Tensor metryczny (ogólna teoria względności) — Metric tensor (general relativity)

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} g_ {00} i g_ {01} i g_ {02} i g_ {03} \ \ g_ {10} i g_ {11} i g_ {12} i g_ {13} \ \ g_ {20} i g_ {21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}$ Tensor metryczny czasoprzestrzeni w ogólnej teorii względności zapisany jako macierz

W ogólnej teorii względności , tensor metryczny (w tym kontekście często w skrócie po prostu metryczny ) jest podstawowym przedmiotem badań. To może być luźno traktowane jako uogólnienie grawitacyjnym potencjałem w newtonowskiej grawitacji . Metryka objąć wszystkie geometryczne i przyczynowe struktura z czasoprzestrzeni , używane do zdefiniowania pojęcia takie jak czas, odległość, objętości, kąta krzywizny oraz oddzieleniu przyszłości i przeszłości.

Notacja i konwencje

W tym artykule pracujemy z podpisem metryki, który jest w większości pozytywny ( − + + + ); zobacz konwencję znaków . Stała grawitacji będą przechowywane jednoznaczne. W tym artykule zastosowano konwencję sumowania Einsteina , w której powtarzające się indeksy są automatycznie sumowane. ${\ Displaystyle G}$

Definicja

Matematycznie czasoprzestrzeń jest reprezentowana przez czterowymiarową rozmaitość różniczkowalną, a tensor metryczny jest podany jako kowariant , symetryczny tensor drugiego stopnia na , umownie oznaczany przez . Ponadto metryka musi być niezdegenerowana z podpisem (− + + +) . Rozmaitość wyposażona w taką metrykę jest rodzajem rozmaitości Lorentzowskiej . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle g}$ ${\ Displaystyle M}$

Jawnie tensor metryka jest symetryczny forma dwuliniowa na każdej powierzchni stycznej w który zmienia się w sposób płynny (lub różniczkowej) sposób z punktu do punktu. Mając dwa wektory styczne i w punkcie w , metrykę można oszacować na i dać liczbę rzeczywistą: ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\ Displaystyle g_ {x} (u, v) = g_ {x} (v, u) \ w \ mathbb {R}.}$

Jest to uogólnienie iloczynu skalarnego zwykłej przestrzeni euklidesowej . W przeciwieństwie do przestrzeni euklidesowej – gdzie iloczyn skalarny jest dodatnio określony – metryka jest nieokreślona i nadaje każdej przestrzeni stycznej strukturę przestrzeni Minkowskiego .

Współrzędne lokalne i reprezentacje macierzowe

Fizycy pracują zazwyczaj w lokalnym układzie współrzędnych (czyli współrzędne zdefiniowane na jakimś lokalnym plaster z ). We współrzędnych lokalnych (gdzie jest indeks od 0 do 3) metrykę można zapisać w postaci ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle x ^ {\ mu}}$${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle g = g_ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} \ czasami dx ^ {\ nu}.}$

Czynnikami są jednopostaciowe gradienty pól współrzędnych skalarnych . Metryka jest zatem liniową kombinacją iloczynów tensorowych jednopostaciowych gradientów współrzędnych. Współczynniki są zbiorem 16 funkcji o wartościach rzeczywistych (ponieważ tensor jest polem tensorowym , które jest zdefiniowane we wszystkich punktach rozmaitości czasoprzestrzeni ). Aby metryka była symetryczna, musimy mieć ${\ Displaystyle dx ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle x ^ {\ mu}}$${\displaystyle g_{\mu\nu}}$${\displaystyle g}$

${\ Displaystyle g_ {\ mu \ nu} = g_ {\ nu \ mu},}$

dając 10 niezależnych współczynników.

Jeśli zostaną określone lokalne współrzędne lub zrozumiane z kontekstu, metrykę można zapisać jako symetryczną macierz 4 × 4 z wpisami . Niedegeneracja oznacza, że ​​macierz ta jest nieosobliwa (tj. ma nieznikający wyznacznik), podczas gdy Lorentzowska sygnatura oznacza, że ​​macierz ma jedną ujemną i trzy dodatnie wartości własne . Zauważ, że fizycy często odnoszą się do tej macierzy lub samych współrzędnych jako metryki (patrz jednak abstrakcyjny zapis indeksu ). ${\displaystyle g_{\mu\nu}}$${\displaystyle g_{\mu\nu}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g_{\mu\nu}}$

Ponieważ wielkości są uważane za składowe czterowektorowego przemieszczenia o nieskończenie małych współrzędnych (nie mylić z postaciami jedności tego samego zapisu powyżej), metryka określa niezmienny kwadrat nieskończenie małego elementu linii , często określany jako interwał . Przedział jest często oznaczany ${\ Displaystyle dx ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = g_ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}.}$

Przedział dostarcza informacji o przyczynowej strukturze czasoprzestrzeni . Kiedy interwał jest podobny do czasu, a pierwiastek kwadratowy z wartości bezwzględnej jest przyrostowym czasem właściwym . Masywny obiekt może fizycznie pokonywać tylko interwały czasowe. Kiedy , interwał jest podobny do światła i mogą go przemierzać tylko (bezmasowe) obiekty poruszające się z prędkością światła. Kiedy interwał jest podobny do przestrzeni, a pierwiastek kwadratowy z pełni rolę przyrostowej długości właściwej . Przestrzennych interwałów nie można przemierzać, ponieważ łączą one zdarzenia, które znajdują się poza swoimi stożkami świetlnymi . Zdarzenia mogą być powiązane przyczynowo tylko wtedy, gdy znajdują się we wzajemnych stożkach świetlnych. ${\ Displaystyle ds ^ {2}}$${\ Displaystyle ds ^ {2} < 0}$${\ Displaystyle ds ^ {2}}$${\ Displaystyle ds ^ {2} = 0}$${\ Displaystyle ds ^ {2}> 0}$${\ Displaystyle ds ^ {2}}$

Składniki metryki zależą od wyboru lokalnego układu współrzędnych. Przy zmianie współrzędnych składowe metryczne przekształcają się jako ${\ Displaystyle x ^ {\ mu} \ do x ^ {\ bar {\ mu}}}$

${\ Displaystyle g_ {{\ bar {\ mu}} {\ bar {\ nu }}} = {\ frac {\ częściowy x ^ {\ rho}} {\ częściowy x ^ {\ bar {\ mu}}} }{\frac {\częściowy x^{\sigma }}{\częściowy x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$

Przykłady

Płaska czasoprzestrzeń

Najprostszym przykładem rozmaitości Lorentzowskiej jest płaska czasoprzestrzeń , którą można podać jako R ⁴ ze współrzędnymi i metryką ${\displaystyle (t,x,y,z)}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dx ^ {2} + Dy ^ {2} + dz ^ {2} = \ eta _ { \ mu \ nu } dx ^ {\mu}dx^{\nu}.\,}$

Zauważ, że te współrzędne w rzeczywistości obejmują cały R ⁴ . Metryka przestrzeni płaskiej (lub metryka Minkowskiego ) jest często oznaczana symbolem η i jest metryką używaną w szczególnej teorii względności . W powyższych współrzędnych macierzowa reprezentacja η to

${\ Displaystyle \eta = {\ zacząć {pmatrix}-c ^ {2} i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$

(Alternatywna konwencja zastępuje współrzędne przez , i definiuje jak w przestrzeni Minkowskiego § podstawa standardowa .) ${\displaystyle t}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \eta}$

We współrzędnych sferycznych metryka przestrzeni płaskiej przyjmuje postać ${\displaystyle (t,r,\theta,\phi)}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = - c ^ {2} dt ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} d \ Omega ^ {2} \,}$

gdzie

${\ Displaystyle d \ Omega ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \ d \ phi ^ {2}}$

to standardowa metryka w 2-sferze .

Metryki czarnej dziury

Schwarzschilda metryki opisano nienaładowany, nieobrotową czarną dziurę. Istnieją również metryki opisujące rotujące i naładowane czarne dziury.

Metryka Schwarzschilda

Oprócz metryki płaskiej przestrzeni, najważniejszą metryką w ogólnej teorii względności jest metryka Schwarzschilda, którą można podać w jednym zestawie współrzędnych lokalnych przez

${\ Displaystyle ds ^ {2} = - \ lewo (1-{\ Frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ prawej) c ^ {2} dt ^ {2} + \ lewo (1- {\ frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

gdzie znowu jest standardową metryką na 2-sferze . Tutaj jest stała grawitacji i jest stałą z wymiarami masy . Jej wyprowadzenie można znaleźć tutaj . Metryka Schwarzschilda zbliża się do metryki Minkowskiego zbliżając się do zera (z wyjątkiem początku, gdzie jest niezdefiniowana). Podobnie, gdy idzie do nieskończoności, metryka Schwarzschilda zbliża się do metryki Minkowskiego. ${\ Displaystyle d \ Omega ^ {2}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle r}$

Ze współrzędnymi

${\ Displaystyle \ lewo (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} \ prawo) = (ct, r, \ theta, \ varphi) \,,}$

możemy zapisać metrykę jako

${\ Displaystyle g_ {\ mu \ nu} = {\ zacząć {bmatrix} - \ lewo (1-{\ Frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ prawej) i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i \ lewo (1- { \frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix} }\,.}$

Kilka innych systemów współrzędnych zostały opracowane dla Metryka Schwarzschilda: współrzędne Eddington-Finkelstein , współrzędne Gullstrand-Painlevé , współrzędne Kruskala- Szekeres i współrzędne Lemaitre .

Obracające się i naładowane czarne dziury

Rozwiązanie Schwarzschilda zakłada, że ​​obiekt nie obraca się w przestrzeni i nie jest naładowany. Aby uwzględnić ładunek, metryka musi spełniać równania pola Einsteina, jak poprzednio, a także równania Maxwella w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Naładowana, nie obracająca się masa jest opisana metryką Reissnera-Nordströma .

Obracające się czarne dziury są opisane metryką Kerra i metryką Kerra-Newmana .

Inne metryki

Inne ważne dane to:

• metryka Alcubierre ,
• metryki de Sitter / anti-de Sitter ,
• Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metryka ,
• współrzędne izotropowe ,
• Metryka Lemaître-Tolmana (aka metryka Bondi ),
• metryka Peresa ,
• współrzędne Rindlera ,
• Współrzędne Weyl-Lewis-Papapetrou ,
• Metryka Gödla .

Niektóre z nich są pozbawione horyzontu zdarzeń lub mogą być pozbawione osobliwości grawitacyjnej .

Tom

Metryka g indukuje naturalną formę objętości (do znaku), która może być wykorzystana do integracji w obszarze rozmaitości. Biorąc pod uwagę lokalne współrzędne rozmaitości, można zapisać formę objętości ${\ Displaystyle x ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {vol} _ {g} = \ pm {\ sqrt {| \ det [g_ {\ mu \ nu}] |}} \ dx ^ {0} \ klin dx ^ {1} \ klin dx^{2}\klin dx^{3}}$

gdzie jest wyznacznikiem macierzy składowych tensora metrycznego dla danego układu współrzędnych. ${\ Displaystyle \ det [g_ {\ mu \ nu}]}$

Krzywizna

Metryka całkowicie określa krzywiznę czasoprzestrzeni. Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem geometrii Riemanna , istnieje unikalne połączenie any na dowolnej rozmaitości semi-riemannowskiej, które jest kompatybilne z metrycznym i wolnym od skręcania . To połączenie nazywa się połączeniem Levi-Civita . W Christoffel symbole tego związku podano w odniesieniu do pochodnych cząstkowych metryka w lokalnych współrzędnych o wzorze ${\displaystyle g}$${\ Displaystyle x ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ lambda} {} _ {\ mu \ nu} = {1 \ ponad 2} g ^ {\ lambda \ rho} \ lewo ({\ częściowy g_ {\ rho \ mu} \ nad \ częściowe x^{\nu }}+{\partial g_{\rho \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\rho }}\right)={1 \over 2}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \ nu ,\rho }\prawo)}$

(gdzie przecinki oznaczają pochodne cząstkowe ).

Krzywizna czasoprzestrzeni jest następnie dana przez tensor krzywizny Riemanna, który jest zdefiniowany w kategoriach połączenia Levi-Civita ∇. We współrzędnych lokalnych tensor ten wyraża się wzorem:

${\ Displaystyle {R ^ {\ rho}} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ częściowy _ {\ mu} \ gamma ^ {\ rho} {} _ {\ nu \ sigma} - \ częściowy _ {\ nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$

Krzywizna jest wtedy wyrażana wyłącznie w kategoriach metryki i jej pochodnych. ${\displaystyle g}$

równania Einsteina

Jedną z podstawowych idei ogólnej teorii względności jest to, że metryka (i związana z nią geometria czasoprzestrzeni) jest określona przez zawartość materii i energii w czasoprzestrzeni . Równania pola Einsteina :

${\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} - {1 \ ponad 2} Rg_ {\ mu \ nu} = {\ Frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ T_ {\ mu \ nu }}$

gdzie tensor krzywizny Ricciego

${\ Displaystyle R_ {\ nu \ rho} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ mu \ rho}}$

i krzywiznę skalarną

${\ Displaystyle R \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ g ^ {\ mu \ nu} R_ {\ mu \ nu}}$

powiązać metrykę (i związane z nią tensory krzywizny) z tensorem naprężenia-energii . To równanie tensorowe jest skomplikowanym zbiorem nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych dla składowych metrycznych. Dokładne rozwiązania równań pola Einsteina są bardzo trudne do znalezienia. ${\ Displaystyle T_ {\ mu \ nu}}$

Zobacz też

• Alternatywy dla ogólnej teorii względności
• Podstawowe wprowadzenie do matematyki zakrzywionej czasoprzestrzeni
• Matematyka ogólnej teorii względności
• Rachunek Ricciego

Bibliografia

• Zobacz zasoby ogólnej teorii względności, aby uzyskać listę odniesień.