Przestrzeń metryczna - Metric space

W matematyce , o przestrzeń metryczna jest zestaw wraz z metryką na planie. Metryka to funkcja definiująca pojęcie odległości między dowolnymi dwoma elementami zbioru, które zwykle nazywane są punktami . Metryka spełnia kilka prostych właściwości. Nieprzepisowo:

  • odległość od do wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy i są tym samym punktem,
  • odległość między dwoma różnymi punktami jest dodatnia,
  • odległość od do jest taka sama jak odległość od do , a
  • odległość od do jest mniejsza lub równa odległości od do przez dowolny trzeci punkt .

Metryka w przestrzeni indukuje własności topologiczne, takie jak zbiory otwarte i zamknięte , które prowadzą do badania bardziej abstrakcyjnych przestrzeni topologicznych .

Najbardziej znaną przestrzenią metryczną jest trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa . W rzeczywistości „metryka” jest uogólnieniem metryki euklidesowej wynikającej z czterech od dawna znanych właściwości odległości euklidesowej. Metryka euklidesowa definiuje odległość między dwoma punktami jako długość łączącego je odcinka linii prostej . Inne przestrzenie metryczne występują np. w geometrii eliptycznej i geometrii hiperbolicznej , gdzie odległość na sferze mierzona kątem jest metryką, a hiperboloidalny model geometrii hiperbolicznej jest wykorzystywany przez szczególną teorię względności jako przestrzeń metryczna prędkości . Do niektórych niegeometrycznych przestrzeni metrycznych należą przestrzenie skończonych ciągów ( skończonych ciągów symboli z predefiniowanego alfabetu) wyposażone np. w odległość Hamminga lub Levenshteina , przestrzeń podzbiorów dowolnej przestrzeni metrycznej wyposażona w odległość Hausdorffa , przestrzeń rzeczywista funkcje całkowalne na przedziale jednostkowym z metryką całkową lub przestrzenie probabilistyczne na dowolnie wybranej przestrzeni metrycznej wyposażonej w metrykę Wassersteina . Zobacz także rozdział § Przykłady przestrzeni metrycznych .

Historia

W 1906 Maurice Fréchet wprowadził przestrzenie metryczne w swojej pracy Sur quelques points du calcul fonctionnel . Jednak nazwa pochodzi od Felixa Hausdorffa .

Definicja

Przestrzeń metryczna jest uporządkowane pary gdzie jest zestaw i jest metryką na , tj funkcja

tak, że dla dowolnego , obowiązuje:

1. tożsamość nieodróżnialnych
2. symetria
3. subaddytywność lub nierówność trójkąta

Biorąc pod uwagę powyższe trzy aksjomaty, mamy również to dla każdego . Jest to wywnioskowane w następujący sposób (od góry do dołu):

przez nierówność trójkąta
przez symetrię
przez tożsamość nieodróżnialnych
mamy nienegatywność

Funkcja ta jest również nazywana funkcją odległości lub po prostu odległością . Często jest pomijany i po prostu pisze się dla przestrzeni metryki, jeśli z kontekstu jasno wynika, jaka metryka jest używana.

Pomijając szczegóły matematyczne, dla dowolnego układu dróg i terenów odległość między dwoma lokalizacjami można zdefiniować jako długość najkrótszej trasy łączącej te lokalizacje. Aby być metryką, nie powinno być żadnych dróg jednokierunkowych. Nierówność trójkąta wyraża fakt, że objazdy nie są skrótami. Jeśli odległość między dwoma punktami wynosi zero, te dwa punkty są nie do odróżnienia od siebie. Wiele z poniższych przykładów można postrzegać jako konkretne wersje tej ogólnej idei.

Przykłady przestrzeni metrycznych

  • Te liczby rzeczywiste z funkcji odległości określonej przez bezwzględną różnicę , a bardziej ogólnie, euklidesowej n -kosmiczna z odległością euklidesową , są kompletne przestrzeni metrycznych. Te liczby wymierne o tej samej funkcji odległości tworzą również metryki przestrzeni, ale nie pełne jeden.
  • Na dodatnie liczby rzeczywiste z funkcją odległość jest kompletnym przestrzenią metryczną.
  • Każda unormowana przestrzeń wektorowa jest przestrzenią metryczną przez zdefiniowanie , zobacz także metryki na przestrzeniach wektorowych . (Jeśli taka przestrzeń jest pełna , nazywamy ją przestrzenią Banacha .) Przykłady:
  • British Rail metryczny (zwany również „poczta metryczny” lub „ SNCF metryczny”) na przestrzeń unormowana jest przez dla różnych punktach i , i . Bardziej ogólnie można ją zastąpić funkcją przyjmującą dowolny zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych i przyjmującą wartość co najwyżej raz: wtedy metryka jest definiowana przez przez dla różnych punktów oraz , i . Nazwa nawiązuje do tendencji podróży kolejowych do przechodzenia przez Londyn (lub Paryż) niezależnie od miejsca docelowego.
  • Jeśli jest przestrzenią metryczną i jest podzbiorem z , wtedy staje się przestrzenią metryczną ograniczając domenę do .
  • Dyskretna metryka , gdzie jeśli i inaczej, jest prosty, ale ważnym przykładem i może być stosowany do wszystkich zestawów. To w szczególności pokazuje, że dla każdego zbioru zawsze istnieje powiązana z nim przestrzeń metryczna. Używając tej metryki, singleton dowolnego punktu jest otwartą kulą , dlatego każdy podzbiór jest otwarty, a przestrzeń ma dyskretną topologię .
  • Skończona przestrzeń metryczna to przestrzeń metryczna o skończonej liczbie punktów. Nie każda skończona przestrzeń metryczna może być izometrycznie osadzona w przestrzeni euklidesowej .
  • Hiperboliczny samolot jest przestrzenią metryczną. Bardziej ogólnie:
    • Jeśli jakikolwiek połączone Riemanna kolektora , to można włączyć do przestrzeni metrycznej, określając odległość pomiędzy dwoma punktami, jak infimum o długości torów (płynna rozróżnialne krzywe ) łączniki.
  • Jeśli jest jakiś zestaw i jest przestrzenią metryczną, a następnie, zbiór wszystkich funkcja ograniczona (tzn tych funkcji, których obraz jest ograniczonym podzbiorem z ) może być przekształcona w przestrzeni metrycznej poprzez zdefiniowanie dla dowolnych dwóch ograniczonych funkcji i (gdzie jest Supremum ) . Ta metryka jest nazywana metryką jednolitą lub metryką nadrzędną, a jeśli jest kompletna, to ta przestrzeń funkcji jest również kompletna. Jeśli X jest również przestrzenią topologiczną, to zbiór wszystkich ograniczonych funkcji ciągłych od do (wyposażonych w jednolitą metrykę) będzie również metryką kompletną, jeśli M jest.
  • Jeśli jest grafem połączonym nieskierowanym , to zbiór wierzchołków może zostać przekształcony w przestrzeń metryczną poprzez zdefiniowanie długości najkrótszej ścieżki łączącej wierzchołki i . W geometrycznej teorii grup stosuje się to do grafu Cayleya grupy, w wyniku czego otrzymuje się słowo metryka .
  • Odległość edycji wykresu jest miarą niepodobieństwa między dwoma wykresami , zdefiniowaną jako minimalna liczba operacji edycji wykresu wymaganych do przekształcenia jednego wykresu w drugi.
  • Odległość Levenshteina jest miarą odmienności między dwoma strunami i zdefiniowany jako minimalną liczbę znaków delecji, insercji lub substytucji wymagane do przekształcenia się . Można to traktować jako szczególny przypadek metryki najkrótszej ścieżki na wykresie i jest to jeden z przykładów odległości edycji .
  • Biorąc pod uwagę przestrzeń metryczną i rosnącą funkcję wklęsłą taką, że wtedy i tylko wtedy , gdy , to również jest metryką na .
  • Biorąc pod uwagę funkcję iniekcyjną z dowolnego zestawu do przestrzeni metryki , definiuje metrykę na .
  • Korzystając z teorii T , ciasna rozpiętość przestrzeni metrycznej jest również przestrzenią metryczną. Wąski zakres jest przydatny w kilku typach analiz.
  • Zbiór macierzy all by nad jakimś polem jest przestrzenią metryczną ze względu na odległość rang .
  • Helly metryczny jest stosowany w teorii gier .

Zbiory otwarte i zamknięte, topologia i zbieżność

Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną w naturalny sposób, dlatego wszystkie definicje i twierdzenia o ogólnych przestrzeniach topologicznych odnoszą się również do wszystkich przestrzeni metrycznych.

Wokół dowolnego punktu w przestrzeni metrycznej definiujemy otwartą kulę o promieniu (gdzie jest liczbą rzeczywistą) jako zbiór

Te otwarte kule tworzą podstawę topologii na M , czyniąc ją przestrzenią topologiczną .

Wyraźnie, podzbiór z nazywany jest otwarty , gdy dla każdego w tam istnieje takie, które jest zawarte w . Dopełnienie zbioru otwartego nazywa zamknięte . Sąsiedztwo punktu jest dowolny podzbiór , który zawiera otwartą piłkę o jako podzbiór.

Przestrzeń topologiczna, która może powstać w ten sposób z przestrzeni metrycznej, nazywana jest przestrzenią metryzowalną .

Sekwencja ( ) w przestrzeni metrycznej mówi się zbieg do granicy , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego , istnieje wiele naturalnych N tak, że dla wszystkich . Równoważnie można posłużyć się ogólną definicją zbieżności dostępną we wszystkich przestrzeniach topologicznych.

Podzbiór przestrzeni metrycznej jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy każda sekwencja w tym zbiega się do granicy w ma swój limit w .

Rodzaje przestrzeni metrycznych

Kompletne przestrzenie

Mówi się, że przestrzeń metryczna jest kompletna, jeśli każda sekwencja Cauchy'ego jest zbieżna w . To znaczy: jeśli tak samo jak i niezależnie idą w nieskończoność, to są tacy z .

Każda przestrzeń euklidesowa jest kompletna, podobnie jak każdy zamknięty podzbiór przestrzeni kompletnej. Liczby wymierne korzystające z metryki wartości bezwzględnej nie są kompletne.

Każda przestrzeń metryczna ma unikalne (aż do izometrii ) uzupełnienie , które jest kompletną przestrzenią zawierającą daną przestrzeń jako gęsty podzbiór. Na przykład liczby rzeczywiste są dopełnieniem wymiernych.

Jeśli jest kompletnym podzbiorem przestrzeni metrycznej , to jest zamknięty w . Rzeczywiście, przestrzeń jest kompletna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięta w jakiejkolwiek zawierającej przestrzeni metrycznej.

Każda pełna przestrzeń metryczna to przestrzeń Baire'a .

Przestrzenie ograniczone i całkowicie ograniczone

Średnica kompletu.

Przestrzeń metryczna nazywa się ograniczona, jeśli istnieje jakaś liczba, taka, żedla wszystkich Najmniejsza możliwa liczbanazywa sięśrednica odprzestrzeninazywaprezwartylubcałkowicie ograniczona, jeżeli dla każdegoistnieje skończenie wiele otwartych kulek o promieniu, którego okładki uniaPonieważ zestaw centrach tych kulek jest skończony, ma średnicę skończony, z którego wynika (za pomocą nierówności trójkąta ), że każda całkowicie ograniczona przestrzeń jest ograniczona. Odwrotność nie obowiązuje, ponieważ każdy nieskończony zbiór może mieć metrykę dyskretną (jeden z powyższych przykładów), zgodnie z którą jest ograniczony, ale nie jest całkowicie ograniczony.

Zauważ, że w kontekście odcinków w przestrzeni liczb rzeczywistych, a czasami obszarów w przestrzeni euklidesowej zbiór ograniczony jest określany jako „odstęp skończony” lub „obszar skończony”. Jednak ograniczoność nie powinna być generalnie mylona z „skończonością”, która odnosi się do liczby elementów, a nie do tego, jak daleko sięga zbiór; skończoność implikuje ograniczenie, ale nie odwrotnie. Zauważ również, że nieograniczony podzbiór może mieć skończoną objętość .

Kompaktowe przestrzenie

Przestrzeń metryczna jest zwarta, jeśli każda sekwencja w ma podciąg, który jest zbieżny do punktu w . Jest to znane jako zwartość sekwencyjna i w przestrzeniach metrycznych (ale nie w ogólnych przestrzeniach topologicznych) jest równoważne topologicznym pojęciom policzalnej zwartości i zwartości zdefiniowanej przez otwarte pokrywy .

Przykłady zwartych przestrzeni metrycznych obejmują przedział domknięty z metryką wartości bezwzględnej, wszystkie przestrzenie metryczne ze skończoną liczbą punktów oraz zbiór Cantora . Każdy zamknięty podzbiór zwartej przestrzeni sam w sobie jest zwarty.

Przestrzeń metryczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest kompletna i całkowicie ograniczona. Jest to znane jako twierdzenie Heinego-Borela . Zauważ, że zwartość zależy tylko od topologii, podczas gdy granica zależy od metryki.

Lebesgue'a liczba lemat mówi, że dla każdego pokrycia otwartego zwartej przestrzeni metrycznej , istnieje „numer Lebesgue'a” takie, że każdy podzbiór o średnicy zawarta jest w niektórych państwach pokrywy.

Każda zwarta przestrzeń metryczna jest policzalna w sekundach i jest ciągłym obrazem zbioru Cantora . (Ten ostatni wynik to zasługa Pawła Aleksandrowa i Urysohna .)

Lokalnie zwarte i odpowiednie przestrzenie

Mówi się, że przestrzeń metryczna jest lokalnie zwarta, jeśli każdy punkt ma zwarte sąsiedztwo. Przestrzenie euklidesowe są lokalnie zwarte, ale nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha nie.

Przestrzeń jest odpowiednia, jeśli każda zamknięta kula jest zwarta. Właściwe przestrzenie są lokalnie zwarte, ale odwrotność jest generalnie nieprawdą.

Powiązanie

Przestrzeń metryczna jest połączona, jeśli jedyne podzbiory, które są zarówno otwarte, jak i zamknięte, to zbiór pusty i on sam.

Przestrzeń metryczna jest ścieżką połączoną, jeśli dla dowolnych dwóch punktów istnieje ciągła mapa z i . Przestrzeń połączona ze ścieżką jest połączona, ale ogólnie rzecz biorąc, nie jest to prawdą.

Istnieją również lokalne wersje tych definicji: przestrzenie połączone lokalnie i przestrzenie połączone lokalnie ścieżką .

Po prostu połączone przestrzenie to takie, które w pewnym sensie nie mają „dziur”.

Oddzielne przestrzenie

Przestrzeń metryczna jest przestrzenią rozdzielną, jeśli ma policzalny gęsty podzbiór. Typowymi przykładami są liczby rzeczywiste lub dowolna przestrzeń euklidesowa. Dla przestrzeni metrycznych (ale nie dla ogólnych przestrzeni topologicznych) separowalność jest równoważna z policzalnością sekund, a także z własnością Lindelöfa .

Zaostrzone przestrzenie metryczne

Jeśli jest przestrzenią metryczną, a następnie jest nazywana przestrzenią metryczną wskazaną i jest nazywana punktem wyróżniającym . Zwróć uwagę, że wskazana przestrzeń metryczna to po prostu niepusta przestrzeń metryczna ze zwróceniem uwagi na jej wyróżniony punkt, a każda niepusta przestrzeń metryczna może być postrzegana jako wskazana przestrzeń metryczna. Wyróżniony punkt jest czasami oznaczany ze względu na jego zachowanie podobne do zera w pewnych kontekstach.

Rodzaje map między przestrzeniami metrycznymi

Załóżmy i są dwiema przestrzeniami metrycznymi.

Mapy ciągłe

Mapa jest ciągła, jeśli ma jedną (a zatem wszystkie) z następujących równoważnych właściwości:

Ogólna ciągłość topologiczna
dla każdego otwartego zestawu w , podgląd jest otwarty w
Jest to ogólna definicja ciągłości w topologii .
Ciągłość sekwencyjna
if jest sekwencją, która jest zbieżna do , to sekwencja jest zbieżna do in .
Jest to ciągłość sekwencyjna , dzięki Eduardowi Heine .
ε-δ definicja
dla każdego i każdego istnieje takie, że dla wszystkich w my mamy
Wykorzystuje (ε, δ)-definicję limitu i jest spowodowane przez Augustina Louisa Cauchy'ego .

Co więcej, jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na każdym zwartym podzbiorze .

Obraz każdego kompaktowego zestawu pod ciągłą funkcją jest zwarta, a obraz z każdego podłączonego zestawu pod ciągłą funkcją jest podłączony.

Mapy jednostajnie ciągłe

Mapa jest jednostajnie ciągła, jeśli dla każdego istnieje taka, że

Każda jednostajnie ciągła mapa jest ciągła. Odwrotność jest prawdziwa, jeśli jest zwarta ( twierdzenie Heine-Cantora ).

Jednostajnie ciągłe mapy zamieniają sekwencje Cauchy'ego w sekwencje Cauchy'ego w . W przypadku map ciągłych jest to generalnie błędne; na przykład ciągła mapa z otwartego interwału na rzeczywistą linię zamienia niektóre sekwencje Cauchy'ego w sekwencje nieograniczone.

Lipschitz-ciągłe mapy i skurcze

Biorąc pod uwagę liczbę rzeczywistą , mapa jest ciągłą K- Lipschitz, jeśli

Każda mapa ciągła Lipschitza jest jednostajnie ciągła, ale odwrotność nie jest generalnie prawdziwa.

Jeśli , to nazywa się skróceniem . Załóżmy i jest kompletne. Jeśli jest skróceniem, to dopuszcza jednoznaczny punkt stały ( twierdzenie Banacha o punkcie stałym ). Jeśli jest zwarty, warunek można nieco osłabić: dopuszcza unikalny punkt stały, jeśli

.

Izometrie

Mapa jest izometrią, jeśli

Izometrie są zawsze iniektywne ; obraz zwartego lub kompletnego zestawu pod izometrią jest odpowiednio zwarty lub kompletny. Jeśli jednak izometria nie jest surjektywna , to obraz zbioru zamkniętego (lub otwartego) nie musi być zamknięty (lub otwarty).

Quasi-izometrie

Mapa jest quasi-izometrią, jeśli istnieją stałe i takie, że

oraz stałą taką, że każdy punkt w ma odległość co najwyżej od jakiegoś punktu obrazu .

Zauważ, że quasi-izometria nie musi być ciągła. Quasi-izometrie porównują „wielkoskalową strukturę” przestrzeni metrycznych; znajdują zastosowanie w geometrycznej teorii grup w odniesieniu do słowa metryka .

Pojęcia równoważności przestrzeni metrycznej

Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie metryczne i :

  • Nazywa się je homeomorficznymi (topologicznie izomorficznymi), jeśli istnieje między nimi homeomorfizm (tj. bijekcja ciągła w obu kierunkach).
  • Nazywa się je uniformicznymi (jednostajnie izomorficznymi), jeśli istnieje między nimi jednorodny izomorfizm (tj. bijekcja jednostajnie ciągła w obu kierunkach).
  • Nazywa się je izometrycznymi, jeśli istnieje między nimi izometria bijektywna . W tym przypadku obie przestrzenie metryczne są zasadniczo identyczne.
  • Nazywa się je quasi-izometrycznymi, jeśli istnieje między nimi quasi-izometria .

Właściwości topologiczne

Przestrzenie metryczne są parazwartymi przestrzeniami Hausdorffa, a więc normalnymi (w rzeczywistości są całkowicie normalne). Ważną konsekwencją jest to, że każda przestrzeń metryczna dopuszcza podziały jedności i że każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych zdefiniowana na zamkniętym podzbiorze przestrzeni metrycznej może być rozszerzona do ciągłej mapy na całej przestrzeni ( Twierdzenie o rozszerzaniu Tietze ). Prawdą jest również, że każda mapa ciągła Lipschitza o wartościach rzeczywistych zdefiniowana na podzbiorze przestrzeni metrycznej może być rozszerzona na mapę ciągłą Lipschitza obejmującą całą przestrzeń.

Przestrzenie metryczne są najpierw policzalne, ponieważ jako podstawy sąsiedztwa można użyć kulek o promieniu wymiernym.

Topologia metryczna w przestrzeni metrycznej jest najgrubszą topologią, względem której metryka jest ciągłą mapą od iloczynu siebie do nieujemnych liczb rzeczywistych.

Odległość między punktami i zbiorami; Odległość Hausdorffa i metryka Gromova

Prostym sposobem na skonstruowanie funkcji oddzielającej punkt od zbioru domkniętego (wymaganego dla całkowicie regularnej przestrzeni) jest uwzględnienie odległości między punktem a zbiorem . Jeśli jest przestrzenią metryczną, to podzbiór od i jest punktem , możemy określić odległość od celu , jak

gdzie reprezentuje dolny .

Potem tylko wtedy, gdy należy do zamknięcia dnia . Ponadto mamy następujące uogólnienie nierówności trójkąta:

co w szczególności pokazuje, że mapa jest ciągła.

Biorąc pod uwagę dwa podzbiory i od definiujemy ich odległości Hausdorffa być

gdzie reprezentuje najwyższe .

Ogólnie odległość Hausdorffa może być nieskończona. Dwa zbiory są blisko siebie w odległości Hausdorffa, jeśli każdy element jednego z nich jest blisko jakiegoś elementu drugiego zbioru.

Odległość Hausdorffa zamienia zbiór wszystkich niepustych zwartych podzbiorów w przestrzeń metryczną. Można pokazać, że jest zupełne, jeśli jest zupełne. (Inne pojęcie zbieżności podzbiorów zwartych podaje zbieżność Kuratowskiego .)

Można następnie zdefiniować odległość Gromova-Hausdorffa między dowolnymi dwoma przestrzeniami metrycznymi, biorąc pod uwagę minimalną odległość Hausdorffa izometrycznie osadzonych wersji dwóch przestrzeni. Korzystając z tej odległości, klasa wszystkich (klas izometrycznych) kompaktowych przestrzeni metrycznych staje się samodzielną przestrzenią metryczną.

Przestrzenie metryczne produktu

Jeśli są przestrzeniami metrycznymi i jest normą euklidesową na , to jest przestrzenią metryczną, w której metryka iloczynu jest zdefiniowana przez

a indukowana topologia zgadza się z topologią produktu . O równoważności normami skończonych wymiarach odpowiednik metryczny uzyskuje się, gdy jest norma taksówki , A P normą , norma maksimum lub jakichkolwiek norm, które nie jest zmniejszenie jako współrzędne pozytywnej wzrostu -tuple (otrzymując nierówność trójkąta).

Podobnie policzalny iloczyn przestrzeni metrycznych można otrzymać za pomocą następującej metryki

Niepoliczalny iloczyn przestrzeni metrycznych nie musi być metryzowalny. Na przykład nie jest policzalny jako pierwszy, a zatem nie jest metryzowalny.

Ciągłość odległości

W przypadku pojedynczej przestrzeni mapa odległości (z definicji ) jest jednolicie ciągła w odniesieniu do dowolnej z powyższych metryk iloczynowych , a w szczególności jest ciągła w odniesieniu do topologii iloczynowej .

Iloraz przestrzeni metrycznych

Jeśli M jest przestrzenią metryczną z metryką i jest relacją równoważności na , to możemy nadać zbiorowi ilorazu pseudometrykę. Biorąc pod uwagę dwie klasy równoważności i , definiujemy

gdzie infimum zostaje przejęty wszystkich ciągów skończonych i z , , . Ogólnie rzecz biorąc, definiuje to tylko pseudometrykę , tj. niekoniecznie oznacza to . Jednak dla niektórych relacji równoważności (np. tych, które otrzymuje się przez sklejenie wielościanów wzdłuż ścian), jest metryką.

Metryka ilorazowa charakteryzuje się następującą uniwersalną własnością . If jest mapą metryczną pomiędzy przestrzeniami metrycznymi (to znaczy dla wszystkich , ) spełniającą zawsze wtedy, gdy indukowana funkcja , podana przez , jest mapą metryczną

Przestrzeń topologiczna jest sekwencyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ilorazem przestrzeni metrycznej.

Uogólnienia przestrzeni metrycznych

  • Każda przestrzeń metryczna jest jednolita przestrzeń w sposób naturalny, a każda przestrzeń jest jednorodna naturalnie przestrzenią topologiczną . Przestrzenie jednolite i topologiczne można zatem traktować jako uogólnienia przestrzeni metrycznych.
  • Złagodzenie wymogu, aby odległość między dwoma różnymi punktami była niezerowa, prowadzi do koncepcji przestrzeni pseudometrycznej lub przemieszczonej przestrzeni metrycznej. Usuwając wymóg symetrii, dochodzimy do przestrzeni quasimetrycznej . Zastąpienie nierówności trójkąta słabszą formą prowadzi do przestrzeni semimetrycznych .
  • Jeśli funkcja odległości przyjmuje wartości w rozszerzonej linii liczb rzeczywistych , ale poza tym spełnia warunki metryki, wówczas nazywa się ją rozszerzoną metryką, a odpowiadająca jej przestrzeń nazywa się przestrzenią -metryczną . Jeśli funkcja odległości przyjmuje wartości w jakimś (odpowiednim) uporządkowanym zbiorze (a nierówność trójkąta jest odpowiednio dostosowana), to dochodzimy do pojęcia uogólnionej ultrametrii .
  • Przestrzenie podejścia są uogólnieniem przestrzeni metrycznych, opartych na odległościach od punktu do punktu, a nie na odległościach od punktu do punktu.
  • Przestrzeń ciągłości jest uogólnieniem przestrzeni metrycznych i Posets , które mogą być stosowane w celu ujednolicenia pojęcia przestrzeni metrycznych i dziedzinach .
  • Częściowa przestrzeń metryczna ma być najmniejszym uogólnieniem pojęcia przestrzeni metrycznej, tak aby odległość każdego punktu od niego nie była już koniecznie zerowa.

Przestrzenie metryczne jako kategorie wzbogacone

Uporządkowany zestaw można postrzegać jako kategorię , żądając dokładnie jednego morfizmu, jeśli i żadnego innego. Używając go jako iloczynu tensorowego i jako tożsamości , staje się kategorią monoidalną . Każda przestrzeń metryczna może być teraz oglądana jako kategoria wzbogacona o :

  • Ustawić
  • Dla każdego zestawu
  • Morfizmem składu będzie morfizm unikalny w danym z nierówności trójkąta
  • Morfizm tożsamości będzie unikalnym morfizmem wynikającym z faktu, że .
  • Ponieważ jest posetem, wszystkie diagramy, które są wymagane do wzbogaconej kategorii, dojeżdżają automatycznie.

Zobacz artykuł FW Lawvere wymieniony poniżej.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Jest to przedrukowane (z komentarzem autora) w Reprints in Theory and Applications of Categories Również (z autorskim komentarzem) w Enriched kategoriach w logice geometrii i analizie. Repr. Teoria Zał. Kategoria Nr 1 (2002), 1-37.

Zewnętrzne linki