Liczba ujemna - Negative number

W matematyce , A Liczba ujemna oznacza odwrotnie. W systemie liczb rzeczywistych liczba ujemna to liczba mniejsza od zera . Liczby ujemne są często używane do reprezentowania wielkości straty lub niedoboru. Dług , który jest należna może być traktowane jako negatywny aktywów, co oznacza spadek w jakiejś ilości mogą być traktowane jako zwiększenie ujemnego. Jeśli wielkość, taka jak ładunek elektronu, może mieć jeden z dwóch przeciwnych sensów, to można zdecydować się na rozróżnienie tych zmysłów – być może arbitralnie – jako dodatnich i ujemnych . Liczby ujemne służą do opisywania wartości na skali poniżej zera, takiej jak skale Celsjusza i Fahrenheita dla temperatury. Prawa arytmetyki dla liczb ujemnych zapewniają, że zdroworozsądkowa idea przeciwieństwa znajduje odzwierciedlenie w arytmetyce. Na przykład −(−3) = 3, ponieważ przeciwieństwo przeciwieństwa jest wartością oryginalną.

Liczby ujemne są zwykle pisane ze znakiem minusa z przodu. Na przykład -3 reprezentuje ujemną ilość o wielkości trzy i jest wymawiane „minus trzy” lub „ujemne trzy”. Aby pomóc odróżnić między odejmowanie pracy i liczbę ujemną, czasami negatywny znak jest umieszczony nieco wyżej niż znakiem minus (jako indeks górny ). I odwrotnie, liczba większa od zera nazywana jest dodatnią ; zero jest zwykle ( ale nie zawsze ) uważane za ani pozytywne, ani negatywne . Pozytywność liczby można podkreślić, umieszczając przed nią znak plus, np. +3. Ogólnie rzecz biorąc, ujemność lub pozytywność liczby jest określana jako jej znak .

Każda liczba rzeczywista inna niż zero jest albo dodatnia, albo ujemna. Nieujemne liczby całkowite są nazywane liczbami naturalnymi (tj. 0, 1, 2, 3...), natomiast liczby całkowite dodatnie i ujemne (razem z zerem) nazywane są liczbami całkowitymi . (Niektóre definicje liczb naturalnych wykluczają zero.)

W księgowości należne kwoty są często reprezentowane przez liczby w kolorze czerwonym lub w nawiasach jako alternatywny zapis liczb ujemnych.

Liczby ujemne pojawiły się po raz pierwszy w historii w Dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej , które w obecnej formie pochodzą z okresu chińskiej dynastii Han (202 pne – 220 ne), ale mogą zawierać znacznie starszy materiał. Liu Hui (ok. III w.) ustanowił zasady dodawania i odejmowania liczb ujemnych. W VII wieku indyjscy matematycy, tacy jak Brahmagupta , opisywali użycie liczb ujemnych. Matematycy islamscy dalej rozwinęli zasady odejmowania i mnożenia liczb ujemnych oraz rozwiązywali problemy z ujemnymi współczynnikami . Przed pojęciem liczb ujemnych matematycy, tacy jak Diophantus, uważali negatywne rozwiązania problemów za „fałszywe”, a równania wymagające ujemnych rozwiązań opisywano jako absurdalne. Zachodni matematycy, tacy jak Leibniz (1646-1716), utrzymywali, że liczby ujemne są nieprawidłowe, ale nadal używali ich w obliczeniach.

Wstęp

W wyniku odejmowania

Liczby ujemne można traktować jako wynik odejmowania większej liczby od mniejszej. Na przykład ujemna trójka jest wynikiem odjęcia trzech od zera:

0 − 3 = −3.

Ogólnie rzecz biorąc, odjęcie większej liczby od mniejszej daje wynik ujemny, przy czym wielkość wyniku jest różnicą między tymi dwiema liczbami. Na przykład,

5 − 8 = −3

ponieważ 8 - 5 = 3 .

Linia liczbowa

Związek między liczbami ujemnymi, dodatnimi i zerami jest często wyrażany w postaci osi liczbowej :

Liczby pojawiające się dalej na prawo w tym wierszu są większe, podczas gdy liczby pojawiające się dalej na lewo są mniejsze. Tak więc zero pojawia się pośrodku, z liczbami dodatnimi po prawej i liczbami ujemnymi po lewej stronie.

Zauważ, że liczba ujemna o większej wartości jest uważana za mniejszą. Na przykład, mimo że (dodatnia) 8 jest większa niż (dodatnia) 5 , napisane

8 > 5

ujemna 8 jest uważana za mniejszą niż ujemna 5 :

-8 < -5.

(Ponieważ, na przykład, jeśli masz −8, czyli dług równy 8, będziesz miał mniej po dodaniu, powiedzmy, 10 £, niż gdybyś miał −5.) Wynika z tego, że każda ujemna liczba jest mniejsza niż dowolna liczba dodatnia, więc

-8 <5  i  -5 <8.

Podpisane numery

W kontekście liczb ujemnych liczba większa od zera jest określana jako dodatnia . Tak więc każda liczba rzeczywista inna niż zero jest albo dodatnia, albo ujemna, podczas gdy samo zero nie jest uważane za posiadające znak. Liczby dodatnie są czasami pisane ze znakiem plus z przodu, np. +3 oznacza dodatnią trójkę.

Ponieważ zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne, termin nieujemny jest czasami używany w odniesieniu do liczby, która jest dodatnia lub zerowa, podczas gdy niedodatnia jest używana w odniesieniu do liczby, która jest ujemna lub zerowa. Zero jest liczbą neutralną.

Codzienne użycie liczb ujemnych

Sport

• Różnica bramek w federacji piłkarskiej i hokeju ; różnica punktów w rugby ; stopa run netto w krykieta ; wyniki w golfa w stosunku do par .
• Różnica plus-minus w hokeju na lodzie : różnica w całkowitej liczbie bramek zdobytych dla drużyny (+) i przeciw drużynie (−), gdy dany zawodnik jest na lodzie, to ocena gracza +/−. Gracze mogą mieć ocenę ujemną (+/-).
• Różnica między biegami w baseballu : różnica między biegami jest ujemna, jeśli drużyna dopuszcza więcej przebiegów niż zdobyła.
• Kluby mogą otrzymać punkty za złamanie prawa, a tym samym mieć ujemną sumę punktów, dopóki nie zdobędą co najmniej tylu punktów w tym sezonie.
• Czasy okrążeń (lub sektorów) w Formule 1 mogą być podane jako różnica w porównaniu z poprzednim okrążeniem (lub sektorem) (takim jak poprzedni rekord lub okrążenie właśnie ukończone przez kierowcę z przodu) i będą dodatnie, jeśli będą wolniejsze i ujemna, jeśli szybciej.
• W niektórych zawodach lekkoatletycznych , takich jak biegi sprinterskie, biegi przez płotki , trójskok i skok w dal , mierzy się i rejestruje wspomaganie wiatru , które jest dodatnie dla wiatru tylnego i ujemne dla wiatru czołowego.

Nauki ścisłe

• Temperatury niższe niż 0°C lub 0°F.
• Szerokości geograficzne na południe od równika i długości geograficzne na zachód od południka zerowego .
• Topograficznym cechom powierzchni ziemi podawana jest wysokość nad poziomem morza , która może być ujemna (np. wysokość powierzchni Morza Martwego lub Doliny Śmierci , czy wysokość tunelu Tamizy Tideway ).
• Obwody elektryczne . Gdy bateria jest podłączona z odwrotną polaryzacją, mówi się, że przyłożone napięcie jest przeciwne do jego napięcia znamionowego. Na przykład bateria 6 woltów podłączona w odwrotnej kolejności przykłada napięcie -6 woltów.
• Jony mają dodatni lub ujemny ładunek elektryczny.
• Impedancja wieży nadawczej AM stosowanej w wielowieżowych antenach kierunkowych , która może być dodatnia lub ujemna.

Finanse

• Sprawozdania finansowe mogą zawierać salda ujemne, oznaczone znakiem minus lub ujęcie salda w nawiasach. Przykłady obejmują kredyty w rachunku bankowym i straty biznesowe (ujemne zarobki ).
• Zwroty na kartę kredytową lub debetową stanowią ujemne obciążenie karty.
• Roczny procentowy wzrost PKB danego kraju może być ujemny, co jest jednym ze wskaźników recesji .
• Czasami stopa inflacji może być ujemna ( deflacja ), co wskazuje na spadek średnich cen.
• Dzienna zmiana ceny akcji lub indeksu giełdowego , takiego jak FTSE 100 lub Dow Jones .
• Ujemna liczba w finansowaniu jest synonimem „długu” i „deficytu”, które są również znane jako „bycie na minusie”.
• Stopy procentowe mogą być ujemne, gdy pożyczkodawca musi zdeponować swoje pieniądze.

Inne

• Numeracja kondygnacji w budynku poniżej parteru.
• Podczas odtwarzania pliku audio na przenośnym odtwarzaczu multimedialnym , takim jak iPod , na ekranie może być wyświetlany pozostały czas jako liczba ujemna, która zwiększa się do zera w tym samym tempie, w jakim czas już odtworzony zwiększa się od zera.
• Telewizyjne teleturnieje :
  • Uczestnicy na QI często kończą z ujemnym wynikiem punktowym.
  • Drużyny w University Challenge mają negatywny wynik, jeśli ich pierwsze odpowiedzi są nieprawidłowe i przerywają pytanie.
  • Niebezpieczeństwo! ma ujemny wynik pieniężny – zawodnicy grają o pewną sumę pieniędzy, a każda nieprawidłowa odpowiedź, która kosztuje ich więcej niż to, co mają teraz, może skutkować ujemnym wynikiem.
  • W The Price Is Right ' s cenowa gry kupować ani sprzedawać, jeżeli kwota pieniędzy jest stracone, że jest więcej niż kwota obecnie w banku, to ponosi wynik negatywny.
• Zmiana poparcia dla partii politycznej między wyborami, znana jako swing .
• Ocena aprobaty polityka .
• W grach wideo liczba ujemna oznacza utratę życia, uszkodzenie, utratę punktów lub zużycie zasobu, w zależności od gatunku symulacji.
• Pracownicy z elastycznymi godzinami pracy mogą mieć ujemne saldo w swoim grafiku, jeśli przepracowali łącznie mniej godzin niż zakontraktowane do tego momentu. Pracownicy mogą być w stanie wziąć więcej niż roczny dodatek urlopowy w ciągu roku i przenieść ujemne saldo na następny rok.
• Transponowanie nut na klawiaturze elektronicznej jest pokazywane na wyświetlaczu z liczbami dodatnimi dla wzrostu i liczbami ujemnymi dla spadku, np. „−1” dla jednego półtonu w dół.

Arytmetyka na liczbach ujemnych

Znak minus „-” oznacza Operatora zarówno dla binarnego (dwu- argumentu ) pracy z odejmowania (jak w y - Z ) i jednoskładnikową (jeden) argumentu operacji negacji (jak w - x lub dwukrotnie - ( - x ) ). Specjalny przypadek negacji jednoargumentowej występuje, gdy operuje na liczbie dodatniej, w którym to przypadku wynikiem jest liczba ujemna (jak w −5 ).

Niejednoznaczność symbolu „−” generalnie nie prowadzi do niejednoznaczności w wyrażeniach arytmetycznych, ponieważ kolejność operacji umożliwia tylko jedną lub drugą interpretację dla każdego „−”. Może to jednak prowadzić do nieporozumień i trudności w zrozumieniu wyrażenia, gdy symbole operatora pojawiają się obok siebie. Rozwiązaniem może być umieszczenie w nawiasie jednoargumentowego „−” wraz z jego operandem.

Na przykład wyrażenie 7 + −5 może być jaśniejsze, jeśli napisane jest 7 + (−5) (chociaż formalnie oznaczają dokładnie to samo). Odejmowanie wyrażenie 7 - 5 jest różny wyraz, że nie reprezentują te same operacje, ale ocenia do tego samego rezultatu.

Czasami w szkołach podstawowych liczba może być poprzedzona znakiem minus lub plus w indeksie górnym, aby wyraźnie odróżnić liczby ujemne i dodatnie, jak w

⁻ 2 + ⁻ 5  daje  ⁻ 7 .

Dodatek

Dodawanie dwóch liczb ujemnych jest bardzo podobne do dodawania dwóch liczb dodatnich. Na przykład,

(−3) + (−5) = -8 .

Chodzi o to, że dwa długi można połączyć w jeden dług o większej wartości.

Dodając do siebie mieszaninę liczb dodatnich i ujemnych, można myśleć o liczbach ujemnych jako odejmowanych liczbach dodatnich. Na przykład:

8 + (−3) = 8 − 3 = 5  i  (−2) + 7 = 7 − 2 = 5 .

W pierwszym przykładzie kredyt w wysokości 8 jest połączony z długiem w wysokości 3 , co daje całkowity kredyt w wysokości 5 . Jeśli liczba ujemna ma większą wartość, wynik jest ujemny:

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5  i  2 + (−7) = 2 − 7 = −5 .

Tutaj kredyt jest mniejszy niż dług, więc wynik netto to dług.

Odejmowanie

Jak omówiono powyżej, odejmowanie dwóch liczb nieujemnych może dać negatywną odpowiedź:

5 − 8 = −3

Ogólnie rzecz biorąc, odjęcie liczby dodatniej daje taki sam wynik, jak dodanie liczby ujemnej o równej wielkości. Zatem

5 − 8 = 5 + (−8) = −3

oraz

(−3) − 5 = (−3) + (−5) = −8

Z drugiej strony odjęcie liczby ujemnej daje ten sam wynik, co dodanie liczby dodatniej o równej wielkości. (Chodzi o to, że utrata długu to to samo, co uzyskanie kredytu).

3 − (−5) = 3 + 5 = 8

oraz

(−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3 .

Mnożenie

Mnożąc liczby, wielkość iloczynu jest zawsze iloczynem dwóch wielkości. Znak produktu zależy od następujących zasad:

• Iloczyn jednej liczby dodatniej i jednej liczby ujemnej jest ujemny.
• Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

Zatem

(−2) × 3 = -6

oraz

(-2) × (-3) = 6 .

Powód za pierwszym przykładem jest prosty: dodanie trzech -2 razem daje -6 :

(-2) × 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6 .

Rozumowanie za drugim przykładem jest bardziej skomplikowane. Pomysł znowu jest taki, że utrata długu to to samo, co uzyskanie kredytu. W tym przypadku utrata dwóch długów po trzy jest równoznaczna z uzyskaniem kredytu w wysokości sześciu:

(-2 długi ) × (-3 każdy ) = +6 kredytu.

Konwencja, że ​​iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, jest również konieczna, aby mnożenie było zgodne z prawem rozdzielności . W tym przypadku wiemy, że

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

Ponieważ 2 × (−3) = −6 , iloczyn (−2) × (−3) musi być równy 6 .

Reguły te prowadzą do innej (równoważnej) reguły — znak dowolnego iloczynu a × b zależy od znaku a w następujący sposób:

• jeśli a jest dodatnie, to znak a × b jest taki sam jak znak b , a
• jeśli a jest ujemne, to znak a × b jest przeciwieństwem znaku b .

W analizie liczb zespolonych można zaobserwować uzasadnienie, dlaczego iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią .

Podział

Zasady znakowania dla dzielenia są takie same jak dla mnożenia. Na przykład,

8 ÷ (−2) = -4 ,

(−8) ÷ 2 = -4 ,

oraz

(−8) ÷ (−2) = 4 .

Jeżeli dzielna i dzielnik mają ten sam znak, wynik jest dodatni, jeżeli mają różne znaki, wynik jest ujemny.

Negacja

Ujemna wersja liczby dodatniej nazywana jest jej negacją . Na przykład -3 jest negacją liczby dodatniej 3 . Suma pewnej liczby i jego negacji jest równa zeru:

3 + (-3) = 0 .

Oznacza to, że negacja liczby dodatniej jest addytywną odwrotnością liczby.

Używając algebry , możemy zapisać tę zasadę jako tożsamość algebraiczną :

x + (− x ) = 0 .

Ta tożsamość obowiązuje dla dowolnej liczby dodatniej x . Można sprawić, że będzie obowiązywać dla wszystkich liczb rzeczywistych, rozszerzając definicję negacji o liczby zerowe i ujemne. Konkretnie:

• Negacja 0 to 0, a
• Negacja liczby ujemnej to odpowiadająca jej liczba dodatnia.

Na przykład negacja -3 to +3 . Ogólnie,

−(− x ) =  x .

Wartość bezwzględna liczby to liczba nieujemna o tej samej wielkości. Na przykład wartość bezwzględna -3 i wartość bezwzględna 3 są równe 3 , a wartość bezwzględna 0 wynosi 0 .

Formalna konstrukcja liczb całkowitych ujemnych

Podobnie jak liczby wymierne , możemy rozszerzyć liczby naturalne N do liczb całkowitych Z definiując liczby całkowite jako uporządkowaną parę liczb naturalnych ( a , b ). Możemy rozszerzyć dodawanie i mnożenie na te pary według następujących zasad:

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )

( a , b ) × ( c , d ) = ( a × c + b × d , a × d + b × c )

Definiujemy relację równoważności ~ na tych parach za pomocą następującej zasady:

( a , b ) ~ ( c , d ) wtedy i tylko wtedy , gdy a + d = b + c .

Ta relacja równoważności jest zgodna ze zdefiniowanymi powyżej dodawaniem i mnożeniem i możemy zdefiniować Z jako zbiór ilorazowy N ²/~, tj. identyfikujemy dwie pary ( a , b ) i ( c , d ), jeśli są one równoważne w powyżej sensu. Zauważ, że Z , wyposażony w te operacje dodawania i mnożenia, jest pierścieniem i jest w rzeczywistości prototypowym przykładem pierścienia.

Możemy również zdefiniować całkowite zamówienie na Z pisząc

( a , b ) ≤ ( c , d ) wtedy i tylko wtedy , gdy a + d ≤ b + c .

Doprowadzi to do addytywnego zera formy ( a , a ), addytywnej odwrotności ( a , b ) formy ( b , a ), jednostki multiplikatywnej formy ( a + 1, a ) i a definicja odejmowania

( a , b ) − ( c , d ) = ( a + d , b + c ).

Ta konstrukcja jest szczególnym przypadkiem konstrukcji Grothendiecka .

Wyjątkowość

Negatyw liczby jest unikalny, jak pokazuje poniższy dowód.

Niech x będzie liczbą i niech y będzie jej liczbą ujemną. Załóżmy, że y′ jest kolejnym minusem x . Zgodnie z aksjomatem systemu liczb rzeczywistych

${\ Displaystyle x + y ^ {\ prime} = 0, \ quad {\ tekst {i}} \ quad x + y = 0.}$

A więc x + y′ = x + y . Używając prawa anulowania do dodawania, widać, że y′ = y . Zatem y jest równe każdemu innemu minusowi x . Oznacza to, że y jest unikalnym minusem x .

Historia

Przez długi czas negatywne rozwiązania problemów uważano za „fałszywe”. W Hellenistic Egipt , w greckiego matematyka Diofantos w 3 wne określone równaniem które było równoważne 4 x + 20 = 4 (która ma rozwiązanie ujemną) w Arithmetica , stwierdzając, że równanie absurdalne. Z tego powodu geometrowie greccy byli w stanie rozwiązać geometrycznie wszystkie formy równania kwadratowego, które dają dodatnie pierwiastki; podczas gdy nie mogli brać pod uwagę innych.

Liczby ujemne pojawiają się po raz pierwszy w historii w Dziewięciu rozdziałach o sztuce matematycznej ( Jiu zhang suan-shu ), która w obecnej formie pochodzi z okresu dynastii Han (202 pne – 220 ne), ale może również zawierać znacznie starszy materiał. Matematyk Liu Hui (ok. III w.) ustanowił zasady dodawania i odejmowania liczb ujemnych. Historyk Jean-Claude Martzloff wysnuł teorię, że znaczenie dwoistości w chińskiej filozofii przyrody ułatwiło Chińczykom zaakceptowanie idei liczb ujemnych. Chińczycy byli w stanie rozwiązywać jednoczesne równania z liczbami ujemnymi. W rozdziały Dziewięć stosowane czerwone pręty zliczania dla oznaczenia dodatnie współczynniki i czarne Drążki ujemny. System ten jest dokładnym przeciwieństwem współczesnego drukowania liczb dodatnich i ujemnych w dziedzinie bankowości, rachunkowości i handlu, gdzie czerwone liczby oznaczają wartości ujemne, a czarne liczby oznaczają wartości dodatnie. Liu Hui pisze:

Teraz są dwa przeciwstawne rodzaje prętów liczących zyski i straty, nazwijmy je dodatnimi i ujemnymi. Czerwone pręciki zliczające są dodatnie, czarne pręciki zliczające są ujemne.

Starożytny indyjski manuskrypt Bachszali przeprowadzał obliczenia z liczbami ujemnymi, używając „+” jako znaku ujemnego. Data rękopisu jest niepewna. LV Gurjar datuje ją nie później niż na IV wiek, Hoernle datuje ją między III a IV wiekiem, Ayyangar i Pingree datuje ją na VIII lub IX wiek, a George Gheverghese Joseph datuje ją na około 400 rne i nie później niż na początek VII stulecie,

W VII wieku ne w Indiach używano liczb ujemnych do oznaczania długów. Indian matematyka Brahmagupta w Brahma-Sphuta-siddhanty (napisany C. AD 630) omówili zastosowanie liczby ujemnych wytworzyć ogólną postać kwadratowego wzoru , który pozostaje w użyciu. Znalazł także negatywne rozwiązania równań kwadratowych i podał zasady dotyczące operacji na liczbach ujemnych i zerowych , takie jak „Dług odcięty od nicości staje się kredytem; kredyt odcięty od nicości staje się długiem”. Liczby dodatnie nazwał „fortuną”, zero „szyfrem”, a liczby ujemne „długami”.

W IX wieku matematycy islamscy byli zaznajomieni z liczbami ujemnymi z prac matematyków indyjskich, ale rozpoznawanie i używanie liczb ujemnych w tym okresie pozostawało nieśmiałe. Al-Khwarizmi w swoim Al-jabr wa'l-muqabala (od którego pochodzi słowo „algebra”) nie używał liczb ujemnych ani ujemnych współczynników. Ale w ciągu pięćdziesięciu lat Abu Kamil zilustrował zasady znaków rozszerzających mnożenie , a al-Karaji napisał w swoim al-Fakhrī, że „wielkości ujemne należy liczyć jako wyrazy”. W X wieku Abū al-Wafā' al-Būzjānī uważał długi za liczby ujemne w Księdze o tym, co jest konieczne z nauki arytmetyki dla skrybów i biznesmenów . ${\ Displaystyle (a \ pm b) (c \ pm d)}$

W XII wieku następcy al-Karaji mieli określić ogólne zasady znaków i używać ich do rozwiązywania podziałów wielomianowych . Jak pisze al-Samaw'al :

iloczyn liczby ujemnej – al-naqih – przez liczbę dodatnią – al-zaʾid – jest ujemny, a przez liczbę ujemną jest dodatni. Jeśli odejmiemy liczbę ujemną od większej liczby ujemnej, reszta jest ich ujemną różnicą. Różnica pozostaje dodatnia, jeśli odejmiemy liczbę ujemną od mniejszej liczby ujemnej. Jeśli odejmiemy liczbę ujemną od liczby dodatniej, reszta jest ich sumą dodatnią. Jeśli odejmiemy liczbę dodatnią od pustej potęgi ( martaba khāliyya ), reszta jest taka sama ujemna, a jeśli odejmiemy liczbę ujemną od pustej potęgi, reszta będzie tą samą liczbą dodatnią.

W XII wieku w Indiach Bhāskara II podał negatywne korzenie równań kwadratowych, ale odrzucił je, ponieważ były nieodpowiednie w kontekście problemu. Stwierdził, że wartość ujemna jest „w tym przypadku nie do przyjęcia, ponieważ jest nieadekwatna; ludzie nie aprobują negatywnych korzeni”.

Europejscy matematycy w większości opierali się koncepcji liczb ujemnych aż do połowy XIX wieku (!) W XVIII wieku powszechną praktyką było ignorowanie jakichkolwiek negatywnych wyników uzyskanych z równań, zakładając, że są one bez znaczenia. W 1759 r. angielski matematyk Francis Maseres napisał, że liczby ujemne „zaciemniają całą doktrynę równań i zaciemniają rzeczy, które są ze swej natury nadmiernie oczywiste i proste”. Doszedł do wniosku, że liczby ujemne są bezsensowne.

Fibonacci dopuszczał negatywne rozwiązania problemów finansowych, gdzie można je interpretować jako debety (rozdział 13 Liber Abaci , AD 1202), a później jako straty (w Flos ). W XV wieku Francuz Nicolas Chuquet używał liczb ujemnych jako wykładników, ale nazywał je „liczbami absurdalnymi”. W swojej Arithmetica Integra z 1544 r. Michael Stifel również zajmował się liczbami ujemnymi, nazywając je również numeri absurdi . W 1545 r. Gerolamo Cardano w swoim Ars Magna przedstawił pierwszą satysfakcjonującą interpretację liczb ujemnych w Europie. Nie dopuszczał liczb ujemnych w swoich rozważaniach równań sześciennych , więc musiał na przykład traktować x ³  +  ax  =  b oddzielnie od x ³  =  ax  +  b (z a , b  > 0 w obu przypadkach). W sumie Cardano został zmuszony do badania trzynastu różnych typów równań sześciennych, z których każde wyrażało się wyłącznie w postaci liczb dodatnich. (Cardano zajmował się również liczbami zespolonymi , ale, co zrozumiałe, lubił je jeszcze mniej.)

Zobacz też

Bibliografia

Cytaty

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Informacje biograficzne Maserów
• Seria BBC Radio 4 In Our Time , na temat „Liczby ujemne”, 9 marca 2006 r.
• Niekończące się przykłady i ćwiczenia: operacje na liczbach całkowitych ze znakiem
• Forum matematyczne: Zapytaj doktora Math FAQ: Negatywne razy w negatywnym