Twierdzenie Picka - Pick's theorem

W geometrii , Picka twierdzenie zapewnia formułę do obszaru o prostym wielokąta z całkowitą wierzchołków współrzędne, jeśli chodzi o całkowitą liczbę punktów w nim i na jego granicy. Wynik został po raz pierwszy opisany przez Georga Alexandra Picka w 1899 roku. Został spopularyzowany w języku angielskim przez Hugo Steinhausa w wydaniu jego książki Mathematical Snapshots z 1950 roku . Ma wiele dowodów i można go uogólnić do formuł dla pewnych rodzajów nieprostych wielokątów.

Formuła

Załóżmy, że wielokąt ma współrzędne całkowite dla wszystkich jego wierzchołków. Niech będzie liczbą punktów całkowitych, które znajdują się wewnątrz wielokąta i niech będzie liczbą punktów całkowitych na jego granicy (łącznie z wierzchołkami oraz punktami wzdłuż boków wielokąta). Wtedy obszar tego wielokąta to: ${\displaystyle i}$${\displaystyle b}$ ${\ Displaystyle A}$

Pokazany przykład zawiera punkty wewnętrzne i punkty graniczne, więc jego powierzchnia jest jednostkami kwadratowymi. ${\displaystyle i=7}$${\displaystyle b=8}$${\ Displaystyle A = 7 + {\ tfrac {8} {2}} -1 = 10}$

Dowody

Za pomocą wzoru Eulera

Jeden dowód tego twierdzenia polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty z trzema wierzchołkami całkowitymi i bez innych punktów całkowitych. Można wtedy udowodnić, że każdy podzielony trójkąt ma dokładnie pole . Dlatego pole całego wielokąta jest równe połowie liczby trójkątów w podpodziale. Po powiązaniu pola powierzchni z liczbą trójkątów w ten sposób, dowód kończy się przy użyciu wzoru wielościennego Eulera, aby powiązać liczbę trójkątów z liczbą punktów siatki w wielokącie. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Pierwsza część tego dowodu pokazuje, że trójkąt z trzema całkowitymi wierzchołkami i żadnymi innymi liczbami całkowitymi ma dokładnie pole , jak mówi formuła Picka. Dowód wykorzystuje fakt, że wszystkie trójkąty pokrywają płaszczyznę , przy czym sąsiednie trójkąty są obrócone względem siebie o 180° wokół wspólnej krawędzi. W przypadku kafelkowania trójkąta z trzema wierzchołkami całkowitymi i bez innych punktów całkowitych, każdy punkt siatki liczb całkowitych jest wierzchołkiem złożonym z sześciu płytek. Ponieważ liczba trójkątów na punkt siatki (sześć) jest dwukrotnością liczby punktów siatki na trójkąt (trzy), trójkąty są dwa razy gęstsze na płaszczyźnie niż punkty siatki. Każdy skalowany obszar płaszczyzny zawiera dwa razy więcej trójkątów (w granicach współczynnika skali sięga nieskończoności) niż liczba punktów siatki, które zawiera. Dlatego każdy trójkąt ma pole , które jest potrzebne do dowodu. Inny dowód na to, że te trójkąty mają pole, opiera się na wykorzystaniu twierdzenia Minkowskiego na punktach sieci w symetrycznych zbiorach wypukłych. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

To już potwierdza wzór Picka na wielokąt, który jest jednym z tych specjalnych trójkątów. Każdy inny wielokąt można podzielić na specjalne trójkąty. Aby to zrobić, dodaj nieprzecinające się segmenty linii w obrębie wielokąta między parami punktów siatki, aż nie będzie można dodać więcej segmentów linii. Jedynymi wielokątami, których nie można w ten sposób podzielić na mniejsze kształty, są omówione powyżej trójkąty specjalne. Dlatego w wynikowym podpodziale mogą pojawić się tylko specjalne trójkąty. Ponieważ każdy specjalny trójkąt ma pole obszar , wielokąt pola zostanie podzielony na specjalne trójkąty. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle 2A}$

Podział wielokąta na trójkąty tworzy graf planarny , a wzór Eulera daje równanie, które stosuje się do liczby wierzchołków, krawędzi i ścian dowolnego grafu płaskiego. Wierzchołki to tylko punkty siatki wielokąta; jest ich. Ściany są trójkątami podpodziału i pojedynczym obszarem płaszczyzny poza wielokątem. Liczba trójkątów to , więc razem są twarze. Aby policzyć krawędzie, zwróć uwagę, że w podpodziale znajdują się boki trójkątów. Każde wnętrze wielokąta jest bokiem dwóch trójkątów. Istnieją jednak krawędzie trójkątów, które leżą wzdłuż granicy wielokąta i stanowią część tylko jednego trójkąta. Dlatego liczba boków trójkątów jest zgodna z równaniem, z którego można wyliczyć liczbę krawędzi, . Podstawiając te wartości dla , , i do wzoru Eulera daje ${\ Displaystyle V-E + F = 2}$${\displaystyle V=i+b}$${\displaystyle 2A}$${\ Displaystyle F = 2A + 1}$${\ Displaystyle 6A}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle 6A = 2E-b}$${\ Displaystyle E = {\ tfrac {6A + b} {2}}}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle V-E + F = 2}$

Wzór Picka można uzyskać, upraszczając to równanie liniowe i rozwiązując . Alternatywne obliczenie wzdłuż tych samych linii polega na wykazaniu, że liczba krawędzi tego samego podpodziału wynosi , co prowadzi do tego samego wyniku. ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle E=3i+2b-3}$

Można też pójść w innym kierunku, wykorzystując twierdzenie Picka (dowiedzione w inny sposób) jako podstawę dowodu wzoru Eulera.

Inne dowody

Alternatywne dowody twierdzenia Picka, które nie wykorzystują wzoru Eulera, obejmują następujące.

• Można rekurencyjnie rozłożyć dany wielokąt na trójkąty, dzięki czemu niektóre trójkąty z podpodziału będą miały obszar większy niż 1/2. Zarówno powierzchnia, jak i liczba punktów użyte we wzorze Picka sumują się w taki sam sposób, jak się wzajemnie, więc prawdziwość wzoru Picka dla wielokątów ogólnych wynika z jego prawdziwości dla trójkątów. Dowolny trójkąt dzieli swój prostokąt ograniczający na sam trójkąt i dodatkowe trójkąty prostokątne , a obszary zarówno prostokąta ograniczającego, jak i prawego trójkąta są łatwe do obliczenia. Połączenie tych obliczeń powierzchni daje wzór Picka dla trójkątów, a połączenie trójkątów daje wzór Picka dla dowolnych wielokątów.
• Woronoja schemat z siatki dzieli całkowitą płaszczyznę na kwadraty, wokół każdego punktu siatki. Pole dowolnego wielokąta można obliczyć jako sumę jego pól w każdej komórce tego diagramu. Dla każdego wewnętrznego punktu siatki wielokąta cała komórka Voronoi jest objęta wielokątem. Punkty siatki na krawędzi wielokąta mają pokrytą połowę ich komórki Voronoi. Komórki Voronoi punktów narożnych są pokryte kwotami, których różnice od połowy kwadratu (przy użyciu argumentu opartego na liczbie skrętu ) łącznie do składnika korekty we wzorze Picka.${\ Displaystyle -1}$
• Alternatywnie, zamiast używać kwadratów siatki wyśrodkowanych na punktach siatki, można użyć kwadratów siatki, których wierzchołki znajdują się w punktach siatki. Te kwadraty siatki tną dany wielokąt na kawałki, które można przestawić (dopasowując pary kwadratów wzdłuż każdej krawędzi wielokąta) w poliomino o tej samej powierzchni.
• Twierdzenie Picka można również udowodnić w oparciu o złożone całkowanie funkcji podwójnie okresowej związanej z funkcjami eliptycznymi Weierstrassa .
• Zastosowanie wzoru sumowania Poissona do funkcji charakterystycznej wielokąta prowadzi do kolejnego dowodu.

Twierdzenie Picka zostało włączone do internetowej listy „100 najlepszych twierdzeń matematycznych”, datowanej na rok 1999, która później została wykorzystana przez Freeka Wiedijka jako wzorzec do testowania mocy różnych asystentów dowodowych . Od 2021 r. dowód twierdzenia Picka został sformalizowany tylko w jednym z dziesięciu asystentów dowodowych zarejestrowanych przez Wiedijka.

Uogólnienia

Uogólnienia do twierdzenia Picka na nieproste wielokąty są możliwe, ale są bardziej skomplikowane i wymagają więcej informacji niż tylko liczba wierzchołków wewnętrznych i brzegowych. Na przykład wielokąt z otworami ograniczonymi prostymi wielokątami całkowitymi, oddzielonymi od siebie i od granicy, ma pole ${\ Displaystyle h}$

Możliwe jest również uogólnienie twierdzenia Picka na regiony ograniczone bardziej złożonymi płaskimi grafami liniowymi o współrzędnych całkowitych wierzchołków, przy użyciu dodatkowych terminów zdefiniowanych za pomocą charakterystyki Eulera dla regionu i jego granicy, lub do wielokątów z pojedynczym wielokątem granicy, który może przecinać sam, używając wzoru obejmującego liczbę uzwojeń wielokąta wokół każdego punktu całkowitego, a także jego całkowitą liczbę uzwojeń.

Reeve czworościany w trzech wymiarach cztery punkty całkowitą jako wierzchołki i nie zawierają żadnych innych punktów całkowite. Jednak nie wszystkie mają taką samą głośność. Dlatego nie może być analogu twierdzenia Picka w trzech wymiarach, które wyrażałoby objętość wielościanu jako funkcję jedynie liczby jego punktów wewnętrznych i granicznych. Jednak te objętości można zamiast tego wyrazić za pomocą wielomianów Ehrharta .

powiązane tematy

Kilka innych tematów w matematyce wiąże obszary regionów z liczbą punktów siatki. Wśród nich twierdzenie Blichfeldta stwierdza, że ​​każdy kształt można przetłumaczyć tak, aby zawierał przynajmniej swój obszar w punktach siatki. W Gaussa krąg problemów dotyczy ograniczająca błąd między obszarami i liczby punktów siatki w kręgach. Problem liczenia punktów całkowitych w wielościanach wypukłych pojawia się w kilku obszarach matematyki i informatyki. W obszarach zastosowań planimetr punktowy to urządzenie oparte na przezroczystości do szacowania obszaru kształtu poprzez zliczanie zawartych w nim punktów siatki. Ciąg Fareya to uporządkowany ciąg liczb wymiernych z ograniczonymi mianownikami, którego analiza obejmuje twierdzenie Picka.

Inną prostą metodą obliczania pola wielokąta jest wzór na sznurowadło . Daje pole dowolnego prostego wielokąta jako sumę wyrazów obliczonych ze współrzędnych kolejnych par wierzchołków wielokąta. W przeciwieństwie do twierdzenia Picka, nie wymaga, aby wierzchołki miały współrzędne całkowite.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie Picka autorstwa Eda Pegga, Jr. , Projekt Demonstracyjny Wolframa .
• Pi przy użyciu twierdzenia Picka autorstwa Marka Dabbsa, GeoGebra