Geometria nieprzemienna — Noncommutative geometry

Geometria nieprzemienna ( NCG ) to dział matematyki zajmujący się geometrycznym podejściem do nieprzemiennych algebr oraz konstruowaniem przestrzeni, które są lokalnie prezentowane przez nieprzemienne algebry funkcji (być może w pewnym uogólnionym sensie). Nieprzemienna algebra jest algebrą asocjacyjną, w której mnożenie nie jest przemienne , to znaczy, dla której nie zawsze jest równe ; lub ogólniej struktura algebraiczna, w której jedna z podstawowych operacji binarnych nie jest przemienna; dopuszcza się również, aby dodatkowe struktury, np. topologia lub norma , były ewentualnie przenoszone przez nieprzemienną algebrę funkcji.

Podejściem dającym głęboki wgląd w przestrzenie nieprzemienne jest zastosowanie algebr operatorów (tj. algebr ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Hilberta ). Być może jednym z typowych przykładów nieprzemiennej przestrzeni są „ nieprzemienne tori ”, które odegrały kluczową rolę we wczesnym rozwoju tej dziedziny w latach 80. XX wieku i doprowadziły do ​​nieprzemiennych wersji wiązek wektorowych , połączeń , krzywizn itp.

Motywacja

Główną motywacją jest rozszerzenie przemiennej dwoistości między przestrzeniami i funkcjami na otoczenie nieprzemienne. W matematyce przestrzenie , które mają charakter geometryczny, można na nich powiązać z funkcjami numerycznymi . Na ogół takie funkcje tworzą pierścień przemienny . Na przykład, można wziąć pierścień C ( X ) ciągłych funkcji o wartościach zespolonych na przestrzeni topologicznej X . W wielu przypadkach ( np. jeśli X jest zwartą przestrzenią Hausdorffa ), możemy odzyskać X z C ( X ), a zatem sensowne jest stwierdzenie, że X ma topologię przemienną .

Dokładniej, w topologii zwarte przestrzenie topologiczne Hausdorffa można zrekonstruować z algebry Banacha funkcji na przestrzeni ( Gelfand-Naimark ). W przemiennej algebraicznej geometrii , systemy algebraiczne lokalnie pierwsza Widma przemiennych unital pierścieni ( A. Grothendiecku ) i każdy schemat prawie oddzielone mogą być odtworzone do izomorfizmie systemów z kategorii quasicoherent krążków o -modules ( P. Gabriel -A Rosenberga). W przypadku topologii Grothendiecka właściwości kohomologiczne miejsca są niezmiennikami odpowiedniej kategorii snopów zbiorów postrzeganych abstrakcyjnie jako topos (A. Grothendieck). We wszystkich tych przypadkach przestrzeń jest rekonstruowana z algebry funkcji lub jej skategoryzowanej wersji — jakiejś kategorii snopów na tej przestrzeni.

Funkcje na przestrzeni topologicznej można mnożyć i dodawać punktowo, stąd tworzą algebrę przemienną; w rzeczywistości operacje te są lokalne w topologii przestrzeni bazowej, stąd funkcje tworzą snop przemiennych pierścieni nad przestrzenią bazową.

Marzeniem nieprzemiennej geometrii jest uogólnienie tej dwoistości na dwoistość między nieprzemiennymi algebrami, snopami nieprzemiennych algebr, nieprzemiennymi strukturami algebraicznymi lub operatorami algebraicznymi typu snopów oraz pewnymi rodzajami bytów geometrycznych, a także zapewnienie interakcji między elementami algebraicznymi i algebraicznymi. opis geometryczny tych przez tę dwoistość.

Biorąc pod uwagę, że pierścienie przemienne odpowiadają zwykłym schematom afinicznym, a przemienne C*-algebrom zwykłym przestrzeniom topologicznym, rozszerzenie na nieprzemienne pierścienie i algebry wymaga nietrywialnego uogólnienia przestrzeni topologicznych jako „przestrzeni nieprzemiennych”. Z tego powodu mówi się o topologii nieprzemiennej , chociaż termin ten ma również inne znaczenia.

Zastosowania w fizyce matematycznej

Niektóre zastosowania w fizyce cząstek są opisane w hasłach Nieprzemienny model standardowy i Nieprzemienna kwantowa teoria pola . Nagły wzrost zainteresowania nieprzemienną geometrią w fizyce następuje po spekulacjach na temat jej roli w M-teorii z 1997 roku.

Motywacja z teorii ergodycznej

Niektóre z teorii opracowanych przez Alaina Connesa w celu obsługi nieprzemiennej geometrii na poziomie technicznym mają korzenie w starszych próbach, w szczególności w teorii ergodycznej . Propozycja George'a Mackeya stworzenia wirtualnej teorii podgrup , w odniesieniu do której ergodyczne działania grupowe stałyby się jednorodnymi przestrzeniami rozszerzonego rodzaju, została już przyjęta.

Nieprzemienne C*-algebry, algebry von Neumanna

(Formalne) dualne nieprzemienne C*-algebr są obecnie często nazywane przestrzeniami nieprzemiennymi. Jest to analogiczne do reprezentacji Gelfanda , która pokazuje, że przemienne C*-algebry są dualne do lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa . Ogólnie rzecz biorąc, można powiązać z każdym C * -algebra S topologiczna przestrzeń Ŝ ; zobacz widmo C*-algebry .

Dla dualizmu pomiędzy Ď-skończonej przestrzeni miary i przemiennych algebr von Neumanna , Nieprzemienna algebry von Neumanna są nazywane Nieprzemienna przestrzenie miara .

Nieprzemienne rozmaitości różniczkowe

Gładka rozmaitość Riemanna M jest przestrzenią topologiczną z dużą ilością dodatkowej struktury. Z jego algebry funkcji ciągłych C ( M ) odzyskujemy tylko M topologicznie. Niezmiennik algebraiczny, który odtwarza strukturę Riemanna, jest potrójną widmową . Jest ona skonstruowana z gładkiej wiązki wektorowej E nad M , np. zewnętrznej wiązki algebry. Przestrzeń Hilberta L 2 ( M ,  E ) kwadratów całkowalnych sekcji E niesie reprezentację C ( M ) przez operatory mnożenia i rozważamy nieograniczony operator D w L 2 ( M ,  E ) ze zwartą rezolwentą (np. sygnaturą operator ), tak że komutatory [ D ,  f ] są ograniczone, gdy f jest gładkie. Niedawne głębokie twierdzenie mówi, że M jako rozmaitość Riemanna można odzyskać z tych danych.

Sugeruje to, że można by zdefiniować nieprzemienną rozmaitość Riemanna jako potrójną widmową ( A ,  H ,  D ), składającą się z reprezentacji C*-algebry A na przestrzeni Hilberta H , wraz z nieograniczonym operatorem D na H , o zwartym rezolwenta, taka, że ​​[ D ,  a ] jest ograniczone dla wszystkich a w jakiejś gęstej podalgebrze A . Badania nad trójkami spektralnymi są bardzo aktywne i skonstruowano wiele przykładów nieprzemiennych rozmaitości.

Nieprzemienne schematy afiniczne i rzutowe

W analogii do dualizmu między schematami afinicznymi i przemiennymi pierścieniami , definiujemy kategorię nieprzemiennych schematów afinicznych jako dualność kategorii asocjacyjnych pierścieni unitarnych. Istnieją w tym kontekście pewne analogie topologii Zariskiego, aby takie schematy afiniczne można było skleić z obiektami bardziej ogólnymi.

Istnieją również uogólnienia Stożka i Proj przemiennego stopniowanego pierścienia, naśladujące twierdzenie Serre'a na Proj. Mianowicie kategoria quasikoherentnych snopów modułów O na Proj przemiennej algebry stopniowanej jest równoważna kategorii stopniowanych modułów nad pierścieniem zlokalizowanym w podkategorii stopniowanych modułów o skończonej długości Serre'a; istnieje również analogiczne twierdzenie o koherentnych snopach, gdy algebra jest noetherowska. Twierdzenie to zostało rozszerzone jako definicja nieprzemiennej geometrii rzutowej przez Michaela Artina i JJ Zhanga, którzy dodają również pewne ogólne warunki teorii pierścieni (np. regularność Artina–Scheltera).

Wiele właściwości schematów rzutowych obejmuje ten kontekst. Na przykład, istnieje analogia słynnego dualizmu Serre'a dla nieprzemiennych schematów projekcyjnych Artina i Zhanga.

AL Rosenberg stworzył dość ogólną relatywną koncepcję nieprzemiennego schematu quasi-zwartego (nad kategorią bazową), abstrahując studium Grothendiecka nad morfizmami schematów i okładek w kategoriach snopów quasikoherentnych i płaskich funktorów lokalizacji. Istnieje również inne interesujące podejście poprzez teorię lokalizacji, za sprawą Freda Van Oystaeyena , Luca Willaerta i Alaina Verschorena, gdzie główną koncepcją jest koncepcja algebry schematycznej .

Niezmienniki dla nieprzemiennych przestrzeni

Niektóre z motywujących pytań teorii dotyczą rozszerzenia znanych niezmienników topologicznych na formalne dualne algebr nieprzemiennych (operatorów) i innych zamienników i kandydatów na nieprzemienne przestrzenie. Jednym z głównych punktów wyjścia kierunku Alaina Connesa w geometrii nieprzemiennej jest odkrycie przez niego nowej teorii homologii związanej z nieprzemiennymi algebrami asocjacyjnymi i nieprzemiennymi algebrami operatorów, a mianowicie homologią cykliczną i jej powiązaniami z algebraiczną teorią K (głównie za pośrednictwem Connesa- Mapa postaci Cherna).

Teoria klas charakterystycznych gładkich rozmaitości została rozszerzona na trójki spektralne, wykorzystując narzędzia operatora K-teorii i kohomologii cyklicznej . Kilka uogólnień klasycznych obecnie twierdzeń o indeksach pozwala na efektywne wyodrębnianie niezmienników liczbowych z trójek spektralnych. Podstawowa klasa charakterystyczna w kohomologii cyklicznej, kocykl JLO , uogólnia klasyczny charakter Cherna .

Przykłady nieprzemiennych przestrzeni

Zobacz też

Cytaty

Bibliografia

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne