Wielomian moniczny - Monic polynomial

W Algebra , A monic wielomianu jest wielomianem jednej zmiennej (to jest jednowymiarowy wielomian ), w którym prowadzi współczynnik (niezerowa współczynnik najwyższym stopniu) wynosi 1. W związku z tym monic wielomian ma postać:

Wielomiany jednowymiarowe

Jeśli wielomian ma tylko jeden nieokreślony ( wielomian jednowymiarowy ), wówczas terminy są zwykle zapisywane albo od najwyższego do najniższego stopnia ("zstępujące potęgi") lub od najniższego do najwyższego stopnia ("rosnące potęgi"). Wielomian jednowymiarowy w x stopnia n przyjmuje wtedy ogólną postać pokazaną powyżej, gdzie

c n ≠ 0, c n −1 , ..., c 2 , c 1 i c 0

są stałymi, współczynnikami wielomianu.

Tutaj określenie c n x n jest nazywany prowadzi określenie , a jego współczynnik c n prowadzi współczynnik ; jeśli wiodący współczynnik wynosi 1 , wielomian jednowymiarowy nazywa się moniką .

Nieruchomości

Zamknięty multiplikatywnie

Zbiór wszystkich wielomianów monickich (nad danym (jednostkowym) pierścieniem A i dla danej zmiennej x ) jest domknięty przez mnożenie, ponieważ iloczyn wyrazów wiodących dwóch wielomianów jest wyrazem wiodącym ich iloczynu. Tak więc, monic wielomiany tworząc zwielokrotniony półgrupa w wielomian pierścień A [ x ]. W rzeczywistości, ponieważ stały wielomian 1 jest monoidalny , ta półgrupa jest nawet monoidem .

Częściowo zamówiony

Ograniczenie relacji podzielności do zbioru wszystkich wielomianów monicznych (na danym pierścieniu) jest porządkiem częściowym , a zatem czyni ten zbiór posetem . Powodem jest to, że jeśli p ( x ) dzieli q ( x ) i q ( x ) dzieli p ( x ) na dwa wielomiany moniczne p i q , to p i q muszą być równe. Odpowiednia własność nie jest prawdziwa dla wielomianów w ogóle, jeśli pierścień zawiera elementy odwracalne inne niż 1.

Rozwiązania równań wielomianowych

Pod innymi względami właściwości wielomianów monicznych i odpowiadających im równań wielomianów monicznych zależą zasadniczo od współczynnika pierścienia A . Jeśli A jest ciałem , to każdy niezerowy wielomian p ma dokładnie jeden skojarzony wielomian monikowy q : p podzielony przez jego wiodący współczynnik. W ten sposób każde nietrywialne równanie wielomianowe p ( x ) = 0 może być zastąpione przez równoważne równanie moniczne q ( x ) = 0. Na przykład, ogólne rzeczywiste równanie drugiego stopnia

(gdzie )

może być zastąpiony przez

,

podstawiając   p  =  b / a   i   q  =  c / a . Zatem równanie

jest odpowiednikiem równania monicznego

Ogólny wzór na rozwiązanie kwadratowe jest więc nieco uproszczoną formą:

Integralność

Z drugiej strony, jeśli współczynnik pierścienia nie jest polem, istnieją bardziej istotne różnice. Na przykład równanie wielomianowe moniczne ze współczynnikami całkowitymi nie może mieć racjonalnych rozwiązań, które nie są liczbami całkowitymi. Zatem równanie

prawdopodobnie może mieć jakiś racjonalny pierwiastek, który nie jest liczbą całkowitą (a nawiasem mówiąc, jeden z jego pierwiastków to −1/2); podczas gdy równania

i

mogą mieć tylko rozwiązania całkowite lub rozwiązania nieracjonalne .

Pierwiastki wielomianów monicznych o współczynnikach całkowitych nazywane są liczbami całkowitymi algebraicznymi .

Rozwiązania monicznych równań wielomianowych nad dziedziną całkową są ważne w teorii całkowych rozszerzeń i całkowito zamkniętych dziedzin , a więc w algebraicznej teorii liczb . Ogólnie załóżmy, że A jest domeną całkową, a także podpierścieniem domeny całkowej B . Rozważmy podzbiór C z B , składający się z tych elementów B , które spełniają równania wielomianowe moniczne nad A :

Zbiór C zawiera A , ponieważ każde a  ∈  A spełnia równanie x  −  a  = 0. Ponadto można udowodnić, że C jest domknięte przez dodawanie i mnożenie. Zatem C jest podpierścieniem B . Pierścień C jest nazywany [[zamknięcie całkowe] A w B ; lub tylko integralne zamknięcie A , czy B jest pole frakcja z A ; a elementy C są uważane za integralne nad A . Jeśli tutaj (pierścień liczb całkowitych ) i ( ciało liczb zespolonych ), to C jest pierścieniem liczb całkowitych algebraicznych .

Nieredukowalność

Jeśli p jest liczbą pierwszą , liczba monicznych nierozkładalnych wielomianów stopnia n w skończonym polu z p elementów jest równa funkcji zliczania naszyjników .

Jeśli usunie się ograniczenie bycia monikiem, liczba ta staje się .

Całkowita liczba pierwiastków tych monicznych wielomianów nierozkładalnych wynosi . Jest to liczba elementów pola (z elementami), które nie należą do żadnego mniejszego pola.

Dla p = 2 takie wielomiany są powszechnie używane do generowania pseudolosowych sekwencji binarnych .

Wielomiany wielowymiarowe

Zwykle termin moniczny nie jest używany dla wielomianów kilku zmiennych. Jednak wielomian w kilku zmiennych może być uważany za wielomian tylko w „ostatniej” zmiennej, ale przy współczynnikach będących wielomianami w pozostałych. Można to zrobić na kilka sposobów, w zależności od tego, która ze zmiennych zostanie wybrana jako „ostatnia”. Np. rzeczywisty wielomian

jest moniczny, rozpatrywany jako element w R [ y ][ x ], tj. jako wielomian jednowymiarowy w zmiennej x , ze współczynnikami, które same są wielomianami jednowymiarowymi w y :

;

ale p ( x , y ) nie jest moniczny jako element w R [ x ][ y ], ponieważ wtedy współczynnik najwyższego stopnia (tj. współczynnik y 2 ) wynosi 2 x  − 1.

Istnieje alternatywna konwencja, która może być użyteczna np. w kontekstach bazowych Gröbnera : wielomian nazywamy monickim, jeśli jego wiodący współczynnik (jako wielomian wielowymiarowy) wynosi 1. Innymi słowy, załóżmy, że p = p ( x 1 ,.. .,x n ) jest niezerowym wielomianem w n zmiennych i że istnieje dany porządek jednomianowy na zbiorze wszystkich ("monicznych") jednomianów w tych zmiennych, tj. całkowity porządek swobodnego monoidu przemiennego generowanego przez x 1 ,...,x n , z jednostką jako najniższym elementem, z uwzględnieniem mnożenia. W takim przypadku kolejność ta definiuje najwyższy nieznikający wyraz w p , a p można nazwać monickim, jeśli wyraz ten ma współczynnik jeden.

„Wielomiany wielowymiarowe moniczne” według obu definicji mają pewne właściwości z „zwykłymi” (jednowymiarowymi) wielomianami monicznymi. Warto zauważyć, że iloczyn wielomianów monicznych ponownie jest moniczny.

Zobacz też

Cytaty

Bibliografia