Naiwna teoria zbiorów (książka) - Naive Set Theory (book)

Zobacz także naiwną teorię zbiorów dla tematu matematycznego.
Pierwsza edycja

Naiwna teoria mnogości topodręcznik do matematyki autorstwa Paula Halmosa, będący wstępem do teorii mnogości . Pierwotnie opublikowany przez Van Nostranda w 1960 roku, został przedrukowany w serii Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics w 1974 roku.

Chociaż tytuł mówi, że jest naiwny, co zwykle oznacza brak aksjomatów , książka wprowadza wszystkie aksjomaty teorii mnogości ZFC (z wyjątkiem Aksjomatu Podstawy ) i podaje poprawne i rygorystyczne definicje podstawowych obiektów. Tym, co różni się od „prawdziwej” książki o aksjomatycznej teorii mnogości, jest jej charakter: nie ma tu dyskusji o szczegółach aksjomatycznych i prawie nic nie mówi o zaawansowanych tematach, takich jak wielcy kardynałowie . Zamiast tego stara się być zrozumiała dla kogoś, kto nigdy wcześniej nie myślał o teorii mnogości.

Halmos stwierdził później, że była to najszybsza książka, jaką napisał, zajęło to około sześciu miesięcy, i że książka „napisała się sama”.

Brak aksjomatu fundacji

Jak wspomniano powyżej, książka pomija Aksjomat Fundacji . Halmos wielokrotnie tańczy wokół kwestii, czy zestaw może się pomieścić.

  • str. 1: „zestaw może być również elementem innego zestawu” (podkreślenie dodane)
  • str. 3: „czy ∈ jest kiedykolwiek prawdziwe? Z pewnością nie jest to prawdą w przypadku żadnego rozsądnego zestawu, jaki ktokolwiek kiedykolwiek widział”.
  • str. 6: " ∈ ... mało prawdopodobne, ale nie oczywiście niemożliwe"

Ale Halmos pozwala nam udowodnić, że istnieją pewne zestawy, które nie mogą się pomieścić.

  • str. 44: Halmos pozwala nam to udowodnić ∉ . Bo jeśli ∈ , to − { } nadal będzie zbiorem następców, ponieważ ≠ ∅ i nie jest następcą żadnej liczby naturalnej. Ale nie jest podzbiorem − { }, co przeczy definicji podzbioru każdego zbioru następców.
  • str. 47: Halmos udowadnia lemat, że „żadna liczba naturalna nie jest podzbiorem żadnego z jej elementów”. To pozwala nam udowodnić, że żadna liczba naturalna nie może się zawierać. Bo jeśli ∈ , gdzie jest liczbą naturalną, to ⊂ ∈ , co przeczy lematowi.
  • str. 75: "Liczba porządkowa jest zdefiniowana jako dobrze uporządkowany zbiór taki, że dla all in ; tutaj jest, jak poprzednio, początkowy segment ∈ < }." Porządkowanie studni definiuje się następująco: jeśli i są elementami liczby porządkowej , to < oznacza ∈ (s. 75-76). Poprzez wybór symbolu < zamiast ≤, Halmos sugeruje, że uporządkowanie studni < jest ścisłe (s. 55-56). Ta definicja < uniemożliwia posiadanie ∈ , gdzie jest elementem liczby porządkowej. To dlatego, że ∈ oznacza < , co implikuje ≠ (ponieważ < jest ścisłe), co jest niemożliwe.
  • str. 75: powyższa definicja liczby porządkowej uniemożliwia również posiadanie ∈ , gdzie jest liczbą porządkową. To dlatego, że ∈ implikuje = s( ). To daje nam ∈ = s( ) = ∈ < }, co implikuje < , co implikuje ≠ (ponieważ < jest ścisłe), co jest niemożliwe.

Errata

  • str. 4, wiersz 18: „Kain i Abel” powinno brzmieć „Set, Kain i Abel”.
  • str. 30, wiersz 10: "x na y" powinno być "x na y".
  • str. 73, wiersz 19: „dla każdego z w X” powinno być „dla każdego a w X”.
  • str. 75, wiersz 3: „jeśli i tylko wtedy, gdy x ∈ F(n)” powinno być „wtedy i tylko wtedy, gdy x = {b: S(n, b)}”.

Zobacz też

Bibliografia

  • Halmos, Paul , Naiwna teoria mnogości . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Przedruk Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (wydanie Springer-Verlag). Przedruk Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (wydanie w miękkiej oprawie).

Bibliografia

Linki zewnętrzne