Rozkład częściowy frakcji - Partial fraction decomposition

W Algebra The ułamki proste lub ułamki z racjonalnym frakcji (to jest część , tak że licznik, jak i mianownik są zarówno wielomiany ) jest operacją, która składa się z ekspresją frakcji jako suma wielomianem (ewentualnie zera ) i jeden lub kilka ułamków z prostszym mianownikiem.

Znaczenie rozkładu na częściowe ułamki polega na tym, że zapewnia on algorytmy dla różnych obliczeń z funkcjami wymiernymi , w tym jawne obliczanie funkcji pierwotnych , rozwinięcia szeregów Taylora , odwrotne transformacje Z i odwrotne transformaty Laplace'a . Koncepcja została odkryta niezależnie w 1702 r. przez Johanna Bernoulliego i Gottfrieda Leibniza .

W symbolach częściowy rozkład ułamka wymiernego ułamka postaci, w której f i g są wielomianami, jest jego wyrażeniem jako ${\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {f (x)} {g (x)}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + \ suma _ {j} {\ Frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x )}}}$

gdzie P ( x ) jest wielomianem, a dla każdego z j The mianownik g _j ( x ) to moc o nieredukowalnego wielomianu (nie jest factorable się wielomianów dodatnich stopniach), a licznik F _j ( x ) jest wielomian o mniejszym stopniu niż stopień tego wielomianu nieredukowalnego.

W przypadku obliczeń jawnych często preferowany jest bardziej zgrubny rozkład, który polega na zastąpieniu „wielomianu nieredukowalnego” przez „ wielomian bez kwadratu ” w opisie wyniku. Pozwala to na zastąpienie faktoryzacji wielomianowej znacznie łatwiejszą do obliczenia faktoryzacji bezkwadratowej . Jest to wystarczające dla większości zastosowań i pozwala uniknąć wprowadzania niewymiernych współczynników, gdy współczynniki wielomianów wejściowych są liczbami całkowitymi lub liczbami wymiernymi .

Podstawowe zasady

Pozwolić

${\ Displaystyle R (x) = {\ Frac {F} {G}}}$

być ułamkiem wymiernym , gdzie F i G są jednowymiarowymi wielomianami w nieokreślonym x . Istnienie częściowej frakcji można udowodnić, stosując indukcyjnie następujące etapy redukcji.

Część wielomianowa

Istnieją dwa wielomiany E i F ₁ takie, że

${\ Displaystyle {\ Frac {F} {G}} = E + {\ Frac {F_ {1}} {G}},}$

oraz

${\ Displaystyle \ stopnie F_ {1}<\ stopnie G}$

gdzie oznacza stopień wielomianu P . ${\ Displaystyle \ stopnie P}$

To natychmiast wynika z euklidesowej Division of F przez G , co potwierdza obecność E i F ₁ w taki sposób, i${\ Displaystyle F = EG + F_ {1}}$${\ Displaystyle \ stopnie F_ {1}<\ stopnie G.}$

Pozwala to założyć w kolejnych krokach, że: ${\ Displaystyle \ stopnie F <\ stopnie G.}$

Czynniki mianownika

Jeśli i ${\ Displaystyle \ stopnie F <\ stopnie G}$

${\displaystyle G=G_{1}G_{2},}$

gdzie G ₁ i G ₂ są wielomianami względnie pierwszymi , to istnieją wielomiany i takie, że ${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {F} {G}} = {\ Frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ Frac {F_ {2}} {G_ {2}}}}$

oraz

${\ Displaystyle \ stopnie F_ {1}<\ stopnie G_ {1} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ stopnie F_ {2}<\ stopnie G_ {2}.}$

Można to udowodnić w następujący sposób. Tożsamość Bézouta potwierdza istnienie wielomianów C i D takich, że

${\displaystyle CG_{1}+DG_{2}=1}$

(z założenia, 1 jest największy wspólny dzielnik z G ₁ i G- ₂ ).

Niech się być euklidesowa podział od DF przez Ustawianie dostaje ${\displaystyle DF=G_{1}Q+F_{1}}$${\ Displaystyle \ stopnie F_ {1}<\ stopnie G_ {1}}$${\displaystyle G_{1}.}$${\displaystyle F_{2}=CF+QG_{2},}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {F} {G}} i = {\ Frac {F (CG_ {1} + DG_ {2})} {G_ {1} G_ {2}}} = {\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1 }}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{wyrównany}}}$

Pozostaje wykazać, że sprowadzając do tego samego mianownika ostatnią sumę ułamków, otrzymuje się i tym samym ${\ Displaystyle \ stopnie F_ {2}<\ stopnie G_ {2}.}$${\displaystyle F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ stopnie F_ {2} i = \ stopnie (F-F_ {1} G_ {2}) - \ stopnie G_ {1} \ leq \ max (\ stopnie F \ stopnie ( F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\ deg G_{2}\end{wyrównany}}}$

Uprawnienia w mianowniku

Za pomocą rozkładu poprzedniego indukcyjnie dostaje frakcji postaci z , gdzie G jest nierozkładalny wielomian . Jeśli k > 1 , można rozkładać dalej, korzystając, że wielomian nierozkładalny jest kwadratowy wolny wielomianu , czyli jest największy wspólny dzielnik wielomianu i jego pochodna . Jeśli jest pochodną G , tożsamość Bézout dostarcza wielomiany C i D takie, że i stąd Podział euklidesowy `przez daje wielomiany i takie, że i Ustawienie jeden otrzymuje ${\ Displaystyle {\ Frac {F} {G ^ {k}}},}$${\ Displaystyle \ stopnie F <\ stopnie G ^ {k} = k \ stopnie G}$${\ Displaystyle 1}$${\displaystyle G'}$${\ Displaystyle CG + DG' = 1}$${\ Displaystyle F = FCG + FDG'.}$${\displaystyle FDG'}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H_ {k}}$${\displaystyle Q}$${\ Displaystyle FDG'=QG + H_ {k}}$${\ Displaystyle \ stopnie H_ {k} <\ stopnie G.}$${\ Displaystyle F_ {K-1} = FC + Q}$

${\ Displaystyle {\ Frac {F} {G ^ {k}}} = {\ Frac {H_ {K}} {G ^ {k}}} + {\ Frac {F_ {K-1}} {G ^ {k-1}}},}$

z ${\ Displaystyle \ stopnie H_ {k} <\ stopnie G.}$

Iteracja tego procesu w miejsce prowadzi ostatecznie do następującego twierdzenia. ${\ Displaystyle {\ Frac {F_ {K-1}} {G ^ {K-1}}}}$${\ Displaystyle {\ Frac {F} {G ^ {k}}}}$

Oświadczenie

Wyjątkowość można udowodnić w następujący sposób. Niech d = max(1 + deg f , deg g ) . Razem b oraz a _ij mają współczynniki d . Kształt rozkładu definiuje liniową mapę od wektorów współczynników do wielomianów f o stopniu mniejszym niż d . Dowód istnienia oznacza, że ​​mapa ta jest suriektywna . Ponieważ obie przestrzenie wektorowe mają ten sam wymiar, mapa jest również iniektywna , co oznacza jednoznaczność rozkładu. Nawiasem mówiąc, ten dowód indukuje algorytm obliczania rozkładu za pomocą algebry liniowej .

Jeśli K jest dziedzina liczb zespolonych The zasadnicze twierdzenie algebry zakłada, że wszystkie p _ja mam jeden stopień, a wszystkie liczniki są stałymi. Gdy K jest dziedzina liczb rzeczywistych , część p _i może mieć kwadratowy, tak, w częściowym rozkładem frakcji może również wystąpić ilorazy wielomianów liniowych sił kwadratowych wielomianów. ${\displaystyle a_{ij}}$

W poprzednim twierdzeniu „różne wielomiany nierozkładalne” można zastąpić „wielomianami względnie pierwszymi parami, które są względnie pierwsze z ich pochodną”. Na przykład, P _i może być z czynników kwadratowy wolne faktoryzacji z g . Gdy K jest ciałem liczb wymiernych , jak to zwykle bywa w algebrze komputerowej , pozwala to na zastąpienie faktoryzacji przez obliczenie największego wspólnego dzielnika do obliczenia rozkładu na częściowe ułamki.

Zastosowanie do integracji symbolicznej

Dla celów integracji symbolicznej powyższy wynik można rozdrobnić na:

Sprowadza to obliczenie funkcji pierwotnej funkcji wymiernej do całkowania ostatniej sumy, która nazywa się częścią logarytmiczną , ponieważ jej funkcja pierwotna jest kombinacją liniową logarytmów. W rzeczywistości mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {c_ {i1}} {p_ {i}}} = \ suma _ {\ alfa _ {j}: p_ {i} (\ alfa _ {j}) = 0} {\ Frac { c_{i1}(\alpha _{j})}{p'_{i}(\alpha _{j})}}{\frac {1}{x-\alpha _{j}}}.}$

Istnieją różne metody obliczania powyższego rozkładu. Najprostszą do opisania jest prawdopodobnie tzw. metoda Hermite'a . Jako stopień C _ij jest ograniczony przez stopień p _i i stopień B jest różnica w stopniach f i g (jeżeli różnica ta nie jest negatywny, w przeciwnym razie, b = 0), jeden może napisać te niewiadome wielomiany jako wielomiany o nieznanych współczynnikach. Sprowadzając dwa elementy powyższego wzoru do tego samego mianownika i pisząc, że współczynniki każdej potęgi x są takie same w dwóch licznikach, otrzymuje się układ równań liniowych, które można rozwiązać, aby uzyskać pożądane wartości współczynników niewiadomych.

Procedura

Biorąc pod uwagę dwa wielomiany i , gdzie α _i są różnymi stałymi i deg  P  <  n , częściowe ułamki są ogólnie otrzymywane przez założenie, że ${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle Q (x) = (x \ alfa _ {1}) (x \ alfa _ {2}) \ cdots (x \ alfa _ {n})}$

${\ Displaystyle {\ Frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ Frac {c_ {1}} {x-\ alfa _ {1}}} + {\ Frac {C_ {2}} {x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}$

i rozwiązywanie stałych c _i , przez podstawienie, przez zrównanie współczynników wyrazów obejmujących potęgi x lub w inny sposób. (Jest to wariant metody nieokreślonych współczynników .)

Bardziej bezpośrednie obliczenie, które jest silnie związane z interpolacją Lagrange'a, polega na pisaniu

${\ Displaystyle {\ Frac {P (x)} {Q (x)}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {P (\ alfa _ {i})} {Q” ( \alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}}$

gdzie jest pochodną wielomianu . ${\displaystyle Q'}$${\displaystyle Q}$

To podejście nie uwzględnia kilku innych przypadków, ale można je odpowiednio zmodyfikować:

• Jeśli to jest konieczne do przeprowadzenia euklidesową podział o P o Q za pomocą wielomianu długi podziału , dając P ( x ) = E ( x ), Q ( x ) + R ( x ) o °  R  <  n . Dzielenie przez Q ( x ) daje${\ Displaystyle \ stopnie P \ geqslant \ stopnie Q,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {P (x)} {Q (x)}} = E (x) + {\ Frac {R (x)} {Q (x)}}}$

a następnie poszukaj ułamków częściowych dla pozostałego ułamka (który z definicji spełnia deg  R  < deg  Q ).

• Jeżeli Q ( x ) zawiera czynniki, które są nierozkładalne po danym polu, to licznik N ( x ) każdego ułamka częściowego z takim współczynnikiem F ( x ) w mianowniku należy szukać jako wielomian z deg  N  < deg  F , a nie jako stałą. Weźmy na przykład następujący rozkład nad R :

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2} +1} {(x + 2) (x-1) \ kolor {niebieski} (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ Frac {a }{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Niebieski}x^{2}+x+1} }.}$

• Załóżmy, Q ( x ) = ( x - α ) ^R S ( x ) i S ( a ) ≠ 0 , to α jest pierwiastkiem Q ( x ) w krotności R . W rozkładzie na ułamki cząstkowe r pierwsze potęgi ( x − α ) wystąpią jako mianowniki ułamków cząstkowych (ewentualnie z licznikiem zerowym). Na przykład, jeśli S ( x ) = 1 częściowy rozkład na ułamki ma postać

${\ Displaystyle {\ Frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ Frac {P (x)} {(x-\ alfa) ^ {r}}} = {\ Frac {C_ {1 }}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\ alfa )^{r}}}.}$

Ilustracja

W przykładowym zastosowaniu tej procedury, (3 x + 5)/(1 – 2 x ) ² można rozłożyć w postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ Frac {A} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ Frac {B} (1-2x)}}.}$

Wyczyszczenie mianowników pokazuje, że 3 x + 5 = A + B (1 – 2 x ) . Rozszerzenie i zrównanie współczynników potęg x daje

5 = A + B i 3 x = –2 Bx

Rozwiązanie tego układu równań liniowych dla A i B daje A = 13/2 i B = –3/2 . Stąd,

${\ Displaystyle {\ Frac {3x + 5}{(1-2x) ^ {2}}} = {\ Frac {13/2} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ Frac {- 3/2}{(1-2x)}}.}$

Metoda pozostałości

Załóżmy, że po liczbach zespolonych f ( x ) jest ułamkiem wymiernym właściwym i można go rozłożyć na

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {i} \ lewo ({\ Frac {a_ {i1}} {x-x_ {i}}}} + {\ Frac {a_ {i2}} {(x-x_ {i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).}$

Pozwolić

${\ Displaystyle g_ {ij} (x) = (x-x_ {i}) ^ {j-1} f (x),}$

następnie zgodnie z unikalnością szeregu Laurenta , a _ij jest współczynnikiem wyrazu ( x  −  x _i ) ⁻¹ w rozwinięciu Laurenta g _ij ( x ) wokół punktu x _i , tj. jego reszty

${\ Displaystyle a_ {ij} = \ nazwa operatora {Res} (g_ {ij}, x_ {i}).}$

Daje to bezpośrednio wzór

${\ Displaystyle a_ {ij} = {\ Frac {1} {(k_ {i}-j)!}} \ Lim _ {x \ do x_ {i}} {\ Frac {d ^ {k_ {i}} - j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}$

lub w szczególnym przypadku, gdy x _i jest pierwiastkiem prostym,

${\ Displaystyle a_ {i1} = {\ Frac {P (x_ {i})} {Q '(x_ {i})}}}$

gdy

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {P (x)} {Q (x)}}.}$

Ponad realami

Ułamki częściowe są używane w rachunku całkowym zmiennych rzeczywistych do znajdowania funkcji pierwotnych o wartościach rzeczywistych . Częściowa dekompozycja ułamkowa rzeczywistych funkcji wymiernych jest również używana do znalezienia ich odwrotnych przekształceń Laplace'a . Dla zastosowań częściowego rozkładu frakcji po liczbach rzeczywistych , patrz

• Zastosowanie do integracji symbolicznej , powyżej
• Ułamki częściowe w przekształceniach Laplace'a

Wynik ogólny

Niech f ( x ) będzie dowolną funkcją wymierną na liczbach rzeczywistych . Innymi słowy, załóżmy, że istnieją rzeczywiste funkcje wielomianów p ( x ) i q ( x )≠ 0, takie, że

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {p (x)} {q (x)}}}$

Dzieląc licznik i mianownik przez wiodący współczynnik q ( x ), możemy bez utraty ogólności założyć, że q ( x ) jest moniczne . Na podstawie podstawowego twierdzenia algebry możemy napisać

${\ Displaystyle q (x) = (x-a_ {1}) ^ {j_ {1}} \ cdots (x-a_ {m}) ^ {j_ {m}} (x ^ {2} + b_ {1 }x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}}$

gdzie a ₁ ,..., a _m , b ₁ ,..., b _n , c ₁ ,..., c _n są liczbami rzeczywistymi z b _i ² − 4 c _i < 0 oraz j ₁ ,.. ., j _m , k ₁ ,..., k _n są liczbami całkowitymi dodatnimi. Określenia ( x - _I ) są liniowe współczynniki o q ( x ), które odpowiadają rzeczywistym korzeni q ( x ), a także pod względem ( X _I ² + b _i x + c _I ) są nieprzywiedlne kwadratowe czynniki z Q ( x ), które odpowiadają parom złożonych sprzężonych korzeni q ( x ).

Wtedy częściowy rozkład ułamkowy f ( x ) jest następujący:

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {p (x)} {q (x)}} = P (x) + \ suma _ {i = 1} ^ {m} \ suma _ {r = 1} ^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r= 1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}}$

Tutaj P ( x ) jest (prawdopodobnie zerowym) wielomianem, a A _ir , B _ir i C _ir są stałymi rzeczywistymi. Istnieje wiele sposobów znajdowania stałych.

Najprostszą metodą jest pomnożenie przez wspólny mianownik q ( x ). Następnie otrzymujemy równanie wielomianów, których lewa strona to po prostu p ( x ) i których prawa strona ma współczynniki będące liniowymi wyrażeniami stałych A _ir , B _ir i C _ir . Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są równe, możemy zrównać współczynniki podobnych członów. W ten sposób otrzymuje się układ równań liniowych, który zawsze ma jednoznaczne rozwiązanie. To rozwiązanie można znaleźć przy użyciu dowolnej ze standardowych metod algebry liniowej . Można go również znaleźć z ograniczeniami (patrz Przykład 5 ).

Przykłady

Przykład 1

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {x ^ {2} +2 x-3}}}$

Tutaj mianownik dzieli się na dwa odrębne czynniki liniowe:

${\ Displaystyle q (x) = x ^ {2} +2 x-3 = (x + 3) (x-1)}$

więc mamy częściowy rozkład na ułamki

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {x ^ {2} +2 x-3}} = {\ Frac {A} {x + 3}} + {\ Frac {B} {x-1 }}}$

Pomnożenie przez mianownik po lewej stronie daje nam tożsamość wielomianową

${\ Displaystyle 1 = A (x-1) + B (x + 3)}$

Podstawienie x = -3 do tego równania daje A = -1/4, a podstawienie x = 1 daje B = 1/4, więc

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {x ^ {2} +2 x-3}} = {\ Frac {1} {4}} \ lewo ({\ Frac {-1} {x + 3}}+{\frac {1}{x-1}}\prawo)}$

Przykład 2

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {x ^ {3} + 16} {x ^ {3}-4x ^ {2} + 8 x}}}$

Po długim podziale mamy

${\ Displaystyle f (x) = 1 + {\ Frac {4x ^ {2}-8x + 16} {x ^ {3}-4x ^ {2} + 8 x}} = 1 + {\ Frac {4x ^ { 2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$

Czynnik x ² − 4 x + 8 jest nieredukowalny po liczbach rzeczywistych, ponieważ jego wyróżnik (−4) ²  − 4×8 = − 16 jest ujemny. Zatem częściowy rozkład ułamkowy po liczbach rzeczywistych ma kształt

${\ Displaystyle {\ Frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x (x ^ {2}-4x + 8)}} = {\ Frac {A} {x}} + {\ Frac {Bx + C}{x^{2}-4x+8}}}$

Mnożąc przez x ³ − 4 x ² + 8 x , mamy tożsamość wielomianową

${\ Displaystyle 4x ^ {2} -8x + 16 = A (x ^ {2}-4x + 8) + (Bx + C) x}$

Przyjmując x = 0, widzimy, że 16 = 8 A , więc A = 2. Porównując współczynniki x ² , widzimy, że 4 = A + B = 2 + B , więc B = 2. Porównując współczynniki liniowe, widzimy, że − 8 = -4 A + C = -8 + C , więc C = 0. Razem,

${\ Displaystyle f (x) = 1 + 2 \ lewo ({\ Frac {1} {x}} + {\ Frac {x} {x ^ {2}-4x + 8}} \ prawej)}$

Ułamek można całkowicie rozłożyć za pomocą liczb zespolonych . Zgodnie z podstawowym twierdzeniem algebry każdy wielomian złożony stopnia n ma n (złożonych) pierwiastków (niektóre z nich można powtórzyć). Drugą frakcję można rozłożyć na:

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = {\ Frac {D} {x-(2 + 2i)}} + {\ Frac {E} {x-(2 -2i)}}}$

Pomnożenie przez mianownik daje:

${\ Displaystyle x = D (x-(2-2i)) + E (x-(2 + 2i))}$

Porównując współczynniki x i stałe (w stosunku do x ) współczynniki obu stron tego równania, otrzymujemy układ dwóch równań liniowych w D i E , którego rozwiązaniem jest

${\ Displaystyle D = {\ Frac {1 + i}{2i}} = {\ Frac {1-i} {2}}, \ qquad E = {\ Frac {1-i} {-2i}} = { \frac {1+i}{2}}.}$

Mamy więc do czynienia z całkowitym rozkładem:

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {x ^ {3} + 16} {x ^ {3}-4x ^ {2} + 8 x}} = 1 + {\ Frac {2} {x}} + {\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}}$

Można również obliczyć bezpośrednio A , D i E metodą reszt (patrz także przykład 4 poniżej).

Przykład 3

Ten przykład ilustruje prawie wszystkie „sztuczki”, których możemy potrzebować, z wyjątkiem korzystania z systemu algebry komputerowej .

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {x ^ {9} -2x ^ {6} + 2 x ^ {5} -7 x ^ {4} + 13 x ^ {3}-11 x ^ {2} + 12 x- 4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$

Po długim podziale i faktoryzacji mianownika mamy

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3 x + 4 + {\ Frac {2 x ^ {6} -4 x ^ {5} + 5 x ^ {4}-3 x ^ {3} + x ^ {2 }+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}$

Częściowy rozkład frakcji przyjmuje postać

${\ Displaystyle {\ Frac {2x ^ {6}-4x ^ {5} + 5x ^ {4}-3x ^ {3} + x ^ {2} + 3 x {(x-1) ^ {3} ( x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2} +1)^{2}}}.}$

Mnożąc przez mianownik po lewej stronie otrzymujemy tożsamość wielomianową

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 2x ^ {6}-4x ^ {5} i + 5x ^ {4}-3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \ \ [4 pkt] i = A (x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2} +1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{wyrównany }}}$

Teraz używamy różnych wartości x do obliczenia współczynników:

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} 4 = 4 C i x = 1 \ \ 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) i x = i \ \ 0 = A-B + CEG i x = 0 \ koniec {przypadki}} }$

Rozwiązując to mamy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} C = 1 \ \ F = 0, G = 1 \ \ E = AB \ koniec {przypadki}}}$

Korzystając z tych wartości możemy napisać:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 2x ^ {6}-4x ^ {5} i + 5x ^ {4}-3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \ \ [4 pkt] i = A (x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+ 1)^{2}+(Dx+(AB))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\[4pt]&=(A +D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(- A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{wyrównany}}}$

Porównujemy współczynniki x ⁶ i x ⁵ po obu stronach i otrzymujemy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} A + D = 2 \ \ - A-3D = -4 \ koniec {przypadki}} \ quad \ Rightarrow \ quad A = D = 1.}$

W związku z tym:

${\ Displaystyle 2x ^ {6}-4x ^ {5} + 5x ^ {4}-3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6}-4x ^ {5} + (2B + 5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}$

co daje nam B = 0. Zatem częściowy rozkład frakcji jest dany wzorem:

${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3 x + 4 + {\ Frac {1} {(x-1)}} + {\ Frac {1} {(x-1) ^ {3}} }+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$

Alternatywnie, zamiast rozszerzać, można uzyskać inne liniowe zależności od współczynników obliczających niektóre pochodne w powyższej tożsamości wielomianowej. (W tym celu przypomnijmy, że pochodna przy x = a od ( x − a ) ^m p ( x ) znika, jeśli m > 1 i jest po prostu p ( a ) dla m = 1.) Na przykład pierwsza pochodna przy x = 1 daje ${\displaystyle x=1,\imath}$

${\ Displaystyle 2 \ cdot 6-4 \ cdot 5 + 5 \ cdot 4-3 \ cdot 3 + 2 + 3 = A \ cdot (0 + 0 + B \ cdot (4 + 0) + 8 + D \ cdot 0}$

czyli 8 = 4 B + 8, więc B = 0.

Przykład 4 (metoda pozostałości)

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {z ^ {2}-5} (z ^ {2} -1) (z ^ {2} + 1)}} = {\ Frac {z ^ {2} }-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(zi)}}}$

Zatem f ( z ) można rozłożyć na funkcje wymierne, których mianowniki są z +1, z −1, z +i, z −i. Ponieważ każdy wyraz ma potęgę jeden, -1, 1, - i oraz i są prostymi biegunami.

Stąd reszty związane z każdym biegunem, podane przez

${\ Displaystyle {\ Frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}} = {\ Frac {Z_ {i} ^ {2}-5} {4z_ {i} ^ {3 }}},}$

są

${\ Displaystyle 1,-1, {\ tfrac {3i} {2}}, - {\ tfrac {3i} {2}},}$

odpowiednio, i

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {1} {z + 1}} - {\ Frac {1} {z-1}} + {\ Frac {3i} {2}} {\ Frac {1} {z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{zi}}.}$

Przykład 5 (metoda limitu)

Granice mogą być użyte do znalezienia częściowego rozkładu na ułamki. Rozważmy następujący przykład:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x ^ {3}-1}}}$

Najpierw podziel mianownik, który określa rozkład:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x ^ {3}-1}} = {\ Frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ Frac { A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.}$

Mnożąc wszystko przez , i biorąc limit , gdy dostaniemy ${\displaystyle x-1}$${\displaystyle x\do 1}$

${\ Displaystyle \ Lim _ {x \ do 1} \ lewo ((x-1) \ lewo ({\ Frac {A} {x-1}} + {\ Frac {Bx + C} {x ^ {2} +x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^ {2}+x+1}}=A.}$

Z drugiej strony,

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 1} {\ Frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = \ lim _ {x \ do 1 }{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},}$

a zatem:

${\ Displaystyle A = {\ Frac {1}{3}}.}$

Mnożąc przez x i biorąc granicę, gdy mamy ${\displaystyle x\do \infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty} x \ lewo ({\ Frac {A} {x-1}} + {\ Frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \right)=\lim _{x\do \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{ x^{2}+x+1}}=A+B,}$

oraz

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty} {\ Frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$

To implikuje A + B = 0 i tak . ${\displaystyle B=-{\frac {1}{3}}}$

Dla x = 0 otrzymujemy i stąd . ${\displaystyle -1=-A+C}$${\displaystyle C=-{\tfrac {2}{3}}}$

Łącząc wszystko razem, otrzymujemy rozkład

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x ^ {3}-1}} = {\ Frac {1} {3}} \ lewo ({\ Frac {1} {x-1}}} + {\ Frac { -x-2}{x^{2}+x+1}}\prawo).}$

Przykład 6 (całka)

Załóżmy, że mamy całkę nieoznaczoną :

${\ Displaystyle \ int {\ Frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} + 1 {x ^ {2} + x-2}} \ dx}$

Przed wykonaniem rozkładowi, jest oczywiste, musimy wykonać wielomian długi podział i czynnik mianownik. Spowoduje to:

${\ Displaystyle \ int x ^ {2} + 3 + {\ Frac {-3 x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \ dx}$

Na tej podstawie możemy teraz przeprowadzić częściowy rozkład na ułamki.

${\ Displaystyle \ int x ^ {2} + 3 + {\ Frac {-3 x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \ dx = \ int x ^ {2} + 3 + { \frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\,dx}$

więc:

${\ Displaystyle A (x-1) + B (x + 2) = -3x + 7}$.

Po podstawieniu naszych wartości, w tym przypadku, gdzie x=1, aby rozwiązać B i x=-2, aby rozwiązać A, otrzymamy:

${\ Displaystyle A = {\ Frac {-13} {3}} \ , B = {\ Frac {4}{3}}}$

Podłączając to wszystko z powrotem do naszej całki, możemy znaleźć odpowiedź:

${\ Displaystyle \ int x ^ {2} + 3 + {\ Frac {-13/3} {(x + 2)}} + {\ Frac {4/3} {(x-1)}} \ dx ={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ ln(|x-1|)+C}$

Rola wielomianu Taylora

Częściowy rozkład funkcji wymiernej na ułamki można odnieść do twierdzenia Taylora w następujący sposób. Pozwolić

${\ Displaystyle P (x), Q (x), A_ {1} (x), \ ldots, A_ {r} (x)}$

być rzeczywistymi lub złożonymi wielomianami, załóżmy, że

${\ Displaystyle Q = \ prod _ {j = 1} ^ {r} (x \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}}},}$

spełnia

${\ Displaystyle \ stopnie A_ {1}< \ nu _ {1}, \ ldots, \ stopnie A_ {r} < \ nu _ {r}, \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ stopni (P) <\deg(Q)=\suma _{j=1}^{r}\nu _{j}.}$

Zdefiniuj również

${\ Displaystyle Q_ {i} = \ prod _ {j \ neq ja} (x \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} = {\ Frac {Q} {(x \ lambda _ {i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.}$

Potem będzie

${\ Displaystyle {\ Frac {P} {Q}} = \ suma _ {j = 1} ^ {R} {\ Frac {A_ {j}} {(x-\ Lambda _ {j}) ^ {\ nu _{J}}}}}$

wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wielomian jest wielomianem Taylora porządku w punkcie : ${\ Displaystyle A_ {i} (x)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ Displaystyle \ nu _ {i}-1}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ Displaystyle A_ {i} (x): = \ suma _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i}-1} {\ Frac {1} {k!}} \ lewo ({\ Frac {P }{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.}$

Twierdzenie Taylora (w przypadku rzeczywistym lub złożonym) dostarcza zatem dowodu na istnienie i jednoznaczność rozkładu na częściowe ułamki oraz charakterystykę współczynników.

Szkic dowodu

Powyższy częściowy rozkład frakcji implikuje, dla każdego 1 ≤  i  ≤  r , rozwinięcie wielomianowe

${\ Displaystyle {\ Frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x-\ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ tekst {dla }}x\do \lambda _{i},}$

podobnie jest z wielomianem Taylora , ze względu na jedność wielomianu rozwinięcia porządku iz założenia . ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ Displaystyle \ nu _ {i}-1}$${\ Displaystyle \ stopnie A_ {i} < \ nu _ {i}}$

Odwrotnie, jeśli są wielomianami Taylora, powyższe rozwinięcia przy każdym trzymaniu, więc mamy również ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$

${\ Displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ tekst {dla}} x \ do \ lambda _{i},}$

co oznacza, że ​​wielomian jest podzielny przez${\ Displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$${\ Displaystyle (x-\ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

Bo jest również podzielna przez , więc ${\ Displaystyle j \ neq ja, Q_ {j} A_ {j}}$${\ Displaystyle (x-\ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}$

${\ Displaystyle P- \ suma _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$

jest podzielna przez . Odkąd ${\displaystyle Q}$

${\ Displaystyle \ stopnie \ lewo (P- \ suma _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} \ po prawej) < \ stopnie (Q)}$

wtedy mamy

${\ Displaystyle P- \ suma _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0,}$

i znajdujemy częściowy rozkład ułamkowy dzieląc przez . ${\displaystyle Q}$

Ułamki liczb całkowitych

Ideę ułamków cząstkowych można uogólnić na inne dziedziny całkowite , na przykład pierścień liczb całkowitych, w którym liczby pierwsze pełnią rolę nieredukowalnych mianowników. Na przykład:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {18}} = {\ Frac {1} {2}} - {\ Frac {1} {3}} - {\ Frac {1} {3 ^ {2}}} .}$

Uwagi

Bibliografia

• Rao, KR; Ahmed, N. (1968). „Techniki rekurencyjne do uzyskania częściowej ekspansji frakcji funkcji wymiernej”. IEEE Trans. eduk . 11 (2). s. 152–154. doi : 10.1109/TE.1968.4320370 .
• Henryka, Piotra (1971). „Algorytm niepełnego rozkładu funkcji wymiernej na ułamki częściowe”. Z. Angew. Matematyka. Fiz . 22 (4). s. 751-755. doi : 10.1007/BF01587772 .
• Chang, Feng-Cheng (1973). „Wzory rekurencyjne na częściowe rozszerzenie ułamka funkcji wymiernej z wieloma biegunami”. Proc. IEEE . 61 (8). s. 1139-1140. doi : 10.1109/PROC.1973.9216 .
• Kung, HT; Tong, DM (1977). „Szybkie algorytmy dla częściowego rozkładu frakcji”. SIAM Journal on Computing . 6 (3): 582. doi : 10.1137/0206042 .
• Eustice, Dan; Klamkin, MS (1979). „O współczynnikach częściowego rozkładu frakcji”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 86 (6). s. 478–480. JSTOR  2320421 .
• Mahoney, JJ; Sivazlian, BD (1983). „Częściowa ekspansja frakcji: przegląd metodologii obliczeniowej i wydajności”. J. Komputer. Zał. Matematyka . 9 . s. 247-269. doi : 10.1016/0377-0427(83)90018-3 .
• Miller, Karol D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Podstawy College Algebra (3rd ed.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc. str.  364-370 . Numer ISBN 0-673-38638-4.
• Westreich, David (1991). „częściowe rozszerzenie frakcji bez oceny pochodnej”. IEEE Trans. Okr. Syst . 38 (6). s. 658-660. doi : 10.1109/31.81863 .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994], „Nieokreślone współczynniki, metoda” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Velleman, Daniel J. (2002). „Ułamki częściowe, współczynniki dwumianowe i całka nieparzystej potęgi sec theta”. Amer. Matematyka. Miesięcznie . 109 (8). s. 746-749. JSTOR  3072399 .
• Słota, Damian; Witula, Roman (2005). „Metoda trzech cegieł częściowego rozkładu frakcji pewnego rodzaju wyrażenia racjonalnego”. Wykł. Nie. Informatyka 33516 . s. 659–662. doi : 10.1007/11428862_89 .
• Kung, Sidney H. (2006). „Częściowy rozkład frakcji przez podział”. Dz. Matematyka. J . 37 (2): 132–134. doi : 10.2307/27646303 . JSTOR  27646303 .
• Witula, Roman; Slota, Damian (2008). „Częściowe rozkłady frakcji niektórych funkcji wymiernych”. Zał. Matematyka. Oblicz . 197 . s. 328-336. doi : 10.1016/j.amc.2007.07.048 . MR  2396331 .

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Częściowy rozkład frakcji” . MatematykaŚwiat .
• Blake, Sam. "Ułamki częściowe krok po kroku" .
• Dokonaj częściowych rozkładów na ułamki za pomocą Scilab .