Morfizm - Morphism

W matematyce , szczególnie w teorii kategorii , morfizm to odwzorowanie zachowujące strukturę jednej struktury matematycznej na drugą tego samego typu. Pojęcie morfizmu powraca w większości współczesnej matematyki. W teorii mnogości morfizmy są funkcjami ; w liniowym Algebra , liniowy przemian ; W teorii grup , grupa Homomorfizmy ; w topologii , funkcji ciągłych i tak dalej.

W teorii kategorii , morfizmem jest zasadniczo podobna idea: obiektów matematycznych zaangażowany nie musi być zestawy, a relacje między nimi może być czymś innym niż mapach, chociaż morfizmami między obiektami danej kategorii mają zachowywać się podobnie do map w które muszą dopuścić operację skojarzeniową podobną do kompozycji funkcji . Morfizm w teorii kategorii jest abstrakcją homomorfizmu .

Badanie morfizmów i struktur (zwanych „obiektami”), nad którymi są one definiowane, ma kluczowe znaczenie dla teorii kategorii. Znaczna część terminologii morfizmów, a także leżąca u ich podstaw intuicja, pochodzi z konkretnych kategorii , w których obiekty są po prostu zbiorami z pewną dodatkową strukturą , a morfizmy są funkcjami zachowującymi strukturę . W teorii kategorii morfizmy są czasami nazywane również strzałkami .

Definicja

Kategoria C składa się z dwóch klas , jeden z obiektów , a drugi z morfizmów . Istnieją dwa obiekty, które są powiązane z każdym morfizmem, source i target . Morfizm f ze źródłem X i celem Y jest zapisany f  : X → Y i jest przedstawiony schematycznie za pomocą strzałki od X do Y .

W przypadku wielu popularnych kategorii obiekty są zbiorami (często z dodatkową strukturą), a morfizmy są funkcjami od obiektu do innego obiektu. Dlatego często nazywa się źródło i cel morfizmu domena icodomain odpowiednio.

Morfizmy wyposażone są w częściową operację binarną , zwaną kompozycją . Złożenie dwóch morfizmów f i g jest dokładnie zdefiniowane, gdy cel f jest źródłem g , i jest oznaczany g ∘ f (lub czasami po prostu gf ). Źródło g ∘ f jest źródłem f , a cel g ∘ f jest celem g . Kompozycja spełnia dwa aksjomaty :

Tożsamość
Dla każdego obiektu X istnieje morfizm id X  : X → X zwany morfizmem tożsamościowym na X , taki że dla każdego morfizmu f  : A → B mamy id B ∘ f = f = f ∘ id A .
Łączność
h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f gdy wszystkie kompozycje są zdefiniowane, tj. gdy cel f jest źródłem g , a cel g jest źródłem h .

Dla konkretnej kategorii (kategorii, w której obiekty są zbiorami, ewentualnie z dodatkową strukturą, a morfizmy są funkcjami zachowującymi strukturę), morfizm tożsamości jest tylko funkcją tożsamości , a kompozycja jest zwykłym złożeniem funkcji .

Kompozycja morfizmów jest często reprezentowana przez diagram przemienny . Na przykład,

Diagram przemienny dla morfizmu.svg

Zbiór wszystkich morfizmów od X do Y jest oznaczony Hom C ( X , Y ) lub po prostu Hom ( X , Y ) i nazywany zbiorem hom pomiędzy X i Y . Niektórzy autorzy piszą Mor C ( X , Y ), Mor ( X , Y ) lub C ( X , Y ). Zauważ, że termin hom-set jest czymś mylącym, ponieważ zbiór morfizmów nie musi być zbiorem; kategoria, w której Hom( X , Y ) jest zbiorem dla wszystkich obiektów X i Y nazywana jest lokalnie small . Ponieważ hom-sets mogą nie być zbiorami, niektórzy wolą używać terminu „hom-class”.

Zauważ, że domena i koddomena są w rzeczywistości częścią informacji określających morfizm. Na przykład w kategorii zbiorów , gdzie morfizmy są funkcjami, dwie funkcje mogą być identyczne jak zbiory uporządkowanych par (mogą mieć ten sam zakres ), a jednocześnie mieć różne kodomeny. Te dwie funkcje różnią się z punktu widzenia teorii kategorii. Dlatego wielu autorów wymaga, aby klasy hom Hom( X , Y ) były rozłączne . W praktyce nie stanowi to problemu, ponieważ jeśli ta rozłączność nie utrzymuje się, można to zapewnić, dołączając domenę i domenę do morfizmów (powiedzmy, jako drugą i trzecią składową trójki uporządkowanej).

Niektóre specjalne morfizmy

Monomorfizmy i epimorfizmy

Morfizm f : X → Y nazywamy monomorfizmem jeśli f ∘ g 1 = f ∘ g 2 implikuje g 1 = g 2 dla wszystkich morfizmów g 1 , g 2 : Z → X . Monomorfizm można w skrócie nazwać mono i możemy użyć jako przymiotnika monic . Morfizm f ma odwrotność lewostronną lub jest monomorfizmem rozszczepionym, jeśli istnieje morfizm g : Y → X taki, że g ∘ f = id X . Zatem f ∘ g : Y → Y jest idempotentne ; to znaczy, ( f ∘ g ) 2 = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = F ∘ g . W lewej odwrotny g nazywana jest także odsunięcie od f .

Morfizmy z lewymi odwrotnościami są zawsze monomorfizmami, ale odwrotność nie jest generalnie prawdziwa; monomorfizm może nie mieć lewej odwrotności. W kategoriach konkretnych funkcja, która ma lewą odwrotność, jest iniektywna . Tak więc w konkretnych kategoriach monomorfizmy są często, choć nie zawsze, iniektywne. Warunek bycia zastrzykiem jest silniejszy niż bycia monomorfizmem, ale słabszy niż bycia monomorfizmem rozszczepionym.

Podwójnie do monomorfizmów, morfizm f : X → Y nazywamy epimorfizmem jeśli g 1 ∘ f = g 2 ∘ f implikuje g 1 = g 2 dla wszystkich morfizmów g 1 , g 2 : Y → Z . Epimorfizm można w skrócie nazwać epi i możemy użyć epic jako przymiotnika. Morfizm f ma prawostronną odwrotność lub jest epimorfizmem rozszczepionym, jeśli istnieje morfizm g : Y → X taki, że f ∘ g = id Y . Prawo odwrotny g nazywa się również odcinek o f . Morfizmy mające prawo odwrotność są zawsze epimorfizmami, ale ogólnie rzecz biorąc, nie jest to prawdą, ponieważ epimorfizm może nie mieć prawej odwrotności.

Jeśli monomorfizm f rozszczepia się z lewą odwrotnością g , to g jest rozszczepionym epimorfizmem z prawą odwrotnością f . W kategoriach konkretnych funkcja, która ma prawo odwrotną, jest surjektywna . Tak więc w konkretnych kategoriach epimorfizmy są często, choć nie zawsze, surjektywne. Warunek bycia surjekcją jest silniejszy niż bycia epimorfizmem, ale słabszy niż bycia epimorfizmem split. W kategorii zbiorów twierdzenie, że każda surjecja ma sekcję, jest równoznaczne z aksjomatem wyboru .

Morfizm, który jest zarówno epimorfizmem, jak i monomorfizmem, nazywa się bimorfizmem .

Izomorfizmy

Morfizm f : X → Y nazywamy izomorfizmem , jeśli istnieje morfizm g : Y → X taki , że f ∘ g = id Y i g ∘ f = id X . Jeśli morfizmem ma zarówno lewy i prawy odwrócony odwrócony, a następnie odwraca się dwie jednakowe, tak F jest Izomorfizm i g jest nazywany po prostu odwrotny od f . Odwrotne morfizmy, jeśli istnieją, są unikalne. Odwrotność g jest również izomorfizmem, z odwrotnością f . Mówi się, że dwa obiekty z izomorfizmem między nimi są izomorficzne lub równoważne.

Chociaż każdy izomorfizm jest bimorfizmem, bimorfizm niekoniecznie jest izomorfizmem. Na przykład w kategorii pierścieni przemiennych inkluzja Z → Q jest bimorfizmem, który nie jest izomorfizmem. Jednak każdy morfizm, który jest zarówno epimorfizmem, jak i monomorfizmem rozszczepionym , lub zarówno monomorfizmem, jak i rozszczepionym epimorfizmem, musi być izomorfizmem. Kategoria, taka jak Set , w której każdy bimorfizm jest izomorfizmem, nazywana jest kategorią zrównoważoną .

Endomorfizmy i automorfizmy

Morfizmem f : X → X (czyli morfizmem identycznym źródła i przeznaczenia) jest endomorfizm z X . Podzielonego endomorfizm jest idempotent endomorfizm F jeśli f przyznaje rozkładu f = h ∘ g o g ∘ H = id. W szczególności otoczka Karoubiego kategorii rozdziela każdy idempotentny morfizm.

Automorfizmem jest morfizmem że jest zarówno endomorfizm i izomorfizmem. W każdej kategorii automorfizmy obiektu zawsze tworzą grupę , zwaną grupą automorfizmów obiektu.

Przykłady

Więcej przykładów można znaleźć w teorii kategorii wpisów .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne