Wartość dziesiętna logarytmu naturalnego z 2 (sekwencja A002162 w OEIS ) wynosi w przybliżeniu
ja
2
≈
0,693
147
180
559
945
309
417
232
121
458.
{\ Displaystyle \ ln 2 \ około 0,693 \ 147 \ 180 \ 559 \ 945 \ 309 \ 417 \ 232 \ 121 \ 458.}
Logarytm 2 w innych zasadach otrzymujemy ze wzoru
Dziennik
b
2
=
ja
2
ja
b
.
{\ Displaystyle \ log _ {b} 2 = {\ Frac {\ ln 2} {\ ln b}}.}
W szczególności wspólny logarytm to ( OEIS : A007524 )
Dziennik
10
2
≈
0,301
029
995
663
981
195.
{\ Displaystyle \ log _ {10} 2 \ około 0,301 \ 029 \ 995 \ 663 \ 981 \ 195.}
Odwrotnością tej liczby jest logarytm binarny liczby 10:
Dziennik
2
10
=
1
Dziennik
10
2
≈
3,321
928
095
{\ Displaystyle \ log _ {2} 10 = {\ Frac {1} {\ log _ {10} 2}} \ około 3,321 \ 928 \ 095}
( OEIS : A020862 ).
Według twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa logarytm naturalny dowolnej liczby naturalnej innej niż 0 i 1 (ogólniej, dowolnej liczby algebraicznej dodatniej innej niż 1) jest liczbą przestępną .
Reprezentacje serii
Rosnąca silnia alternatywna
ja
2
=
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
⋯
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ Frac {1} {2 }}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots . }
Jest to dobrze znana „ przemienna seria harmoniczna ”.
ja
2
=
1
2
+
1
2
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n+1}}{n(n+1)}}.}
ja
2
=
5
8
+
1
2
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {5} {8}} + {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}
ja
2
=
2
3
+
3
4
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {2} {3}} + {\ Frac {3} {4}} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}
ja
2
=
131
192
+
3
2
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {131} {192}} + {\ Frac {3} {2}} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}
ja
2
=
661
960
+
15
4
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {661}{960}} + {\ Frac {15} {4}} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}
Stała silnia wzrostu binarnego
ja
2
=
Σ
n
=
1
∞
1
2
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n} n}}.}
ja
2
=
1
−
Σ
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = 1 - \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1)}}.}
ja
2
=
1
2
+
2
Σ
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {1} {2}} + 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n+2)}}.}
ja
2
=
5
6
−
6
Σ
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {5} {6}} -6 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n+2)(n+3)}}.}
ja
2
=
7
12
+
24
Σ
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {7} {12}} + 24 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n+2)(n+3)(n+4)}}.}
ja
2
=
47
60
−
120
Σ
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {47} {60}} -120 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}
Inne reprezentacje serii
Σ
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
2
)
=
ja
2.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(2n + 1) (2n + 2)}} = \ ln 2.}
Σ
n
=
1
∞
1
n
(
4
n
2
−
1
)
=
2
ja
2
−
1.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n (4n ^ {2}-1)}} = 2 \ ln 2-1.}
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
4
n
2
−
1
)
=
ja
2
−
1.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {n (4n ^ {2}-1)}} = \ ln 2-1.}
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
9
n
2
−
1
)
=
2
ja
2
−
3
2
.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {n (9n ^ {2}-1)}} = 2 \ ln 2 {\ frak {3}{2}}.}
Σ
n
=
1
∞
1
4
n
2
−
2
n
=
ja
2.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {4n ^ {2}-2n}} = \ ln 2.}
Σ
n
=
1
∞
2
(
−
1
)
n
+
1
(
2
n
−
1
)
+
1
8
n
2
−
4
n
=
ja
2.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {2 (-1) ^ {n + 1} (2n-1) + 1 {8n ^ {2}-4n}} = \ln 2.}
Σ
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
3
n
+
1
=
ja
2
3
+
π
3
3
