Aksjomaty Peano - Peano axioms

W logice matematycznej , że aksjomaty Peano , znany również jako aksjomatów Dedekind-Peano lub postulaty Peano , są aksjomaty dla liczb naturalnych przedstawionych przez 19 wieku włoskiego matematyka Giuseppe Peano . Te aksjomaty były prawie niezmienione w wielu badaniach metamatematycznych , w tym w badaniach fundamentalnych kwestii, czy teoria liczb jest spójna i kompletna .

Konieczność sformalizowania arytmetyki nie była dobrze doceniana aż do pracy Hermanna Grassmanna , który wykazał w latach 60. XIX wieku, że wiele faktów w arytmetyce można wyprowadzić z bardziej podstawowych faktów dotyczących operacji następcy i indukcji . W 1881 roku Charles Sanders Peirce przedstawił aksjomatyzację arytmetyki liczb naturalnych. W 1888 r. Richard Dedekind zaproponował kolejną aksjomatyzację arytmetyki liczb naturalnych, a w 1889 r. Peano opublikował ich uproszczoną wersję jako zbiór aksjomatów w swojej książce Zasady arytmetyki przedstawione nową metodą ( łac . Arithmetices principia, nova ekspozycja metodologiczna ).

Dziewięć aksjomatów Peano zawiera trzy rodzaje zdań. Pierwszy aksjomat zakłada istnienie przynajmniej jednego członka zbioru liczb naturalnych. Kolejne cztery to ogólne stwierdzenia dotyczące równości ; w nowoczesnych terapiach często nie są one traktowane jako część aksjomatów Peano, ale raczej jako aksjomaty „podstawowej logiki”. Kolejne trzy aksjomaty to zdania pierwszego rzędu dotyczące liczb naturalnych, wyrażające podstawowe własności operacji następczej. Dziewiąty, ostatni aksjomat jest stwierdzeniem drugiego rzędu zasady indukcji matematycznej nad liczbami naturalnymi. Słabszy system pierwszego rzędu o nazwie arytmetyka Peano jest uzyskiwany przez jawne dodanie symboli operacji dodawania i mnożenia i zastąpienie aksjomatu indukcyjnego drugiego rzędu schematem aksjomatu pierwszego rzędu .

Sformułowanie

Kiedy Peano sformułował swoje aksjomaty, język logiki matematycznej był w powijakach. Stworzony przez niego system notacji logicznej do prezentacji aksjomatów nie okazał się popularny, chociaż stanowił genezę współczesnego zapisu przynależności zbiorowej (∈, która pochodzi od ε Peano) i implikacji (⊃, która pochodzi od odwróconej ' Peano'a). C'.) Peano utrzymywał wyraźne rozróżnienie między symbolami matematycznymi i logicznymi, co nie było jeszcze powszechne w matematyce; takie oddzielenie po raz pierwszy wprowadzono w Begriffsschrift przez Gottlob Frege , opublikowanej w 1879 roku Peano był nieświadomy prac Fregego i niezależnie odtworzył jego aparat logiczny opiera się na pracy Boole'a i Schröder .

Aksjomaty Peano określenie arytmetycznych właściwości liczb naturalnych , zwykle przedstawiony jako zbiór N lub The symboli nie logicznych dla axioms składają stałej symbol 0 i jednoargumentowy symbol funkcji S .

Pierwszy aksjomat mówi, że stała 0 jest liczbą naturalną:

  1. 0 to liczba naturalna.

Kolejne cztery aksjomaty opisują relację równości . Ponieważ są one logicznie ważne w logice pierwszego rzędu z równością, nie są uważane za część „aksjomatów Peano” we współczesnym leczeniu.

  1. Dla każdej liczby naturalnej x , x = x . Oznacza to, że równość jest refleksyjna .
  2. Dla wszystkich liczb naturalnych x i y , jeśli x = y , to y = x . Oznacza to, że równość jest symetryczna .
  3. Dla wszystkich liczb naturalnych x , y i z , jeśli x = y i y = z , to x = z . Oznacza to, że równość jest przechodnia .
  4. Dla wszystkich a i b , jeśli b jest liczbą naturalną i a = b , to a jest również liczbą naturalną. Oznacza to, że liczby naturalne są zamknięte na zasadzie równości.

Pozostałe aksjomaty określają właściwości arytmetyczne liczb naturalnych. Zakłada się, że naturalne są zamknięte pod jednowartościową funkcjąnastępcyS .

  1. Dla każdej liczby naturalnej n , S ( n ) jest liczbą naturalną. Oznacza to, że liczby naturalne są zamknięte pod S .
  2. Dla wszystkich liczb naturalnych m i n , m = n wtedy i tylko wtedy, gdy S ( m ) = S ( n ) . Czyli S to zastrzyk .
  3. Dla każdej liczby naturalnej n , S ( n ) = 0 jest fałszywe. Oznacza to, że nie ma liczby naturalnej, której następcą jest 0.

Oryginalne sformułowanie aksjomatów Peano używało 1 zamiast 0 jako „pierwszej” liczby naturalnej. Jednakże, ponieważ 0 jest identycznością addytywną w arytmetyce, większość nowoczesnych sformułowań aksjomatów Peano zaczyna się od 0.

Łańcuch jasnych kostek, zaczynając od najbliższego, może reprezentować N , jednak aksjomaty 1–8 są również spełnione przez zbiór wszystkich jasnych i ciemnych kostek domina. Dziewiąty aksjomat ( indukcja ) ogranicza N do łańcucha lekkich elementów („bez śmieci”), ponieważ tylko lekkie domino upadną, gdy najbliższy zostanie przewrócony.

Aksjomaty 1, 6, 7, 8 definiują jednoargumentową reprezentację intuicyjnego pojęcia liczb naturalnych: liczbę 1 można zdefiniować jako S (0), 2 jako S ( S (0)) itd. Uwzględniając jednak pojęcie liczby naturalne jako zdefiniowane przez te aksjomaty, aksjomaty 1, 6, 7, 8 nie implikują, że funkcja następnika generuje wszystkie liczby naturalne różne od 0. Innymi słowy, nie gwarantują, że każda liczba naturalna inna niż zero musi następować po jakiejś liczbie inna liczba naturalna.

Intuicyjne wyobrażenie, że każdą liczbę naturalną można otrzymać przez zastosowanie następnika dostatecznie często do zera, wymaga dodatkowego aksjomatu, który bywa nazywany aksjomatem indukcji .

  1. Jeśli K jest takim zbiorem, że:
    • 0 jest w K , a
    • dla każdej liczby naturalnej n , n będącej w K implikuje , że S ( n ) jest w K ,
    wtedy K zawiera każdą liczbę naturalną.

Aksjomat indukcji jest czasami określany w następującej formie:

  1. Jeśli φ jest predykatem jednoargumentowym takim, że:
    • φ (0) to prawda i
    • dla każdej liczby naturalne n , cp ( n ) jest prawdziwe oznacza, że φ ( S ( n )) jest prawdziwy,
    wtedy φ ( n ) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n .

W oryginalnym sformułowaniu Peano aksjomat indukcji jest aksjomatem drugiego rzędu . Obecnie powszechne jest zastępowanie tej zasady drugiego rzędu słabszym schematem indukcji pierwszego rzędu . Istnieją ważne różnice między sformułowaniami drugiego i pierwszego rzędu, jak omówiono w sekcji § Teoria arytmetyki pierwszego rzędu poniżej.

Arytmetyka

Aksjomaty Peano mogą być rozszerzone o operacje dodawania i mnożenia oraz zwykłe całkowite (liniowe) porządkowanie na N . Odpowiednie funkcje i relacje są konstruowane w teorii mnogości lub logice drugiego rzędu i można wykazać, że są unikalne za pomocą aksjomatów Peano.

Dodatek

Dodawanie to funkcja, która odwzorowuje dwie liczby naturalne (dwa elementy N ) na drugą. Jest definiowany rekurencyjnie jako:

Na przykład:

Struktura ( N +) jest przemienne monoid z elementem tożsamości 0. ( N , +) jest również cancellative magmy , i w ten sposób zabudowany w grupie . Najmniejszą grupą osadzającą Nliczby całkowite .

Mnożenie

Podobnie mnożenie to funkcja odwzorowująca dwie liczby naturalne na drugą. Podany dodatek jest definiowany rekurencyjnie jako:

Łatwo zauważyć, że (lub "1", w znanym języku reprezentacji dziesiętnej ) to multiplikatywna tożsamość prawa :

Aby pokazać, że jest to również multiplikatywna tożsamość lewicowa, należy zastosować aksjomat indukcyjny ze względu na sposób definiowania mnożenia:

  • jest lewą tożsamością 0: .
  • Jeśli jest lewą tożsamością (czyli ), to jest również lewą tożsamością : .

Dlatego przez aksjomat indukcji jest multiplikatywną tożsamością lewą wszystkich liczb naturalnych. Ponadto można wykazać, że mnożenie jest przemienne i rozkłada się na dodawanie:

.

Zatem jest to semiring przemienny .

Nierówności

Zwykłą relację całkowitego porządku ≤ na liczbach naturalnych można zdefiniować w następujący sposób, zakładając, że 0 jest liczbą naturalną:

Dla wszystkich a , bN , ab wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jakieś cN takie, że a + c = b .

Relacja ta jest stabilna przy dodawaniu i mnożeniu: dla , jeśli ab , to:

  • a + cb + c , oraz
  • a · cb · c .

Zatem struktura ( N , +, ·, 1, 0, ≤) jest uporządkowanym półpierścieniem ; ponieważ nie ma liczby naturalnej między 0 a 1, jest to półpierścień uporządkowany dyskretnie.

Aksjomat indukcji bywa przedstawiany w następującej postaci, która wykorzystuje silniejszą hipotezę, wykorzystując relację porządku „≤”:

Dla dowolnego predykatu φ , if
  • φ (0) to prawda i
  • dla każdego n , kN , jeśli kn implikuje, że φ ( k ) jest prawdziwe, wtedy φ ( S ( n )) jest prawdziwe,
Następnie dla każdego nN , φ ( n ) jest prawdziwe.

Ta forma aksjomatu indukcyjnego, zwana silną indukcją , jest konsekwencją standardowego sformułowania, ale często lepiej nadaje się do wnioskowania o rzędzie ≤. Na przykład, w celu wykazania, że kasowniki są dobrze zorganizowany -Co niepusty podzbiór z N ma przynajmniej elementem onu puszki powodu następująco. Niech będzie dane niepuste XN i załóżmy, że X nie ma najmniejszego elementu.

  • Ponieważ 0 jest najmniejszym elementem N , musi być tak, że 0 ∉ X .
  • Dla dowolnego nN , załóżmy dla każdego kn , kX . Następnie S ( n ) ∉ X , w przeciwnym razie byłby najmniejszy element X .

Tak więc, silne zasady indukcji dla każdego nN , nX . Zatem XN = ∅ , co zaprzecza, że X jest niepustym podzbiorem N . Tak więc X ma najmniejszy element.

Teoria arytmetyki pierwszego rzędu

Wszystkie aksjomaty Peano z wyjątkiem dziewiątego aksjomatu (aksjomat indukcyjny) są zdaniami w logice pierwszego rzędu . Operacje arytmetyczne dodawania i mnożenia oraz relację porządku można również zdefiniować za pomocą aksjomatów pierwszego rzędu. Aksjomat indukcji jest w drugim rzędzie , ponieważ kwantyfikuje nad predykatami (odpowiednik zbiorami liczb naturalnych zamiast liczb naturalnych), ale można go przekształcić w aksjomat pierwszego rzędu indukcji. Taki schemat zawiera jeden aksjomat na predykat definiowalny w języku pierwszego rzędu arytmetyki Peano, co czyni go słabszym niż aksjomat drugiego rzędu. Powodem, dla którego jest słabszy, jest to, że liczba predykatów w języku pierwszego rzędu jest policzalna, podczas gdy liczba zbiorów liczb naturalnych jest niepoliczalna. Istnieją zatem zbiory, których nie da się opisać w języku pierwszego rzędu (w rzeczywistości większość zbiorów ma tę własność).

Aksjomatyzacje pierwszego rzędu arytmetyki Peano mają jeszcze jedno techniczne ograniczenie. W logice drugiego rzędu możliwe jest zdefiniowanie operacji dodawania i mnożenia z operacji następnika , ale nie można tego zrobić w bardziej restrykcyjnym ustawieniu logiki pierwszego rzędu. Dlatego operacje dodawania i mnożenia są bezpośrednio zawarte w sygnaturze arytmetyki Peano i zawarte są aksjomaty, które wiążą te trzy operacje ze sobą.

Poniższa lista aksjomatów (wraz ze zwykłymi aksjomatami równości), która zawiera sześć z siedmiu aksjomatów arytmetyki Robinsona , jest wystarczająca do tego celu:

Oprócz tej listy aksjomatów numerycznych, arytmetyka Peano zawiera schemat indukcyjny, który składa się z rekurencyjnie przeliczalnego zestawu aksjomatów . Dla każdej formuły φ ( x , y 1 , ..., y k ) w języku arytmetyki Peano, aksjomatem indukcji pierwszego rzędu dla φ jest zdanie

gdzie jest skrótem od y 1 ,..., y k . Schemat indukcji pierwszego rzędu zawiera każde wystąpienie aksjomatu indukcji pierwszego rzędu, to znaczy zawiera aksjomat indukcji dla każdej formuły φ .

ekwiwalentne aksjomatyzacje

Istnieje wiele różnych, ale równoważnych aksjomatyzacji arytmetyki Peano. Podczas gdy niektóre aksjomatyzacje, takie jak ta właśnie opisana, używają sygnatury, która ma tylko symbole dla 0 oraz operacji następnika, dodawania i mnożenia, inne aksjomatyzacje używają języka uporządkowanych semiringów , w tym dodatkowego symbolu relacji porządku. Jedna z takich aksjomatyzacji zaczyna się od następujących aksjomatów, które opisują dyskretny uporządkowany półpierścień.

  1. , czyli dodawanie jest asocjacyjne .
  2. , czyli dodawanie jest przemienne .
  3. , czyli mnożenie jest asocjacyjne.
  4. , czyli mnożenie jest przemienne.
  5. , tj. mnożenie rozkłada się na dodawanie.
  6. , czyli zero jest identycznością dla dodawania i elementem absorbującym dla mnożenia (właściwie zbędnym).
  7. , czyli jeden jest tożsamością do mnożenia.
  8. , tzn. operator „<” jest przechodni .
  9. , tzn. operator „<” jest niezwrotny .
  10. , czyli zamówienie spełnia trichotomię .
  11. , tzn. kolejność jest zachowana po dodaniu tego samego elementu.
  12. , tzn. kolejność jest zachowana przy mnożeniu przez ten sam dodatni element.
  13. , tj. przy dowolnych dwóch odrębnych elementach, większy jest mniejszy plus kolejny element.
  14. , czyli zero i jedynka są różne i nie ma między nimi elementu. Innymi słowy, 0 jest pokryte przez 1, co sugeruje, że liczby naturalne są dyskretne.
  15. , czyli zero jest elementem minimalnym.

Teoria zdefiniowana przez te aksjomaty znana jest jako PA ; teoria PA jest uzyskiwana przez dodanie schematu indukcji pierwszego rzędu. Ważną właściwością PA jest to, że każda struktura spełniająca tę teorię ma początkowy segment (uporządkowany przez ) izomorficzny z . Elementy w tym segmencie nazywane są elementami standardowymi , podczas gdy inne elementy nazywane są elementami niestandardowymi .

Modele

Modelu aksjomatów Peano jest potrójne ( N , 0, S ) , w której N oznacza (niekoniecznie nieskończony) określa, 0 ∈ N i S : NN spełnia aksjomaty powyżej. Dedekind udowodnił w swojej książce z 1888 r . Natura i znaczenie liczb ( niem . Was sind und was sollen die Zahlen?, tj. „Jakie są liczby i do czego służą?”), że dowolne dwa modele aksjomatów Peano ( włączając aksjomat indukcji drugiego rzędu) są izomorficzne . W szczególności, gdy dwa modele ( N A , 0 A , S ) i ( N B , 0 B , S B ) z axioms Peano, jest unikalny homomorfizm f  : NN B spełniających

i to jest bijection . Oznacza to, że aksjomaty drugiego rzędu Peano są kategoryczne . Nie dotyczy to jednak żadnego przeformułowania pierwszego rzędu aksjomatów Peano.

Modele mnogościowe

Aksjomaty Peano może pochodzić z teoretyczną konstrukcjami liczb naturalnych i aksjomatów teorii zbiorów takich jak ZF . Standardowa konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Johna von Neumanna , zaczyna się od definicji 0 jako zbioru pustego, ∅, oraz operatora s na zbiorach zdefiniowanego jako:

Zbiór liczb naturalnych N jest zdefiniowany jako przecięcie wszystkich zbiorów zamkniętych pod s, które zawierają zbiór pusty. Każda liczba naturalna jest równa (jako zbiór) zbiorowi liczb naturalnych mniejszemu od niego:

i tak dalej. Zbiór N razem z 0 i funkcją następnika s  : NN spełnia aksjomaty Peano.

Arytmetyka Peano jest zgodna z kilkoma słabymi systemami teorii mnogości. Jednym z takich systemów jest ZFC z aksjomatem nieskończoności zastąpionym jego negacją. Inny taki system składa się z ogólnej teorii mnogości ( rozszerzalność , istnienie zbioru pustego i aksjomatu adjunkcji ), rozszerzonej o schemat aksjomatu stwierdzający, że własność, która obowiązuje dla zbioru pustego i zawiera dodatek zawsze, gdy zachodzi dla dodatku. musi trzymać dla wszystkich zestawów.

Interpretacja w teorii kategorii

Aksjomaty Peano można również zrozumieć za pomocą teorii kategorii . Niech C będzie kategorią z obiektem końcowym 1 C , i zdefiniuj kategorię wskazanych układów jednoargumentowych US 1 ( C ) w następujący sposób:

  • Obiekty US 1 ( C ) są trójkami ( X , 0 X , S X ) gdzie X jest obiektem C , a 0 X  : 1 CX i S X  : XX są morfizmami C.
  • Morfizm φ  : ( X , 0 X , S X ) → ( Y , 0 Y , S Y ) to C - morfizm φ  : XY z φ 0 X = 0 Y i φ S X = S Y φ .

Wtedy mówi się, że C spełnia aksjomaty Dedekinda-Peano, jeśli US 1 ( C ) ma początkowy obiekt; ten początkowy obiekt jest znany jako obiekt liczb naturalnych w C . Jeśli ( N , 0, S ) jest tym początkowym obiektem, a ( X , 0 X , S X ) jest dowolnym innym obiektem, to unikalne odwzorowanie u  : ( N , 0, S ) → ( X , 0 X , S X ) jest taka, że

To jest właśnie rekurencyjna definicja 0 X i S X .

Modele niestandardowe

Chociaż zwykłe liczby naturalne spełniają aksjomaty PA , istnieją również inne modele (nazywane " modelami niestandardowymi "); twierdzenie zwartość sugeruje, że istnienie elementów niestandardowych nie można wykluczyć w logice pierwszego rzędu. Odnoszące się do góry twierdzenie Löwenheima-Skolema pokazuje, że istnieją niestandardowe modele PA wszystkich nieskończonych kardynałów. Inaczej jest w przypadku oryginalnych (drugiego rzędu) aksjomatów Peano, które mają tylko jeden model, aż do izomorfizmu. To ilustruje jeden sposób, w jaki system PA pierwszego rzędu jest słabszy niż aksjomaty Peano drugiego rzędu.

Kiedy interpretowany jako dowód w ramach teorii mnogości pierwszego rzędu , takiej jak ZFC , dowód kategoryczności Dedekinda dla PA pokazuje, że każdy model teorii mnogości ma unikalny model aksjomatów Peano, aż do izomorfizmu, który osadza się jako początkowy segment wszystkich inne modele PA zawarte w tym modelu teorii mnogości. W standardowym modelu teorii mnogości ten najmniejszy model PA jest standardowym modelem PA; jednak w niestandardowym modelu teorii mnogości może to być niestandardowy model PA. Sytuacji tej nie da się uniknąć przy jakiejkolwiek formalizacji teorii mnogości pierwszego rzędu.

Naturalne jest pytanie, czy można jawnie skonstruować policzalny model niestandardowy. Odpowiedź jest twierdząca, ponieważ Skolem w 1933 r. przedstawił jednoznaczną konstrukcję takiego niestandardowego modelu . Z drugiej strony, twierdzenie Tennenbauma , udowodnione w 1959 roku, pokazuje, że nie ma przeliczalnego niestandardowego modelu PA, w którym albo operacja dodawania, albo mnożenia jest obliczalna . Wynik ten pokazuje, że trudno jest jednoznacznie opisać operacje dodawania i mnożenia policzalnego niestandardowego modelu PA. Istnieje tylko jeden możliwy typ zamówienia policzalnego modelu niestandardowego. Niech ω będzie porządkiem liczb naturalnych, ζ będzie porządkiem liczb całkowitych, a η będzie porządkiem liczb wymiernych, typ porządku dowolnego przeliczalnego niestandardowego modelu PA to ω + ζ · η , który może być wizualizowane jako kopia liczb naturalnych, po której następuje gęste uporządkowanie liniowe kopii liczb całkowitych.

Przelanie

Cięcia w niestandardowych modelu M jest niepusty podzbiór C z M tak, C jest w dół zamknięty ( x < y i yCxC ), a C jest zamknięty pod następcy. Właściwe cięcie jest cięty, który jest podzbiorem M . Każdy niestandardowy model ma wiele poprawnych cięć, w tym jeden, który odpowiada standardowym liczbom naturalnym. Jednak schemat indukcji w arytmetyce Peano uniemożliwia zdefiniowanie jakiegokolwiek prawidłowego cięcia. Lemat nadmiaru, udowodniony po raz pierwszy przez Abrahama Robinsona, formalizuje ten fakt.

Lemat overspill  —  Niech M będzie niestandardowym modelem PA i niech C będzie właściwym cięciem M . Załóżmy, że jest to krotka elementów M i jest formułą w języku arytmetycznym, tak że

wszystkie bC .

Wtedy istnieje c w M, które jest większe niż każdy element C taki, że

Spójność

Kiedy po raz pierwszy zaproponowano aksjomaty Peano, Bertrand Russell i inni zgodzili się, że aksjomaty te domyślnie określają, co rozumiemy przez „liczbę naturalną”. Henri Poincaré był bardziej ostrożny, mówiąc, że definiuje liczby naturalne tylko wtedy, gdy są spójne ; jeśli istnieje dowód, który zaczyna się właśnie od tych aksjomatów i wyprowadza sprzeczność, taką jak 0 = 1, to aksjomaty są niespójne i niczego nie definiują. W 1900 roku David Hilbert jako drugi ze swoich dwudziestu trzech problemów postawił problem udowodnienia ich spójności przy użyciu wyłącznie metod skończonych . W 1931 Kurt Gödel udowodnił swoje drugie twierdzenie o niezupełności , które pokazuje, że taki dowód niesprzeczności nie może być sformalizowany w samej arytmetyce Peano.

Chociaż powszechnie twierdzi się, że twierdzenie Gödla wyklucza możliwość skończonego dowodu niesprzeczności dla arytmetyki Peano, zależy to dokładnie od tego, co rozumiemy przez dowód skończony. Sam Gödel wskazał na możliwość dostarczenia sfinitystycznego dowodu spójności arytmetyki Peano lub silniejszych systemów za pomocą metod finitystycznych, które nie są formalizowane w arytmetyce Peano, aw 1958 Gödel opublikował metodę udowodnienia spójności arytmetyki przy użyciu teorii typów . W 1936 Gerhard Gentzen dał dowód spójności aksjomatów Peano, używając indukcji pozaskończonej aż do liczby porządkowej zwanej ε 0 . Gentzen wyjaśnił: „Celem tego artykułu jest udowodnienie spójności elementarnej teorii liczb, a raczej sprowadzenie zagadnienia spójności do pewnych fundamentalnych zasad”. Dowód Gentzena jest prawdopodobnie skończony , ponieważ nadskończona liczba porządkowa ε 0 może być zakodowana w kategoriach obiektów skończonych (na przykład jako maszyna Turinga opisująca odpowiedni porządek na liczbach całkowitych lub bardziej abstrakcyjnie jako składająca się z skończonych drzew , odpowiednio uporządkowanych liniowo) . Nie jest jasne, czy dowód Gentzena spełnia wymagania przewidziane przez Hilberta: nie ma ogólnie przyjętej definicji dokładnie tego, co rozumie się przez dowód skończony, a sam Hilbert nigdy nie podał dokładnej definicji.

Zdecydowana większość współczesnych matematyków uważa, że ​​aksjomaty Peano są spójne, opierając się albo na intuicji, albo na akceptacji dowodu spójności, takiego jak dowód Gentzena . Niewielka liczba filozofów i matematyków, z których niektórzy opowiadają się również za ultraskończonością , odrzuca aksjomaty Peano, ponieważ akceptacja aksjomatów jest równoznaczna z akceptacją nieskończonego zbioru liczb naturalnych. W szczególności zakłada się, że dodawanie (w tym funkcja następnika) i mnożenie jest sumą . Co ciekawe, istnieją teorie samoweryfikujące, które są podobne do PA, ale mają odejmowanie i dzielenie zamiast dodawania i mnożenia, które są aksjomatyzowane w taki sposób, aby uniknąć dowodzenia zdań, które odpowiadają sumie dodawania i mnożenia, ale które nadal są w stanie do udowodnienia wszystkich prawdziwych twierdzeń o PA, a jednak można je rozszerzyć do spójnej teorii, która dowodzi własnej spójności (określonej jako nieistnienie dowodu w stylu Hilberta na „0 = 1”).

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Cytaty

Źródła

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki

Ten artykuł zawiera materiały z PA na PlanetMath , które są objęte licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .