Liczba naturalna - Natural number

Symbol podwójnej litery N, często używany do oznaczenia zbioru wszystkich liczb naturalnych (patrz Słowniczek symboli matematycznych ).
Do liczenia można używać liczb naturalnych (jedno jabłko, dwa jabłka, trzy jabłka, ...)

W matematyce , że liczby naturalne są te numery wykorzystywane do liczenia (jak w „istnieje sześć monet na stole”) oraz zamawiania (jak w „jest to trzeci co do wielkości miastem w kraju”). W powszechnej terminologii matematycznej słowami potocznie używanymi do liczenia są „ liczby główne ”, a słowa używane do porządkowania to „ liczby porządkowe ”. Liczby naturalne mogą czasami występować jako wygodny zestaw kodów (etykiet lub „nazw”), czyli tak, jak językoznawcy nazywają liczbami nominalnymi , rezygnując z wielu lub wszystkich właściwości bycia liczbą w sensie matematycznym.

Niektóre definicje, w tym norma ISO 80000-2 , rozpoczynają liczby naturalne od 0 , co odpowiada nieujemnym liczbom całkowitym 0, 1, 2, 3, ... , podczas gdy inne zaczynają się od 1 , co odpowiada dodatnim liczbom całkowitym 1, 2, 3, ... Teksty, które wykluczają zero z liczb naturalnych, czasami odnoszą się do liczb naturalnych razem z zerem jako do liczb całkowitych , podczas gdy w innych pismach ten termin jest używany zamiast liczb całkowitych (w tym liczb całkowitych ujemnych).

Liczby naturalne są podstawą, na podstawie której można zbudować wiele innych zbiorów liczbowych przez rozszerzenie: liczby całkowite , przez uwzględnienie (jeśli jeszcze nie w) elementu neutralnego 0 i addytywnego odwrotności ( n ) dla każdej niezerowej liczby naturalnej n ; z liczb wymiernych , poprzez włączenie Liczba odwrotna ( ), dla każdej liczby całkowitej niezerowy n (a także produktów tych odwrotności liczby całkowite); z liczbami rzeczywistymi, poprzez włączenie z wymiernych na ograniczenia z (zbieżny) sekwencji Cauchy'ego z wymiernych; z liczb zespolonych , w tym z liczb rzeczywistych nierozwiązanych pierwiastek minus jeden (a także sumy i ich produktów); i tak dalej. Ten łańcuch rozszerzeń sprawia, że ​​liczby naturalne są kanonicznie osadzone (zidentyfikowane) w innych systemach liczbowych.

W teorii liczb badane są własności liczb naturalnych, takie jak podzielność i rozkład liczb pierwszych . W kombinatoryce badane są problemy dotyczące liczenia i porządkowania, takie jak partycjonowanie i enumeracja .

W języku potocznym, zwłaszcza w kształceniu szkolnym, liczbami naturalnymi można nazwać numery liczenia intuicyjnie wyklucza liczby całkowite ujemne i zero, a także kontrast nieciągłości z liczeniem do ciągłości z pomiaru -a cechą charakterystyczną dla liczb rzeczywistych .

Historia

Starożytne korzenie

Uważa się, że kość Ishango (na wystawie w Królewskim Belgijskim Instytucie Nauk Przyrodniczych ) była używana 20 000 lat temu do arytmetyki liczb naturalnych.

Najbardziej prymitywną metodą przedstawiania liczby naturalnej jest postawienie znaku dla każdego przedmiotu. Później zestaw przedmiotów można było przetestować pod kątem równości, nadmiaru lub niedoboru — poprzez wykreślenie znaku i usunięcie przedmiotu z zestawu.

Pierwszym dużym postępem w abstrakcji było użycie cyfr do reprezentowania liczb. Umożliwiło to opracowanie systemów do rejestrowania dużych liczb. Starożytni Egipcjanie opracowali potężny system cyfr z odrębnymi hieroglifami dla 1, 10 i wszystkich potęg od 10 do ponad 1 miliona. Kamienna rzeźba z Karnaku , pochodząca z około 1500 roku p.n.e., a obecnie w Luwrze w Paryżu, przedstawia 276 jako 2 setki, 7 dziesiątek i 6 jedynek; i podobnie dla liczby 4622. W Babilończycy miało miejsce cenie systemu opartego zasadniczo na cyframi na 1 i 10, za pomocą podstawy sześćdziesiąt tak, że symbol sześćdziesięciu było takie samo jak dla symbolu jednej jego wartość jest określana na podstawie kontekstu.

Znacznie późniejszy postęp był rozwój idei, że  0 może być uważane za liczbę z własną liczbą. Użycie cyfry 0 w zapisie wartości miejsca (w innych liczbach) datuje się już w 700 roku p.n.e. przez Babilończyków, którzy pominęli taką cyfrę, gdy byłaby ona ostatnim symbolem w liczbie. W Olmeków i Maya cywilizacje stosować 0 jako odrębny numer już w 1 wieku pne , ale ten zwyczaj nie rozprzestrzenił się poza Mezoameryki . Użycie cyfry 0 w czasach nowożytnych zostało zapoczątkowane przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę w 628 roku n.e. Jednak 0 było używane jako liczba w średniowiecznym computus (obliczanie daty Wielkanocy), począwszy od Dionizjusza Exiguusa w 525 roku n.e., bez oznaczania go cyfrą (standardowe cyfry rzymskie nie mają symbolu 0). Zamiast tego, nulla (lub forma dopełniacza nullae ) od nullus , łacińskiego słowa oznaczającego „brak”, została użyta do oznaczenia wartości 0.

Pierwsze systematyczne badanie liczb jako abstrakcji przypisuje się zwykle greckim filozofom Pitagorasowi i Archimedesowi . Niektórzy greccy matematycy traktowali liczbę 1 inaczej niż większe liczby, czasem nawet nie jako liczbę. Euklides na przykład najpierw zdefiniował jednostkę, a potem liczbę jako wielokrotność jednostek, stąd według jego definicji jednostka nie jest liczbą i nie ma unikalnych liczb (np. dowolne dwie jednostki z nieskończenie wielu jednostek to 2) .

Niezależne badania nad liczbami miały również miejsce mniej więcej w tym samym czasie w Indiach , Chinach i Mezoameryce .

Współczesne definicje

W XIX-wiecznej Europie toczyła się matematyczno-filozoficzna dyskusja na temat dokładnej natury liczb naturalnych. Szkoła naturalizmu twierdziła, że ​​liczby naturalne są bezpośrednią konsekwencją ludzkiej psychiki. Henri Poincaré był jednym z jego zwolenników, podobnie jak Leopold Kronecker , który podsumował swoją wiarę jako „Bóg stworzył liczby całkowite, wszystko inne jest dziełem człowieka”.

W przeciwieństwie do przyrodników, konstruktywiści widzieli potrzebę poprawienia logicznego rygoru w podstawach matematyki . W latach 60. XIX wieku Hermann Grassmann zasugerował rekurencyjną definicję liczb naturalnych, stwierdzając, że nie są one tak naprawdę naturalne, lecz są konsekwencją definicji. Później skonstruowano dwie klasy takich formalnych definicji; jeszcze później okazało się, że są one równoważne w większości praktycznych zastosowań.

Teoretyczne definicje liczb naturalnych zapoczątkował Frege . Początkowo zdefiniował liczbę naturalną jako klasę wszystkich zbiorów, które odpowiadają jeden do jednego z określonym zbiorem. Jednak ta definicja okazała się prowadzić do paradoksów, w tym paradoksu Russella . Aby uniknąć takich paradoksów, zmodyfikowano formalizm tak, że liczba naturalna jest zdefiniowana jako określony zbiór, a każdy zbiór, który można umieścić w korespondencji jeden do jednego z tym zbiorem, ma taką liczbę elementów.

Druga klasa definicji została wprowadzona przez Charlesa Sandersa Peirce'a , udoskonalona przez Richarda Dedekinda , a następnie zbadana przez Giuseppe Peano ; to podejście nazywa się teraz arytmetyka Peano . Opiera się na aksjomatyzacji własności liczb porządkowych : każda liczba naturalna ma następcę, a każda niezerowa liczba naturalna ma niepowtarzalnego poprzednika. Arytmetyka Peano jest zgodna z kilkoma słabymi systemami teorii mnogości. Jednym z takich systemów jest ZFC z aksjomatem nieskończoności zastąpionym jego negacją. Twierdzenia, które można udowodnić w ZFC, ale nie można ich udowodnić za pomocą aksjomatów Peano, obejmują twierdzenie Goodsteina .

Przy wszystkich tych definicjach wygodnie jest uwzględnić 0 (odpowiadające zestawowi pustemu ) jako liczbę naturalną. Dodanie 0 jest obecnie powszechną konwencją wśród teoretyków mnogości i logików . Inni matematycy również uwzględniają 0, a języki komputerowe często zaczynają od zera podczas wyliczania elementów, takich jak liczniki pętli i elementy ciągu lub tablicy . Z drugiej strony, wielu matematyków zachowało starszą tradycję, według której 1 jest pierwszą liczbą naturalną.

Notacja

Matematycy używają N lub w odniesieniu do zbioru wszystkich liczb naturalnych. Istnienie takiego zbioru jest ustalone w teorii mnogości . Starsze teksty również czasami wykorzystywały J jako symbol tego zestawu.

Ponieważ różne właściwości są zwyczajowo związane z tokenami 0 i 1 (np. elementy neutralne odpowiednio dla dodawania i mnożenia), ważne jest, aby wiedzieć, która wersja liczb naturalnych jest zastosowana w rozważanym przypadku. Można to zrobić, wyjaśniając prozą, wyraźnie zapisując zbiór lub określając ogólny identyfikator za pomocą indeksu górnego lub dolnego, na przykład w ten sposób:

  • Naturalne bez zera:
  • Naturalne z zerem:

Alternatywnie od liczby naturalne naturalny tworzą podzbiór z liczb (często oznaczany ), mogą być określane jako, odpowiednio, dodatni, lub całkowite nieujemne,. Aby być jednoznacznym co do tego, czy zawiera się 0, czy nie, czasami dodawany jest indeks dolny (lub górny) „0” w pierwszym przypadku, a indeks górny „ * ” w drugim przypadku:

Nieruchomości

Dodatek

Mając zbiór liczb naturalnych i funkcję następnika wysyłającą każdą liczbę naturalną do następnej, można zdefiniować dodawanie liczb naturalnych rekurencyjnie przez ustawienie a + 0 = a oraz a + S ( b ) = S ( a + b ) dla wszystkich a , b . Wtedy (ℕ, +) jest monoidem przemiennym z elementem tożsamości  0. Jest to monoid swobodny na jednym generatorze. Ten przemienny monoid spełnia właściwość anulowania , więc może być osadzony w grupie . Najmniejsza grupa zawierająca liczby naturalne to liczby całkowite .

Jeśli 1 jest zdefiniowane jako S (0) , to b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0 ) = S ( b ) . Oznacza to, że b + 1 jest po prostu następcą b .

Mnożenie

Analogicznie, zakładając, że zdefiniowano dodawanie, operator mnożenia można zdefiniować za pomocą a × 0 = 0 i a × S( b ) = ( a × b ) + a . To zamienia (ℕ * , ×) w swobodny monoid przemienny z elementem tożsamości 1; generatorem dla tego monoidu jest zbiór liczb pierwszych .

Związek między dodawaniem a mnożeniem

Dodawanie i mnożenie są zgodne, co wyraża prawo dystrybucji : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Te właściwości dodawania i mnożenia sprawiają, że liczby naturalne są instancją przemiennego półpierścienia . Semirings to algebraiczne uogólnienie liczb naturalnych, w którym mnożenie niekoniecznie jest przemienne. Z powodu braku dodatków odwrotne, co jest równoznaczne z tym, że nie jest zamknięta na podstawie odejmowania (to jest, odjęcie jednej ziemnego z innym, nie zawsze daje inny naturalny) oznacza, że jest nie pierścień ; zamiast tego jest to semiring (znany również jako rig ).

Jeśli liczby naturalne są traktowane jako „z wyłączeniem 0” i „zaczynając od 1”, definicje + i × są takie jak powyżej, z wyjątkiem tego, że zaczynają się od a + 1 = S ( a ) i a × 1 = a .

Zamówienie

W tej sekcji zestawione zmienne, takie jak ab, wskazują iloczyn a × b , przy czym przyjmuje się standardową kolejność operacji .

Całkowity celu na liczb naturalnych, jest określona przez pozwolenie naB , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje inne liczbą naturalną c gdzie + c = b . Porządek ten jest zgodny z działaniami arytmetycznymi w następującym sensie: jeśli a , b i c są liczbami naturalnymi oraz ab , to a + cb + c i acbc .

Ważną właściwością liczb naturalnych jest to, że są one uporządkowane : każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma najmniejszy element. Rangę wśród uporządkowanych zbiorów wyraża liczba porządkowa ; dla liczb naturalnych jest to oznaczone jako ω (omega).

Dział

W tej sekcji zestawione zmienne, takie jak ab, wskazują iloczyn a × b , przy czym przyjmuje się standardową kolejność operacji .

Mimo, że na ogół nie można podzielić jedną liczbę naturalną od drugiego i uzyskać liczbę naturalną W wyniku tego postępowania z podziałem z pozostałym lub euklidesowej podziału jest dostępny jako substytut: dla dwóch dowolnych liczb naturalnych, a i b o b ≠ 0 tam są liczbami naturalnymi q i r takimi, że

Liczba Q jest nazywany iloraz i R nazywa się resztę z dzielenia przez  b . Liczby Q i R są jednoznacznie wyznaczone przez i  b . Ten podział euklidesowy jest kluczem do kilku innych własności ( podzielności ), algorytmów (takich jak algorytm euklidesowy ) i idei w teorii liczb.

Własności algebraiczne spełniane przez liczby naturalne

Operacje dodawania (+) i mnożenia (×) na liczbach naturalnych, jak zdefiniowano powyżej, mają kilka właściwości algebraicznych:

  • Zamknięcie przy dodawaniu i mnożeniu: dla wszystkich liczb naturalnych a i b zarówno a + b jak i a × b są liczbami naturalnymi.
  • Łączność : dla wszystkich liczb naturalnych a , b i c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c oraz a × ( b × c ) = ( a × b ) × c .
  • Przemienność : dla wszystkich liczb naturalnych a i b , a + b = b + a i a × b = b × a .
  • Istnienie elementów identyczności : dla każdej liczby naturalnej a , a + 0 = a oraz a × 1 = a .
  • Dystrybucja mnożenia przez dodawanie dla wszystkich liczb naturalnych a , b i c , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
  • Brak niezerowe dzielnik zera : jeśli i b są liczbami naturalnymi, takimi że x b = 0 , a następnie = 0 i b = 0 (lub obu).

nieskończoność

Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym . Z definicji ten rodzaj nieskończoności nazywa się nieskończonością policzalną . Mówi się, że wszystkie zbiory, które można umieścić w relacji bijektywnej z liczbami naturalnymi, mają ten rodzaj nieskończoności. Wyraża się to również mówiąc, że liczba kardynalna zbioru to aleph-not ( 0 ).

Uogólnienia

Dwa ważne uogólnienia liczb naturalnych wynikają z dwóch zastosowań liczenia i porządkowania: liczebników kardynalnych i liczebników porządkowych .

  • Liczba naturalna może być użyta do wyrażenia rozmiaru zbioru skończonego; dokładniej, liczba kardynalna jest miarą wielkości zbioru, która jest odpowiednia nawet dla zbiorów nieskończonych. Ta koncepcja „rozmiaru” opiera się na mapach między zestawami, tak że dwa zestawy mają ten sam rozmiar , dokładnie jeśli istnieje między nimi bijection . O samym zbiorze liczb naturalnych i każdym jego bijektywnym obrazie mówi się, że jest przeliczalnie nieskończony i ma kardynalność aleph-null ( 0 ).
  • Liczby naturalne są również używane jako językowe liczby porządkowe : „pierwszy”, „drugi”, „trzeci” i tak dalej. W ten sposób można je przypisać do elementów całkowicie uporządkowanego zbioru skończonego, a także do elementów dowolnego uporządkowanego, przeliczalnie nieskończonego zbioru. To przypisanie można uogólnić na ogólne uporządkowania o liczności przekraczającej policzalne, w celu uzyskania liczb porządkowych. Liczba porządkowa może być również użyta do opisania pojęcia „rozmiar” dla dobrze uporządkowanego zbioru, w sensie innym niż kardynalność: jeśli między dwoma uporządkowanymi zbiorami występuje izomorfizm porządku (więcej niż bijekt!) mają ten sam numer porządkowy. Pierwsza liczba porządkowa, która nie jest liczbą naturalną, jest wyrażana jako ω ; jest to również liczba porządkowa samego zbioru liczb naturalnych.

Najmniej porządkowym liczności 0 (to znaczy, że początkowy porządkowej od 0 ) jest ω ale wiele uporządkowane zestawy z liczby kardynalnej 0 mają porządkowej liczbę większą Ohm .

W przypadku skończonych dobrze uporządkowanych zbiorów istnieje zależność jeden do jednego między liczbami porządkowymi i kardynalnymi; dlatego oba mogą być wyrażone przez tę samą liczbę naturalną, liczbę elementów zbioru. Ta liczba może być również używana do opisania pozycji elementu w większej skończonej lub nieskończonej sekwencji .

Przeliczalna niż standardowy model arytmetyki spełniającą Peano arytmetycznych (to znaczy, że pierwszy rozkaz Peano aksjomaty) został opracowany przez Skolema w 1933 roku hypernatural liczby są niezliczona model, który może być wykonany z zwykłych liczb naturalnych, za pomocą konstrukcji UltraPower .

Georges Reeb zwykł prowokacyjnie twierdzić, że naiwne liczby całkowite się nie wypełniają . Inne uogólnienia zostały omówione w artykule o liczbach.

Formalne definicje

Aksjomaty Peano

Wiele własności liczb naturalnych można wyprowadzić z pięciu aksjomatów Peano :

  1. 0 to liczba naturalna.
  2. Każda liczba naturalna ma następcę, który również jest liczbą naturalną.
  3. 0 nie jest następcą żadnej liczby naturalnej.
  4. Jeśli następca jest równy następcy , to jest równy .
  5. Aksjomat indukcji : jeśli zdanie jest prawdziwe 0, a jeśli prawdą tego oświadczenia dotyczącego liczby zakłada jej prawdę o następcy tego numeru, to stwierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej.

Nie są to oryginalne aksjomaty opublikowane przez Peano, ale zostały nazwane na jego cześć. Niektóre formy aksjomatów Peano mają 1 zamiast 0. W zwykłej arytmetyce następcą jest . Zastępując aksjomat 5 schematem aksjomatów, otrzymujemy (słabszą) teorię pierwszego rzędu zwaną arytmetyką Peano .

Konstrukcje oparte na teorii mnogości

Liczby porządkowe von Neumanna

W dziedzinie matematyki zwanej teorią mnogości , specyficzna konstrukcja Johna von Neumanna definiuje liczby naturalne w następujący sposób:

  • Set 0 = { } , pusty zbiór ,
  • Zdefiniuj S ( a ) = a ∪ { a } dla każdego zestawu a . S ( a ) jest następcą funkcji a , a S nazywa się funkcją następcy .
  • Zgodnie z aksjomatem nieskończoności istnieje zbiór, który zawiera 0 i jest zamknięty pod funkcją następnika. Mówi się, że takie zestawy są indukcyjne . Przecięcie wszystkich takich zbiorów indukcyjnych definiuje się jako zbiór liczb naturalnych. Można sprawdzić, czy zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peano .
  • Wynika z tego, że każda liczba naturalna jest równa zbiorowi wszystkich liczb naturalnych mniejszych od niej:
  • 0 = { } ,
  • 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }} ,
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}} ,
  • 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} ,
  • n = n -1 ∪ { n -1} = {0, 1, ..., n -1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, .. .}} , itd.

Zgodnie z tą definicją, liczba naturalna n jest szczególnym zbiorem składającym się z n elementów, a nm wtedy i tylko wtedy, gdy n jest podzbiorem m . Standardowa definicja, zwana obecnie definicją liczb porządkowych von Neumanna , brzmi: „każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowanym zbiorem wszystkich mniejszych liczb porządkowych”.

Ponadto, z tą definicją, pokrywają się różne możliwe interpretacje notacji, takich jak n ( n -krotki kontra odwzorowania n na ).

Nawet jeśli ktoś nie akceptuje aksjomatu nieskończoności, a zatem nie może zaakceptować istnienia zbioru wszystkich liczb naturalnych, nadal można zdefiniować dowolny z tych zbiorów.

Liczba porządkowa Zermelo

Chociaż standardowa konstrukcja jest przydatna, nie jest to jedyna możliwa konstrukcja. Konstrukcja Ernsta Zermelo wygląda następująco:

  • Ustaw 0 = { }
  • Zdefiniuj S ( a ) = { a } ,
  • Wynika z tego, że
  • 0 = { } ,
  • 1 = {0} = {{ }} ,
  • 2 = {1} = {{{ }}} ,
  • n = { n −1} = {{{...}}} itd.
Każda liczba naturalna jest wtedy równa zbiorowi zawierającemu tylko poprzedzającą ją liczbę naturalną. To jest definicja liczb porządkowych Zermelo . W przeciwieństwie do konstrukcji von Neumanna, liczby porządkowe Zermelo nie uwzględniają nieskończonych liczb porządkowych.

Zobacz też

Systemy liczbowe
Kompleks
Prawdziwy
Racjonalny
Liczba całkowita
Naturalny
Zero : 0
Jeden : 1
liczby pierwsze
Liczby złożone
Ujemne liczby całkowite
Frakcja
Skończony dziesiętny
Diadyczny (skończony binarny)
Powtarzalny dziesiętny
Irracjonalny
Algebraiczny
Nadzmysłowy
Wyimaginowany

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki