Normalny (geometria) - Normal (geometry)

Wielokąt i jego dwa wektory normalne
Normalna do powierzchni w punkcie jest taka sama jak normalna do płaszczyzny stycznej do powierzchni w tym samym punkcie.

W geometrii , A normalnie jest przedmiot, na przykład w postaci linii , promieniowania lub wektora , który jest prostopadły do danego obiektu. Na przykład linia normalna do krzywej płaskiej w danym punkcie jest (nieskończoną) linią prostopadłą do linii stycznej do krzywej w punkcie. Wektor normalny może mieć długość jeden ( wektor jednostkowy ) lub jego długość może reprezentować krzywiznę obiektu ( wektor krzywizny ); jego znak algebraiczny może wskazywać strony (wewnętrzne lub zewnętrzne).

W trzech wymiarach normalna do powierzchni lub po prostu normalna do powierzchni w punkcie jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny stycznej powierzchni w punkcie P. Słowo "normalna" jest również używane jako przymiotnik: linia normalna do płaszczyzny , normalnym składnikiem życie The wektor normalny , itp koncepcja uogólnia normalność ortogonalności ( prostopadle ).

Koncepcja została uogólniona na rozmaitości różniczkowe o dowolnym wymiarze osadzonych w przestrzeni euklidesowej . Przestrzeń normalna lub przestrzeń normalna rozmaitości w punkcie to zbiór wektorów prostopadłych do przestrzeni stycznych w wektorach normalnych. Wektory normalne są szczególnie interesujące w przypadku gładkich krzywych i gładkich powierzchni .

Normalna jest często używana w grafice komputerowej 3D (zwróć uwagę na liczbę pojedynczą, ponieważ zostanie zdefiniowana tylko jedna normalna) do określenia orientacji powierzchni w kierunku źródła światła w celu płaskiego cieniowania lub orientacji każdego z narożników ( wierzchołków ) powierzchni, aby naśladować zakrzywiona powierzchnia z cieniowaniem Phong .

Normalna do powierzchni w przestrzeni 3D

Zakrzywiona powierzchnia pokazująca jednostkowe wektory normalne (niebieskie strzałki) do powierzchni

Obliczanie normalnej powierzchni

W przypadku wypukłego wielokąta (takie jak trójkąt ), normalną do powierzchni można obliczyć jako wektor iloczynu dwóch (nierównoległych) krawędzi wielokąta.

Dla płaszczyzny określonej równaniem wektor jest normalną.

Dla płaszczyzny, której równanie podane jest w postaci parametrycznej

gdzie jest punktem na płaszczyźnie i są wektorami nierównoległymi skierowanymi wzdłuż płaszczyzny, normalna do płaszczyzny jest wektorem normalnym do obu i którą można znaleźć jako iloczyn poprzeczny

Jeśli (ewentualnie niepłaski) powierzchni w przestrzeni 3-wymiarowej jest programowane przez system krzywoliniowych współrzędnych z i rzeczywistych zmiennych, a następnie prostopadle do S jest z definicji normalnej do płaszczyzny stycznej, podanych iloczynu z pochodnych cząstkowych

Jeśli powierzchnia jest dana niejawnie jako zbiór punktów spełniających to normalna w punkcie na powierzchni jest dana przez gradient

ponieważ gradient w dowolnym punkcie jest prostopadły do ​​ustawionego poziomu

Na powierzchni w danym jak wykres w funkcji wzrostowa skierowanej normalnie znajduje się albo z parametryzacji dawania

lub prościej z jej niejawnej formy dając Ponieważ powierzchnia nie ma płaszczyzny stycznej w punkcie osobliwym , nie ma w tym punkcie dobrze zdefiniowanej normalnej: na przykład wierzchołek stożka . Ogólnie można zdefiniować normalną prawie wszędzie dla powierzchni, która jest ciągła Lipschitz .

Wybór normalnego

Pole wektorowe normalnych do powierzchni

Normalna do (hiper)powierzchni jest zwykle skalowana tak, aby miała jednostkę długości , ale nie ma unikalnego kierunku, ponieważ jej przeciwieństwo jest również normalną jednostkową. Na powierzchni, która jest topologiczna granicy zestawu w trzech wymiarach, można odróżnić wewnątrz skierowanej normalne i zewnętrznej wskazujące normalną . W przypadku powierzchni zorientowanej normalna jest zwykle określana przez regułę prawej ręki lub jej odpowiednik w wyższych wymiarach.

Jeśli normalna jest skonstruowana jako iloczyn krzyżowy wektorów stycznych (jak opisano w powyższym tekście), jest to pseudowektor .

Przekształcanie normalnych

Uwaga: w tej sekcji używamy tylko górnej macierzy, ponieważ tłumaczenie nie ma znaczenia w obliczeniach

Przy stosowaniu przekształcenia do powierzchni często przydatne jest wyprowadzenie normalnych dla wynikowej powierzchni z pierwotnych normalnych.

W szczególności, mając macierz transformacji 3×3, możemy wyznaczyć macierz, która przekształca wektor prostopadły do ​​płaszczyzny stycznej na wektor prostopadły do ​​płaszczyzny transformowanej stycznej według następującej logiki:

Napisz n′ jak musimy znaleźć

Wybierając takie, które lub spełni powyższe równanie, podając prostopadle do lub prostopadłe do zgodnie z wymaganiami.

Dlatego przy przekształcaniu normalnych powierzchni należy używać odwrotnej transpozycji transformacji liniowej. Odwrotna transpozycja jest równa macierzy oryginalnej, jeśli macierz jest ortonormalna, czyli czysto rotacyjna bez skalowania lub ścinania.

Hiperpowierzchnie w n -wymiarowej przestrzeni

Dla -wymiarowej

hiperpłaszczyzny w -wymiarowej przestrzeni określonej przez jej parametryczną reprezentację
gdzie jest punktem na hiperpłaszczyźnie i dla są liniowo niezależnymi wektorami wskazującymi wzdłuż hiperpłaszczyzny, normalną do hiperpłaszczyzny jest dowolny wektor w
przestrzeni zerowej macierzy, co oznacza, że ​​każdy wektor ortogonalny do wszystkich wektorów w płaszczyźnie jest z definicji a powierzchnia normalna. Alternatywnie, jeśli hiperpłaszczyzna jest zdefiniowana jako zbiór rozwiązań pojedynczego równania liniowego, to wektor jest normalną.

Definicja normalnej do powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej może być rozszerzona do

hiperpowierzchni wymiarowych w Hiperpowierzchnia może być lokalnie zdefiniowana jako zbiór punktów spełniających równanie, w którym jest dana funkcja skalarna . Jeśli jest różniczkowalna w sposób ciągły, to hiperpowierzchnia jest rozmaitością różniczkowalną w sąsiedztwie punktów, w których gradient nie jest zerowy. W tych punktach wektor normalny jest określony przez gradient:

Linia normalna to jednowymiarowa podprzestrzeń z bazą

Odmiany zdefiniowane przez niejawne równania w n -wymiarowej przestrzeni

Odmiany różnica określona równaniami warunkowane wymiarowej przestrzeni jest zbiór wspólnych zer skończonego zbioru różniczko- w zmiennych

Jakobian matrycy odmiany jest macierzą, której -ty rząd jest gradient W
funkcja uwikłana , odmiana jest kolektora w sąsiedztwie punktu, w którym jakobian matrycy ma stopień w takim punkcie na normalne miejsce wektor jest przestrzeń wektorowa generowana przez wartości w wektorów gradientu

Innymi słowy, różnorodność definiuje się jako przecięcie hiperpowierzchni, a przestrzeń wektora normalnego w punkcie to przestrzeń generowana przez wektory normalne hiperpowierzchni w punkcie.

Przestrzeń normalna (afiniczna) w punkcie rozmaitości to

podprzestrzeń afiniczna przechodząca i generowana przez normalną przestrzeń wektorową w

Definicje te można rozszerzyć dosłownie do punktów, w których odmiana nie jest rozmaitością.

Przykład

Niech V będzie rozmaitością określoną w przestrzeni trójwymiarowej równaniami

Ta odmiana jest połączeniem osi i osi.

W punkcie, w którym znajdują się wiersze macierzy Jakobian, a zatem normalna przestrzeń afiniczna jest płaszczyzną równania Podobnie, jeśli płaszczyzna normalna w jest płaszczyzną równania

W punkcie rzędy macierzy Jakobianu są i Tak więc normalna przestrzeń wektorowa i normalna przestrzeń afiniczna mają wymiar 1, a normalna przestrzeń afiniczna jest osią -.

Zastosowania

Normalny w optyce geometrycznej

Schemat odbicia lustrzanego

ten promień normalny to

promień skierowany na zewnątrz,prostopadłydo powierzchniośrodka optycznegow danym punkcie. Wodbiciu światłaThekąt padaniaakąt odbiciasą odpowiednio kąt między normalną orazpromienia padającego(napłaszczyźnie padania), a kąt pomiędzy normalną jak ipromienia odbitego.

Zobacz też

Przestrzeń wektorowa funkcji liniowych wektorów zwracających skalary; uogólniając iloczyn skalarny
  • Normalny wierzchołek
  • Bibliografia

    Zewnętrzne linki