Ośmiokąt - Octagon

Regularny ośmiokąt
Wielokąt regularny 8 z adnotacjami.svg
Regularny ośmiokąt
Rodzaj Wielokąt foremny
Krawędzie i wierzchołki 8
Symbol Schläfli {8}, t{4}
Schemat Coxetera Węzeł CDel 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.png
Grupa symetrii Dwuścienny (D 8 ), kolejność 2×8
Kąt wewnętrzny ( stopnie ) 135°
Podwójny wielokąt Samego siebie
Nieruchomości Wypukły , cykliczny , równoboczny , izogonalny , izotoksal

W geometrii , ośmiokąt (od greckiego ὀκτάγωνον oktágōnon „osiem kątów”) jest ośmioboczną wielokąt lub 8-gon.

Regularne ośmiokąta ma symbol schläfliego {8} a także może być wykonana jako quasiregular obcięty kwadratu , t {4}, które na przemian dwa rodzaje krawędzi. Obcięty ośmiokąt, t{8} jest sześciokątem {16}. Analogiem 3D ośmiokąta może być rombik - kuboktaedr z trójkątnymi ścianami na nim podobnymi do zastąpionych krawędzi, jeśli uznamy ośmiokąt za ścięty kwadrat.

Właściwości ogólnego ośmiokąta

Przekątne zielonego czworoboku mają taką samą długość i są ustawione pod kątem prostym do siebie

Suma wszystkich kątów wewnętrznych dowolnego ośmiokąta wynosi 1080°. Jak w przypadku wszystkich wielokątów, kąty zewnętrzne wynoszą 360°.

Jeśli kwadraty są skonstruowane wszystkich wewnętrznych lub wszystkich zewnątrz z boków ośmiokąta, to środkowe segmentów łączących centra przeciwnych pól tworzą czworobok, który jest zarówno equidiagonal i orthodiagonal (to znaczy, którego przekątne są równej długości, a po prawej kąty do siebie).

Ośmiokąt punkt środkowy z ośmiokąt odniesienia posiada osiem wierzchołków w punktach środkowych boków ośmiokąta odniesienia. Jeśli kwadraty są zbudowane wszystkie wewnętrznie lub wszystkie zewnętrznie po bokach ośmiokąta punktu środkowego, to punkty środkowe odcinków łączących środki przeciwległych kwadratów same tworzą wierzchołki kwadratu.

Regularny ośmiokąt

Regularne ośmiokąta jest zamkniętą postać o bokach jednakowej długości i wewnętrznymi kątami o tej samej wielkości. Ma osiem linii symetrii odblaskowej i symetrii obrotowej rzędu 8. Ośmiokąt foremny jest reprezentowany przez symbol Schläfliego {8}. Kąt wewnętrzny w każdym wierzchołku ośmiokąta foremnego wynosi 135 ° ( radiany ). Kąt środkowy 45 ° (w radianach).

Powierzchnia

Pole ośmiokąta foremnego o długości boku a jest określone wzorem

Pod względem promienia okręgu R powierzchnia wynosi

W odniesieniu do apotemu r (patrz także wpisany rysunek ), obszar jest

Te dwa ostatnie współczynniki obejmują wartość pi , pole powierzchni okręgu jednostkowego .

Teren o regularnym ośmiokąta mogą być obliczane jako obcięty placu .

Obszar można również wyrazić jako

gdzie S jest rozpiętością ośmiokąta lub drugą najkrótszą przekątną; i jest długością jednego z boków lub zasadami. Łatwo to udowodnić, jeśli weźmie się ośmiokąt, narysuje kwadrat wokół zewnętrznej strony (upewniając się, że cztery z ośmiu boków zachodzą na cztery boki kwadratu), a następnie weźmie się trójkąty narożne (są to trójkąty 45–45–90 ). i umieszcza je pod kątem prostym skierowanym do wewnątrz, tworząc kwadrat. Każda z krawędzi tego kwadratu ma długość podstawy.

Biorąc pod uwagę długość boku a , rozpiętość S wynosi

Rozpiętość jest zatem równa stosunkowi srebra pomnożonemu przez bok, a.

Obszar jest wtedy jak wyżej:

Wyrażony w rozpiętości obszar jest

Inną prostą formułą dla tego obszaru jest

Częściej znana jest rozpiętość S i długość boków a , tak jak przy cięciu kwadratowego kawałka materiału na ośmiokąt foremny. Z góry,

Dwie długości końców e z każdej strony (długości ramion trójkątów (zielone na obrazku) odcięte od kwadratu), a także bycia można obliczyć jako

Circumradius i inradius

Circumradius regularnego ośmioboku pod względem długości boku a jest

a promień to

(czyli połowa stosunku srebra razy bok, a lub połowa rozpiętości, S )

Przekątne

Ośmiokąt foremny, pod względem długości boku a , ma trzy różne rodzaje przekątnych :

  • Krótka przekątna;
  • Średnia przekątna (zwana również rozpiętością lub wysokością), która jest dwukrotnie większa od długości promienia;
  • Długa przekątna, która jest dwukrotną długością promienia.

Wzór na każdy z nich wynika z podstawowych zasad geometrii. Oto wzory na ich długość:

  • Krótka przekątna:  ;
  • Średnia przekątna:  ; (ilość srebra razy a)
  • Długa przekątna: .

Budowa i podstawowe właściwości

budowanie ośmiokąta foremnego poprzez złożenie kartki papieru

Ośmiokąt foremny na danym okręgu opisanym na okręgu może być skonstruowany w następujący sposób:

  1. Narysuj okrąg i średnicę AOE, gdzie O to środek, a A, E to punkty na okręgu opisanym.
  2. Narysuj kolejną średnicę GOC, prostopadle do AOE.
  3. (Zauważ mimochodem, że A,C,E,G są wierzchołkami kwadratu).
  4. Narysuj dwusieczne kątów prostych GOA i EOG, tworząc jeszcze dwie średnice HOD i FOB.
  5. A,B,C,D,E,F,G,H to wierzchołki ośmiokąta.
Ośmiokąt w danym okręgu opisanym
Ośmiokąt o danej długości boku, animacja
(Konstrukcja jest bardzo podobna do konstrukcji sześciokąta o danej długości boku .)

Za pomocą linijki i cyrkla można skonstruować ośmiokąt foremny , ponieważ 8 = 2 3 , potęga dwójki :

Oktagon regularny wpisany w okrąg.gif
Ośmiokątna konstrukcja Meccano.

Oktagon foremny może być zbudowany z prętów meccano . Potrzebnych jest dwanaście prętów w rozmiarze 4, trzy pręty w rozmiarze 5 i dwa pręty w rozmiarze 6.

Każdy bok ośmiokąta foremnego leży pod kątem prostym w środku okręgu, który łączy jego wierzchołki. Jego pole można zatem obliczyć jako sumę 8 trójkątów równoramiennych, co prowadzi do wyniku:

dla ośmiokąta boku a .

Współrzędne standardowe

Współrzędne wierzchołków ośmiokąta foremnego, którego środek znajduje się na początku i ma długość boku 2, to:

  • (±1, ±(1+ 2 ))
  • (± (1+ 2 ) ± 1).

Sekcja

Projekcja 8-kostek 24 rozwarstwienie rombu
8-kostka t0 A7.svg 8-kąt rombowy rozwarstwienie-size2.svg
Regularny
Isotoxal 8-gon rombowy rozwarstwienie-size2.svg
Izotoksal
8-kąt rombowy rozwarstwienie2-rozmiar2.svg 8-kąt rombowy rozwarstwienie3 rozmiar2.svg

Coxeter stwierdza, że ​​każdy zonogon (2 m -gon, którego przeciwległe boki są równoległe i równej długości) można rozciąć na m ( m- 1)/2 równoległoboków. W szczególności dotyczy to regularnych wielokątów o równomiernie wielu bokach, w którym to przypadku wszystkie równoległoboki są rombami. Dla ośmiokąta foremnego , m = 4, i można go podzielić na 6 rombów, z jednym przykładzie poniżej. Ten rozkład można zobaczyć jako 6 z 24 ścian w płaszczyźnie rzutu wielokąta Petriego w tesserakcie . Lista (sekwencja A006245 w OEIS ) definiuje liczbę rozwiązań jako 8, według 8 orientacji tej jednej sekcji. Te kwadraty i romby są używane w kafelkach Ammanna-Beenkera .

Rozcięta ośmiokąt regularny
4-sześcian t0.svg
Teserakt
Rozcięta ośmiokąt.svg
4 romby i 2 kwadraty

Pochyl ośmiokąt

Regularny ośmiokąt skośny widziany jako krawędzie kwadratowego antypryzmu , symetria D 4d , [2 + ,8], (2*4), rząd 16.

Pochylać ośmiokąt jest wielokąt skośny z 8 wierzchołków i krawędzi, ale nie istniejących na tej samej płaszczyźnie. Wnętrze takiego ośmiokąta nie jest ogólnie zdefiniowane. Skosu zygzakowaty ośmiokąta ma przemienne wierzchołki dwóch równoległych płaszczyznach.

Regularne pochylać ośmiokąt jest wierzchołek-przechodnia o równych długościach krawędzi. W 3 wymiarach będzie to ośmiokąt skośny zygzakowaty, widoczny w wierzchołkach i bocznych krawędziach kwadratowego antypryzmatu o tej samej symetrii D 4d , [2 + ,8], rząd 16.

Wielokąty Petriego

Ukośny ośmiokąt foremny jest wielokątem Petriego dla tych wielowymiarowych regularnych i jednorodnych wielokątów , pokazanych w tych skośnych rzutach ortogonalnych w płaszczyznach A 7 , B 4 i D 5 Coxetera .

7 D 5 B 4
7-simplex t0.svg
7-simplex
5-demicube t0 D5.svg
5-demicube
4-kostki t3.svg
16-ogniwowy
4-sześcian t0.svg
Teserakt

Symetria ośmiokąta

Symetria
Regularne symetrie ośmiokątne.png 11 symetrii ośmiokąta foremnego. Linie odbić są niebieskie przez wierzchołki, fioletowe przez krawędzie, a rzędy wirowania są podane w środku. Wierzchołki są pokolorowane według ich pozycji symetrii.

Ośmiokąta foremnego ma dih 8 symetrii, rząd 16. Są 3 podgrupy: dwuścienne dih 4 , dih 2 i dih 1 i 4 cykliczne podgrupy : z 8 , Z 4 , Z 2 , Z 1 , ostatni nie oznacza to symetrii .

Przykładowe ośmiokąty według symetrii
Ośmiokąt r16 symetria.png
r16
Symetria ośmiokąta d8.png
d8
Symetria ośmiokąta g8.png
g8
Symetria ośmiokątna p8.png
p8
Symetria ośmiokąta d4.png
d4
Symetria ośmiokąta g4.png
g4
Symetria ośmiokątna p4.png
p4
Symetria ośmiokąta d2.png
d2
Ośmiokątna symetria g2.png
g2
Symetria ośmiokątna p2.png2
p2
Symetria ośmiokątna a1.png
a1

Na ośmioboku foremnym występuje 11 wyraźnych symetrii. John Conway określa pełną symetrię jako r16 . Symetrie dwuścienne są podzielone w zależności od tego, czy przechodzą przez wierzchołki ( d dla przekątnej) czy przez krawędzie ( p dla prostopadłych). Symetrie cykliczne w środkowej kolumnie są oznaczone jako g dla ich centralnych rzędów bezwładności. Pełna symetria formy regularnej to r16 i żadna symetria nie jest oznaczona jako a1 .

Najpopularniejszymi ośmiokątami o wysokiej symetrii są p8 , izogonalny ośmiokąt zbudowany z czterech zwierciadeł, które mogą zmieniać długie i krótkie krawędzie, oraz d8 , izotoksalny ośmiokąt zbudowany z równymi długościami krawędzi, ale wierzchołkami występującymi naprzemiennie pod dwoma różnymi kątami wewnętrznymi. Te dwie formy są podwójne i mają połowę porządku symetrii ośmiokąta foremnego.

Każda symetria podgrupy pozwala na jeden lub więcej stopni swobody dla form nieregularnych. Tylko podgrupa g8 nie ma stopni swobody, ale może być postrzegana jako skierowane krawędzie .

Zastosowania ośmiokątów

Ośmiokątny plan, Kopuła na Skale.

Ośmiokątny kształt jest używany jako element projektu w architekturze. Kopuła na Skale ma charakterystyczny ośmiokątny plan. Wieża Wiatrów w Atenach jest kolejnym przykładem ośmiokątnej konstrukcji. Ośmioboczny plan został również zastosowany w architekturze kościelnej, takiej jak katedra św. Jerzego, Addis Abeba , bazylika San Vitale (w Rawennie we Włoszech), Castel del Monte (Apulia, Włochy), baptysterium we Florencji , kościół Zum Friedefürsten (Niemcy) oraz liczba kościołów ośmiokątnych w Norwegii . Centralna przestrzeń w Katedrze w Akwizgranie , Karolińska Kaplica Palatyńska , ma regularny ośmiokątny plan. Zastosowania ośmiokątami w kościołach obejmują także mniejsze elementy konstrukcyjne, takie jak ośmiokątnej absydzie z Katedry Nidaros .

Architekci, tacy jak John Andrews , wykorzystywali ośmiokątne układy pięter w budynkach do funkcjonalnego oddzielenia powierzchni biurowych od usług budowlanych, zwłaszcza w siedzibie głównej Intelsat w Waszyngtonie, biurach Callam w Canberze i biurach Octagon w Parramatta w Australii.

Inne zastosowania

Dane pochodne

Powiązane politopy

Ośmiokąt jako ściętego kwadratu , najpierw w sekwencji skróconych hipersześcianach :

Ścięte hipersześciany
Wizerunek Wielokąt regularny 8 z adnotacjami.svg 3-kostka t01.svgŚcięty sześcian.png 4-kostki t01.svgSchlegel półstały obcięty tesseract.png 5-kostkowy t01.svg5-kostek t01 A3.svg 6-kostkowy t01.svg6-kostek t01 A5.svg 7-kostek t01.svg7-kostek t01 A5.svg 8-kostka t01.svg8-kostek t01 A7.svg ...
Nazwa Ośmiokąt Obcięta kostka Skrócony tesserakt Skrócona 5-kostka Obcięty 6-kostkowy Skrócona 7-kostka Skrócona 8-kostka
Schemat Coxetera Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Figura wierzchołka ( )v( ) Obcięty sześcian vertfig.png
( )v{ }
Skrócony 8-komórkowy verf.png
( )v{3}
Skrócony 5-sześcian verf.png
( )v{3,3}
( )v{3,3,3} ( )v{3,3,3,3} ( )v{3,3,3,3,3}

Jako rozwinięty kwadrat jest również pierwszym w sekwencji rozszerzonych hipersześcianów:

Rozszerzone hipersześciany
Wielokąt regularny 8 z adnotacjami.svg 3-kostka t02.svgMały rombikoboktahedron.png 4-kostki t03.svgSchlegel półstały runcinated 8-cell.png 5-kostek t04.svg5-kostek t04 A3.svg 6-kostka t05.svg6-kostka t05 A5.svg 7-kostek t06.svg7-kostka t06 A5.svg 8-kostka t07.svg8-kostka t07 A7.svg ...
Ośmiokąt Rombikuboktaedr Runcinated tesseract Stericed 5-kostek Pentelowana 6-kostka Sześciokątny 7-sześcian Heptelated 8-kostek
Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png Węzeł CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngWęzeł CDel 1.png

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne