Zasada wykluczenia Pauliego - Pauli exclusion principle

Wolfgang Pauli sformułował prawo mówiące, że żadne dwa elektrony nie mogą mieć tego samego zestawu liczb kwantowych.

Zasadzie wykluczenia Pauli jest kwantowa mechaniczna zasada, która wskazuje, że dwa lub więcej identycznych fermionami (cząstki o pół całkowitej wirowania ) nie zajmują ten sam stan kwantową w systemie kwantowej jednocześnie. Zasada ta została sformułowana przez austriackiego fizyka Wolfganga Pauliego w 1925 roku dla elektronów , a później rozszerzona na wszystkie fermiony za pomocą jego twierdzenia o statystyce spinowej z 1940 roku.

W przypadku elektronów w atomach można to stwierdzić w następujący sposób: niemożliwe jest, aby dwa elektrony w atomie polielektronowym miały takie same wartości czterech liczb kwantowych : n , główna liczba kwantowa ; , azymutalna liczba kwantowa ; m , magnetyczna liczba kwantowa ; i m s , spinowa liczba kwantowa . Na przykład, jeśli dwa elektrony znajdują się na tym samym orbicie , to ich wartości n , i m są takie same; dlatego ich m s muszą być różne, a zatem elektrony muszą mieć przeciwne pół-całkowite rzuty spinu 1/2 i -1/2.

Cząstki o spinie całkowitym, czyli bozony , nie podlegają zasadzie wykluczenia Pauliego: dowolna liczba identycznych bozonów może zajmować ten sam stan kwantowy, jak na przykład fotony wytwarzane przez laser lub atomy w kondensacie Bosego-Einsteina .

Bardziej rygorystycznym stwierdzeniem jest to, że w odniesieniu do wymiany dwóch identycznych cząstek, całkowita (wielocząstkowa) funkcja falowa jest antysymetryczna dla fermionów i symetryczna dla bozonów. Oznacza to, że jeśli współrzędne przestrzenne i spinowe dwóch identycznych cząstek są zamienione, to całkowita funkcja falowa zmienia swój znak dla fermionów i nie zmienia się dla bozonów.

Gdyby dwa fermiony były w tym samym stanie (na przykład ten sam orbital z tym samym spinem w tym samym atomie), ich zamiana niczego by nie zmieniła, a całkowita funkcja falowa byłaby niezmieniona. Jedynym sposobem, w jaki całkowita funkcja falowa może zarówno zmienić znak wymagany dla fermionów, jak i pozostać niezmienionym, jest to, że ta funkcja musi wszędzie wynosić zero, co oznacza, że ​​stan nie może istnieć. To rozumowanie nie dotyczy bozonów, ponieważ znak się nie zmienia.

Przegląd

Zasada wykluczania Pauliego opisuje zachowanie wszystkich fermionów (cząstek o „ spinach połówkowych ”), podczas gdy bozony (cząstki o „spinach całkowitych”) podlegają innym zasadom. Fermiony obejmują cząstki elementarne, takie jak kwarki , elektrony i neutrina . Dodatkowo bariony, takie jak protony i neutrony ( cząstki subatomowe złożone z trzech kwarków) oraz niektóre atomy (takie jak hel-3 ) są fermionami i dlatego są również opisane przez zasadę wykluczania Pauliego. Atomy mogą mieć inny ogólny „spin”, który określa, czy są fermionami, czy bozonami — na przykład hel-3 ma spin 1/2 i dlatego jest fermionem, w przeciwieństwie do helu-4, który ma spin 0 i jest bozonem. Jako taka, zasada wykluczania Pauliego stanowi podstawę wielu właściwości codziennej materii, od jej stabilności na dużą skalę, po chemiczne zachowanie atomów .

„Spin półcałkowity” oznacza, że ​​wewnętrzna wartość momentu pędu fermionów jest (zmniejszona stała Plancka ) razy półliczba całkowita (1/2, 3/2, 5/2 itd.). W teorii mechaniki kwantowej fermiony opisywane są stanami antysymetrycznymi . Natomiast cząstki o spinie całkowitym (zwane bozonami) mają symetryczne funkcje falowe; w przeciwieństwie do fermionów mogą mieć te same stany kwantowe. Bozony obejmują fotonów , na pary Cooper , które są odpowiedzialne za nadprzewodnictwo , a W i Z bozony . (Fermiony biorą swoją nazwę od rozkładu statystycznego Fermiego-Diraca, któremu podlegają , a bozony od rozkładu Bosego-Einsteina .)

Historia

Na początku XX wieku stało się jasne, że atomy i cząsteczki o parzystej liczbie elektronów są bardziej stabilne chemicznie niż te o nieparzystej liczbie elektronów. W artykule z 1916 r. „The Atom and the Molecule” Gilberta N. Lewisa , na przykład, trzeci z jego sześciu postulatów dotyczących zachowania chemicznego stwierdza, że ​​atom ma tendencję do utrzymywania parzystej liczby elektronów w dowolnej powłoce, a zwłaszcza do utrzymywania osiem elektronów, uważanych za typowo ułożone symetrycznie w ośmiu rogach sześcianu . W 1919 r. chemik Irving Langmuir zasugerował, że układ okresowy pierwiastków można wyjaśnić, jeśli elektrony w atomie są w jakiś sposób połączone lub skupione. Uważano, że grupy elektronów zajmują zestaw powłok elektronowych wokół jądra. W 1922 Niels Bohr zaktualizował swój model atomu , zakładając, że pewna liczba elektronów (na przykład 2, 8 i 18) odpowiada stabilnym „powłokom zamkniętym”.

Pauli szukał wyjaśnienia tych liczb, które początkowo były tylko empiryczne . Jednocześnie starał się wyjaśnić wyniki eksperymentalne efektu Zeemana w spektroskopii atomowej iw ferromagnetyzmie . Znalazł istotną wskazówkę w pracy Edmunda C. Stonera z 1924 r. , w której wskazał, że dla danej wartości głównej liczby kwantowej ( n ) liczba poziomów energetycznych pojedynczego elektronu w widmach metali alkalicznych w zewnętrznym pole magnetyczne, w którym wszystkie zdegenerowane poziomy energii są rozdzielone, jest równe liczbie elektronów w zamkniętej powłoce gazów szlachetnych o tej samej wartości n . To doprowadziło Pauliego do zrozumienia, że ​​skomplikowaną liczbę elektronów w zamkniętych powłokach można zredukować do prostej zasady jednego elektronu na stan, jeśli stany elektronowe są zdefiniowane za pomocą czterech liczb kwantowych. W tym celu wprowadził nową dwuwartościową liczbę kwantową, zidentyfikowaną przez Samuela Goudsmita i George'a Uhlenbecka jako spin elektronu .

Połączenie z symetrią stanu kwantowego

W swoim wykładzie Nobla Pauli wyjaśnił znaczenie symetrii stanów kwantowych dla zasady wykluczenia:

Wśród różnych klas symetrii najważniejsze (które zresztą dla dwóch cząstek są jedynymi) to klasa symetryczna , w której funkcja falowa nie zmienia swojej wartości, gdy współrzędne przestrzenne i spinowe dwóch cząstek są permutowane, oraz asymetryczne klasy , w którym dla takiego permutacji funkcji fali zmienia znak ... [The asymetryczne klasa] prawidłowe i ogólnie fala mechaniczna preparat zasadzie wykluczenia.

Zasada wykluczania Pauliego z jednowartościową wielocząstkową funkcją falową jest równoważna wymaganiu, aby funkcja falowa była antysymetryczna względem wymiany . Jeśli i zakres po wektorach bazowych przestrzeni Hilberta opisujących układ jednocząstkowy, to iloczyn tensorowy tworzy wektory bazowe przestrzeni Hilberta opisujące układ dwóch takich cząstek. Dowolny stan dwucząstkowy można przedstawić jako superpozycję (tj. sumę) tych wektorów bazowych:

gdzie każdy A ( x , y ) jest (złożonym) współczynnikiem skalarnym. Antysymetria podczas wymiany oznacza, że A ( x , y ) = − A ( y , x ) . To implikuje A ( x , y ) = 0 , gdy x = y , co jest wykluczeniem Pauliego. To prawda w każdej bazie, ponieważ lokalne zmiany bazy powodują, że macierze antysymetryczne są antysymetryczne.

I odwrotnie, jeśli wielkości diagonalne A ( x , x ) wynoszą zero w każdej bazie , to składnik funkcji falowej

jest z konieczności antysymetryczna. Aby to udowodnić, rozważ element macierzowy

Jest to zero, ponieważ prawdopodobieństwo, że obie cząstki będą w stanie superpozycji, jest zerowe . Ale to jest równe

Pierwszy i ostatni wyraz są elementami ukośnymi i wynoszą zero, a cała suma jest równa zeru. Zatem elementy macierzy funkcji falowej są zgodne:

lub

Dla układu z n > 2 cząstek wielocząstkowe stany bazowe stają się n- krotnymi iloczynami tensorowymi jednocząstkowych stanów bazowych, a współczynniki funkcji falowej są identyfikowane przez n stanów jednocząstkowych. Warunek antysymetrii mówi, że współczynniki muszą odwrócić znak za każdym razem, gdy wymieniane są dowolne dwa stany: for any . Zasada wykluczenia jest konsekwencją tego, że jeśli w ogóle, to pokazuje, że żadna z n cząstek nie może być w tym samym stanie.

Zaawansowana teoria kwantowa

Zgodnie z twierdzeniem o statystyce spinowej cząstki o spinie całkowitym zajmują symetryczne stany kwantowe, a cząstki o spinie połówkowym – stany antysymetryczne; co więcej, zasady mechaniki kwantowej dopuszczają tylko całkowite lub połówkowe wartości spinu. W relatywistycznej kwantowej teorii pola zasada Pauliego wynika z zastosowania operatora rotacji w urojonym czasie do cząstek o spinie połówkowym.

W jednym wymiarze bozony, podobnie jak fermiony, mogą przestrzegać zasady wykluczenia. Jednowymiarowy gaz Bosego z odpychającymi oddziaływaniami funkcji delta o nieskończonej sile jest równoważny gazowi wolnych fermionów. Powodem tego jest to, że w jednym wymiarze wymiana cząstek wymaga, aby przechodziły one przez siebie; dla nieskończenie silnego odpychania to nie może się zdarzyć. Model ten opisuje kwantowo nieliniowe równanie Schrödingera . W przestrzeni pędów zasada wykluczenia obowiązuje również dla skończonego odpychania w gazie Bosego z interakcjami delta-funkcji, jak również dla oddziałujących spinów i modelu Hubbarda w jednym wymiarze oraz dla innych modeli rozwiązywanych przez Bethe ansatz . Stan podstawowy w modelach rozwiązywalnych przez Bethe ansatz to sfera Fermiego .

Aplikacje

Atomy

Zasada wykluczania Pauliego pomaga wyjaśnić szeroką gamę zjawisk fizycznych. Jedną ze szczególnie ważnych konsekwencji tej zasady jest skomplikowana struktura powłoki elektronowej atomów i sposób, w jaki atomy dzielą elektrony, wyjaśniając różnorodność pierwiastków chemicznych i ich kombinacji chemicznych. Elektrycznie obojętny atom zawiera bound elektrony w ilości równej ilości protonów w jądrze . Elektrony, będące fermionami, nie mogą zajmować tego samego stanu kwantowego co inne elektrony, więc elektrony muszą „układać się” w atomie, tj. mieć różne spiny na tej samej orbicie elektronowej, jak opisano poniżej.

Przykładem jest neutralny atom helu , który ma dwa związane elektrony, z których oba mogą zajmować stany o najniższej energii ( 1s ) poprzez uzyskanie przeciwnego spinu; ponieważ spin jest częścią stanu kwantowego elektronu, oba elektrony znajdują się w różnych stanach kwantowych i nie naruszają zasady Pauliego. Jednak spin może przyjmować tylko dwie różne wartości ( wartości własne ). W atomie litu , z trzema związanymi elektronami, trzeci elektron nie może znajdować się w stanie 1s i zamiast tego musi zajmować jeden ze stanów o wyższej energii 2s . Podobnie, kolejno coraz większe elementy muszą posiadać powłoki o coraz wyższej energii. Właściwości chemiczne pierwiastka w dużej mierze zależą od liczby elektronów w zewnętrznej powłoce; atomy o różnej liczbie zajętych powłok elektronowych, ale tej samej liczbie elektronów w zewnętrznej powłoce mają podobne właściwości, co daje początek układowi okresowemu pierwiastków .

Aby przetestować zasadę wykluczania Pauliego dla atomu He, Gordon Drake przeprowadził bardzo precyzyjne obliczenia dla hipotetycznych stanów atomu He, które go naruszają, które nazywane są stanami paronowymi . Później K. Deilamian i in. użył spektrometru wiązki atomowej do poszukiwania stanu paronicznego 1s2s 1 S 0 obliczonego przez Drake'a. Poszukiwanie zakończyło się niepowodzeniem i wykazało, że statystyczna waga tego stanu paronicznego ma górną granicę5 x 10 -6 . (Zasada wykluczenia zakłada wagę zerową).

Właściwości w stanie stałym

W przewodach i półprzewodników , istnieje bardzo duża liczba orbitali molekularnych , które skutecznie tworzą ciągłą strukturę pasma z poziomu energii . W silnych przewodnikach ( metalach ) elektrony są tak zdegenerowane, że nie mogą nawet mieć większego wpływu na pojemność cieplną metalu. Wiele mechanicznych, elektrycznych, magnetycznych, optycznych i chemicznych właściwości ciał stałych jest bezpośrednią konsekwencją wykluczenia Pauliego.

Stabilność materii

Stabilność każdego stanu elektronowego w atomie jest opisana przez kwantową teorię atomu, która pokazuje, że bliski kontakt elektronu z jądrem siłą rzeczy zwiększa energię kinetyczną elektronu, stosując zasadę nieoznaczoności Heisenberga. Jednak stabilność dużych układów z wieloma elektronami i wieloma nukleonami to inna kwestia i wymaga zasady wykluczenia Pauliego.

Wykazano, że zasada Pauliego jest odpowiedzialna za to, że zwykła materia sypka jest stabilna i zajmuje objętość. Sugestię tę po raz pierwszy wysunął w 1931 r. Paul Ehrenfest , który wskazał, że elektrony każdego atomu nie mogą wszystkie spaść na orbitale o najniższej energii i muszą zajmować kolejno większe powłoki. Atomy zajmują więc pewną objętość i nie mogą być ściśnięte zbyt blisko siebie.

Bardziej rygorystycznego dowodu dostarczyli w 1967 roku Freeman Dyson i Andrew Lenard ( de ), którzy rozważyli równowagę sił przyciągających (elektron-jądrowe) i odpychających (elektron-elektron i jądrowo-jądrowe) i wykazali, że zwykła materia zapadnie się i zajmie znacznie mniejsza objętość bez zasady Pauliego.

Konsekwencją zasady Pauliego jest tutaj to, że elektrony o tym samym spinie są utrzymywane oddzielnie przez odpychające oddziaływanie wymienne , które jest efektem krótkozasięgowym, działającym jednocześnie z elektrostatycznym lub kulombowskim oddziaływaniem dalekiego zasięgu . Ten efekt jest częściowo odpowiedzialny za codzienną obserwację w świecie makroskopowym, że dwa ciała stałe nie mogą znajdować się w tym samym miejscu w tym samym czasie.

Astrofizyka

Dyson i Lenard nie brali pod uwagę ekstremalnych sił magnetycznych lub grawitacyjnych, które występują w niektórych obiektach astronomicznych . W 1995 roku Elliott Lieb i współpracownicy wykazali, że zasada Pauliego nadal prowadzi do stabilności w intensywnych polach magnetycznych, takich jak w gwiazdach neutronowych , chociaż przy znacznie większej gęstości niż w zwykłej materii. Konsekwencją ogólnej teorii względności jest to, że w wystarczająco intensywnych polach grawitacyjnych materia zapada się, tworząc czarną dziurę .

Astronomia dostarcza spektakularnego pokazu działania zasady Pauliego w postaci białego karła i gwiazd neutronowych . W obu ciałach struktura atomowa zostaje zakłócona przez ekstremalne ciśnienie, ale gwiazdy są utrzymywane w równowadze hydrostatycznej przez ciśnienie degeneracyjne , znane również jako ciśnienie Fermiego. Ta egzotyczna forma materii znana jest jako materia zdegenerowana . Ogromna siła grawitacyjna masy gwiazdy jest zwykle utrzymywana w równowadze dzięki ciśnieniu termicznemu wywołanemu ciepłem wytworzonym w wyniku fuzji termojądrowej w jądrze gwiazdy. W białych karłach, które nie ulegają fuzji jądrowej, siłę przeciwną grawitacji zapewnia ciśnienie degeneracji elektronów . W gwiazdach neutronowych , poddanych jeszcze silniejszym siłom grawitacyjnym, elektrony połączyły się z protonami, tworząc neutrony. Neutrony są w stanie wytworzyć jeszcze wyższe ciśnienie degeneracji, ciśnienie degeneracji neutronów , aczkolwiek w krótszym zakresie. Może to ustabilizować gwiazdy neutronowe przed dalszym zapadaniem się, ale o mniejszym rozmiarze i większej gęstości niż biały karzeł. Gwiazdy neutronowe są najbardziej „sztywnymi” znanymi obiektami; ich moduł Younga (a dokładniej moduł objętościowy ) jest o 20 rzędów wielkości większy niż w przypadku diamentu . Jednak nawet tę ogromną sztywność można przezwyciężyć dzięki polu grawitacyjnemu masy gwiazdy neutronowej przekraczającej granicę Tolmana-Oppenheimera-Volkoffa , co prowadzi do powstania czarnej dziury .

Zobacz też

Bibliografia

Ogólny

Zewnętrzne linki