Pobieranie fazy - Phase retrieval

Pobieranie faz to proces algorytmicznego znajdowania rozwiązań problemu fazowego . Biorąc pod uwagę złożony sygnał , amplitudę i fazę : ${\ Displaystyle F (k)}$${\ Displaystyle | F (k) |}$${\ Displaystyle \ psi (k)}$

${\ Displaystyle F (k) = | F (k) | e ^ {i \ psi (k)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {-2 \ pi ik\cdot x}\,dx}$

gdzie x jest M- wymiarową współrzędną przestrzenną, a k jest M- wymiarową współrzędną częstotliwości przestrzennej. Pobieranie fazy polega na znalezieniu fazy, która spełnia zestaw ograniczeń dla zmierzonej amplitudy. Ważne zastosowania fazy Retrieval obejmują krystalografii rentgenowskiej , transmisyjnej mikroskopii elektronowej i spójnego dyfrakcyjny obrazowania , na którym . Twierdzenia o jednoznaczności zarówno dla przypadków 1-D, jak i 2-D problemu odzyskiwania faz, w tym problemu bezfazowego 1-D odwrotnego rozpraszania, zostały udowodnione przez Klibanova i jego współpracowników (patrz Referencje). ${\ Displaystyle M = 2}$

Metody

Algorytm redukcji błędów

Redukcja błędu jest uogólnieniem algorytmu Gerchberga-Saxtona . Rozwiązuje z pomiarów poprzez iterację czteroetapowego procesu. W przypadku iteracji kroki są następujące: ${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle | F (u) |}$${\displaystyle k}$

Krok (1): , , i są oszacowaniami odpowiednio , i . W pierwszym kroku obliczania transformaty Fouriera z : ${\ Displaystyle G_ {k} (u)}$${\displaystyle \phi _{k}}$${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$${\ Displaystyle F (u)}$${\ Displaystyle \ psi}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$

${\ Displaystyle G_ {k} (u) = | G_ {k} (u) | e ^ {i \ phi _ {k} (u)} = {\ mathcal {F}} (g_ {k} (x) ).}$

Krok (2): Eksperymentalna wartość , obliczona na podstawie wzoru dyfrakcyjnego za pomocą równania sygnału, jest następnie zastępowana przez , co daje oszacowanie transformaty Fouriera: ${\ Displaystyle | F (u) |}$${\ Displaystyle | G_ {k} (u) |}$

${\ Displaystyle G '_ {k} (u) = | F (u) | e ^ {i \ phi _ {k} (u)}}$

gdzie ' oznacza wynik pośredni, który zostanie później odrzucony.

Krok (3): oszacowanie transformaty Fouriera jest następnie odwrotną transformacją Fouriera: ${\ Displaystyle G'_ {k} (u)}$

${\ Displaystyle g '_ {k} (x) = | g'_ {k} (x) | e ^ {i \ theta '_ {k} (x)} = {\ mathcal {F}} ^ {- 1}(G'_{k}(u)).}$

Krok (4): następnie należy zmienić tak, aby nowe oszacowanie obiektu, , spełniało ograniczenia obiektu. jest zatem definiowany odcinkowo jako: ${\ Displaystyle g'_ {k} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$

${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x) \ ekwiwalent {\ zacząć {przypadki} g'_ {k} (x), & x \ notin \ gamma, \ \ 0, & x \ w \ gamma, \ koniec {przypadki }}}$

gdzie jest dziedzina, w której nie spełnia ograniczeń obiektowych. Uzyskuje się nowe oszacowanie i powtarza się czteroetapowy proces. ${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle g'_ {k} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$

Proces ten jest kontynuowany do momentu spełnienia zarówno ograniczenia Fouriera, jak i ograniczenia obiektu. Teoretycznie proces zawsze będzie prowadził do zbieżności , ale duża liczba iteracji potrzebnych do wytworzenia satysfakcjonującego obrazu (zwykle >2000) powoduje, że sam algorytm redukcji błędów nie nadaje się do zastosowań praktycznych.

Hybrydowy algorytm wejścia-wyjścia

Hybrydowy algorytm wejścia-wyjścia jest modyfikacją algorytmu redukcji błędów – pierwsze trzy stopnie są identyczne. Jednak nie działa już jako oszacowanie , ale funkcja wejściowa odpowiadająca funkcji wyjściowej , która jest oszacowaniem . W kroku czwartym, gdy funkcja narusza więzy obiektu, wartość jest dociskana do zera, ale optymalnie nie do zera. Główną zaletą hybrydowego algorytmu wejścia-wyjścia jest to, że funkcja zawiera informacje zwrotne dotyczące poprzednich iteracji, zmniejszając prawdopodobieństwo stagnacji. Wykazano, że hybrydowy algorytm wejścia-wyjścia zbiega się do rozwiązania znacznie szybciej niż algorytm redukcji błędów. Jego szybkość zbieżności można dodatkowo poprawić za pomocą algorytmów optymalizacji wielkości kroku. ${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle g'_ {k} (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle g'_ {k} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x)}$${\ Displaystyle g_ {k} (x)}$

${\ Displaystyle g_ {k + 1} (x) \ równoważnik {\ rozpocząć {przypadki} g '_ {k} (x), & x \ notin \ gamma, \ \ g_ {k} (x) - \ beta {g '_{k}(x)},&x\w \gamma .\end{przypadki}}}$

Oto parametr sprzężenia zwrotnego, który może przyjmować wartość od 0 do 1. Dla większości zastosowań daje optymalne wyniki.{Raporty naukowe, tom 8, Numer artykułu: 6436 (2018)} ${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ beta \ około 0,9}$

Folia termokurczliwa

W przypadku dwuwymiarowego problemu odzyskiwania fazy występuje degeneracja rozwiązań, ponieważ ich sprzężenie ma ten sam moduł Fouriera. Prowadzi to do „bliźniaczej współpracy obrazów”, w której algorytm wyszukiwania fazowego ulega stagnacji, tworząc obraz o cechach zarówno obiektu, jak i jego koniugatu . Technika obkurczania okresowo aktualizuje oszacowanie podpory przez filtrowanie dolnoprzepustowe aktualnego oszacowania amplitudy obiektu (przez splot z gaussowskim ) i zastosowanie progu, co prowadzi do zmniejszenia niejednoznaczności obrazu. ${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle f ^ {*} (-x)}$

Półokreślony algorytm relaksacyjny dla krótkoczasowej transformacji Fouriera

Odzyskiwanie fazy jest źle postawionym problemem. Aby jednoznacznie zidentyfikować podstawowy sygnał, oprócz metod, które dodają dodatkowe wcześniejsze informacje, takie jak algorytm Gerchberga-Saxtona , innym sposobem jest dodanie pomiarów tylko wielkościowych, takich jak krótkotrwała transformata Fouriera (STFT).

Przedstawiona poniżej metoda opiera się głównie na pracy Jaganathana i in .

Krótkoczasowa transformata Fouriera

Biorąc pod uwagę dyskretny sygnał, który jest próbkowany z . Używamy okna o długości W : do obliczenia STFT , oznaczanego przez : ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (f [0], f [1], ..., f [N-1]) ^ {T}}$${\displaystyle f(x)}$${\ Displaystyle \ mathbf {w} = (w [0], w [1], ..., w [W-1]) ^ {T}}$${\displaystyle \mathrm {f}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Y}}$

${\ Displaystyle Y [m, r] = \ suma _ {n = 0} ^ {N-1} {f [n] w [rL-n] e ^ {-i2 \ pi {\ Frac {mn} {N }}}}}$

for i , gdzie parametr oznacza odstęp w czasie między sąsiednimi odcinkami krótkotrwałymi, a parametr oznacza liczbę uwzględnianych odcinków krótkotrwałych. ${\displaystyle 0\leq m\leq n-1}$${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle R = \ lewo \ lceil {\ Frac {N + W-1} {L}} \ prawo \ rceil}$

Druga interpretacja (zwana interpretacją przesuwnego okna) STFT może być wykorzystana za pomocą dyskretnej transformacji Fouriera (DFT). Let oznacza element okna uzyskany z okna przesuniętego i odwróconego . Potem będzie ${\displaystyle w_{r}[n]=w[rL-n]}$${\displaystyle \mathbf {w}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = [\ mathbf {Y} _ {0}, \ mathbf {Y} _ {1}, ... \ mathbf {Y} _ {R-1}]}$, gdzie . ${\ Displaystyle \ mathbf {Y} _ {r} = \ mathbf {x} \ circ \ mathbf {w} _ {r}}$

Definicja problemu

Niech będą pomiarami odpowiadającymi wielkości kwadratowej STFT z , będzie to macierz diagonalna z elementami diagonalnymi Pobieranie fazy STFT może być określone jako: ${\ Displaystyle {Z} _ {W} [m, r] = | Y [m, r] | ^ {2}}$${\ Displaystyle N \ razy R}$${\displaystyle \mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {R}}$${\ Displaystyle N \ razy N}$${\ Displaystyle \ lewo (w_ {r} [0], w_ {r} [1], \ ldots, w_ {r} [N-1] \ po prawej).}$

Znajdź takie, że dla i , gdzie jest -tą kolumną -punktowej macierzy odwrotnej DFT. ${\displaystyle \mathbf {x}}$${\ Displaystyle Z_ {W} [m, R] = \ lewo | \ lewo \ Langle \ mathbf {f} _ {m} \ mathbf {W} _ {R} \ mathbf {x} \ prawej \ rangle \ prawej |^{2}}$${\displaystyle 0\leq m\leq n-1}$${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$${\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {m}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle N}$

Intuicyjnie rosnąca złożoność obliczeniowa sprawia, że ​​metoda jest niepraktyczna. W rzeczywistości jednak w większości przypadków w praktyce wystarczy wziąć pod uwagę pomiary odpowiadające , dla dowolnego parametru spełniającego . ${\ Displaystyle N}$${\displaystyle 0\leq m\leq m}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$

Mówiąc dokładniej, jeśli zarówno sygnał, jak i okno nie znikają , to znaczy dla wszystkich i dla wszystkich , sygnał może być jednoznacznie zidentyfikowany na podstawie jego wielkości STFT, jeśli spełnione są następujące wymagania: ${\displaystyle x[n]\neq 0}$${\displaystyle 0\leq n\leq n-1}$${\displaystyle w[n]\neq 0}$${\displaystyle 0\leq}$ ${\displaystyle n\leq W-1}$${\displaystyle \mathbf {x}}$

1. ${\displaystyle L<W\leq N/2}$,
2. ${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$.

Dowód można znaleźć w pracy Jaganathana, która przeformułowuje odzyskiwanie fazy STFT jako następujący problem najmniejszych kwadratów:

${\ Displaystyle \ min _ {\ mathbf {x}} \ suma _ {r = 0} ^ {R-1} \ suma _ {m = 0} ^ {N-1} \ lewo (Z_ {w} [m ,r]-\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}\right)^ {2}}$.

Algorytm, chociaż bez teoretycznych gwarancji odzyskania, empirycznie jest w stanie zbliżyć się do globalnego minimum, gdy występuje znaczne nakładanie się sąsiednich odcinków krótkotrwałych.

Półokreślony algorytm oparty na relaksacji

Aby ustalić gwarancje naprawy, jednym ze sposobów jest sformułowanie problemów jako programu półokreślonego (SDP), poprzez osadzenie problemu w przestrzeni wyższego wymiaru za pomocą transformacji i rozluźnienie ograniczenia rangi pierwszego w celu uzyskania programu wypukłego. Problem przeformułowany jest poniżej: ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = \ mathbf {x} \ mathbf {x} ^ {\ ast}}$

Uzyskaj , rozwiązując:${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {X}}}$

dla i${\displaystyle 1\leq m\leq m}$${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$

Po znalezieniu możemy odzyskać sygnał przez najlepsze przybliżenie pierwszej rangi. ${\ Displaystyle \ mathbf {\ kapelusz {X}}}$${\displaystyle \mathbf {x}}$

Aplikacje

Pobieranie fazy jest kluczowym elementem spójnego obrazowania dyfrakcyjnego (CDI). W CDI mierzy się intensywność obrazu dyfrakcyjnego rozproszonego od celu. Faza wzoru dyfrakcyjnego jest następnie uzyskiwana przy użyciu algorytmów wyszukiwania fazy i konstruowany jest obraz celu. W ten sposób odzyskiwanie fazy pozwala na konwersję wzoru dyfrakcyjnego na obraz bez soczewki optycznej .

Wykorzystując algorytmy wyszukiwania fazy można scharakteryzować złożone układy optyczne i ich aberracje. Inne zastosowania odzyskiwania faz obejmują krystalografię rentgenowską i transmisyjną mikroskopię elektronową .

Zobacz też

• Problem z fazą
• Krystalografia
• Krystalografia rentgenowska
• Obrazowanie dyfrakcyjne koherentne
• Równanie transportu intensywności

Bibliografia

• Klibanow, MV (1985). „O wyjątkowości określenia zwartej obsługiwanej funkcji z modułu jego transformaty Fouriera”. Matematyka radziecka - Dokłady . 32 : 668–670.
• Klibanow, MV (1987). „Określenie funkcji z kompaktowym wsparciem od wartości bezwzględnej jego transformaty Fouriera i odwrotnego problemu rozpraszania”. Równania różniczkowe . 22 : 1232–1240.
• Klibanow, MV (1987). „Problemy odwrotnego rozpraszania i przywrócenie funkcji z modułu jego transformaty Fouriera”. Matematyka syberyjska J . 27 (5): 708-719. doi : 10.1007/bf00969199 .
• Klibanow, MV (1989). „Wyjątkowość określenia zniekształceń sieci krystalicznej przez dyfrakcję rentgenowską w ciągłym modelu dynamicznym”. Równania różniczkowe . 25 : 520–527.
• Klibanov, MV & Sacks, PE (1992). „Bezfazowe rozpraszanie odwrotne i problem fazowy w optyce”. J. Matematyka. Fiz . 33 (11): 2813–3821. Kod bib : 1992JMP....33.3813K . doi : 10.1063/1.529990 .
• Klibanow, MV; Worki, PE (1994). „Wykorzystanie częściowej wiedzy o potencjale w problemie fazowym rozpraszania odwrotnego”. J. Komputer. Fiz . 112 (2): 273–281. Kod bib : 1994JCoPh.112..273K . doi : 10.1006/jcph.1994.1099 .
• Klibanow, MV; Worki PE; Tichonrawow, AV (1995). „Problem pobierania fazy”. Odwrotne problemy . 11 (1): 1-28. Kod Bibcode : 1995InvPr..11....1K . doi : 10.1088/0266-5611/11/1/001 .
• Klibanow, MV (2006). „O odzyskaniu funkcji 2-D z modułu jej transformaty Fouriera” . J. Matematyka. Analny. Zał . 323 (2): 818-843. doi : 10.1016/j.jmaa.2005.10.079 .