jest funkcją odwrotną odwzorowania x do . Oznacza to, że zwraca a przed wewnętrznym szczytem i zwraca a po wewnętrznym dolinie.${\displaystyle \phi _{1}(x)}$${\ Displaystyle \ theta \ Leq \ theta _ {1}}$${\ Displaystyle \ phi _ {2} (x)}$${\ Displaystyle \ theta \ geq \ theta _ {2}}$${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle \theta}$
• Jeśli niemonotoniczny region graniczy z krawędzią przestrzeni tekstowej, po prostu ustaw odpowiednią funkcję (lub obie) na typ granicy. Jeśli istnieje wiele regionów, zapoznaj się z podręcznikiem procedury iteracyjnej; może się zdarzyć, że więcej niż jedno korytko powinno być prasowane razem.${\displaystyle x(\theta)}$${\ Displaystyle \ phi (x)}$

Dowód

Dowód wykorzystuje teorię optymalnego sterowania. Uwzględnia zestaw interwałów w niemonotonicznym obszarze, w którym może spłaszczyć harmonogram. Następnie pisze hamiltonian, aby uzyskać niezbędne warunki dla a wewnątrz przedziałów ${\ Displaystyle \ lewo [{\ podkreślenie {\ theta}}, {\ overline {\ theta}} \ prawo]}$${\displaystyle x(\theta)}$${\displaystyle x(\theta)}$

1. to spełnia monotonię
2. dla których ograniczenie monotoniczności nie obowiązuje na granicach przedziału

Warunek drugi zapewnia, że spełniający optymalny problem sterowania ponownie łączy się z harmonogramem w pierwotnym problemie na granicach przedziałów (bez skoków). Każde spełnienie niezbędnych warunków musi być płaskie, ponieważ musi być monotoniczne, a jednocześnie ponownie łączyć się na granicach. ${\displaystyle x(\theta)}$${\displaystyle x(\theta)}$

Tak jak poprzednio zmaksymalizuj oczekiwaną wypłatę zleceniodawcy, ale tym razem z zastrzeżeniem monotoniczności

${\displaystyle {\frac {\częściowy x}{\częściowy \theta}}\geq 0}$

i użyj do tego Hamiltonianu, z ceną cienia shadow ${\displaystyle \nu (\theta)}$

${\ Displaystyle H = \ lewo (V (x, \ theta) - {\ podkreślenie {u}} (\ theta _ {0}) - {\ Frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta) }}{\frac {\częściowy V}{\częściowy \theta }}(x,\theta )-c(x)\right)p(\theta )+\nu (\theta ){\frac {\częściowy x }{\częściowy \theta }}}$

gdzie jest zmienną stanu i kontrolką. Jak zwykle przy optymalnej kontroli równanie ewolucji brzegów musi spełniać ${\displaystyle x}$${\displaystyle \częściowy x/\częściowy \theta}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ nu} {\ częściowy \ theta}} = - {\ Frac {\ częściowy H} {\ częściowy x}} = - \ lewo ({\ Frac {\ częściowy V}} {\ częściowe x}}(x,\theta )-{\frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \, \partial x}}(x,\theta )-{\frac {\częściowy c}{\częściowy x}}(x)\right)p(\theta )}$

Korzystając z warunku 2, zauważ, że ograniczenie monotoniczności nie obowiązuje na granicach przedziału, ${\displaystyle \theta}$

${\ Displaystyle \ nu ({\ podkreślenie {\ theta}}) = \ nu ({\ overline {\ theta}}) = 0}$

co oznacza, że ​​warunek zmiennej costate może być całkowany, a także wynosi 0

${\ Displaystyle \ int _ {\ podkreślenie {\ theta}} ^ {\ overline {\ theta}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowy V} {\ częściowy x}} (x, \ theta) - {\ Frac {1-P(\theta )}{p(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \,\partial x}}(x,\theta )-{\ frac {\częściowy c}{\częściowy x}}(x)\right)p(\theta )\,d\theta =0}$

Średnie zniekształcenie nadwyżki zleceniodawcy musi wynosić 0. Aby spłaszczyć harmonogram, znajdź taki, że jego odwrotny obraz mapuje się na przedział spełniający powyższy warunek. ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta}$

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

• Clarke, Edward H. (1971). „Ceny wieloczęściowe dóbr publicznych” (PDF) . Wybór publiczny . 11 (1): 17–33. doi : 10.1007/BF01726210 . JSTOR  30022651 . S2CID  154860771 .
• Gibbard, Allan (1973). „Manipulacja schematami głosowania: wynik ogólny” (PDF) . Ekonometria . 41 (4): 587–601. doi : 10.2307/1914083 . JSTOR  1914083 .
• Gaje, Teodor (1973). „Zachęty w zespołach” (PDF) . Ekonometria . 41 (4): 617–631. doi : 10.2307/1914085 . JSTOR  1914085 .
• Harsanyi, John C. (1967). "Gry z niepełnymi informacjami rozgrywane przez "bayesowskich" graczy, I-III część I. Model podstawowy". Nauka o zarządzaniu . 14 (3): 159–182. doi : 10.1287/mnsc.14.3.159 . JSTOR  2628393 .
• Mirrlees, JA (1971). „Poszukiwanie w teorii optymalnego opodatkowania dochodów” (PDF) . Przegląd Studiów Ekonomicznych . 38 (2): 175-208. doi : 10.2307/2296779 . JSTOR  2296779 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2017-05-10 . Pobrano 2016-08-12 .
• Myerson, Roger B.; Satterthwaite, Mark A. (1983). „Skuteczne mechanizmy handlu dwustronnego” (PDF) . Czasopismo Teorii Ekonomicznej . 29 (2): 265–281. doi : 10.1016/0022-0531(83)90048-0 . hdl : 10419/220829 .
• Satterthwaite, Mark Allen (1975). „Strategy-proofed and Arrow's Conditions: Egzystencja i twierdzenia o korespondencji dla procedur głosowania i funkcji pomocy społecznej”. Czasopismo Teorii Ekonomicznej . 10 (2): 187–217. CiteSeerX  10.1.1.471.9842 . doi : 10.1016/0022-0531(75)90050-2 .
• Vickrey, William (1961). „Kontrspekulacje, aukcje i konkurencyjne zamknięte przetargi” (PDF) . Dziennik Finansów . 16 (1): 8–37. doi : 10.1111/j.1540-6261.1961.tb02789.x .

Dalsza lektura

• Rozdział 7 Fudenberga, Drew; Tirole, Jean (1991), Teoria gier , Boston: MIT Press , ISBN 978-0-262-06141-4. Standardowy tekst dla absolwentów teorii gier.
• rozdział 23 Mas-Colella ; Whinston; Green (1995), Teoria mikroekonomiczna , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-507340-9. Standardowy tekst dla absolwentów mikroekonomii.
• Milgrom, Paul (2004), Wprowadzenie teorii aukcji do pracy , New York: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55184-7. Zastosowania zasad projektowania mechanizmów w kontekście aukcji.
• Noam Nisan . Rozmowa tech Google na konstrukcji mechanizmu.
• Legros, Patryk; Cantillon, Estelle (2007). „Co to jest projektowanie mechanizmów i dlaczego ma to znaczenie dla tworzenia polityki?” . Centrum Badań Polityki Gospodarczej .
• Rogera B. Myersona (2008). „Projektowanie mechanizmu”, The New Palgrave Dictionary of Economics Online, streszczenie.
• Diamantaras, Dimitrios (2009), A Toolbox for Economic Design , Nowy Jork: Palgrave Macmillan , ISBN 978-0-230-61060-6. Tekst dyplomowy skoncentrowany w szczególności na projektowaniu mechanizmów.

Linki zewnętrzne

• Eric Maskin „ Wykład o nagrodzie Nobla ” wygłoszony 8 grudnia 2007 r. w Auli Magna Uniwersytetu Sztokholmskiego.