.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {3n + 1}} = {\ Frac {\ ln 2} {3}} + { \frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
Σ
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
3
n
+
2
=
−
ja
2
3
+
π
3
3
.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {3n + 2}} = - {\ Frac {\ ln 2} {3}} + {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
Σ
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
3
n
+
1
)
(
3
n
+
2
)
=
2
ja
2
3
.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {(3n + 1) (3n + 2)}} = {\ Frac {2 \ ln 2}{3}}.}
Σ
n
=
1
∞
1
Σ
k
=
1
n
k
2
=
18
−
24
ja
2
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {\ suma _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2}}} = 18-24 \ ln 2}
za pomocą
Lim
n
→
∞
Σ
n
=
n
2
n
1
n
=
ja
2
{\ Displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ suma _ {n = N} ^ {2 N} {\ Frac {1} {n}} = \ ln 2}
Σ
n
=
1
∞
1
4
n
2
−
3
n
=
ja
2
+
π
6
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {4n ^ {2}-3n}} = \ ln 2+ {\ Frac {\ pi {6}}}
(suma odwrotności liczb dziesięciokątnych )
Zaangażowanie funkcji Riemanna Zeta
Σ
n
=
2
∞
1
2
n
[
ζ
(
n
)
−
1
]
=
ja
2
−
1
2
.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n}}} [\ zeta (n) 1] = \ ln 2 {\ Frac {1} {2}}.}
Σ
n
=
2
∞
1
2
n
+
1
[
ζ
(
n
)
−
1
]
=
1
−
γ
−
ja
2
2
.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2n + 1}} [\ zeta (n) 1] = 1 - \ gamma - {\ Frac {\ ln 2 }{2}}.}
Σ
n
=
1
∞
1
2
2
n
−
1
(
2
n
+
1
)
ζ
(
2
n
)
=
1
−
ja
2.
{\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {2n-1} (2n + 1)}} \ zeta (2n) = 1 - \ ln 2.}
( γ jest stałą Eulera-Mascheroniego i funkcją zeta ζ Riemanna ).
Reprezentacje typu BBP
ja
2
=
2
3
+
1
2
Σ
k
=
1
∞
(
1
2
k
+
1
4
k
+
1
+
1
8
k
+
4
+
1
16
k
+
12
)
1
16
k
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {2} {3}} + {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ lewo ({\ Frac {1} {2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac { 1}{16^{k}}}.}
(Zobacz więcej o reprezentacjach typu Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) .)
Zastosowanie trzech ogólnych szeregów dla logarytmu naturalnego do 2 daje bezpośrednio:
ja
2
=
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n-1}} {n}}.}
ja
2
=
Σ
n
=
1
∞
1
2
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {n} n}}.}
ja
2
=
2
3
Σ
k
=
0
∞
1
9
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {2} {3}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {9 ^ {k} (2k + 1)}}. }
Zastosowanie ich do daje:
2
=
3
2
⋅
4
3
{\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}
ja
2
=
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
n
n
+
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
3
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n-1}} {2 ^ {n} n}} + \ suma _ {n =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.}
ja
2
=
Σ
n
=
1
∞
1
3
n
n
+
Σ
n
=
1
∞
1
4
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {3 ^ {n} n}} + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \frac {1}{4^{n}n}}.}
ja
2
=
2
5
Σ
k
=
0
∞
1
25
k
(
2
k
+
1
)
+
2
7
Σ
k
=
0
∞
1
49
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {2} {5}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {25 ^ {k} (2 k + 1)}} + {\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}
Zastosowanie ich do daje:
2
=
(
2
)
2
{\ Displaystyle \ textstyle 2 = ({\ sqrt {2}}) ^ {2}}
ja
2
=
2
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
+
1
)
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n-1}} {({\ sqrt {2}} + 1) ^ { n}n}}.}
ja
2
=
2
Σ
n
=
1
∞
1
(
2
+
2
)
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = 2 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(2 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} n}}.}
ja
2
=
4
3
+
2
2
Σ
k
=
0
∞
1
(
17
+
12
2
)
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {4} {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(17 + 12) {\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.}
Zastosowanie ich do daje:
2
=
(
16
15
)
7
⋅
(
81
80
)
3
⋅
(
25
24
)
5
{\ Displaystyle \ textstyle 2 = {\ lewo ({\ Frac {16}{15}} \ prawej)} ^ {7} \ cdot {\ lewo ({\ Frac {81} {80}} \ prawej)} ^ {3}\cdot {\lewo({\frac {25}{24}}\prawo)}^{5}}
ja
2
=
7
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
15
n
n
+
3
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
80
n
n
+
5
Σ
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
24
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = 7 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n-1}} {15 ^ {n} n}} + 3 \ suma _ {n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}
ja
2
=
7
Σ
n
=
1
∞
1
16
n
n
+
3
Σ
n
=
1
∞
1
81
n
n
+
5
Σ
n
=
1
∞
1
25
n
n
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = 7 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {16 ^ {n} n}} + 3 \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}}.}
ja
2
=
14
31
Σ
k
=
0
∞
1
961
k
(
2
k
+
1
)
+
6
161
Σ
k
=
0
∞
1
25921
k
(
2
k
+
1
)
+
10
49
Σ
k
=
0
∞
1
2401
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {14} {31}} \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {961 ^ {k} (2k + 1)}} + {\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{ 49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}
Reprezentacja jako całki
Logarytm naturalny z 2 występuje często w wyniku całkowania. Niektóre wyraźne formuły na to obejmują:
∫
0
1
D
x
1
+
x
=
∫
1
2
D
x
x
=
ja
2
{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {dx} {1 + x}} = \ int _ {1} ^ {2} {\ Frac {dx} {x}} = \ ln 2 }
∫
0
∞
mi
−
x
1
−
mi
−
x
x
D
x
=
ja
2
{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-x} \ Frac {1-e ^ {-x}} {x}} \ dx = \ ln 2}
∫
0
π
3
dębnik
x
D
x
=
2
∫
0
π
4
dębnik
x
D
x
=
ja
2
{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi } {3}} \ tan x \ dx = 2 \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {4}} \ tan x \,dx=\ln 2}
−
1
π
i
∫
0
∞
ja
x
ja
ja
x
(
x
+
1
)
2
D
x
=
ja
2
{\ Displaystyle - {\ Frac {1} {\ pi ja}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ ln x \ ln \ ln x} {(x + 1) ^ {2} }}\,dx=\ln 2}
Inne reprezentacje
Rozszerzenie Pierce to OEIS : A091846
ja
2
=
1
−
1
1
⋅
3
+
1
1
⋅
3
⋅
12
−
⋯
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = 1 - {\ Frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ Frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 12}} - \ cdots.}
Rozszerzenie Engel to OEIS : A059180
ja
2
=
1
2
+
1
2
⋅
3
+
1
2
⋅
3
⋅
7
+
1
2
⋅
3
⋅
7
⋅
9
+
⋯
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {2 \ cdot 3}} + {\ Frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 7}} + { \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}
Rozszerzenie cotangensa to OEIS : A081785
ja
2
=
łóżko składane
(
arccot
(
0
)
−
arccot
(
1
)
+
arccot
(
5
)
−
arccot
(
55
)
+
arccot
(
14187
)
−
⋯
)
.
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ cot ({\ nazwa operatora {arccot} (0) - \ nazwa operatora {arccot} (1) + \ nazwa operatora {arccot} (5) - \ nazwa operatora {arccot} (55) + \ nazwa operatora { arccot}(14187)-\cdots }).}
Prosta ciągła ekspansja frakcji to OEIS : A016730
ja
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
6
,
3
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
10
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
2
,
3
,
1
,
.
.
.
]
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ lewo [0; 1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,2, 1,1,1,1,3,2,3,1,...\prawo]}
,
co daje racjonalne przybliżenia, z których kilka pierwszych to 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 i 61/88.
Ta uogólniona frakcja ciągła :
ja
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
5
,
2
3
,
7
,
1
2
,
9
,
2
5
,
.
.
.
,
2
k
−
1
,
2
k
,
.
.
.
]
{\ Displaystyle \ ln 2 = \ lewo [0; 1,2,3, 1,5, {\ tfrac {2} {3}}, 7, {\ tfrac {1} {2}}, 9, {\ tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\prawo]}
,
również wyrażalne jako
ja
2
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
2
2
+
2
5
+
3
2
+
3
7
+
4
2
+
⋱
=
2
3
−
1
2
9
−
2
2
15
−
3
2
21
−
⋱
{\ Displaystyle \ ln 2 = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {2} {2 + {\ cfrac {2} { 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }} }}}}}}}
Bootstrapping innych logarytmów
Mając wartość ln 2 , schemat obliczania logarytmów innych liczb całkowitych polega na zestalarowaniu logarytmów liczb pierwszych, a w następnej warstwie logarytmów liczb złożonych c na podstawie ich faktoryzacji
C
=
2
i
3
J
5
k
7
ja
⋯
→
ja
(
C
)
=
i
ja
(
2
)
+
J
ja
(
3
)
+
k
ja
(
5
)
+
ja
ja
(
7
)
+
⋯
{\ Displaystyle c = 2 ^ {i} 3 ^ {j} 5 ^ {k} 7 ^ {l} \ cdots \ rightarrow \ ln (c) = i \ ln (2) + j \ ln (3) + k \ln(5)+l\ln(7)+\cdots }
To zatrudnia
główny
przybliżony logarytm naturalny
OEIS
2
0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458
A002162
3
1.098 612 288 668 109 691 395 245 236 92
A002391
5
1.609 437 912 434 100 374 600 759 333 23
A016628
7
1,945 910 149 055 313 305 105 352 743 44
A016630
11
2,397 895 272 798 370 544 061 943 577 97
A016634
13
2.564 949 357 461 536 736 053 487 441 57
A016636
17
2,833 213 344 056 216 080 249 534 617 87
A016640
19
2,944 438 979 166 440 460 009 027 431 89
A016642
23
3,135 494 215 929 149 690 806 752 831 81
A016646
29
3,367 295 829 986 474 027 183 272 032 36
A016652
31
3,433 987 204 485 146 245 929 164 324 54
A016654
37
3.610 917 912 644 224 444 368 095 671 03
A016660
41
3,713 572 066 704 307 803 866 763 373 04
A016664
43
3,761 200 115 693 562 423 472 842 513 35
A016666
47
3,850 147 601 710 058 586 820 950 669 77
A016670
53
3,970 291 913 552 121 834 144 469 139 03
A016676
59
4.077 537 443 905 719 450 616 050 373 72
A016682
61
4,110 873 864 173 311 248 751 389 103 43
A016684
67
4.204 692 619 390 966 059 670 071 996 36
A016690
71
4.262 679 877 041 315 421 329 454 532 51
A016694
73
4,290 459 441 148 391 129 092 108 857 44
A016696
79
4,369 447 852 467 021 494 172 945 541 48
A016702
83
4,418 840 607 796 597 923 475 472 223 29
A016706
89
4.488 636 369 732 139 838 317 815 540 67
A016712
97
4.574 710 978 503 382 822 116 721 621 70
A016720
W trzeciej warstwie logarytmy liczb wymiernych r =
a / b oblicza się w ln ( r ) = ln ( ) - ln ( b ) oraz logarytmy korzeni za pomocą ln n √ C =1 / n In( c ) .
Logarytm z 2 jest użyteczny w tym sensie, że potęgi 2 są dość gęsto rozłożone; znalezienie potęg 2 i zbliżonych do potęg b j innych liczb b jest stosunkowo łatwe, a szeregowe reprezentacje ln( b ) można znaleźć przez sprzężenie 2 do b z konwersjami logarytmicznymi .
Przykład
Jeśli p s = q t + d z pewnym małym d , wtedyp s / q t = 1 + D / q t i dlatego
s
ja
P
−
T
ja
Q
=
ja
(
1
+
D
Q
T
)
=
Σ
m
=
1
∞
(
−
1
)
m
+
1
(
D
Q
T
)
m
m
=
Σ
n
=
0
∞
2
2
n
+
1
(
D
2
Q
T
+
D
)
2
n
+
1
.
{\ Displaystyle s \ ln pt \ ln q = \ ln \ lewo (1+ {\ frac {d} {q ^ {t}}} \ po prawej) = \ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} ( -1)^{m+1}{\frac {({\frac {d}{q^{t}}})^{m}}{m}}=\sum _{n=0}^{\ infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.}
Wybranie q = 2 reprezentuje ln p przez ln 2 i serię parametruD / q t że chce się zachować małą wartość dla szybkiej konwergencji. Biorąc na przykład 3 2 = 2 3 + 1 , generuje
2
ja
3
=
3
ja
2
−
Σ
k
≥
1
(
−
1
)
k
8
k
k
=
3
ja
2
+
Σ
n
=
0
∞
2
2
n
+
1
(
1
2
⋅
8
+
1
)
2
n
+
1
.
{\ Displaystyle 2 \ ln 3 = 3 \ ln 2 \ suma _ {k \ geq 1} {\ Frac {(-1) ^ {k}} {8 ^ {k} k}} = 3 \ ln 2+ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{ 2n+1}.}
To właściwie trzecia linia w poniższej tabeli rozszerzeń tego typu:
s
P
T
Q
D / q t
1
3
1
2
1 / 2 = − 0,500 000 00 …
1
3
2
2
−1 / 4 = − 0,250 000 00 …
2
3
3
2
1 / 8 = − 0,125 000 00 …
5
3
8
2
−13 / 256 = − 0,050 781 25 …
12
3
19
2
7153 / 524 288 = − 0,013 643 26 …
1
5
2
2
1 / 4 = − 0,250 000 00 …
3
5
7
2
−3 / 128 = − 0,023 437 50 …
1
7
2
2
3 / 4 = − 0,750 000 00 …
1
7
3
2
−1 / 8 = − 0,125 000 00 …
5
7
14
2
423 / 16 384 = − 0,025 817 87 …
1
11
3
2
3 / 8 = − 0,375 000 00 …
2
11
7
2
−7 / 128 = − 0,054 687 50 …
11
11
38
2
10 433 763 667 / 274 877 906 944 = − 0,037 957 81 …
1
13
3
2
5 / 8 = − 0,625 000 00 …
1
13
4
2
−3 / 16 = − 0,187 500 00 …
3
13
11
2
149 / 2048 = − 0,072 753 91 …
7
13
26
2
− 4 360 347 / 67 108 864 = − 0,064 974 23 …
10
13
37
2
419 538 377 / 137 438 953 472 = − 0,003 052 54 …
1
17
4
2
1 / 16 = − 0,062 500 00 …
1
19
4
2
3 / 16 = − 0,187 500 00 …
4
19
17
2
−751 / 131 072 = − 0,005 729 68 …
1
23
4
2
7 / 16 = − 0,437 500 00 …
1
23
5
2
−9 / 32 = − 0,281 250 00 …
2
23
9
2
17 / 512 = − 0,033 203 12 …
1
29
4
2
13 / 16 = − 0,812 500 00 …
1
29
5
2
−3 / 32 = − 0,093 750 00 …
7
29
34
2
70 007 125 / 17 179 869 184 = − 0,004 074 95 …
1
31
5
2
−1 / 32 = − 0,031 250 00 …
1
37
5
2
5 / 32 = − 0,156 250 00 …
4
37
21
2
− 222 991 / 2 097 152 = − 0,106 330 39 …
5
37
26
2
2 235 093 / 67 108 864 = − 0,033 305 48 …
1
41
5
2
9 / 32 = − 0,281 250 00 …
2
41
11
2
−367 / 2048 = − 0,179 199 22 …
3
41
16
2
3385 / 65 536 = − 0,051 651 00 …
1
43
5
2
11 / 32 = − 0,343 750 00 …
2
43
11
2
−199 / 2048 = − 0,097 167 97 …
5
43
27
2
12 790 715 / 134 217 728 = − 0,095 298 25 …
7
43
38
2
− 3 059 295 837 / 274 877 906 944 = − 0,011 129 65 …
Wychodząc od logarytmu naturalnego q = 10, można użyć następujących parametrów:
s
P
T
Q
D / q t
10
2
3
10
3 / 125 = − 0,024 000 00 …
21
3
10
10
460 353 203 / 10 000 000 000 = − 0,046 035 32 …
3
5
2
10
1 / 4 = − 0,250 000 00 …
10
5
7
10
−3 / 128 = − 0,023 437 50 …
6
7
5
10
17 649 / 100 000 = − 0,176 490 00 …
13
7
11
10
− 3 110 989 593 / 100 000 000 000 = − 0,031 109 90 …
1
11
1
10
1 / 10 = − 0,100 000 00 …
1
13
1
10
3 / 10 = − 0,300 000 00 …
8
13
9
10
− 184 269 279 / 1 000 000 000 = − 0,184 269 28 …
9
13
10
10
604 499 373 / 10 000 000 000 = − 0,060 449 94 …
1
17
1
10
7 / 10 = − 0,700 000 00 …
4
17
5
10
− 16 479 / 100 000 = − 0,164 790 00 …
9
17
11
10
18 587 876 497 / 100 000 000 000 = − 0,185 878 76 …
3
19
4
10
−3141 / 10 000 = − 0,314 100 00 …
4
19
5
10
30 321 / 100 000 = − 0,303 210 00 …
7
19
9
10
− 106 128 261 / 1 000 000 000 = − 0,106 128 26 …
2
23
3
10
−471 / 1000 = − 0,471 000 00 …
3
23
4
10
2167 / 10 000 = − 0,216 700 00 …
2
29
3
10
−159 / 1000 = − 0,159 000 00 …
2
31
3
10
−39 / 1000 = − 0,039 000 00 …
Znane cyfry
Jest to tabela ostatnich rekordów w obliczaniu cyfr ln 2 . Od grudnia 2018 r. został obliczony na więcej cyfr niż jakikolwiek inny logarytm naturalny liczby naturalnej, z wyjątkiem 1.
Data
Nazwa
Ilość cyfr
7 stycznia 2009
A. Yee i R. Chan
15 500 000 000
4 lutego 2009
A. Yee i R. Chan
31 026 000 000
21 lutego 2011
Aleksander Yee
50 000 000 050
14 maja 2011
Shigeru Kondo
100 000 000 000
28 lutego 2014
Shigeru Kondo
200 000 000 050
12 lipca 2015 r.
Ron Watkins
250 000 000 000
30 stycznia 2016
Ron Watkins
350 000 000 000
18 kwietnia 2016
Ron Watkins
500 000 000 000
10 grudnia 2018
Michael Kwok
600 000 000 000
26 kwietnia 2019
Jakub Riffee
1 000 000 000 000
19 sierpnia 2020 r.
Seungmin Kim
1 200 000 000 100
Zobacz też
Bibliografia
Brent, Richard P. (1976). „Szybka wielokrotna precyzyjna ocena funkcji elementarnych”. J.ACM . 23 (2): 242–251. doi : 10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . S2CID 6761843 .
Uhler, Horacy S. (1940). „Ponowne obliczenie i rozszerzenie modułu i logarytmów 2, 3, 5, 7 i 17” . Proc. Natl. Acad. Nauka. Stany Zjednoczone . 26 (3): 205–212. doi : 10.1073/pnas.26.3.205 . MR 0001523 . PMC 1078033 . PMID 16588339 .
Sweeney, Dura W. (1963). „O obliczeniu stałej Eulera” . Matematyka Obliczeń . 17 (82): 170-178. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X . MR 0160308 .
Chamberland, Marc (2003). „Binarne formuły BBP dla logarytmów i uogólnionych liczb pierwszych Gaussa-Mersenne'a” (PDF) . Dziennik ciągów liczb całkowitych . 6 : 03.3.7. MR 2046407 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) dnia 2011-06-06 . Źródło 2010-04-29 .
Gourevich, Borys; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Konstruowanie sum dwumianowych dla π i stałych polilogarytmicznych inspirowanych wzorami BBP" (PDF) . Stosowana matematyka. Notatki elektroniczne . 7 : 237–246. MR 2346048 .
Wu, Qiang (2003). „O liniowej mierze niezależności logarytmów liczb wymiernych” . Matematyka Obliczeń . 72 (242): 901-911. doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .
Zewnętrzne linki
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">