Powierzchnia parametryczna - Parametric surface

Parametrycznego powierzchni to powierzchnia w euklidesowej przestrzeni , która jest wyznaczona przez parametrycznego równania z dwoma parametrami . Reprezentacja parametryczna to bardzo ogólny sposób określania powierzchni, a także niejawna reprezentacja . Powierzchnie występujące w dwóch głównych twierdzeniach rachunku wektorowego , twierdzeniu Stokesa i twierdzeniu o dywergencji , są często podawane w postaci parametrycznej. Krzywizna i łuku długość od krzywych na powierzchni, powierzchnia , różnicowy Niezmienniki geometryczne, takie jak pierwszy i drugi podstawowych form, Gaussa , średni i głównymi krzywiznami mogą być wszystkie obliczane z danego parametryzacji. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} : \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R} ^ {3}}$

Przykłady

Torus , utworzony z równań: x = r sin v ; y = (R + r cos v ) sin u ; z = (R + r cos v ) cos u .

Powierzchnia parametryczna tworząca węzeł trójliściowy , szczegóły równania w załączonym kodzie źródłowym.

• Najprostszym typem powierzchni parametrycznych są wykresy funkcji dwóch zmiennych:

  ${\ Displaystyle z = f (x, y), \ quad \ mathbf {r} (x, y) = (x, y, f (x, y)).}$

• Racjonalne powierzchnia jest powierzchnią, która przyznaje parametryzacje przez racjonalne funkcji . Powierzchnia wymierna to powierzchnia algebraiczna . Mając powierzchnię algebraiczną, zwykle łatwiej jest zdecydować, czy jest ona racjonalna, niż obliczyć jej racjonalną parametryzację, jeśli istnieje.
• Powierzchnie obrotowe to kolejna ważna klasa powierzchni, które można łatwo sparametryzować. Jeżeli wykres z = f ( x ) , a ≤ x ≤ b jest obrócony wokół osi z to wynikowa powierzchnia ma parametryzację

  ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u \ phi ) = (u \ cos \ phi , u \ sin \ phi , f (u)), \ quad a \ równoważnik u \ równoważnik b, 0 \ równoważnik \ phi < 2\pi .}$

  Może być również sparametryzowany

  ${\ Displaystyle \ mathbf {R} (u, v) = \ lewo (u {\ Frac {1-V ^ {2}} {1 + v ^ {2}}}, u {\ Frac {2 V} {1 +v^{2}}},f(u)\prawo),\quad a\leq u\leq b,}$

  pokazując, że jeśli funkcja f jest wymierna, to powierzchnia jest wymierna.

• Prosty walec kołowy o promieniu R wokół osi x ma następującą reprezentację parametryczną:

  ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (x \ phi ) = (x, R \ cos \ phi, R \ sin \ phi ).}$

• Wykorzystując współrzędne sferyczne , sfera jednostkowa może być sparametryzowana przez

  ${\ Displaystyle \ mathbf {r} ( \ theta , \ phi ) = ( \ cos \ theta \ sin \ phi , \ sin \ theta \ sin \ phi , \ cos \ phi ), \ quad 0 \ leq \ theta <2 \pi ,0\leq \phi \leq \pi .}$

  Ta parametryzacja załamuje się na biegunach północnym i południowym, gdzie kąt azymutu θ nie jest jednoznacznie określony. Kula to racjonalna powierzchnia.

Ta sama powierzchnia pozwala na wiele różnych parametryzacji. Na przykład współrzędna z -płaszczyzna może być sparametryzowana jako

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = (au + bv, cu + dv, 0)}$

dla dowolnych stałych a , b , c , d takich , że ad − bc ≠ 0 , czyli macierz jest odwracalna . ${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} a&b\\c&d\koniec {bmatrix}}}$

Lokalna geometria różniczkowa

Lokalny kształt powierzchni parametrycznej można analizować, biorąc pod uwagę rozwinięcie Taylora funkcji, która ją parametryzuje. Długość łuku krzywej na powierzchni i pole powierzchni można znaleźć za pomocą całkowania .

Notacja

Niech powierzchnia parametryczna będzie dana równaniem

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v)}$

gdzie jest wektorową funkcją parametrów ( u , v ), a parametry zmieniają się w pewnej dziedzinie D w parametrycznej płaszczyźnie UV . Pierwsze pochodne częściowych w odniesieniu do parametrów są zwykle oznaczane i podobnie dla wyższych pochodnych${\displaystyle \mathbf {r}}$${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\częściowy \mathbf {r} }{\częściowy u}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {v}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {uu}, \ mathbf {r} _ {uv}, \ mathbf {r} _ {vv}.}$

W rachunku wektorowym parametry są często oznaczane ( s , t ), a pochodne cząstkowe zapisuje się w notacji ∂ :

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {r}} {\ częściowy s}}, {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {r}} {\ częściowy t}}, {\ Frac {\ częściowy ^ {2 }\mathbf {r} }{\częściowy s^{2}}},{\frac {\częściowy ^{2}\mathbf {r} }{\częściowy s\częściowy t}},{\frac {\częściowy ^{2}\mathbf {r} }{\częściowy t^{2}}}.}$

Płaszczyzna styczna i wektor normalny

Parametryzacja jest regularna dla podanych wartości parametrów, jeżeli wektory

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u}, \ mathbf {r} _ {v}}$

są liniowo niezależne. Płaszczyzny stycznej w stałym punktem jest afiniczne płaszczyzny w R ³ nastawiony przez te wektory i przechodzącej przez punkt R ( U , V ) na powierzchni wynika z parametrów. Każdy styczny wektor może być rozłożona na liniowej kombinacji z i iloczyn z tych wektorów jest wektor normalny do płaszczyzny stycznej . Dzieląc ten wektor przez jego długość, otrzymujemy jednostkowy wektor normalny do sparametryzowanej powierzchni w regularnym punkcie: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {v}.}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {n}}} = {\ frac {\ mathbf {r} _ {u} \ razy \ mathbf {r} _ {v}} {\ lewo | \ mathbf {r} _ {u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}$

Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwie możliwości wyboru jednostkowego wektora normalnego do powierzchni w danym punkcie, ale w przypadku zwykłej sparametryzowanej powierzchni poprzedni wzór konsekwentnie wybiera jeden z nich, a tym samym określa orientację powierzchni. Niektóre z różniczkowo-geometrycznych niezmienników powierzchni w R ³ są zdefiniowane przez samą powierzchnię i są niezależne od orientacji, podczas gdy inne zmieniają znak, jeśli orientacja jest odwrócona.

Powierzchnia

Pole powierzchni można obliczyć, całkując długość wektora normalnego do powierzchni w odpowiednim obszarze D w parametrycznej płaszczyźnie UV : ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {u} \ razy \ mathbf {r} _ {v}}$

${\ Displaystyle A (D) = \ iint _ {D} \ lewo | \ mathbf {r} _ {u} \ razy \ mathbf {r} _ {v} \ prawej | du \, dv.}$

Chociaż ten wzór zawiera wyrażenie zamknięte dla pola powierzchni, dla wszystkich powierzchni oprócz bardzo specjalnych daje to w wyniku skomplikowaną całkę podwójną , która jest zwykle obliczana za pomocą systemu algebry komputerowej lub aproksymowana numerycznie. Na szczęście wiele powszechnych powierzchni tworzy wyjątki, a ich obszary są wyraźnie znane. Dotyczy to okrągłego cylindra , kuli , stożka , torusa i kilku innych powierzchni obrotowych .

Można to również wyrazić jako całkę powierzchniową po polu skalarnym 1:

${\ Displaystyle \ int _ {S} 1 \ dS.}$

Pierwsza forma podstawowa

Pierwsza podstawowa forma jest kwadratową formę

${\ Displaystyle \ operatorname {I} = E \ du ^ {2} +2 \ F \ du \ dv + G \ dv ^ {2}}$

na płaszczyźnie stycznej do powierzchni, która służy do obliczania odległości i kątów. Dla sparametryzowanej powierzchni jej współczynniki można obliczyć w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (u, v)}$

${\ Displaystyle E = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {u}, \ quad F = \ mathbf {r} _ {u} \ cdot \ mathbf {r} _ {v} ,\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}$

Długość łuku sparametryzowanych krzywych na powierzchni S , kąt między krzywymi na S , oraz pole powierzchni pozwalają na wyrażenia w postaci pierwszej formy podstawowej.

Jeżeli ( u ( t ),  v ( t )), a ≤ t ≤ b reprezentuje sparametryzowaną krzywą na tej powierzchni, to jej długość łuku można obliczyć jako całkę:

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {E \ u '(t) ^ {2} + 2 F \ u' (t) v '(t) + G \, v '( t)^{2}}}\,dt.}$

Pierwsza forma podstawowa może być postrzegana jako rodzina dodatnio określonych symetrycznych form dwuliniowych na płaszczyźnie stycznej w każdym punkcie powierzchni w zależności od punktu. Ta perspektywa pomaga obliczyć kąt między dwiema krzywymi na S przecinających się w danym punkcie. Ten kąt jest równy kątowi między wektorami stycznymi do krzywych. Pierwszą podstawową postacią ocenianą na tej parze wektorów jest ich iloczyn skalarny , a kąt można znaleźć ze standardowego wzoru

${\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ Frac {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}} {\ po lewej | \ mathbf {a} \ po prawej | \ po lewej | \ mathbf {b} \ po prawej |}} }$

wyrażając cosinus kąta za pomocą iloczynu skalarnego.

Pole powierzchni można wyrazić w postaci pierwszej podstawowej postaci w następujący sposób:

${\ Displaystyle A (D) = \ iint _ {D} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ du \ dv.}$

Zgodnie z tożsamością Lagrange'a wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym jest dokładnie , a więc jest ściśle dodatnie w regularnych punktach. ${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {r} _ {u} \ razy \ mathbf {r} _ {v} \ po prawej | ^ {2}}$

Druga podstawowa forma

Druga podstawowa forma

${\ Displaystyle \ operatorname {I\! I} = L \, \ operatorname {d} u ^ {2} + 2 M \, \ operatorname {d} u \, \ operatorname {d} v + N \, \ operatorname { d} w^{2}}$

jest kwadratową formą na płaszczyźnie stycznej do powierzchni, która wraz z pierwszą podstawową formą określa krzywizny krzywych na powierzchni. W szczególnym przypadku, gdy ( u , v ) = ( x , y ) a płaszczyzną styczną do powierzchni w danym punktem poziomej, drugim podstawową formą jest zasadniczo kwadratowy część rozwinięcia Taylora z Z w funkcji X i y .

Dla ogólnej powierzchni parametrycznej definicja jest bardziej skomplikowana, ale druga podstawowa forma zależy tylko od pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego i drugiego. Jego współczynniki są zdefiniowane jako rzuty drugich pochodnych cząstkowych na jednostkowy wektor normalny określony przez parametryzację: ${\displaystyle \mathbf {r}}$${\displaystyle {\kapelusz {\mathbf {n}}}}$

${\ Displaystyle L = \ mathbf {r} _ {uu} \ cdot {\ kapelusz {\ mathbf {n}}}, \ quad M = \ mathbf {r} _ {uv} \ cdot {\ kapelusz {\ mathbf { n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$

Podobnie jak pierwsza forma podstawowa, druga forma podstawowa może być postrzegana jako rodzina symetrycznych form dwuliniowych na płaszczyźnie stycznej w każdym punkcie powierzchni w zależności od punktu.

Krzywizna

Pierwsze i drugie zasadnicze postacie powierzchni określenia jego istotnych różnicy-geometryczny niezmienników : do krzywizny Gaussa , o średniej krzywiźnie , a główne krzywizny .

Krzywizny główne to niezmienniki pary składającej się z drugiej i pierwszej formy podstawowej. Są to pierwiastki κ ₁ , κ ₂ równania kwadratowego

${\ Displaystyle \ DET (\ operatorname {II} - \ kappa \ operatorname {I}) = 0, \ quad \ det {\ zacząć {bmatrix} L \ kappa E & M \ kappa F \ \ M \ kappa F & N- \kappa G\end{bmatryca}}=0.}$

Krzywizny Gaussa K = κ ₁ κ ₂ i średnia krzywizna H = ( κ ₁ + κ ₂ ) / 2 może być obliczona w następujący sposób:

${\ Displaystyle K = {\ Frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}} \ quad H = {\ Frac {EN-2FM + GL} {2 (EG-F ^ { 2})}}.}$

Aż do znaku wielkości te są niezależne od zastosowanej parametryzacji, a zatem stanowią ważne narzędzie do analizy geometrii powierzchni. Dokładniej, krzywizny główne i krzywizna średnia zmieniają znak, jeśli orientacja powierzchni jest odwrócona, a krzywizna Gaussa jest całkowicie niezależna od parametryzacji.

Znak krzywizny Gaussa w punkcie określa kształt powierzchni w pobliżu tego punktu: dla K > 0 powierzchnia jest lokalnie wypukła i punkt nazywamy eliptycznym , natomiast dla K < 0 powierzchnia ma kształt siodła i punkt nazywamy hiperboliczny . Punkty, w których krzywizna Gaussa wynosi zero, nazywane są parabolicznymi . Ogólnie punkty paraboliczne tworzą na powierzchni krzywą zwaną linią paraboliczną . Pierwsza forma podstawowa jest określona dodatnio , stąd jej wyznacznik EG − F ² jest wszędzie dodatni. Zatem znak K pokrywa się ze znakiem LN − M ² , wyznacznikiem drugiej podstawy.

Współczynniki pierwszej postaci fundamentalnej przedstawionej powyżej mogą być zorganizowane w symetryczną macierz:

${\ Displaystyle F_ {1} = {\ zacząć {bmatrix} E & F \ \ F & G \ koniec {bmatrix}}.}$

I to samo dla współczynników drugiej postaci podstawowej , również przedstawionych powyżej:

${\ Displaystyle F_ {2} = {\ zacząć {bmatrix} L & M \ \ M i N \ koniec {bmatrix}}.}$

Definiowanie teraz macierz , główne krzywizny kappa ₁ i kappa ₂ są wartości własne z A . ${\ Displaystyle A = F_ {1} ^ {-1} F_ {2}}$

Teraz, gdy V ₁ = ( V, ₁₁ , V ₁₂ ) jest wektor własny z A odpowiadający głównej krzywizny κ ₁ wektor jednostka w kierunku nazywana jest główną wektor odpowiadający głównej krzywizny k ₁ . ${\ Displaystyle \ mathbf {t} _ {1} = v_ {11} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {12} \ mathbf {r} _ {v}}$

Zgodnie z tym, jeśli V ₂ = ( V, ₂₁ , V ₂₂ ) jest wektor własny z A odpowiadający głównej krzywizny κ ₂ , wektor jednostkowy w kierunku nazywana jest główną wektor odpowiadający głównej krzywizny k ₂ . ${\ Displaystyle \ mathbf {t} _ {2} = v_ {21} \ mathbf {r} _ {u} + v_ {22} \ mathbf {r} _ {v}}$

Zobacz też

• Splajn (matematyka)
• Normalna powierzchnia

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Aplety Java demonstrują parametryzację powierzchni helisy
• m-ART(3d) - aplikacja na iPad/iPhone do generowania i wizualizacji powierzchni parametrycznych.