Oktonion - Octonion

Oktoniony
Symbol
Rodzaj Algebra hiperzłożona
Jednostki e 0 , ..., e 7
Tożsamość multiplikatywna e 0
Główne właściwości Zakaz przemienne
non-asocjacyjne
Wspólne systemy
Mniej popularne systemy

Oktony ( ) Sedenony ( )

W matematyce , że octonionsNormed podział algebry ciągu liczb rzeczywistych , rodzaj hypercomplex systemie liczbowym . Oktony są zwykle reprezentowane przez wielką literę O, pogrubioną O lub pogrubioną tablicą . Oktony mają osiem wymiarów ; dwukrotna liczba wymiarów kwaternionów , których są przedłużeniem. Są nieprzemienne i nieasocjacyjne , ale spełniają słabszą formę asocjatywności; mianowicie są alternatywą . Są także stowarzyszeniami władzy .

Oktoniony nie są tak dobrze znane jak kwaterniony i liczby zespolone , które są znacznie szerzej badane i używane. Oktoniony są związane z wyjątkowymi strukturami w matematyce, między innymi z wyjątkowymi grupami Liego . Oktoniony mają zastosowanie w takich dziedzinach, jak teoria strun , szczególna teoria względności i logika kwantowa . Zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do oktonionów daje sedenony .

Historia

Oktonony zostały odkryte w 1843 roku przez Johna T. Gravesa , zainspirowane odkryciem kwaternionów przez jego przyjaciela Williama Rowana Hamiltona . Graves nazwał swoje odkrycie „oktawami” i wspomniał o nich w liście do Hamiltona z dnia 16 grudnia 1843 r. Po raz pierwszy opublikował swoje wyniki nieco później niż artykuł Arthura Cayleya . Oktonony zostały odkryte niezależnie przez Cayleya i są czasami nazywane „liczbami Cayleya” lub „algebrą Cayleya”. Hamilton opisał wczesną historię odkrycia Gravesa.

Definicja

Oktony można traktować jako oktety (lub 8-krotki) liczb rzeczywistych. Każdy oktawy cayleya jest prawdziwym kombinacja liniowa z octonions jednostkowych :

gdzie e 0 jest elementem skalarnym lub rzeczywistym; można go utożsamiać z liczbą rzeczywistą 1. Oznacza to, że każdy okton x można zapisać w postaci

z rzeczywistymi współczynnikami x i .

Dodawanie i odejmowanie oktonionów odbywa się poprzez dodawanie i odejmowanie odpowiednich terminów, a tym samym ich współczynników, takich jak kwaterniony. Mnożenie jest bardziej złożone. Mnożenie jest rozdzielcze przez dodawanie, więc iloczyn dwóch oktonów można obliczyć, sumując iloczyny wszystkich wyrazów, podobnie jak kwaterniony. Iloczyn każdej pary wyrazów można podać przez pomnożenie współczynników i tabliczkę mnożenia oktonionów jednostkowych, taką jak ta (ze względu na Cayley, 1845 i Graves, 1843):

Większość elementów niediagonalnych tabeli są antysymetryczna, czyniąc je prawie do nachylenia symetrycznych macierzy wyjątkiem elementów na głównej przekątnej, oraz rzędów i kolumn dla których é 0 jest argument.

Tabelę można podsumować w następujący sposób:

gdzie δ ij jest deltą Kroneckera (równą 1 wtedy i tylko wtedy, gdy i = j ), a ε ijk jest całkowicie antysymetrycznym tensorem o wartości 1, gdy ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 .

Powyższa definicja nie jest jednak wyjątkowa; jest to tylko jedna z 480 możliwych definicji mnożenia oktonów z e 0 = 1 . Pozostałe można uzyskać permutując i zmieniając znaki nieskalarnych elementów bazowych { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 } . 480 różnych algebr jest izomorficznych i rzadko zachodzi potrzeba rozważenia, która konkretna reguła mnożenia jest używana.

Każda z tych 480 definicji jest niezmienna aż do znaków pod pewnymi 7-okresowymi punktami (1234567), a dla każdego 7-stopniowego są cztery definicje, różniące się znakami i odwróceniem kolejności. Powszechnym wyborem jest użycie definicji niezmiennika w ramach 7-cyklu (1234567) z e 1 e 2 = e 4 — za pomocą trójkątnego diagramu mnożenia lub płaszczyzny Fano poniżej, która również pokazuje posortowaną listę 124 opartych na 7-okresowych triadach i związany z nim mnożenia macierzy zarówno e n i formatu ijkl.

Triady oktonionowe, płaszczyzna Fano i macierze mnożenia

Odmianą tego czasami używaną jest etykietowanie elementów bazy przez elementy , 0, 1, 2, ..., 6, linii rzutowej nad skończonym polem rzędu 7. Mnożenie jest wtedy podane przez e = 1 i e 1 e 2 = e 4 i wszystkie wyrażenia otrzymane z tego przez dodanie stałej ( modulo 7) do wszystkich indeksów dolnych: innymi słowy przy użyciu siedmiu trójek (124) (235) (346) (450) ( 561) (602) (013). Są to niezerowe słowa kodowe kwadratowego kodu reszty o długości 7 nad polem Galois dwóch elementów, GF (2) . Istnieje symetria rzędu 7 dodana przez dodanie stałej mod 7 do wszystkich indeksów, a także symetria rzędu 3 przez pomnożenie wszystkich indeksów przez jedną z reszt kwadratowych 1, 2, 4 mod 7.

Tabliczkę mnożenia dla geometrycznej algebry podpisu (−−−−) można podać w postaci następujących 7 trójek czwartorzędowych (z pominięciem elementu tożsamości):

( I , j , k ), ( i , J , k ), ( i , j , K ), ( I , J , K ), (∗ I , i , m ), (∗ J , j , m ), (∗ K , k , m )

w którym małe litery są wektorami, a duże są dwuwektorami i ∗ = mijk (co jest operatorem gwiazdy Hodge'a ). Jeśli jest wymuszone, aby być równe tożsamości, wtedy mnożenie przestaje być asocjacyjne, ale może zostać usunięte z tabliczki mnożenia, co daje tabliczkę mnożenia oktonion.

Utrzymując ∗ = mijk asocjację, a tym samym nie redukując 4-wymiarowej algebry geometrycznej do oktonionowej, całą tabliczkę mnożenia można wyprowadzić z równania na . Rozważmy macierze gamma . Wzór definiujący piątą macierz gamma pokazuje, że jest to czterowymiarowej geometrycznej algebry macierzy gamma.

Konstrukcja Cayley-Dickson

Bardziej systematyczny sposób definiowania oktonionów odbywa się za pomocą konstrukcji Cayleya-Dicksona. Tak jak kwaterniony można zdefiniować jako pary liczb zespolonych, tak oktonony można zdefiniować jako pary kwaternionów. Dodawanie jest definiowane parami. Iloczyn dwóch par kwaternionów ( a , b ) i ( c , d ) jest określony wzorem

gdzie z * oznacza koniugat kwaternionu z . Ta definicja jest równoważna tej podanej powyżej, gdy osiem oktonów jednostkowych jest identyfikowanych z parami

(1, 0), ( i , 0), ( j , 0), ( k , 0), (0, 1), (0, i ), (0, j ), (0, k )

Mnemonik samolotu Fano

Mnemonik dla iloczynów oktonów jednostkowych.
Pamięciowy wizualizacji 3D pokazano 7 triad jak hiperplaszczyzn przez rzeczywistym ( e 0 ) wierzchołkiem przykładzie oktawy cayleya podanej powyżej.

Wygodnym mnemonikiem do zapamiętywania iloczynów oktonów jednostkowych jest diagram, który przedstawia tabliczkę mnożenia Cayleya i Gravesa. Ten diagram z siedmioma punktami i siedmioma liniami (okrąg przechodzący przez 1, 2 i 3 jest uważany za linię) nazywa się płaszczyzną Fano . Linie są kierunkowe. Siedem punktów odpowiada siedmiu standardowym elementom bazowym Im( O ) (patrz definicja poniżej ). Każda para odrębnych punktów leży na unikalnej linii, a każda linia przebiega przez dokładnie trzy punkty.

Niech ( a , b , c ) będzie uporządkowaną trójką punktów leżących na danej prostej w kolejności określonej przez kierunek strzałki. Następnie mnożenie jest przez

ab = c i ba = − c

wraz z permutacjami cyklicznymi . Te zasady wraz z

  • 1 to tożsamość multiplikatywna,
  • mi2
    ja
    = −1
    dla każdego punktu na diagramie

całkowicie definiuje multiplikatywną strukturę oktonionów. Każdy z siedmiu linii wytwarza podalgebrą o O izomorficzne do quaternions H .

Koniugat, norma i odwrotność

Koniugatu o oktawy cayleya

jest dany przez

Koniugacja jest zanik z O i spełnia ( xy ) = y * x * (należy zwrócić uwagę na zmiany w tej kolejności).

Część rzeczywista od x jest dana przez

a część urojona przez

Zbiór wszystkich czysto urojonej octonions obejmują 7- wymiarową podprzestrzeń z O , oznaczony Im ( O ) .

Koniugacja oktonów spełnia równanie

Iloczyn oktononu z jego sprzężeniem, x * x = xx * , jest zawsze nieujemną liczbą rzeczywistą:

Używając tego można zdefiniować normę oktononu, jako

Norma ta zgadza się ze standardowego 8-wymiarowej euklidesowej normy w R 8 .

Istnienie normy na O implikuje istnienie odwrotności dla każdego niezerowego elementu O . Odwrotność x ≠ 0 , która jest unikalnym oktonem x −1 spełniającym xx −1 = x −1 x = 1 , jest dana wzorem

Nieruchomości

Mnożenie oktoniczne nie jest przemienne :

e i e j = − e j e ie j e i jeśli i , j są różne i niezerowe,

ani asocjacyjne :

( e i e j ) e k = − e i ( e j e k ) ≠ e i ( e j e k ) jeśli i , j , k są różne, niezerowe oraz e i e j ≠ ± e k .

Oktonony spełniają słabszą formę asocjacji: są alternatywne. Oznacza to, że podalgebra generowana przez dowolne dwa elementy jest asocjacyjna. Właściwie można wykazać, że podalgebra generowana przez dowolne dwa elementy O jest izomorficzna z R , C lub H , z których wszystkie są asocjacyjne. Ze względu na ich brak asocjatywności, oktoniony nie mogą być reprezentowane przez podalgebrę macierzy pierścienia nad , w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych, liczb zespolonych i kwaternionów.

Oktony zachowują jedną ważną właściwość wspólną dla R , C i H : norma O spełnia

To równanie oznacza, że ​​oktony tworzą algebrę złożeń . Wszystkie algebry wyższych wymiarów zdefiniowane przez konstrukcję Cayleya-Dicksona (zaczynając od sedenionów ) nie spełniają tej własności. Wszystkie mają zerowe dzielniki .

Istnieją szersze systemy liczbowe, które mają moduł multiplikatywny (na przykład 16-wymiarowe sedenony stożkowe). Ich moduł jest zdefiniowany inaczej niż ich norma, a także zawierają dzielniki zera.

Jak pokazał Hurwitz , R , C , H i O są jedynymi znormalizowanymi algebrami dzielenia liczb rzeczywistych. Te cztery algebry tworzą również jedyne alternatywne, skończenie wymiarowe algebry podziału na liczby rzeczywiste ( aż do izomorfizmu).

Nie będąc asocjacyjnymi, niezerowe elementy O nie tworzą grupy . Tworzą jednak pętlę , a konkretnie pętlę Moufang .

Komutator i produkt krzyżowy

Komutator dwóch octonions x i y jest przez

To jest antysymetryczne i wyimaginowane. Jeśli jest rozpatrywany tylko jako iloczyn w urojonej podprzestrzeni Im( O ) to definiuje iloczyn w tej przestrzeni, siedmiowymiarowy iloczyn krzyżowy , dany przez

Podobnie jak iloczyn krzyżowy w trzech wymiarach, jest to wektor prostopadły do x i y o wielkości

Ale podobnie jak produkt z oktononu nie jest jednoznacznie zdefiniowany. Zamiast tego istnieje wiele różnych produktów krzyżowych, z których każdy zależy od wyboru produktu oktonionowego.

Automorfizmy

Automorfizmem , , z octonions jest odwracalna transformacji liniowej z O , który spełnia

Zbiór wszystkich automorfizmów O tworzy grupę o nazwie G 2 . Grupy G 2 jest po prostu połączone , zwarty rzeczywistym grupy Lie wymiaru 14. Ta grupa jest najmniejszym z wyjątkowych grup Lie i izomorficzne z podgrupy z wirówki (7) , który umożliwia zachowanie wybrany konkretnego wektora w jego 8-wymiarowej prawdziwa reprezentacja spinora. Grupa Spin(7) jest z kolei podgrupą grupy izotopów opisanych poniżej.

Zobacz też : PSL(2,7)grupa automorfizmu płaszczyzny Fano.

Izotopie

Isotopy o Algebra jest potrojonej bijective liniowej mapy na , b , c , tak że jeśli XY = oo następnie ( x ) b ( r ) = C ( z ) . Dla a = b = c jest to to samo co automorfizm. Grupa izotopowa algebry to grupa wszystkich izotopów, która zawiera grupę automorfizmów jako podgrupę.

Grupa izotopowa oktonionów to grupa Spin 8 ( R ) , gdzie a , b , c pełnią funkcję trzech ośmiowymiarowych reprezentacji. Podgrupa elementów , w których c ustala identyczność jest podgrupą Spin 7 ( R ) , a podgrupa , w której a , b , c ustalają identyczność jest grupa automorfizmu G 2 .

Aplikacje

Oktonony odgrywają istotną rolę w klasyfikacji i konstrukcji innych bytów matematycznych. Na przykład, wyjątkowa grupa Lie G 2 oznacza grupę automorfizmem z octonions, a pozostałe grupy wyjątkowy Lie F 4 , E 6 , e 7 i E 8 może być rozumiana jako izometrie niektórych projekcyjnych płaszczyznach określono stosując octonions. Zbiór samosprzężonych macierzy oktonicznych 3 × 3 , wyposażony w iloczyn macierzowy symetryzowany, definiuje algebrę Alberta . W matematyce dyskretnej oktonony stanowią elementarne wyprowadzenie sieci Leech , a zatem są blisko spokrewnione ze sporadycznymi grupami prostymi .

Zastosowania oktonionów w fizyce były w dużej mierze oparte na przypuszczeniach. Na przykład w latach 70. podjęto próby zrozumienia kwarków za pomocą oktonicznej przestrzeni Hilberta . Wiadomo, że oktonony oraz fakt, że mogą istnieć tylko cztery znormalizowane algebry dzielenia, wiąże się z wymiarami czasoprzestrzeni, w których można skonstruować supersymetryczne kwantowe teorie pola . Podjęto również próby uzyskania Modelu Standardowego fizyki cząstek elementarnych z konstrukcji oktonicznych, na przykład przy użyciu „algebry Dixona” CHO .

Oktoniony pojawiły się również w badaniach nad entropią czarnej dziury i informatyce kwantowej .

Oktoniony zostały wykorzystane w rozwiązaniach problemu kalibracji oka dłoni w robotyce .

Głębokie sieci oktonowe zapewniają środki wydajnej i kompaktowej ekspresji w aplikacjach uczenia maszynowego.

Oktony całkowe

Istnieje kilka naturalnych sposobów wyboru integralnej formy oktonionów. Najprościej jest po prostu wziąć oktonony, których współrzędne są liczbami całkowitymi . Daje to algebrę nieasocjacyjną nad liczbami całkowitymi zwanymi oktonionami Gravesa. Nie jest to jednak porządek maksymalny (w sensie teorii pierścieni); zawiera dokładnie siedem rzędów maksymalnych. Wszystkie te siedem maksymalnych rzędów są równoważne w przypadku automorfizmów. Wyrażenie „całkowite oktony” zwykle odnosi się do ustalonego wyboru jednego z tych siedmiu rzędów.

Te maksymalne porządki zostały skonstruowane przez Kirmse (1925) , Dicksona i Brucka w następujący sposób. Oznacz osiem wektorów bazowych punktami linii rzutowej nad polem siedmioma elementami. Najpierw tworzą „liczby całkowite Kirmse” : składają się z oktonionów, których współrzędne są liczbami całkowitymi lub połówkami całkowitymi i które są połówkami całkowitymi (czyli połówkami nieparzystych liczb całkowitych) w jednym z 16 zestawów

∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134 ) (6245)

rozszerzonego kodu reszty kwadratowej o długości 8 nad polem dwóch elementów, podanego przez , (∞124) i jego obrazów przy dodaniu stałej modulo 7 oraz uzupełnień tych ośmiu zbiorów. Następnie zamień nieskończoność i dowolną inną współrzędną; ta operacja tworzy bijekcję liczb całkowitych Kirmse na inny zbiór, co jest porządkiem maksymalnym. Można to zrobić na siedem sposobów, dając siedem maksymalnych rzędów, które są równoważne w cyklicznych permutacjach siedmiu współrzędnych 0123456. (Kirmse błędnie twierdził, że liczby całkowite Kirmse również tworzą porządek maksymalny, więc sądził, że istnieje osiem rzędów maksymalnych, a nie siedem, ale jak zauważył Coxeter (1946) nie są one zamykane w mnożeniu, błąd ten występuje w kilku opublikowanych pracach).

Liczby całkowite Kirmse i siedem rzędów maksymalnych są izometryczne do siatki E 8 przeskalowanej o współczynnik 12 . W szczególności w każdym z tych rzędów jest 240 elementów minimalnej niezerowej normy 1, tworząc pętlę Moufang rzędu 240.

Integralne octonions mają „podział z właściwości: reszta” danego integralne octonions i b ≠ 0 , można znaleźć q i r z a = qb + R , w którym reszta R ma normę mniejsza niż b .

W oktonach całkowych wszystkie ideały lewe i prawe są ideałami dwustronnymi, a jedyne ideały dwustronne to ideały główne nO, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą.

Oktony całkowe mają wersję rozkładania na czynniki pierwsze, chociaż nie jest to proste, ponieważ oktony nie są asocjacyjne, więc iloczyn oktonów zależy od kolejności, w jakiej wykonuje się iloczyny. Nieredukowalne oktony całkowe są dokładnie tymi z pierwszej normy, a każdy okton całkowy można zapisać jako iloczyn nieredukowalnych oktonów. Dokładniej, całkowy okton normy mn można zapisać jako iloczyn całkowych oktonów norm m i n .

Grupa automorfizmem integralnych octonions jest grupa G 2 ( F 2 ) w celu 12,096, który ma prostą podgrupę indeksie 2 izomorficzna jednolitego grupy 2 A 2 (3 2 ) . Isotopy grupa integralnych octonions jest idealnym podwójne pokrycie grupy obrotów E 8 kraty.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki