Tropikalny półpierścień - Tropical semiring
W analizie idempotentnych The tropikalnych semiring jest semiring z wydłużonych liczb rzeczywistych z operacjami minimalnej (lub maksimum ) i dodanie zastępując typowe ( „klasycznych”) operacji dodawania i mnożenia, odpowiednio.
Półokrąg tropikalny ma różne zastosowania (patrz analiza tropikalna ) i stanowi podstawę geometrii tropikalnej .
Definicja
ten min tropikalny semiring (lubmin-plus semiring lubmin-plus algebra ) topółpierścień(ℝ ∪ {+∞}, ⊕, ⊗), z operacjami:
Operacje ⊕ i ⊗ są określane odpowiednio jako dodawanie tropikalne i mnożenie tropikalne . Jednostką dla ⊕ jest +∞, a jednostką dla ⊗ jest 0.
Podobnie max tropikalny semiring (lubmax-plus semiring lubalgebra max-plus ) to półpierścień (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗), z operacjami:
Jednostką dla ⊕ jest −∞, a jednostką dla ⊗ jest 0.
Te dwa półpierścienie są izomorficzne pod wpływem negacji i generalnie jeden z nich jest wybierany i określany po prostu jako półpierścień tropikalny . Konwencje autorów i podpól różnią się między sobą: niektórzy używają konwencji min , niektórzy używają konwencji max .
Dodatek tropikalny jest idempotentny , stąd semiring tropikalny jest przykładem semiringu idempotentnego .
Tropikalny semiring jest również określany jako a algebra tropikalna , choć nie należy jej mylić zalgebrą asocjacyjnąnad semiringiem tropikalnym.
Potęgowanie tropikalne jest definiowane w zwykły sposób jako iterowane iloczyny tropikalne (patrz Potęgowanie w algebrze abstrakcyjnej ).
Wartościowe pola
Tropikalne operacje semiringowe modelują zachowanie wyceny podczas dodawania i mnożenia w wycenianym polu . Pole K o wartościach rzeczywistych to pole wyposażone w funkcję
który spełnia następujące własności dla wszystkich a , b w K :
- wtedy i tylko wtedy gdy
- z równością jeśli
Zatem wartościowanie v jest prawie homomorfizmem semiringowym od K do semiringu tropikalnego, z tym wyjątkiem, że własność homomorfizmu może zawieść, gdy doda się do siebie dwa elementy o tej samej wartościowaniu.
Niektóre typowe pola o wartościach:
- Q lub C z wartościowaniem trywialnym, v ( a ) = 0 dla wszystkich a ≠ 0,
- Q lub jego rozszerzenia z wartościowaniem p-adycznym , v ( p n a / b ) = n dla a i b względnie pierwszych do p ,
- ciało formalnego szeregu Laurenta K (( t )) (potęgi całkowite), lub ciało szeregu Puiseux K {{ t }}, lub ciało szeregu Hahna , z wartościowaniem zwracającym najmniejszy wykładnik t występujący w szeregu.
Bibliografia
- Litwinow, GL (2005). „Dekwantyzacja Maslova, matematyka idempotentna i tropikalna: krótkie wprowadzenie”. arXiv : matematyka/0507014v1 .