Grupa automorfizmu zewnętrznego - Outer automorphism group

W matematyce The zewnętrzna grupa automorfizmem z grupy , $G$ , jest iloraz , $Aut (G) / Inn (G)$ , w którym $Aut (G)$ jest grupa automorfizmem z $G$ i $Inn (G$ ) jest podgrupa składający się z wewnętrznymi automorfizmy . Zewnętrzna grupa automorfizmu jest zwykle oznaczana jako $Out (G)$ . Jeśli $Out (G)$ jest trywialne, a $G$ ma trywialne centrum , to mówi się, że $G$ jest kompletne .

Automorfizm grupy, która nie jest wewnętrzna, nazywa się automorfizmem zewnętrznym . Kosety $Inn (G)$ w odniesieniu do automorfizmów zewnętrznych są zatem elementami $Out (G)$ ; jest to przykład faktu, że iloraz grup nie jest na ogół podgrupami (izomorficznymi do). Jeśli wewnętrzna grupa automorfizmu jest trywialna (gdy grupa jest abelowa), to w naturalny sposób identyfikuje się grupę automorfizmu i zewnętrzną grupę automorfizmu; to znaczy, zewnętrzna grupa automorfizmu działa na grupę.

Na przykład, dla grupy przemiennego , $n$ , zewnętrzna grupa automorfizmem zwykle grupa o uporządkowaniu 2, z wyjątkami opisanymi poniżej. Rozpatrując $A$ $n$ jako podgrupę symetrycznej grupy , $S$ $n$ , koniugacja przez dowolną nieparzystą permutację jest zewnętrznym automorfizmem $A$ $n$ lub dokładniej „reprezentuje klasę (nietrywialnego) zewnętrznego automorfizmu $A$ $n$ ”, ale zewnętrzna automorfizm nie odpowiada koniugacji przez żaden szczególny element nieparzysty, a wszystkie koniugacje przez elementy nieparzyste są równoważne koniugacji przez element parzysty.

Struktura

Schreier przypuszczenia potwierdza, że $Z (G)$ jest zawsze rozwiązywalne grupa gdy $G$ jest skończoną grupa prosta . Obecnie wiadomo, że ten wynik jest prawdziwy jako następstwo klasyfikacji skończonych grup prostych , chociaż nie jest znany prostszy dowód.

Podwójne centrum

Zewnętrzna grupa automorfizmu jest podwójna do centrum w następującym sensie: koniugacja przez element $G$ jest automorfizmem, dając mapę $σ : G \to Aut (G)$ . Jądra mapy koniugacyjnej centrum, a cokernel jest zewnętrzna grupa automorfizmem (i obraz jest wewnętrzna automorfizmem grupę). Można to podsumować dokładną sekwencją :

Z (G) ↪ G σ \to Aut (G) ↠ Out (G)

.

Aplikacje

Zewnętrzna grupa automorfizmów w grupie działa na klasy koniugacji i odpowiednio na tablicę znaków . Zobacz szczegóły w tabeli znaków: zewnętrzne automorfizmy .

Topologia powierzchni

Zewnętrzna grupa automorfizmem jest ważne w topologii na powierzchni , ponieważ nie ma połączenia dostarczanego przez twierdzenia Dehn-Nielsen : rozszerzony klasy mapowania grupa powierzchni jest zewnętrzna grupa automorfizmem jego podstawowej grupy .

W skończonych grupach

Aby zobaczyć zewnętrzne grupy automorfizmów wszystkich skończonych grup prostych, zobacz listę skończonych grup prostych . Sporadyczne grupy proste i grupy naprzemienne (inne niż grupa naprzemienna, $A 6$ ; patrz poniżej) wszystkie mają zewnętrzne grupy automorfizmu rzędu 1 lub 2. Zewnętrzna grupa automorfizmu skończonej grupy prostej typu Lie jest przedłużeniem grupy " automorfizmy diagonalne "(cykliczne z wyjątkiem $D n (q)$ , gdy ma rząd 4), grupa" automorfizmów pola "(zawsze cyklicznych) i grupa" automorfizmów grafowych "(rzędu 1 lub 2 z wyjątkiem $D 4 (q)$ , gdy jest to symetryczna grupa 3 punktów). Te rozszerzenia nie zawsze są produktami półpośrednimi , jak pokazuje przypadek naprzemiennej grupy $A 6$ ; dokładne kryterium, które miało to nastąpić, podano w 2003 roku.

Grupa	Parametr	$Out (G)$	$\| Out (G) \|$
$Z$		$C 2$	$2$ : tożsamość i automorfizm zewnętrzny $x \mapsto - x$
$C n$	$n > 2$	$(ℤ / n ℤ) \times$	$φ (n) =$ ; jeden odpowiadający pomnożeniu przez odwracalny element wpierścieniu $ℤ /$ $n$ $ℤ$ . ${\ Displaystyle n \ prod _ {p \| n} \ lewo (1 - {\ Frac {1} {p}} \ prawo)}$
$Z p n$	$p$ prime, $n > 1$	$GL n (p)$	$(p n - 1) (p n - p) (p n - p 2) ... (p n - p n -1)$
$S n$	$n \neq 6$	$C 1$	$1$
$S 6$		$C 2$ (patrz poniżej)	$2$
$A n$	$n \neq 6$	$C 2$	$2$
$A 6$		$C 2 \times C 2$ (patrz poniżej)	$4$
$PSL 2 (p)$	$p > 3$ pierwsza	$C 2$	$2$
$PSL 2 (2 n)$	$n > 1$	$C n$	$n$
$PSL 3 (4) = M 21$		$Dih 6$	$12$
$M n$	$n \in {11, 23, 24}$	$C 1$	$1$
$M n$	$n \in {12, 22}$	$C 2$	$2$
$Co n$	$n \in {1, 2, 3}$	$C 1$	$1$

W grupach symetrycznych i naprzemiennych

Zewnętrzną grupę automorfizmu skończonej grupy prostej w jakiejś nieskończonej rodzinie skończonych grup prostych można prawie zawsze podać za pomocą jednolitej formuły, która działa dla wszystkich elementów rodziny. Jest tylko jeden wyjątek: naprzemienna grupa $A 6$ ma zewnętrzną grupę automorfizmu rzędu 4, a nie 2, podobnie jak inne proste grupy naprzemienne (dane przez koniugację przez nieparzystą permutację ). Równoważnie grupa symetryczne $S 6$ jest symetryczny jedynie grupa o nietrywialną zewnętrzną grupy automorfizm.

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} n \ neq 6: \ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {n}) & = \ mathrm {C} _ {1} \\ n \ geq 3, \ n \ neq 6: \ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {n}) & = \ mathrm {C} _ {2} \\\ operatorname {Out} (\ mathrm {S} _ {6}) & = \ mathrm {C} _ {2} \\\ operatorname {Out} (\ mathrm {A} _ {6}) & = \ mathrm {C} _ {2} \ times \ mathrm {C} _ {2} \ end {aligned}}}

Zauważ, że w przypadku $G = A 6 = PSL (2, 9)$ , sekwencja $1 ⟶ G ⟶ Aut (G) ⟶ Out (G) ⟶ 1$ nie rozdziela się. Podobny wynik jest dla dowolnego $PSL (2, q 2)$ , $q$ nieparzysty.

W redukcyjnych grupach algebraicznych

Symetrie diagramu Dynkina ,

D 4

, odpowiadają zewnętrznym automorfizmom

Spinu (8)

w okresie próbnym.

Niech $G$ będzie teraz połączoną grupą redukcyjną na algebraicznie zamkniętym polu . Następnie dowolne dwie podgrupy borelowskie są sprzężone przez wewnętrzny automorfizm, więc do badania automorfizmów zewnętrznych wystarczy wziąć pod uwagę automorfizmy, które ustalają daną podgrupę borelowską. Z podgrupą borela związany jest zbiór prostych pierwiastków , a automorfizm zewnętrzny może je permutować, zachowując strukturę skojarzonego diagramu Dynkina . W ten sposób można zidentyfikować grupę automorfizmów diagramu Dynkina $G$ z podgrupą $Out (G)$ .

$D 4$ ma bardzo symetryczny diagram Dynkina, który daje dużą zewnętrzną grupę automorfizmu $Spin (8)$ , a mianowicie $Out (Spin (8)) = S 3$ ; nazywa się to okresem próbnym .

W złożonych i rzeczywistych prostych algebrach Liego

Powyższy interpretacja automorfizmy kosmicznej symetrii schemat Dynkin Z ogólnej tym, że do kompleksu lub rzeczywistym prosty Lie algebraiczną $𝔤$ grupa automorfizmem $Aut (𝔤)$ jest iloczynów produkt o $INN (𝔤)$ oraz $OUT (𝔤)$ ; tj. krótka dokładna sekwencja

1 ⟶ Inn (𝔤) ⟶ Aut (𝔤) ⟶ Out (𝔤) ⟶ 1

pęknięcia. W złożonym prostym przypadku jest to klasyczny wynik, podczas gdy w przypadku prawdziwych prostych algebr Liego fakt ten został udowodniony jeszcze w 2010 roku.

Gra słów

Termin automorfizm zewnętrzny nadaje się do gry słów : termin ten jest czasami używany do określenia automorfizmu zewnętrznego , a szczególna geometria, na której działa $Out (F n)$ , nazywana jest przestrzenią kosmiczną .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

ATLAS reprezentacji grup skończonych-V3 zawiera wiele informacji o różnych klasach grup skończonych (w szczególności sporadycznych grupach prostych), w tym o kolejności $Out (G)$ dla każdej wymienionej grupy.

Languages

In other projects