Izomorfizm porządku - Order isomorphism

W matematycznej dziedzinie teorii rzędu An Izomorfizm celu jest szczególny rodzaj funkcji monotonicznej który stanowi odpowiedni pojęcie izomorfizmie na częściowy porządek (Posets). Ilekroć dwa posety są izomorficzne w porządku, można je uznać za „zasadniczo takie same” w tym sensie, że jeden z porządków można uzyskać od drugiego po prostu zmieniając nazwy elementów. Dwoma ściśle słabszymi pojęciami odnoszącymi się do izomorfizmów porządkówzanurzenia w porządkach i połączenia Galois .

Definicja

Formalnie, biorąc pod uwagę dwa pozy i , izomorfizm porządku od do jest funkcją bijektywną od do z właściwością, że dla każdego i in , wtedy i tylko wtedy, gdy . Oznacza to, że jest to bijective order-embedding .

Możliwe jest również zdefiniowanie izomorfizmu porządku jako surjektywnego osadzania porządku. Dwa założenia, które obejmują wszystkie elementy i zachowują uporządkowania, wystarczą, aby zapewnić, że jest to również jeden do jednego, ponieważ jeśli wtedy (z założenia, które zachowuje porządek) wynikałoby to z tego i , implikując z definicji częściowego zamówienia, które .

Jeszcze inną charakterystyką izomorfizmów porządku jest to, że są to dokładnie bijekcje monotoniczne, które mają odwrotność monotoniczną.

Izomorfizm porządku z częściowo uporządkowanego zbioru do samego siebie nazywa się automorfizmem porządku .

Gdy dodatkowa struktura algebraiczna jest narzucona na pozycje i , funkcja od do musi spełniać dodatkowe właściwości, aby można ją było uznać za izomorfizm. Na przykład, biorąc pod uwagę dwie częściowo uporządkowane grupy ( grupy po) i , izomorfizm grup po od do jest izomorfizmem porządku, który jest również izomorfizmem grupy , a nie tylko bijektem, który jest osadzaniem porządku .

Przykłady

  • Funkcja tożsamości na dowolnym częściowo uporządkowanym zbiorze jest zawsze automorfizmem porządku.
  • Negacja jest izomorfizmem rzędu od do (gdzie jest zbiorem liczb rzeczywistych i oznacza zwykłe porównanie liczbowe), ponieważ − x ≥ − y wtedy i tylko wtedy, gdy xy .
  • Otwarty przedział (ponownie uporządkowane numerycznie) nie izomorfizm zamówienie lub z zamkniętym przedziale : odcinkiem ma najmniejszy element, ale nie otwarty przedział i isomorphisms rzędu, należy zapewnić istnienie najmniejszych elementów.
  • Według twierdzenia Cantora o izomorfizmie każdy nieograniczony, policzalny gęsty porządek liniowy jest izomorficzny z porządkiem liczb wymiernych . Izomorfizmy jawnego rzędu między kwadratowymi liczbami algebraicznymi, liczbami wymiernymi i dwójkowymi liczbami wymiernymi zapewnia funkcja znaku zapytania Minkowskiego .

Rodzaje zamówień

Jeśli jest izomorfizmem rzędu, to jego funkcja odwrotna też jest . Ponadto, jeśli jest to rozkaz z Izomorfizm się i jest zamówienie z Izomorfizm się , a następnie złożenie funkcji z a sama jest Izomorfizm porządku, od celu .

Mówi się, że dwa częściowo uporządkowane zbiory są izomorficzne w rzędach, gdy istnieje izomorfizm rzędów między jednym a drugim. Funkcje tożsamości, odwrotności funkcji i kompozycje funkcji odpowiadają odpowiednio trzem definiującym cechom relacji równoważności : refleksyjności , symetrii i przechodniości . Dlatego izomorfizm porządku jest relacją równoważności. Klasę częściowo uporządkowanych zbiorów można podzielić przez nią na klasy równoważności , rodziny częściowo uporządkowanych zbiorów, które są ze sobą izomorficzne. Te klasy równoważności nazywane są typami porządkowymi .

Zobacz też

  • Wzorzec permutacji , permutacja, która jest izomorficzna w porządku z podciągiem innej permutacji

Uwagi

Bibliografia