Równoległobok — Parallelogram

Równoległobok
Równoległobok.svg
Ten równoległobok jest romboidalny, ponieważ nie ma kątów prostych i nierównych boków.
Rodzaj czworoboczny , trapez
Krawędzie i wierzchołki 4
Grupa symetrii C 2 , [2] + ,
Powierzchnia b × h (podstawa × wysokość);
ab sin θ (iloczyn sąsiednich boków i sinusa wyznaczonego przez nie kąta wierzchołka)
Nieruchomości wypukły

W geometrii euklidesowej , A równoległobok jest proste (nie siebie przecinające ) czworoboku z dwoma parami równoległych bokach. Przeciwne lub skierowane do siebie boki równoległoboku mają jednakową długość, a przeciwne kąty równoległoboku są równe. Zbieżność przeciwległych stronach i przeciwległe kąty jest bezpośrednią konsekwencją euklidesowej postulat równolegle i żaden z tych warunków można stwierdzić, bez odwoływania się do równoległego postulat euklidesowej lub jednej z jego odpowiednika preparatów.

Dla porównania, czworokąt z tylko jedną parą równoległych boków to trapez w amerykańskim angielskim lub trapez w brytyjskim angielskim.

Trójwymiarowym odpowiednikiem równoległoboku jest równoległościan .

Etymologia (po grecku παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon , kształt „linii równoległych”) odzwierciedla definicję.

Przypadki specjalne

  • Romboidalny – czworobok, którego przeciwległe boki są równoległe, a sąsiednie boki są nierówne, a kąty nie są kątami prostymi
  • Prostokąt — równoległobok z czterema kątami o równej wielkości (kąty proste).
  • Romb – równoległobok o czterech bokach jednakowej długości.
  • Kwadrat — równoległobok z czterema bokami o równej długości i kątami o jednakowej wielkości (kąty proste).

Charakterystyki

Prosty (non-self-przecinających) czworobok jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe:

  • Dwie pary przeciwległych boków są równoległe (z definicji).
  • Dwie pary przeciwległych boków mają jednakową długość.
  • Dwie pary przeciwnych kątów są sobie równe.
  • W przekątnych przepoławiać siebie.
  • Jedna para przeciwległych boków jest równoległa i ma taką samą długość.
  • Sąsiednie kątowniki stanowią uzupełnienie .
  • Każda przekątna dzieli czworokąt na dwa przystające trójkąty .
  • Suma kwadratów boków równa się sumie kwadratów przekątnych. (To jest prawo równoległoboku .)
  • Ma symetrię obrotową rzędu 2.
  • Suma odległości od dowolnego punktu wewnętrznego do boków jest niezależna od położenia punktu. (Jest to rozszerzenie twierdzenia Vivianiego .)
  • Na płaszczyźnie czworokąta znajduje się punkt X, którego właściwość polega na tym, że każda prosta przechodząca przez X dzieli czworokąt na dwa obszary o równej powierzchni.

Zatem wszystkie równoległoboki mają wszystkie wymienione powyżej własności i odwrotnie , jeśli tylko jedno z tych stwierdzeń jest prawdziwe w prostym czworoboku, to jest to równoległobok.

Inne właściwości

  • Przeciwległe boki równoległoboku są równoległe (z definicji) i dlatego nigdy się nie przecinają.
  • Pole równoległoboku jest dwukrotnością pola trójkąta utworzonego przez jedną z jego przekątnych.
  • Pole równoległoboku jest również równe wielkości iloczynu wektorowego dwóch sąsiednich boków.
  • Każda linia przechodząca przez środek równoległoboku przecina obszar na pół.
  • Każda niezdegenerowana transformacja afiniczna przenosi równoległobok do innego równoległoboku.
  • Równoległobok ma symetrię obrotową rzędu 2 (do 180°) (lub rzędu 4 w przypadku kwadratu). Jeśli ma również dokładnie dwie linie symetrii odbicia, to musi być rombem lub prostokątem (prostokąt nie kwadratowy). Jeśli ma cztery linie symetrii odbicia, jest kwadratem .
  • Obwód równoległoboku jest 2 ( + b ), gdzie i b są długościami przyległych bokach.
  • W przeciwieństwie do innych wielokątów wypukłych, równoległobok nie może być wpisany w żaden trójkąt o mniej niż dwukrotnej powierzchni.
  • Środki czterech kwadratów, wszystkie zbudowane wewnętrznie lub zewnętrznie po bokach równoległoboku, są wierzchołkami kwadratu.
  • Jeśli dwie linie równoległe do boków równoległoboku są zbudowane równolegle do przekątnej, to równoległoboki utworzone po przeciwnych stronach tej przekątnej mają równe powierzchnie.
  • Przekątne równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o równej powierzchni.

Formuła powierzchni

Schemat pokazujący, w jaki sposób równoległobok można zmienić w kształt prostokąta
Równoległobok można przekształcić w prostokąt o tym samym obszarze.
Animacja dla wzoru powierzchni .

Wszystkie wzory powierzchni dla ogólnych czworokątów wypukłych mają zastosowanie do równoległoboków. Dalsze wzory są specyficzne dla równoległoboków:

Równoległobok o podstawie b i wysokości h można podzielić na trapez i trójkąt prawy oraz przestawić na prostokąt , jak pokazano na rysunku po lewej stronie. Oznacza to, że powierzchnia równoległoboku jest taka sama jak prostokąta o tej samej podstawie i wysokości:

Obszar równoległoboku to obszar obszaru niebieskiego, który jest wnętrzem równoległoboku

Wzór na obszar podstawy × wysokość można również wyprowadzić za pomocą rysunku po prawej stronie. Pole K równoległoboku po prawej stronie (obszar niebieski) to całkowita powierzchnia prostokąta pomniejszona o pole dwóch pomarańczowych trójkątów. Powierzchnia prostokąta to

a pole pojedynczego pomarańczowego trójkąta to

Dlatego pole równoległoboku to

Inny wzór na pole, dla dwóch boków B i C oraz kąta θ, to

Pole równoległoboku o bokach B i C ( BC ) oraz kąt na przecięciu przekątnych dana jest wzorem

Gdy równoległobok jest określony z długości B i C dwóch sąsiednich boków wraz z długością D 1 jednej z przekątnych, to pole można znaleźć ze wzoru Herona . W szczególności jest

gdzie i wiodący czynnik 2 wynika z faktu, że wybrana przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty.

Pole pod względem kartezjańskich współrzędnych wierzchołków

Niech wektory i niech oznaczają macierz z elementami a i b . Następnie powierzchnia równoległoboku generowanego przez i B jest równa .

Niech wektory i niech . Następnie powierzchnia równoległoboku generowanego przez i B jest równa .

Niech punkty . Wtedy pole równoległoboku z wierzchołkami w a , b i c jest równoważne wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy zbudowanej przy użyciu a , b i c jako wierszy z ostatnią kolumną dopełnioną jedynkami w następujący sposób:

Dowód, że przekątne się przecinają

Równoległobok ABCD

Aby udowodnić, że przekątne równoległoboku przecinają się, użyjemy przystających trójkątów :

(naprzemienne kąty wewnętrzne są równe w miarę)
(naprzemienne kąty wewnętrzne są równe) .

(ponieważ są to kąty, które tworzy poprzeczka z równoległymi liniami AB i DC ).

Również bok AB ma taką samą długość jak bok DC , ponieważ przeciwległe boki równoległoboku są równe długości.

Dlatego trójkąty ABE i CDE są przystające (postulat ASA, dwa odpowiadające sobie kąty i dołączony bok ).

W związku z tym,

Ponieważ przekątne AC i BD dzielą się na odcinki o równej długości, przekątne przecinają się na pół.

Oddzielnie, ponieważ przekątne AC i BD przecinają się na pół w punkcie E , punkt E jest punktem środkowym każdej przekątnej.

Krata równoległoboków

Równoległoboki mogą kafelkować płaszczyznę poprzez translację. Jeśli krawędzie są równe lub kąty są prawidłowe, symetria sieci jest wyższa. Reprezentują one cztery kraty Bravais w 2 wymiarach .

Kraty
Formularz Kwadrat Prostokąt Romb Równoległobok
System Kwadrat
(czworokąt)
Prostokątny
(rombowy)
Wyśrodkowany prostokątny
(rombowy)
Skośny
(jednoskośny)
Ograniczenia α=90°, a=b α=90° a=b Nic
Symetria p4m, [4,4], rząd 8 n pmm, [∞,2,∞], rząd 4 n p1, [∞ + ,2,∞ + ], rząd 2 n
Formularz Dachówka izoedryczna p4-56.png Dachówka izoedryczna p4-54.png Dachówka izoedryczna p4-55.png Dachówka izoedryczna p4-50.png

Równoległoboki wynikające z innych figur

Dowód bez słów z twierdzeniem Varignon za :
  1. Dowolny czworokąt i jego przekątne.
  2. Podstawy podobnych trójkątów są równoległe do niebieskiej przekątnej.
  3. To samo dotyczy czerwonej przekątnej.
  4. Pary zasad tworzą równoległobok z połową powierzchni czworokąta, A q , jako sumę pól czterech dużych trójkątów, A l wynosi 2 A q (każda z dwóch par rekonstruuje czworokąt), podczas gdy małe trójkąty y jest czwarta a l (pół wymiary liniowe rentowności w strefie czwartej), a obszar równoległoboku jest q minus s .

Trójkąt Automedialny

Automedian trójkąt jest którego środkowe są w takich samych proporcjach jak bokach (choć w innej kolejności). Jeśli ABC jest trójkątem automedialnym, w którym wierzchołek A stoi naprzeciwko boku a , G jest środkiem ciężkości (gdzie przecinają się trzy mediany ABC ), a AL jest jedną z rozszerzonych median ABC z L leżącym na okręgu opisanym na ABC , to BGCL to równoległobok.

Równoległobok Varignona

Punkty środkowe boków dowolnego czworoboku są wierzchołkami równoległoboku, zwanego równoległobokiem Varignona. Jeśli czworokąt jest wypukły lub wklęsły (to znaczy nie przecina się sam), wtedy powierzchnia równoległoboku Varignona jest połową powierzchni czworoboku.

Równoległobok styczny elipsy

W przypadku elipsy mówi się, że dwie średnice są sprzężone wtedy i tylko wtedy, gdy linia styczna do elipsy w punkcie końcowym jednej średnicy jest równoległa do drugiej średnicy. Każda para sprzężonych średnic elipsy ma odpowiadający równoległobok styczny , czasami nazywany równoległobokiem granicznym, utworzonym przez linie styczne do elipsy w czterech punktach końcowych średnic sprzężonych. Wszystkie równoległoboki styczne dla danej elipsy mają tę samą powierzchnię.

Możliwe jest zrekonstruowanie elipsy z dowolnej pary średnic sprzężonych lub z dowolnego równoległoboku stycznego.

Twarze równoległościanu

Równoległościanu jest postacią trójwymiarowy którego sześć twarze są równoległoboki.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki