Indeks Millera - Miller index

Samoloty z różnymi indeksami Millera w sześciennych kryształach

Przykłady kierunków

Indeksy Millera tworzą system notacji w krystalografii dla płaszczyzn sieci w sieciach krystalicznych (Bravais) .

W szczególności rodzina płaszczyzn sieci danej (bezpośredniej) sieci Bravaisa jest określona przez trzy liczby całkowite h , k , oraz  ℓ , czyli wskaźniki Millera . Są one napisane (hkℓ) i oznacza rodzinę (równolegle) kratowych płaszczyznach (z podanym Bravais kraty) prostopadła do , gdzie są takie podstawy lub prymitywne wektory tłumaczenie z sieci odwrotnej dla danego Bravais kraty. (Zauważ, że płaszczyzna nie zawsze jest prostopadła do liniowej kombinacji bezpośrednich lub oryginalnych wektorów sieci, ponieważ bezpośrednie wektory sieci nie muszą być wzajemnie ortogonalne.) Jest to oparte na fakcie, że odwrotny wektor sieci (wektor wskazujący odwrotny punkt sieci odwrotnego pochodzenia sieci) jest wektorem falowym fali płaskiej w szeregu Fouriera funkcji przestrzennej (np. funkcji gęstości elektronowej), której okresowość jest zgodna z oryginalną siecią Bravaisa, tak więc fronty fali płaskiej pokrywają się z równoległymi płaszczyznami sieciowymi oryginalna krata. Od mierzonego wektora rozpraszania w krystalografii rentgenowskiej , ze jako wychodzący (rozproszonego z sieci krystalicznej) rentgenowski wektora falowego i jako przychodzące (w kierunku sieci krystalicznej) rentgenowski wektora falowego jest równa sieci odwrotnej wektora jak określono za pomocą równań Lauego , zmierzony pik rozproszonego promieniowania rentgenowskiego w każdym mierzonym wektorze rozpraszania jest oznaczony przez wskaźniki Millera . Zgodnie z konwencją ujemne liczby całkowite są zapisywane z kreską, tak jak w 3 dla -3. Liczby całkowite zapisuje się zwykle najniżej, tzn. ich największym wspólnym dzielnikiem powinien być 1. Wskaźniki Millera są również używane do oznaczania odbić w krystalografii rentgenowskiej . W tym przypadku liczby całkowite niekoniecznie są najniższymi wartościami i można je traktować jako odpowiadające płaszczyznom rozmieszczonym w taki sposób, że odbicia od sąsiednich płaszczyzn miałyby różnicę faz o dokładnie jednej długości fali (2π), niezależnie od tego, czy na wszystkich są atomy te samoloty, czy nie. ${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell}=h\mathbf {b_{1}} +k\mathbf {b_{2}} +\ell \mathbf {b_{3}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {b_ {i}}}$${\displaystyle h\mathbf {a_{1}} +k\mathbf {a_{2}} +\ell \mathbf {a_{3}}}$${\displaystyle \mathbf {g}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} = \ mathbf {k} _ {\ operatorname {out}} - \ mathbf {k} _ {\ operatorname {w}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ operatorname {out}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {k} _ {\ operatorname {w}}}$${\displaystyle \mathbf {g}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta k} }$

Istnieje również kilka powiązanych notacji:

• notacja {hkℓ} oznacza zbiór wszystkich płaszczyzn, które są równoważne (hkℓ) przez symetrię sieci.

W kontekście kierunków kryształów (nie płaszczyzn) odpowiednie zapisy to:

• [hkℓ], z nawiasami kwadratowymi zamiast okrągłymi, oznacza kierunek w oparciu o bezpośrednie wektory kratowe zamiast odwrotnej kraty; oraz
• podobnie zapis <hkℓ> oznacza zbiór wszystkich kierunków, które są równoważne [hkℓ] przez symetrię.

Indeksy Millera wprowadził w 1839 r. brytyjski mineralog William Hallowes Miller , chociaż niemal identyczny system ( parametry Weissa ) stosował już od 1817 r. niemiecki mineralog Christian Samuel Weissa. jako Millerian, choć obecnie jest to rzadkie.

Indeksy Millera są definiowane w odniesieniu do dowolnego wyboru komórki elementarnej, a nie tylko w odniesieniu do pierwotnych wektorów bazowych, jak to czasami stwierdza się.

Definicja

Przykłady wyznaczania indeksów dla płaszczyzny za pomocą przecięć z osiami; lewy (111), prawy (221)

Istnieją dwa równoważne sposoby definiowania znaczenia indeksów Millera: poprzez punkt w odwrotności sieci lub jako odwrotność przecięcia wzdłuż wektorów sieci. Obie definicje podano poniżej. W każdym przypadku należy wybrać trzy wektory sieci a ₁ , a ₂ i a _{3 ,} które definiują komórkę elementarną (należy zauważyć, że konwencjonalna komórka elementarna może być większa niż komórka pierwotna sieci Bravais , jak ilustrują poniższe przykłady ). Biorąc to pod uwagę, określa się również trzy prymitywne wektory odwrotności sieci (oznaczone jako b ₁ , b ₂ i b ₃ ).

Wówczas przy danych trzech indeksach Millera h, k, ℓ, (hkℓ) oznaczamy płaszczyzny prostopadłe do odwrotnego wektora sieci:

${\ Displaystyle \ mathbf {g} _ {hk \ ell} = h \ mathbf {b} _ {1} + k \ mathbf {b} _ {2} + \ ell \ mathbf {b} _ {3}.}$

Oznacza to, że (hkℓ) po prostu wskazuje normalną do płaszczyzn na podstawie prymitywnych odwrotnych wektorów sieci. Ponieważ współrzędne są liczbami całkowitymi, ta normalna sama w sobie jest zawsze odwrotnym wektorem sieciowym. Wymóg najniższych członów oznacza, że ​​jest to najkrótszy odwrotny wektor sieci w danym kierunku.

Równoważnie (hkℓ) oznacza płaszczyznę, która przecina trzy punkty a ₁ / h , a ₂ / k i a ₃ / ℓ lub pewną ich wielokrotność. Oznacza to, że indeksy Millera są proporcjonalne do odwrotności punktów przecięcia płaszczyzny na podstawie wektorów sieci. Jeśli jeden ze wskaźników ma wartość zero, oznacza to, że płaszczyzny nie przecinają tej osi (punkt przecięcia znajduje się „w nieskończoności”).

Biorąc pod uwagę tylko (hkℓ) płaszczyzny przecinające jeden lub więcej punktów sieci ( płaszczyzny sieci ), odległość prostopadła d pomiędzy sąsiednimi płaszczyznami sieci jest powiązana z (najkrótszym) odwrotnym wektorem sieci prostopadłym do płaszczyzn wzorem: . ${\ Displaystyle d = 2 \ pi / | \ mathbf {g} _ {hk \ ell} |}$

Powiązany zapis [hkℓ] oznacza kierunek :

${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$

Oznacza to, że wykorzystuje bezpośrednią podstawę sieci zamiast sieci odwrotnej. Zauważ, że [hkℓ] nie jest na ogół normalne do (hkℓ) płaszczyzn, z wyjątkiem sieci sześciennej, jak opisano poniżej.

Sprawa konstrukcji sześciennych

W szczególnym przypadku prostych kryształów sześciennych wektory sieci są ortogonalne i równej długości (zwykle oznaczane jako a ), podobnie jak w przypadku sieci odwrotnej. Tak więc w tym powszechnym przypadku wskaźniki Millera (hkℓ) i [hkℓ] po prostu oznaczają normalne/kierunki we współrzędnych kartezjańskich .

Dla kryształów sześciennych o stałej sieciowej a odległość d pomiędzy sąsiednimi (hkℓ) płaszczyznami sieciowymi wynosi (od góry)

${\ Displaystyle d_ {hk \ ell} = {\ Frac {a} {\ sqrt {h ^ {2} + k ^ {2} + \ ell ^ {2}}}}}$.

Ze względu na symetrię kryształów sześciennych można zmieniać miejsce i znak liczb całkowitych i mieć równoważne kierunki i płaszczyzny:

• Indeksy w nawiasach kątowych, takie jak ⟨100⟩, oznaczają rodzinę kierunków, które są równoważne ze względu na operacje symetrii, takie jak [100], [010], [001] lub ujemną wartość dowolnego z tych kierunków.
• Indeksy w nawiasach klamrowych lub nawiasach klamrowych, takich jak {100}, oznaczają rodzinę normalnych płaszczyzn, które są równoważne ze względu na operacje symetrii, podobnie jak nawiasy kątowe oznaczają rodzinę kierunków.

Dla centrowaną sześciennych i ciała skoncentrowane sześciennych kraty, pierwotne wektory kratowych nie są ortogonalne. Jednak w tych przypadkach indeksy Millera są konwencjonalnie definiowane w odniesieniu do wektorów sieci sześciennej superkomórki, a zatem ponownie są po prostu kierunkami kartezjańskimi.

Przypadek struktur heksagonalnych i romboedrycznych

Indeksy Millera-Bravais

W heksagonalnych i romboedrycznych systemach kratowych możliwe jest zastosowanie systemu Bravais-Millera , który wykorzystuje cztery indeksy ( h k i ℓ ), które są zgodne z ograniczeniem

h + k + i = 0.

Tutaj h , k i ℓ są identyczne z odpowiednimi indeksami Millera, a i jest indeksem nadmiarowym.

Ten czteroindeksowy schemat oznaczania płaszczyzn w siatce heksagonalnej uwidacznia symetrie permutacji. Na przykład podobieństwo między (110) ≡ (11 2 0) i (1 2 0) ≡ (1 2 10) jest bardziej oczywiste, gdy pokazany jest wskaźnik nadmiarowy.

Na rysunku po prawej, płaszczyzna (001) ma potrójną symetrię: pozostaje niezmieniona przez obrót o 1/3 (2π/3 rad, 120°). Kierunki [100], [010] i [ 1 1 0] są bardzo podobne. Jeżeli S jest punktem przecięcia płaszczyzny z osią [ 1 1 0], to

i = 1/ S .

Istnieją również schematy ad hoc (np. w literaturze z zakresu transmisyjnej mikroskopii elektronowej ) do indeksowania heksagonalnych wektorów sieci (zamiast odwrotnych wektorów sieci lub płaszczyzn) za pomocą czterech indeksów. Jednak nie działają one podobnie, dodając nadmiarowy indeks do zwykłego zestawu trzech indeksów.

Na przykład odwrotny wektor sieciowy (hkℓ), jak zasugerowano powyżej, można zapisać w kategoriach odwrotnych wektorów sieci jako . W przypadku kryształów heksagonalnych można to wyrazić w postaci wektorów bazowych o sieci bezpośredniej a ₁ , a ₂ i a ₃ jako ${\displaystyle h\mathbf {b_{1}} +k\mathbf {b_{2}} +\ell \mathbf {b_{3}}}$

${\ Displaystyle h \ mathbf {b_ {1}} + k \ mathbf {b_ {2}} + \ ell \ mathbf {b_ {3}} = {\ Frac {2} {3a ^ {2}}} (2 godz. +k)\mathbf {a_{1}} +{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a_{2}} +{\frac {1}{c^{ 2}}}(\ell )\mathbf {a_{3}} .}$

Stąd wskaźniki strefowe kierunku prostopadłego do płaszczyzny (hkℓ) są, w odpowiednio znormalizowanej postaci trypletowej, po prostu . Kiedy jednak dla strefy normalnej do płaszczyzny (hkℓ) stosuje się cztery indeksy , w literaturze często używa się ich zamiast. Tak więc, jak widać, indeksy stref o czterech indeksach w nawiasach kwadratowych lub kątowych czasami mieszają pojedynczy indeks sieci prostej po prawej stronie z indeksami sieci odwrotnej (zwykle w nawiasach okrągłych lub zakręconych) po lewej stronie. ${\ Displaystyle [2h + k, h + 2k, \ ell (3/2) (a/c) ^ {2}]}$${\ Displaystyle [h, k, -hk, \ ell (3/2) (a/c) ^ {2}]}$

I zauważ, że dla sześciokątnych odległości międzypłaszczyznowych przyjmują one formę

${\ Displaystyle d_ {hk \ ell} = {\ Frac {a} {\ sqrt {{\ tfrac {4}{3}} \ lewo (h ^ {2} + k ^ {2} + hk \ prawej) + {\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$

Płaszczyzny i kierunki krystalograficzne

Gęste płaszczyzny krystalograficzne

Kierunki krystalograficzne to linie łączące węzły ( atomy , jony lub cząsteczki ) kryształu. Podobnie płaszczyzny krystalograficzne są płaszczyznami łączącymi węzły. Niektóre kierunki i płaszczyzny mają większą gęstość węzłów; te gęste płaszczyzny mają wpływ na zachowanie kryształu:

• właściwości optyczne : w materii skondensowanej światło „przeskakuje” z jednego atomu na drugi z rozpraszaniem Rayleigha ; prędkość światła zmienia się więc w zależności od kierunku, czy atomy znajdują się w pobliżu lub dalej; to daje dwójłomność
• adsorpcja i reaktywność : adsorpcja i reakcje chemiczne mogą zachodzić na atomach lub cząsteczkach na powierzchni kryształów, zjawiska te są zatem wrażliwe na gęstość węzłów;
• napięcie powierzchniowe : kondensacja materiału oznacza, że ​​atomy, jony lub cząsteczki są bardziej stabilne, jeśli są otoczone innymi podobnymi gatunkami; napięcie powierzchniowe interfejsu zmienia się zatem w zależności od gęstości na powierzchni
  • Pory i krystality mają zwykle proste granice ziaren podążające za gęstymi płaszczyznami
  • łupliwość
• dyslokacje ( deformacje plastyczne )
  • rdzeń dyslokacyjny ma tendencję do rozprzestrzeniania się na gęstych płaszczyznach (zaburzenie sprężyste jest „rozcieńczone”); zmniejsza to tarcie ( siła Peierlsa-Nabarro ), poślizg występuje częściej na gęstych płaszczyznach;
  • zaburzenie niesione przez dyslokację ( wektor Burgersa ) przebiega wzdłuż kierunku gęstego: przesunięcie jednego węzła w kierunku gęstym jest mniejszym zniekształceniem;
  • linia dyslokacji ma tendencję do podążania gęstym kierunkiem, linia dyslokacji jest często linią prostą, pętla dyslokacji jest często wielokątem .

Z tych wszystkich powodów ważne jest, aby określić płaszczyzny, a tym samym mieć system notacji.

Całkowite a niewymierne wskaźniki Millera: płaszczyzny i quasikryształy sieci

Zwykle indeksy Millera są z definicji zawsze liczbami całkowitymi, a to ograniczenie jest fizycznie istotne. Aby to zrozumieć, załóżmy, że dopuszczamy płaszczyznę (abc), w której „indeksy” Millera a , b i c (zdefiniowane powyżej) niekoniecznie są liczbami całkowitymi.

Jeśli a , b i c mają wymierne stosunki, to tę samą rodzinę płaszczyzn można zapisać w postaci wskaźników całkowitych (hkℓ) skalując odpowiednio a , b i c : podzielić przez największą z trzech liczb, a następnie pomnożyć przez najmniejszy wspólny mianownik . Zatem indeksy Millera w liczbie całkowitej zawierają niejawnie indeksy ze wszystkimi wymiernymi stosunkami. Powodem, dla którego płaszczyzny, w których składniki (w bazie odwrotności sieci) mają racjonalne stosunki, są szczególnie interesujące, jest to, że są to płaszczyzny sieci : są to jedyne płaszczyzny, których przecięcia z kryształem są dwuokresowe.

Z drugiej strony, dla płaszczyzny (abc), gdzie a , b i c mają niewymierne stosunki, przecięcie płaszczyzny z kryształem nie jest okresowe. Tworzy aperiodyczny wzór znany jako quasikryształ . Ta konstrukcja dokładnie odpowiada standardowej metodzie "cut-and-project" definiowania quasikryształu, przy użyciu płaszczyzny o nieracjonalnych indeksach Millera. (Chociaż wiele quasikryształów, takich jak kafelki Penrose'a , jest utworzonych przez "nacięcia" okresowych siatek w więcej niż trzech wymiarach, obejmujących przecięcie więcej niż jednej takiej hiperpłaszczyzny .)

Zobacz też

• Struktura krystaliczna
• Kryształowy zwyczaj
• Linia Kikuchi
• Oś strefy

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Internetowy słownik krystalografii IUCr
• Opis indeksu Millera z wykresami
• Samouczek online o samolotach kratowych i indeksach Millera .
• MTEX – bezpłatny zestaw narzędzi MATLAB do analizy tekstur
• http://sourceforge.net/projects/orilib  – Zbiór procedur do manipulacji rotacją/orientacją, w tym specjalne narzędzia do orientacji kryształów.