Elementy orbitalne - Orbital elements

Elementy orbitalne to parametry wymagane do jednoznacznej identyfikacji określonej orbity . W mechanice niebieskiej pierwiastki te są rozpatrywane w układach dwuciałowych przy użyciu orbity Keplera . Istnieje wiele różnych sposobów matematycznego opisania tej samej orbity, ale pewne schematy, z których każdy składa się z zestawu sześciu parametrów, są powszechnie stosowane w astronomii i mechanice orbitalnej .

Orbita rzeczywista i jej elementy zmieniają się w czasie pod wpływem perturbacji grawitacyjnych innych obiektów oraz efektów ogólnej teorii względności . Orbita Keplera to wyidealizowane, matematyczne przybliżenie orbity w określonym czasie.

Elementy keplerowskie

Na tym schemacie płaszczyzna orbity (żółta) przecina płaszczyznę odniesienia (szara). W przypadku satelitów krążących wokół Ziemi płaszczyzną odniesienia jest zwykle płaszczyzna równika Ziemi, a w przypadku satelitów na orbicie słonecznej jest to płaszczyzna ekliptyki . Przecięcie nazywa się linią węzłów , ponieważ łączy środek masy z węzłami wstępującym i zstępującym. Płaszczyzna odniesienia wraz z punktem wiosennym ( ♈︎ ) tworzy układ odniesienia.

Tradycyjne elementy orbitalne to sześć elementów keplerowskich , za Johannesem Keplerem i jego prawami ruchu planet .

Oglądane z ramy bezwładnościowej dwa orbitujące ciała wyznaczają odrębne trajektorie. Każda z tych trajektorii skupia się na wspólnym środku masy . Patrząc z nieinercyjnej ramy wyśrodkowanej na jednym z ciał, widoczna jest tylko trajektoria przeciwległego ciała; Elementy keplerowskie opisują te nieinercyjne trajektorie. Orbita ma dwa zestawy elementów keplerowskich, w zależności od tego, które ciało jest używane jako punkt odniesienia. Ciało odniesienia (zazwyczaj najbardziej masywne) nazywane jest pierwotnym , drugie ciało nazywane jest wtórnym . Pierwotny niekoniecznie ma większą masę niż wtórny, a nawet gdy ciała mają taką samą masę, elementy orbitalne zależą od wyboru pierwotnego.

Dwa elementy definiują kształt i rozmiar elipsy:

  • Mimośród ( e ) — kształt elipsy, opisujący jak bardzo jest ona wydłużona w stosunku do okręgu (nie zaznaczony na schemacie).
  • Półoś wielka ( a ) — suma odległości perycentrum i apocentrum podzielona przez dwa. W przypadku klasycznych orbit dwuciałowych półoś wielka jest odległością między środkami ciał, a nie odległością ciał od środka masy.

Dwa elementy definiują orientację płaszczyzny orbity, w której osadzona jest elipsa:

  • Nachylenie ( i ) — pionowe nachylenie elipsy względem płaszczyzny odniesienia, mierzone w węźle wstępującym (gdzie orbita przechodzi w górę przez płaszczyznę odniesienia, zielony kąt i na wykresie). Kąt pochylenia jest mierzony prostopadle do linii przecięcia płaszczyzny orbity i płaszczyzny odniesienia. Dowolne trzy punkty na elipsie definiują płaszczyznę orbity elipsy. Płaszczyzna i elipsa to obiekty dwuwymiarowe zdefiniowane w przestrzeni trójwymiarowej.
  • Długość geograficzna węzła wstępującego ( Ω ) — orientuje poziomo węzeł wstępujący elipsy (gdzie orbita przechodzi w górę przez płaszczyznę odniesienia, oznaczoną symbolem ) względem punktu wiosennego ramki odniesienia (symbolizowanego przez ♈︎). Jest to mierzone w płaszczyźnie odniesienia i pokazane jako zielony kąt Ω na schemacie.

Pozostałe dwa elementy to:

  • Argument perycentrum ( ω ) określa orientację elipsy w płaszczyźnie orbity, jako kąt mierzony od węzła wstępującego do perycentrum (najbliższy punkt, w którym obiekt satelity zbliża się do obiektu podstawowego, wokół którego krąży, kąt niebieski ω w Schemat).
  • Prawdziwa anomalia ( ν , θ , lub f ) w epoce ( t 0 ) określa pozycję ciała orbitującego wzdłuż elipsy w określonym czasie ("epoce").

Anomalia średnia M jest matematycznie wygodne fikcyjne „k”, która zmienia się liniowo wraz z upływem czasu, lecz nie odpowiadają rzeczywistym kątem geometryczne. Można ją przekształcić w prawdziwą anomalię ν , która reprezentuje rzeczywisty kąt geometryczny w płaszczyźnie elipsy, między perycentrum (najbliższe zbliżenie do ciała centralnego) a pozycją obiektu na orbicie w danym momencie. Tak więc prawdziwa anomalia jest pokazana jako czerwony kąt ν na diagramie, a średnia anomalia nie jest pokazana.

Kąty nachylenia, długość węzła wstępującego i argument perycentrum można również opisać jako kąty Eulera określające orientację orbity względem referencyjnego układu współrzędnych.

Zauważ, że trajektorie nieeliptyczne również istnieją, ale nie są zamknięte, a zatem nie są orbitami. Jeśli mimośród jest większy niż jeden, trajektoria jest hiperbolą . Jeżeli mimośród jest równy jeden, a moment pędu wynosi zero, trajektoria jest radialna . Jeśli mimośród jest jeden i występuje moment pędu, trajektoria jest parabolą .

Wymagane parametry

Biorąc pod uwagę inercyjny układ odniesienia i arbitralną epokę (określony punkt w czasie), potrzeba dokładnie sześciu parametrów, aby jednoznacznie zdefiniować dowolną i niezakłóconą orbitę.

Dzieje się tak, ponieważ problem zawiera sześć stopni swobody . Odpowiadają one trzem wymiarom przestrzennym, które definiują położenie ( x , y , z w kartezjańskim układzie współrzędnych ), plus prędkość w każdym z tych wymiarów. Można je opisać jako wektory stanu orbitalnego , ale jest to często niewygodny sposób przedstawiania orbity, dlatego powszechnie stosuje się elementy keplerowskie.

Czasami epoka jest uważana za „siódmy” parametr orbitalny, a nie część układu odniesienia.

Jeśli epokę definiuje się jako moment, w którym jeden z elementów wynosi zero, liczba nieokreślonych elementów zmniejsza się do pięciu. (Szósty parametr jest nadal niezbędny do zdefiniowania orbity; jest on jedynie numerycznie ustawiony na zero zgodnie z konwencją lub „przeniesiony” do definicji epoki w odniesieniu do rzeczywistego czasu zegarowego.)

Alternatywne parametryzacje

Elementy keplerowskie można otrzymać z orbitalnych wektorów stanu (wektor trójwymiarowy dla położenia, a inny dla prędkości) przez przekształcenia ręczne lub za pomocą oprogramowania komputerowego.

Inne parametry orbitalne można obliczyć z elementów keplerowskich, takich jak okres , apocentrum i perycentrum . (Podczas orbitowania wokół Ziemi, dwa ostatnie terminy są znane jako apogeum i perygeum.) Powszechne jest określanie okresu zamiast wielkiej półosi w zestawach elementów keplerowskich, ponieważ każdy z nich można obliczyć na podstawie drugiego, pod warunkiem, że standardowa grawitacja parametr , GM , jest podana dla organu centralnego.

Zamiast anomalia średnia w epoce , w anomalia średnia M , średniej długości , anomalia prawdziwa ν 0 lub (rzadko) ekscentryczny anomalia może być używany.

Użycie na przykład „średniej anomalii” zamiast „średniej anomalii w epoce” oznacza, że ​​czas t musi być określony jako siódmy element orbitalny. Czasami przyjmuje się, że anomalia średnia wynosi zero w danej epoce (poprzez wybór odpowiedniej definicji epoki), pozostawiając do określenia jedynie pięć innych elementów orbitalnych.

Różne zestawy elementów są używane do różnych ciał astronomicznych. Mimośród, e i albo półoś wielka, a , albo odległość perycentrum, q , są używane do określenia kształtu i rozmiaru orbity. Długość węzła wstępującego Ω , nachylenie i , argument perycentrum ω lub długość perycentrum ϖ określają orientację orbity w jej płaszczyźnie. Albo długość geograficzna w epoce L 0 , średnia anomalia w epoce M 0 , albo czas przejścia peryhelium T 0 , są używane do określenia znanego punktu na orbicie. Dokonane wybory zależą od tego, czy punkt równonocy wiosennej czy węzeł są używane jako podstawowe odniesienie. Półoś wielka jest znana, jeśli znany jest średni ruch i masa grawitacyjna .

Jest to również bardzo często spotykane albo anomalia średnia ( M ) lub średnią długość ( L ) wyrażona bezpośrednio, bez żadnych M 0 lub l 0 w etapach pośredniczącymi jako wielomianowym funkcji w odniesieniu do czasu. Ta metoda wyrażenia skonsoliduje średni ruch ( n ) w wielomian jako jeden ze współczynników. Wygląda na to, że L lub M są wyrażane w bardziej skomplikowany sposób, ale wydaje się, że potrzebujemy jednego elementu orbitalnego mniej.

Ruch średni może być również przesłonięty za cytatami z okresu orbitalnego P .

Zestawy elementów orbitalnych
Obiekt Użyte elementy
Główna planeta e , a , ja , Ω , ϖ , L 0
Kometa e , q , ja , Ω, ω , T 0
Asteroida e , a , ja , Ω, ω , M 0
Elementy dwuliniowe e , ja , Ω, ω , n , M 0

Transformacje kąta Eulera

Kąty Ω , i , ω to kąty Eulera (odpowiadające α , β , γ w notacji użytej w tym artykule) charakteryzujące orientację układu współrzędnych

, ŷ , z układu współrzędnych inercjalnych Î , Ĵ ,

gdzie:

  • Î , Ĵ znajduje się w płaszczyźnie równikowej ciała centralnego. Î jest w kierunku równonocy wiosennej. Ĵ jest prostopadła do Î i z Î definiuje płaszczyznę odniesienia. jest prostopadła do płaszczyzny odniesienia. Orbitalne elementy ciał (planety, komety, asteroidy, ...) w Układzie Słonecznym zwykle używają ekliptyki jako tej płaszczyzny.
  • , ŷ leżą w płaszczyźnie orbity, a w kierunku perycentrum ( perycentrum ). jest prostopadła do płaszczyzny orbity. ŷ jest wzajemnie prostopadłe do i .

Wtedy transformacja z układu współrzędnych Î , Ĵ , do układu , ŷ , z kątami Eulera Ω , i , ω wynosi:

gdzie

Transformacja odwrotna, która oblicza 3 współrzędne w systemie IJK przy danych 3 (lub 2) współrzędnych w systemie xyz, jest reprezentowana przez macierz odwrotną. Zgodnie z regułami algebry macierzy , macierz odwrotną iloczynu trzech macierzy rotacji otrzymuje się przez odwrócenie kolejności trzech macierzy i zamianę znaków trzech kątów Eulera.

Transformacja z , ŷ , do kątów Eulera Ω , i , ω to:

gdzie arg( x , y ) oznacza argument biegunowy, który można obliczyć za pomocą standardowej funkcji atan2(y,x) dostępnej w wielu językach programowania.

Przewidywanie orbity

W idealnych warunkach idealnie kulistego ciała centralnego i zerowych perturbacji wszystkie elementy orbitalne poza średnią anomalią są stałymi. Średnia anomalia zmienia się liniowo w czasie, skalowana przez średni ruch ,

Stąd jeśli w dowolnym momencie t 0 parametrami orbity są [ e 0 , a 0 , i 0 , Ω 0 , ω 0 , M 0 ] , to elementy w czasie t = t 0 + δt są dane wzorem [ e 0 , a 0 , ja 0 , Ω 0 , ω 0 , M 0 + n δt ]

Perturbacje i wariancja elementarna

Unperturbed, dwa ciała , Newtona orbity zawsze są stożkowe , dzięki czemu elementy Keplerian określić elipsy , paraboli lub hiperboli . Orbity rzeczywiste mają perturbacje, więc dany zbiór pierwiastków keplerowskich dokładnie opisuje orbitę dopiero w epoce. Ewolucja elementów orbitalnych odbywa się z powodu przyciągania grawitacyjnego ciał innych niż pierwotne, niesferyczności pierwotnego, oporu atmosferycznego , efektów relatywistycznych , ciśnienia promieniowania , sił elektromagnetycznych i tak dalej.

Elementy keplerowskie mogą być często używane do tworzenia użytecznych prognoz w czasach zbliżonych do epoki. Alternatywnie, rzeczywiste trajektorie mogą być modelowane jako sekwencja orbit keplerowskich, które oscylują („pocałują” lub dotykają) rzeczywistą trajektorię. Można je również opisać tak zwanymi równaniami planetarnymi, równaniami różniczkowymi , które występują w różnych postaciach opracowanych przez Lagrange'a , Gaussa , Delaunaya , Poincaré'a lub Hilla .

Elementy dwuliniowe

Parametry elementów keplerowskich mogą być zakodowane jako tekst w wielu formatach. Najpopularniejszym z nich jest format NASA / NORAD "elementy dwuwierszowe" (TLE), pierwotnie zaprojektowany do użytku z 80-kolumnowymi kartami dziurkowanymi, ale nadal używany, ponieważ jest to najpopularniejszy format i może być łatwo obsługiwany przez wszystkich również nowoczesne magazyny danych.

W zależności od aplikacji i orbity obiektu, dane pochodzące z TLE starszych niż 30 dni mogą stać się niewiarygodne. Pozycje orbitalne można obliczyć z tablic TLE za pomocą algorytmów SGP / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8.

Przykład elementu dwuwierszowego:

1 27651U 03004A   07083.49636287  .00000119  00000-0  30706-4 0  2692
2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

Zmienne Delaunaya

Elementy orbitalne Delaunaya zostały wprowadzone przez Charlesa-Eugène'a Delaunay'a podczas swoich badań ruchu Księżyca . Powszechnie nazywane zmiennymi Delaunaya , są zbiorem zmiennych kanonicznych , które są współrzędnymi kąta działania . Kąty są prostymi sumami niektórych kątów Keplera:

wraz z ich odpowiednimi sprzężonymi momentami , L , G i H . Momenty L , G i Hzmiennymi działania i są bardziej skomplikowanymi kombinacjami keplerowskich elementów a , e oraz i .

Zmienne Delaunaya są wykorzystywane do uproszczenia obliczeń perturbacyjnych w mechanice nieba, na przykład podczas badania oscylacji Kozai-Lidova w hierarchicznych układach potrójnych. Zaletą zmiennych Delaunaya jest to, że pozostają one dobrze zdefiniowane i nie są pojedyncze (z wyjątkiem h , które może być tolerowane), gdy e i/lub i są bardzo małe: gdy orbita badanej cząstki jest bardzo prawie kołowa ( ) lub prawie „płaski” ( ).

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki