Wielowymiarowa analiza wariancji - Multivariate analysis of variance

W statystycznych , wielowymiarowa analiza wariancji ( MANOVA ) jest procedura porównywania wielu odmianach środka próbki. Jako procedura wielowymiarowa jest stosowana, gdy istnieją dwie lub więcej zmiennych zależnych , i często następuje po niej testy istotności obejmujące osobno poszczególne zmienne zależne.

Związek z ANOVA

MANOVA jest uogólnioną formą jednowymiarowej analizy wariancji (ANOVA), chociaż w przeciwieństwie do jednowymiarowej ANOVA wykorzystuje kowariancję między zmiennymi wynikowymi w testowaniu statystycznej istotności średnich różnic.

Tam, gdzie sumy kwadratów pojawiają się w jednowymiarowej analizie wariancji, w wielowymiarowej analizie wariancji pojawiają się pewne dodatnio-określone macierze . Wpisy po przekątnej są tym samym rodzajem sum kwadratów, które pojawiają się w jednowymiarowej ANOVA. Pozycje po przekątnej to odpowiadające sobie sumy produktów. Zgodnie z założeniami normalności dotyczącymi rozkładów błędów , odpowiednik sumy kwadratów z powodu błędu ma rozkład Wisharta .

MANOVA jest oparta na iloczynie macierzy wariancji modelu i odwrotności macierzy wariancji błędu , lub . Hipoteza, która sugeruje, że produkt . Rozważania niezmienności sugerować statystyka MANOVA powinien być miarą wielkości o pojedynczej wartości rozkładu tego produktu matrycy, ale nie ma wyjątkowy wybór ze względu na multi wymiarowe charakter hipotezy alternatywnej. ${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {model}}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {\ text {res}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle A = \ Sigma _ {\ tekst {model}} \ razy \ Sigma _ {\ tekst {res}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {\ tekst {model}} = \ Sigma _ {\ tekst {resztkowy}}}$${\ displaystyle A \ sim I}$

Najczęstszym zestawienia statystyczne są oparte na korzeniach (lub wartości własne ) z matrycy: ${\ displaystyle \ lambda _ {p}}$${\ displaystyle A}$

• Samuel Stanley Wilks ' rozprowadzany jako lambda (Λ) ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ tekst {Wilks}} = \ prod _ {1, \ ldots, p} (1 / (1+ \ lambda _ {p})) = \ det (I + A) ^ {- 1} = \ det (\ Sigma _ {\ text {res}}) / \ det (\ Sigma _ {\ text {res}} + \ Sigma _ {\ text {model}})}$
• KC Sreedharan Pillai - MS Bartlett ślad , ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ tekst {Pillai}} = \ suma _ {1, \ ldots, p} (\ lambda _ {p} / (1+ \ lambda _ {p})) = \ nazwa operatora {tr} (A (I + A) ^ {- 1})}$
• ślad Lawley– Hotelling , ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ tekst {LH}} = \ suma _ {1, \ ldots, p} (\ lambda _ {p}) = \ operatorname {tr} (A)}$
• Największy korzeń Roya (zwany także największym korzeniem Roya ), ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ text {Roy}} = \ max _ {p} (\ lambda _ {p})}$

Dyskusja nad zaletami każdego z nich toczy się dalej, chociaż największy korzeń prowadzi tylko do ograniczenia znaczenia, które na ogół nie ma praktycznego znaczenia. Kolejną komplikacją jest to, że z wyjątkiem największego pierwiastka Roya, rozkład tych statystyk w ramach hipotezy zerowej nie jest prosty i można go oszacować jedynie w przybliżeniu, z wyjątkiem kilku niskowymiarowych przypadków. Algorytm rozkładu największego pierwiastka Roya pod hipotezą zerową został wyprowadzony w, podczas gdy rozkład w ramach alternatywy jest badany w.

Najbardziej znane przybliżenie lambdy Wilksa zostało wyprowadzone przez CR Rao .

W przypadku dwóch grup wszystkie statystyki są równoważne, a test sprowadza się do kwadratu T Hotellinga .

Korelacja zmiennych zależnych

Na moc MANOVY wpływają korelacje zmiennych zależnych i wielkości efektów związanych z tymi zmiennymi. Na przykład, gdy istnieją dwie grupy i dwie zmienne zależne, moc MANOVA jest najniższa, gdy korelacja jest równa stosunkowi wielkości mniejszego do większego znormalizowanego efektu.

Zobacz też

• Analiza dyskryminacyjna funkcji
• Projektowanie pomiarów wielokrotnych
• Analiza korelacji kanonicznej

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Wielowymiarowa analiza wariancji (MANOVA) autorstwa Aarona Frencha, Marcelo Macedo, Johna Poulsena, Tylera Watersona i Angeli Yu, San Francisco State University