Analiza niestandardowa - Nonstandard analysis

Historia rachunku jest obarczona filozoficznych debat na temat znaczenia i logicznego ważności fluxions lub nieskończenie małych ilościach. Standardowym sposobem rozwiązania tych debat jest zdefiniowanie operacji rachunku różniczkowego za pomocą procedur epsilon-delta , a nie nieskończenie małych. Analiza niestandardowa zamiast tego przeformułowuje rachunek za pomocą logicznie rygorystycznego pojęcia nieskończenie małych liczb.

Niestandardowa analiza została zapoczątkowana na początku lat sześćdziesiątych przez matematyka Abrahama Robinsona . On napisał:

... idea nieskończenie małych i nieskończenie małych ilościach wydaje się odwołać naturalnie do naszej intuicji. W każdym razie użycie nieskończenie małych było szeroko rozpowszechnione podczas formacyjnych etapów rachunku różniczkowego i całkowego. Co do zarzutu ... że odległość między dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi nie może być nieskończenie mała, Gottfried Wilhelm Leibniz twierdził, że teoria nieskończenie małych implikuje wprowadzenie liczb idealnych, które mogą być nieskończenie małe lub nieskończenie duże w porównaniu z liczbami rzeczywistymi, ale które miały mieć takie same właściwości jak te ostatnie.

Robinson twierdził, że to prawo ciągłości Leibniza jest prekursorem zasady transferu . Robinson kontynuował:

Jednak ani on, ani jego uczniowie i następcy nie byli w stanie dać racjonalnego rozwoju prowadzącego do tego rodzaju systemu. W rezultacie teoria nieskończenie małych stopniowo traciła reputację i została ostatecznie zastąpiona klasyczną teorią granic.

Robinson kontynuuje:

... Idee Leibniza można w pełni potwierdzić i ... prowadzą do nowatorskiego i owocnego podejścia do analizy klasycznej i wielu innych gałęzi matematyki. Kluczem do naszej metody jest szczegółowa analiza relacji między językami matematycznymi a strukturami matematycznymi, która leży u podstaw współczesnej teorii modeli .

W 1973 roku intuicjonista Arend Heyting pochwalił niestandardową analizę jako „standardowy model ważnych badań matematycznych”.

Wstęp

Niezerowy element uporządkowanego pola jest nieskończenie mały wtedy i tylko wtedy, gdy jego wartość bezwzględna jest mniejsza niż jakikolwiek element postaci , dla standardowej liczby naturalnej. Uporządkowane pola, które mają nieskończenie małe elementy, są również nazywane niearchimedesowymi . Mówiąc bardziej ogólnie, analiza niestandardowa to dowolna forma matematyki, która opiera się na niestandardowych modelach i zasadzie transferu . Ciałem spełniającym zasadę przenoszenia dla liczb rzeczywistych jest ciało hiperrzeczywiste , a niestandardowa analiza rzeczywista wykorzystuje te ciała jako niestandardowe modele liczb rzeczywistych. ${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}}}$${\ Displaystyle n}$

Oryginalne podejście Robinsona opierało się na tych niestandardowych modelach ciała liczb rzeczywistych. Jego klasyczna, fundamentalna książka na temat analizy niestandardowej została opublikowana w 1966 roku i nadal jest drukowana. Na stronie 88 Robinson pisze:

Istnienie niestandardowych modeli arytmetyki odkrył Thoralf Skolem (1934). Metoda Skolema zapowiada budowę ultrapower [...]

Aby opracować rachunek nieskończenie małych, należy rozwiązać kilka kwestii technicznych. Na przykład nie wystarczy skonstruować uporządkowanego pola z nieskończenie małymi. Zobacz artykuł o liczbach hiperrzeczywistych, aby omówić niektóre istotne pomysły.

Podstawowe definicje

W tej sekcji przedstawiamy jedno z najprostszych podejść do definiowania pola hiperrzeczywistego . Niech będzie ciałem liczb rzeczywistych i niech będzie półpierścieniem liczb naturalnych. Oznaczmy zbiorem ciągów liczb rzeczywistych. Pole definiuje się jako odpowiedni iloraz , jak następuje. Weź niegłówny ultrafiltr . W szczególności zawiera filtr Fréchet . Rozważ parę sekwencji ${\ Displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle F \ podseteq P (\ mathbb {N})}$${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle u = (u_ {n}), v = (v_ {n}) \ w \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

Mówimy to i są równoważne, jeśli pokrywają się w zbiorze indeksów wchodzących w skład ultrafiltra lub we wzorach: ${\ Displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\ Displaystyle \ {n \ w \ mathbb {N}: u_ {n} = v_ {n} \} \ w F}$

Iloraz przez wynikową relację równoważności jest polem hiperrzeczywistym , sytuacją podsumowaną wzorem . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle ^ {*} \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle ^ {*} \ mathbb {R} = {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} / {F}}$

Motywacja

Istnieją co najmniej trzy powody, dla których warto rozważyć niestandardową analizę: historyczną, pedagogiczną i techniczną.

Historyczny

Znaczna część najwcześniejszego rozwoju rachunku nieskończenie małej przez Newtona i Leibniza została sformułowana przy użyciu wyrażeń takich jak liczba nieskończenie mała i znikająca ilość . Jak zauważono w artykule o liczbach hiperrzeczywistych , sformułowania te były szeroko krytykowane przez George'a Berkeleya i innych. Wyzwanie polegające na opracowaniu spójnej i zadowalającej teorii analizy przy użyciu nieskończenie małych po raz pierwszy sprostał Abrahamowi Robinsonowi.

W 1958 Curt Schmieden i Detlef Laugwitz opublikowali artykuł „Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung” („Rozszerzenie rachunku różniczkowego”), w którym zaproponowali budowę pierścienia zawierającego nieskończenie małe. Pierścień skonstruowano z ciągów liczb rzeczywistych. Dwie sekwencje uważano za równoważne, jeśli różniły się tylko skończoną liczbą elementów. Operacje arytmetyczne zostały zdefiniowane elementarnie. Jednak tak skonstruowany pierścień zawiera dzielniki zerowe i dlatego nie może być polem.

Pedagogiczny

H. Jerome Keisler , David Tall i inni nauczyciele utrzymują, że użycie nieskończenie małych jest bardziej intuicyjne i łatwiej przyswajalne przez uczniów niż podejście „epsilon-delta” do pojęć analitycznych. Takie podejście może czasami dostarczyć łatwiejszych dowodów wyników niż odpowiednie sformułowanie epsilon-delta dowodu. Wiele uproszczeń wynika z zastosowania bardzo prostych reguł niestandardowej arytmetyki, takich jak:

nieskończenie małe × skończone = nieskończenie małe

nieskończenie mały + nieskończenie mały = nieskończenie mały

wraz z zasadą transferu, o której mowa poniżej.

Innym pedagogicznym zastosowaniem analizy niestandardowej jest podejście Edwarda Nelsona do teorii procesów stochastycznych .

Techniczny

Ostatnio wykonano pewne prace w zakresie analizy przy użyciu pojęć z analizy niestandardowej, szczególnie w badaniu procesów ograniczających statystyki i fizyki matematycznej. Sergio Albeverio i in. omówić niektóre z tych zastosowań.

Podejścia do niestandardowych analiz

Istnieją dwa główne różne podejścia do analizy niestandardowej: podejście semantyczne lub podejście oparte na teorii modeli oraz podejście syntaktyczne. Oba te podejścia mają zastosowanie do innych obszarów matematyki poza analizą, w tym teorii liczb, algebry i topologii.

Oryginalne sformułowanie analizy niestandardowej Robinsona mieści się w kategorii podejścia semantycznego . Jak rozwijał w swoich pracach, opiera się ona na badaniu modeli (w szczególności modeli nasyconych ) teorii . Odkąd pojawiła się praca Robinsona, prostsze podejście semantyczne (dzięki Eliasowi Zakonowi) zostało opracowane przy użyciu czysto teorii mnogości obiektów zwanych superstrukturami . W tym podejściu model teorii jest zastąpiony przez obiekt nazywa się nadbudowa V ( S ), na zbiorze S . Zaczynając od nadbudowy V ( S ) konstruuje się inny obiekt * V ( S ) używając konstrukcji ultrapower wraz z odwzorowaniem V ( S )→* V ( S ), które spełnia zasadę transferu . Mapa * odnosi się do formalnych własności V ( S ) i * V ( S ) . Ponadto można rozważyć prostszą formę saturacji zwaną saturacją przeliczalną . To uproszczone podejście jest również bardziej odpowiednie dla matematyków, którzy nie są specjalistami w teorii modeli lub logice.

Składniowym podejście wymaga znacznie mniej logiki i teorii modeli do zrozumienia i zastosowania. Podejście to zostało opracowane w połowie lat siedemdziesiątych przez matematyka Edwarda Nelsona . Nelson wprowadził całkowicie aksjomatyczne sformułowanie analizy niestandardowej, które nazwał teorią zbiorów wewnętrznych (IST). IST jest rozszerzeniem teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF) w tym sensie, że obok podstawowej binarnej relacji przynależności ∈ wprowadza nowy jednoargumentowy standard predykatów , który może być zastosowany do elementów wszechświata matematycznego wraz z pewnymi aksjomatami do rozumowania z tym nowym orzec.

Niestandardowa analiza składniowa wymaga dużej staranności w stosowaniu zasady tworzenia zbiorów (formalnie znanej jako aksjomat rozumienia ), którą matematycy zwykle przyjmują za pewnik. Jak wskazuje Nelson, błędem w rozumowaniu w IST jest błędne tworzenie zbiorów . Na przykład w IST nie ma zbioru, którego elementy są dokładnie standardowymi liczbami całkowitymi (tu standard jest rozumiany w sensie nowego predykatu). Aby uniknąć niedozwolonego tworzenia zbiorów, do definiowania podzbiorów należy używać tylko predykatów ZFC.

Innym przykładem podejścia syntaktycznego jest Alternatywna Teoria Mnogości wprowadzona przez Petra Vopěnkę , próbująca znaleźć aksjomaty teorii mnogości bardziej zgodne z niestandardową analizą niż aksjomaty ZF.

W 2018 roku Abdeljalil Saghe zaproponował jednoznaczne podejście do konstruowania pola analizy niestandardowej bez użycia ultrafiltrów.

W tym samym roku 2018 Anggha Nugraha wprowadził inne podejście, aby stworzyć coś, co nazywa Naiwną nieskończoną analizą. Jego podejście jest czymś pomiędzy dwoma wymienionymi powyżej podejściami (podejściem semantycznym i składniowym). Semantycznie zaproponował model , czyli w pewnym sensie uproszczoną wersję . Nie pozwolił jednak, aby to przeszkodziło w osiągnięciu celu, jakim jest używanie wspólnego języka do mówienia o obu i . Aksjomatycznie mówił także o składni. Wykorzystał też pewne zasady, które przypominają Bella — mikrostabilność i tym podobne. Niemniej jednak nie musiał rozróżniać zestawów „wewnętrznych” i „zewnętrznych”, ponieważ jego strategią jest Chunk & Permeate , więc nie musiał się martwić o niespójności wynikające z połączenia tych dwóch. Kolejną zaletą jego podejścia jest to, że działa ono w miarę intuicyjnie, bez (zbyt) ugrzęźnięcia w technicznych komplikacjach. ${\ Displaystyle \ mathbb {R ^ {Z_ {<}}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {^ {*} R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R ^ {Z_ {<}}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Książka Robinsona

Książka Abrahama Robinsona Analiza niestandardowa została opublikowana w 1966 roku. Niektóre z poruszanych w niej tematów były już obecne w jego artykule z 1961 roku o tym samym tytule (Robinson 1961). Oprócz pierwszego pełnego potraktowania analizy niestandardowej, książka zawiera szczegółowy rozdział historyczny, w którym Robinson kwestionuje niektóre z otrzymanych opinii na temat historii matematyki w oparciu o postrzeganie nieskończenie małych liczb jako niespójnych bytów przed niestandardową analizą. Tak więc Robinson kwestionuje pogląd, że „ twierdzenie sum ” Augustina-Louisa Cauchy'ego w Cours d'Analyse dotyczące zbieżności szeregu funkcji ciągłych było nieprawidłowe i proponuje nieskończenie małą interpretację jego hipotezy, która prowadzi do poprawnego twierdzenia. .

Niezmienny problem podprzestrzenny

Abraham Robinson i Allen Bernstein wykorzystali niestandardową analizę, aby udowodnić, że każdy wielomianowo zwarty operator liniowy w przestrzeni Hilberta ma podprzestrzeń niezmienniczą .

Mając operator T na przestrzeni Hilberta H , rozważ orbitę punktu v w H pod iteracjami T . Stosując Grama-Schmidta otrzymujemy bazę ortonormalną ( e _i ) dla H . Niech ( H _i ) będzie odpowiadającą zagnieżdżoną sekwencją „współrzędnych” podprzestrzeni H . Matryca _{, j} ekspresji T w odniesieniu do ( e _I ) jest prawie górny trójkątny, w tym sensie, że współczynniki _{i + 1, i} to tylko niezerowe współczynniki sub-przekątnej. Bernstein i Robinson pokazują, że jeśli T jest wielomianowo zwarty, to istnieje hiperskończony indeks w taki, że współczynnik macierzy a _{w +1, w} jest nieskończenie mały . Następnie rozważyć podprzestrzeń H _wagowo od * H . Jeżeli Y w H _W ma skończoną normę, a T ( y ) jest bardzo bliskie H _wag .

Teraz niech T _w będzie operatorem działającym na H _w , gdzie P _w jest rzutem ortogonalnym na H _w . Oznaczmy przez q wielomian taki, że q ( T ) jest zwarty. Podprzestrzeń H _w jest wewnętrzna wymiaru nadskończonego. Przenosząc górną triangularyzację operatorów skończenie wymiarowej złożonej przestrzeni wektorowej, istnieje wewnętrzna baza ortonormalnej przestrzeni Hilberta ( e _k ) dla H _w gdzie k biegnie od 1 do w , tak że każda z odpowiadających k- wymiarowych podprzestrzeni E _k jest T -niezmienny. Oznaczmy przez Π _k rzut na podprzestrzeń E _k . Dla niezerowego wektora x o skończonej normie w H , można założyć, że q ( T )( x ) jest niezerowe, lub | q ( T )( x )| > 1, aby naprawić pomysły. Ponieważ q ( T ) jest operatorem zwartym, ( q ( T _w ))( x ) jest nieskończenie blisko q ( T )( x ) i dlatego też mamy | q ( T _w )( x )| > 1 . Teraz niech j będzie największym indeksem takim, że . Wtedy przestrzeń wszystkich elementów standardowych nieskończenie blisko E _j jest pożądaną podprzestrzenią niezmienniczą. ${\displaystyle P_{w}\circ T}$${\ Displaystyle | q (T_ {W}) \ lewo (\ Pi _ {j} (x) \ po prawej) | < {\ tfrac {1} {2}}}$

Po przeczytaniu preprintu artykułu Bernsteina i Robinsona Paul Halmos zreinterpretował ich dowód przy użyciu standardowych technik. Oba artykuły ukazały się kolejno w tym samym wydaniu Pacific Journal of Mathematics . Niektóre z pomysłów użytych w dowodzie Halmosa pojawiły się wiele lat później we własnej pracy Halmosa o operatorach quasi-trójkątnych.

Inne aplikacje

Inne wyniki otrzymano na zasadzie reinterpretacji lub powtarzania znanych wcześniej wyników. Szczególnie interesujący jest dowód Teturo Kamae na indywidualne twierdzenie ergodyczne lub podejście L. van den Driesa i Alexa Wilkie do twierdzenia Gromova o grupach wzrostu wielomianowego . Larry Manevitz i Shmuel Weinberger zastosowali niestandardową analizę do udowodnienia wyniku w topologii algebraicznej.

Prawdziwy wkład analizy niestandardowej leży jednak w koncepcjach i twierdzeniach, które wykorzystują nowy rozszerzony język niestandardowej teorii mnogości. Wśród listy nowych zastosowań w matematyce znajdują się nowe podejścia do prawdopodobieństwa, hydrodynamiki, teorii miary, analizy niegładkiej i harmonicznej itp.

Istnieją również zastosowania analizy niestandardowej do teorii procesów stochastycznych, w szczególności konstrukcje ruchów Browna jako spacerów losowych . Albeverio i in. mają doskonałe wprowadzenie do tej dziedziny badań.

Zastosowania do rachunku różniczkowego

Jako zastosowanie do edukacji matematycznej , H. Jerome Keisler napisał Elementary Calculus: nieskończenie podejście . Obejmujący rachunek niestandardowy , rozwija rachunek różniczkowy i całkowy przy użyciu liczb hiperrzeczywistych, które zawierają elementy nieskończenie małe. Te zastosowania analizy niestandardowej zależą od istnienia standardowej części skończonego hiperrzeczywistego r . Standardowa część r , oznaczona st( r ) , jest standardową liczbą rzeczywistą nieskończenie bliską r . Jednym z urządzeń do wizualizacji używanych przez Keislera jest wyimaginowany mikroskop o nieskończonym powiększeniu do rozróżniania punktów nieskończenie blisko siebie. Książka Keislera jest już wyczerpana, ale jest dostępna bezpłatnie na jego stronie internetowej; patrz referencje poniżej.

Krytyka

Pomimo elegancji i atrakcyjności niektórych aspektów niestandardowej analizy, pojawiły się również krytyki, takie jak te ze strony Erretta Bishopa , Alaina Connesa i Paula Halmosa , co zostało udokumentowane podczas krytyki niestandardowych analiz .

Ramy logiczne

Biorąc pod uwagę dowolny zbiór S , nadbudowa nad zbiorem S jest zbiorem V ( S ) określonym przez warunki

${\displaystyle V_{0}(S)=S}$

${\ Displaystyle V_ {n + 1} (S) = V_ {n} (S) \ filiżanka \ wp (V_ {n} (S))}$

${\ Displaystyle V (S) = \ bigcup _ {n \ w \ mathbf {N}} V_ {n} (S).}$

Tak więc nadbudową S otrzymuje się wychodząc z S i iteracji działania sąsiadującym z zestawu zasilania z S i biorąc związek otrzymanej sekwencji. Nadbudowa nad liczbami rzeczywistymi zawiera bogactwo struktur matematycznych: na przykład zawiera izomorficzne kopie wszystkich rozdzielnych przestrzeni metrycznych i metryzowalne topologiczne przestrzenie wektorowe. Praktycznie cała matematyka, która interesuje analityka, przebiega w obrębie V ( R ) .

Widok roboczy analizy niestandardowej to zbiór * R i odwzorowanie * : V ( R ) → V (* R ), które spełnia pewne dodatkowe właściwości. Aby sformułować te zasady, najpierw podajemy pewne definicje.

Formuła ma ograniczoną kwantyfikację wtedy i tylko wtedy, gdy jedyne kwantyfikatory występujące w formule mają ograniczony zakres dla zbiorów, czyli wszystkie mają postać:

${\ Displaystyle \ forall x \ w A \ Phi (x \ alfa _ {1} \ ldots \ alfa _ {n})}$

${\ Displaystyle \ istnieje x \ w A \ Phi (x \ alfa _ {1} \ ldots \ alfa _ {n})}$

Na przykład formuła

${\ Displaystyle \ forall x \ w A \ \ istnieje r \ w 2 ^ {B} \ quad x \ w y}$

ma ograniczoną kwantyfikację, uniwersalnie kwantyfikowana zmienna x obejmuje A , egzystencjalnie kwantyfikowana zmienna y obejmuje powerset B . Z drugiej strony,

${\ Displaystyle \ forall x \ w A \ \ istnieje y \ quad x \ w y}$

nie ma ograniczonej kwantyfikacji, ponieważ kwantyfikacja y jest nieograniczona.

Zestawy wewnętrzne

Zbiór x jest wewnętrzny wtedy i tylko wtedy, gdy x jest elementem * A dla jakiegoś elementu A z V ( R ) . * Samo A jest wewnętrzne, jeśli A należy do V ( R ) .

Teraz formułujemy podstawowe ramy logiczne analizy niestandardowej:

• Zasada rozszerzenia : Mapowanie * to tożsamość na R .
• Zasada przenoszenia : Dla dowolnego wzoru P ( x ₁ , ..., x _n ) z ograniczoną kwantyfikacją i ze zmiennymi wolnymi x ₁ , ..., x _n , oraz dla dowolnych elementów A ₁ , ..., A _n z V ( R ) , zachodzi następująca równoważność:

${\ Displaystyle P (A_ {1}, \ ldots, A_ {n}) \ jeśli P (* A_ {1}, \ ldots, * A_ {n})}$

• Przeliczalne nasycenie : Jeśli { A _k } _{k ∈ N} jest malejącym ciągiem niepustych zbiorów wewnętrznych, przy k przekraczającym liczby naturalne, to

${\ Displaystyle \ bigcap _ {k} A_ {k} \ neq \ pusty zestaw}$

Za pomocą ultraproduktów można pokazać, że taka mapa * istnieje. Elementy V ( R ) nazywane są standardem . Elementy * R nazywane są liczbami hiperrzeczywistymi .

Pierwsze konsekwencje

Symbol * N oznacza niestandardowe liczby naturalne. Zgodnie z zasadą rozszerzenia jest to nadzbiór N . Zbiór * N − N jest niepusty. Aby to zobaczyć, zastosuj przeliczalne nasycenie do sekwencji wewnętrznych zestawów

${\ Displaystyle A_ {n} = \ {k \ w {^ {*} \ mathbf {N}}: k \ geq n \}}$

Ciąg { A _n } _{n ∈ N} ma niepuste przecięcie, potwierdzając wynik.

Zaczniemy od kilku definicji: Hiperrzeczywiste r , s są nieskończenie bliskie wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle r \ cong s \ iff \ forall \ theta \ w \ mathbf {R} ^ {+} \ | rs | \ leq \ teta}$

Hiperrzeczywiste r jest nieskończenie małe wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieskończenie bliskie 0. Na przykład, jeśli n jest hiperinteger , tj. elementem * N − N , to 1/ n jest nieskończenie małe. Hiperrzeczywiste r jest ograniczone (lub skończone ) wtedy i tylko wtedy, gdy jego wartość bezwzględna jest zdominowana przez (mniejszą niż) standardową liczbę całkowitą. Ograniczone liczby rzeczywiste tworzą podpierścień * R zawierający liczby rzeczywiste. W tym pierścieniu nieskończenie małe hiperreale są ideałem .

Zbiór ograniczonych hiperrzeczywistych lub zbiór nieskończenie małych hiperrzeczywistych są zewnętrznymi podzbiorami V (* R ) ; w praktyce oznacza to, że ograniczona kwantyfikacja, gdzie ograniczenie jest zbiorem wewnętrznym, nigdy nie wykracza poza te zbiory.

Przykład : Płaszczyzna ( x , y ) z x i y przekraczającymi * R jest wewnętrzna i jest modelem płaskiej geometrii euklidesowej. Płaszczyzna z x i y ograniczonymi do wartości ograniczonych (analogicznie do płaszczyzny Dehna ) jest zewnętrzna iw tej ograniczonej płaszczyźnie naruszony jest postulat równoległości. Na przykład każda linia przechodząca przez punkt (0, 1) na osi y i mająca nieskończenie małe nachylenie jest równoległa do osi x .

Twierdzenie. Dla każdego ograniczonego hiperrzeczywistego r istnieje unikalna standardowa liczba rzeczywista oznaczona st( r ) nieskończenie blisko r . Odwzorowanie st jest homomorfizmem pierścienia z pierścienia ograniczonych hiperrzeczywistych do R .

St mapowania jest również zewnętrzny.

Jednym ze sposobów myślenia o standardowej części hiperrzeczywistości są cięcia Dedekinda ; każda ograniczona hiperrzeczywista s definiuje cięcie, biorąc pod uwagę parę zbiorów ( L , U ), gdzie L jest zbiorem standardowych wymiernych a mniejszych niż s, a U jest zbiorem standardowych wymiernych b większych od s . Liczba rzeczywista odpowiadająca ( L , U ) spełnia warunek bycia standardową częścią s .

Jedna intuicyjna charakterystyka ciągłości jest następująca:

Twierdzenie. Rzeczywista funkcja f na przedziale [ a , b ] jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej hiperrzeczywistej x w przedziale *[ a , b ] , mamy: * f ( x ) ≅ * f (st( x ) ) .

(patrz mikrociągłość po więcej szczegółów). Podobnie,

Twierdzenie. Funkcja o wartościach rzeczywistych f jest różniczkowalna przy wartości rzeczywistej x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej nieskończenie małej liczby hiperrzeczywistej h wartość

${\ Displaystyle f '(x) = \ operatorname {st} \ lewo ({\ Frac {{^ {*} f} (x + h) - {^ {*} f} (x)} {h}} \ Prawidłowy)}$

istnieje i jest niezależny od h . W tym przypadku f ′( x ) jest liczbą rzeczywistą i jest pochodną f w punkcie x .

κ -nasycenie

Możliwe jest „poprawienie” nasycenia poprzez umożliwienie przecinania zbiorów o wyższej kardynalności. Model jest κ - nasycony, jeśli kiedykolwiek jest zbiorem zbiorów wewnętrznych z właściwością przecięcia skończonego i , ${\ Displaystyle \ {A_ {i} \} _ {i \ w I}}$${\displaystyle |ja|\leq \kappa}$

${\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ w I} A_ {i} \ neq \ pusty zestaw}$

Jest to przydatne na przykład w przestrzeni topologicznej X , gdzie możemy chcieć |2 ^X | -saturacja, aby zapewnić, że przecięcie standardowej bazy sąsiedztwa nie jest puste.

Dla dowolnego kardynalnego κ , można skonstruować rozszerzenie κ -nasycone.

Zobacz też

Dalsza lektura

• EE Rosinger, [matematyka/0407178]. Krótkie wprowadzenie do analizy niestandardowej . arxiv.org.

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Cytaty związane z niestandardową analizą w Wikiquote
• Duchy odchodzących ilości Lindsay Keegan.