Jednostki Plancka - Planck units

W fizyce cząstek i kosmologii fizycznej , jednostki Plancka to zbiór jednostek miar określony wyłącznie w odniesieniu do czterech uniwersalnych stałych fizycznych , w taki sposób, że te stałe fizyczne tą wartość liczbową 1 , gdy wyrażone w tych jednostkach.

Jednostki te, pierwotnie zaproponowane w 1899 roku przez niemieckiego fizyka Maxa Plancka , są układem jednostek naturalnych, ponieważ ich definicja wywodzi się wyłącznie z właściwości natury, a nie z jakiejkolwiek konstrukcji ludzkiej . Jednostki Plancka są tylko jednym z kilku systemów jednostek naturalnych, ale jednostki Plancka nie są oparte na właściwościach jakiegokolwiek prototypowego obiektu lub cząstki (której wybór jest z natury arbitralny), ale raczej na właściwościach wolnej przestrzeni . Mają one znaczenie w badaniach nad zunifikowanymi teoriami, takimi jak grawitacja kwantowa .

Termin skala Plancka odnosi się do ilości przestrzeni, czasu, energii i innych jednostek, które są podobne pod względem wielkości do odpowiadających im jednostek Plancka. Region ten może charakteryzować się energiami około10 ¹⁹ GeV , czasowe przedziały Around10 ⁻⁴³ s i długości około10 ^-35 m (w przybliżeniu odpowiednio ekwiwalent energetyczny masy Plancka, czasu Plancka i długości Plancka). W skali Plancka przewidywania Modelu Standardowego , kwantowej teorii pola i ogólnej teorii względności nie będą miały zastosowania, a efekty kwantowe grawitacji będą dominować. Najbardziej znanym przykładem są warunki panujące w pierwszych ^10-43 sekundach naszego Wszechświata po Wielkim Wybuchu , około 13,8 miliarda lat temu.

Cztery uniwersalne stałe, które z definicji mają wartość liczbową 1, gdy są wyrażone w tych jednostkach, to:

Urządzenia Planck nie zawierają wymiaru elektromagnetycznego. Niektórzy autorzy decydują się na rozszerzenie systemu o elektromagnetyzm, na przykład dodając do tej listy albo stałą elektryczną ε ₀ albo 4 $π$ ε ₀ . Podobnie autorzy wybierają warianty systemu, które nadają inne wartości liczbowe jednej lub więcej z czterech powyższych stałych.

Wstęp

Każdemu systemowi miar można przypisać wzajemnie niezależny zestaw wielkości podstawowych i powiązanych jednostek podstawowych , z których można wyprowadzić wszystkie inne wielkości i jednostki. Na przykład w Międzynarodowym Układzie Jednostek , wielkości bazowe SI obejmują długość wraz z powiązaną jednostką metra . W systemie jednostek Plancka można wybrać podobny zestaw wielkości bazowych i jednostek powiązanych, w ramach których można wyrazić inne wielkości i jednostki spójne. Jednostka długości Plancka stała się znana jako długość Plancka , a jednostka czasu Plancka znana jest jako czas Plancka, ale ta nomenklatura nie została ustalona jako obejmująca wszystkie wielkości.

Wszystkie jednostki Plancka wywodzą się z wymiarowych uniwersalnych stałych fizycznych, które definiują system, i w konwencji, w której jednostki te są pomijane (tj. traktowane jako mające wartość bezwymiarową 1), stałe te są następnie eliminowane z równań fizyki, w których występują . Na przykład prawo powszechnego ciążenia Newtona ,

{\ Displaystyle F = G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} = \ lewo ({\ Frac {F_ {\ tekst {P}} l_ {\ tekst {P} }^{2}}{m_{\text{P}}^{2}}}\right){\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}

można wyrazić jako:

{\ Displaystyle {\ Frac {F} {F_ {\ tekst {P}}}} = {\ Frac {\ lewo ({\ dfrac {m_ {1}} {m_ {\ tekst {P}}}} \ prawo )\left({\dfrac {m_{2}}{m_{\text{P}}}}\right)}{\left({\dfrac {r}{l_{\text{P}}}}\ po prawej)^{2}}}.}

Oba równania są wymiarowo spójne i równie ważne w dowolnym układzie wielkości, ale drugie równanie, bez G , odnosi się tylko do wielkości bezwymiarowych, ponieważ każdy stosunek dwóch wielkości o podobnych wymiarach jest wielkością bezwymiarową. Jeżeli, zgodnie z konwencją skróconą, rozumie się, że każda wielkość fizyczna jest odpowiednim stosunkiem ze spójną jednostką Plancka (lub „wyrażoną w jednostkach Plancka”), powyższe stosunki mogą być wyrażone po prostu za pomocą symboli wielkości fizycznej, bez skalowania wyraźnie przez odpowiednią jednostkę:

{\ Displaystyle F '= {\ Frac {m_ {1} 'm_ {2} '}{r' ^ {2}}}.}

To ostatnie równanie (bez G ) jest ważne, gdy F ′ , m ₁ ′, m ₂ ′ i r ′ są bezwymiarowymi wielkościami proporcjonalnymi odpowiadającymi wielkościom standardowym, zapisanym np. F ′ ≘ F lub F ′ = F / F _P , ale nie jako bezpośrednia równość ilości. Może się to wydawać "ustawieniem stałych c , G , itd. na 1", jeśli zgodność wielkości jest uważana za równość. Z tego powodu Planck lub inne naturalne jednostki powinny być używane z ostrożnością. Odnosząc się do „ G = c = 1 ”, Paul S. Wesson napisał, że „matematycznie jest to akceptowalna sztuczka, która oszczędza pracę. Fizycznie oznacza utratę informacji i może prowadzić do zamieszania”.

Historia i definicja

Pojęcie jednostek naturalnych zostało wprowadzone w 1881 roku, kiedy George Johnstone Stoney , zauważając, że ładunek elektryczny jest skwantowany, wyprowadził jednostki długości, czasu i masy, teraz nazwane na jego cześć jednostkami Stoneya , poprzez normalizację G , c i ładunku elektronu , e , do 1. W 1899 roku, rok przed pojawieniem się teorii kwantowej, Max Planck wprowadził coś, co później stało się znane jako stała Plancka. Na końcu artykułu zaproponował jednostki bazowe nazwane później na jego cześć. Jednostki Plancka są oparte na kwantach działania, obecnie znanym zwykle jako stała Plancka, który pojawił się w przybliżeniu Wien dla promieniowania ciała doskonale czarnego . Planck podkreślił uniwersalność nowego systemu jednostek, pisząc:

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch audiglicheerirdische w kulturze » Maßeinheiten« bezeichnet werden können .

...możliwe jest ustalenie jednostek długości, masy, czasu i temperatury, które są niezależne od specjalnych ciał lub substancji, koniecznie zachowując swoje znaczenie dla wszystkich czasów i dla wszystkich cywilizacji, w tym pozaziemskich i nieludzkich, które mogą nazywać się „naturalnymi jednostkami miary”.

Planck brał pod uwagę tylko jednostki oparte na stałych uniwersalnych , , , i aby uzyskać naturalne jednostki długości , czasu , masy i temperatury . Jego definicje różnią się od współczesnych o czynnik , ponieważ współczesne definicje używają raczej niż . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle h}$ $c$ ${\ Displaystyle k_ {\ rm {B}}}$ ${\sqrt {2\pi}}$ ${\ Displaystyle \ hbar}$ ${\ Displaystyle h}$

Tabela 1: Współczesne wartości dla pierwotnego wyboru ilości przez Plancka
Nazwa	Wymiar	Wyrażenie	Wartość ( jednostki SI )
Długość Plancka	długość (L)	${\ Displaystyle l_ {\ tekst {P}} = {\ sqrt {\ Frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}}}$	1,616 255 (18) × 10 ^-35 m
Masa Plancka	masa (M)	${\ Displaystyle m_ {\ tekst {P}} = {\ sqrt {\ Frac {\ hbar c} {G}}}}$	2,176 434 (24) × 10 ^-8 kg
Czas Plancka	czas (T)	${\ Displaystyle t_ {\ tekst {P}} = {\ sqrt {\ Frac {\ hbar G} {c ^ {5}}}}}$	5,391 247 (60) x 10 ^-44 s
Temperatura Plancka	temperatura (Θ)	${\ Displaystyle T_ {\ tekst {P}} = {\ sqrt {\ Frac {\ hbar c ^ {5}} {Gk_ {\ tekst {B}} ^ {2}}}}}$	1.416 784 (16) × 10 ³² K

W przeciwieństwie do przypadku Międzynarodowego Układu Jednostek Miar , nie ma oficjalnej jednostki, która ustala definicję układu jednostek Plancka. Frank Wilczek i Barton Zwiebach obaj definiują podstawowe jednostki Plancka jako jednostki masy, długości i czasu, biorąc pod uwagę dodatkową jednostkę nadmiarową temperatury. Inne tabele dodają, oprócz jednostki temperatury, jednostkę ładunku elektrycznego, czasami również zastępując masę energią. W zależności od wyboru autora tę jednostkę opłaty podaje

{\ Displaystyle q_ {\ tekst {P}} = {\ sqrt {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar c}} \ około 1,875546 \ razy 10 ^ {-18} \ tekst {C}} \ około 11.7\ e}

lub

{\ Displaystyle q_ {\ tekst {P}} = {\ sqrt {\ epsilon _ {0}\ hbar c}} \ około 5,290818 \ razy 10 ^ {-19} {\ tekst {C}} \ około 3,3 \ e .}

Ładunek Plancka, a także inne jednostki elektromagnetyczne, które można zdefiniować, takie jak opór i strumień magnetyczny, są trudniejsze do interpretacji niż oryginalne jednostki Plancka i są używane rzadziej.

W jednostkach SI wartości c , h , e i k _B są dokładne, a wartości ε ₀ i G odpowiednio w jednostkach SI mają względne niepewności1,5 × 10 ^-10 i2,2 x 10 ^-5 . Stąd niepewności wartości SI jednostek Plancka wynikają prawie całkowicie z niepewności wartości SI G .

Jednostki pochodne

W każdym systemie miar jednostki dla wielu wielkości fizycznych można wyprowadzić z jednostek podstawowych. Tabela 2 przedstawia próbkę pochodnych jednostek Plancka, z których niektóre w rzeczywistości są rzadko używane. Podobnie jak w przypadku jednostek podstawowych, ich użycie ogranicza się głównie do fizyki teoretycznej, ponieważ większość z nich jest zbyt duża lub zbyt mała do zastosowania empirycznego lub praktycznego i istnieje duża niepewność ich wartości.

Tabela 2: Spójne jednostki pochodne jednostek Plancka
Jednostka pochodna	Wyrażenie	Przybliżony ekwiwalent SI
powierzchnia (L ² )	${\ Displaystyle l_ {\ tekst {P}} ^ {2} = {\ Frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}}$	2,6121 × 10 ⁻⁷⁰ m ²
objętość (L ³ )	${\ Displaystyle l_ {\ tekst {P}} ^ {3} = \ lewo ({\ Frac {\ Hbar G} {c ^ {3}}} \ po prawej) ^ {\ Frac {3} {2}} = {\sqrt {\frac {(\hbar G)^{3}}{c^{9}}}}}$	4,2217 × 10 ⁻¹⁰⁵ m ³
pęd (LMT ^-1 )	${\ Displaystyle m_ {\ tekst {P}} c = {\ Frac {\ hbar }{l_ {\ tekst {P}}}} = {\ sqrt {\ Frac {\ hbar c ^ {3}} {G} }}}$	6.5249 kg⋅m/s
energia (L ² MT ⁻² )	${\ Displaystyle E_ {\ tekst {P}} = m_ {\ tekst {P}} c ^ {2} = {\ Frac {\ hbar} {t_ {\ tekst {P}}}} = {\ sqrt {\ szczelina {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1,9561 × 10 ⁹ J
siła (LMT ^-2 )	${\ Displaystyle F_ {\ tekst {P}} = {\ Frac {E_ {\ tekst {P}}} {l_ {\ tekst {P}}}} = {\ Frac {\ Hbar} {l_ {\ tekst { P}}t_{\text{P}}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1,2103 × 10 ⁴⁴ N
gęstość (L ^-3 M)	${\ Displaystyle \ rho _ {\ tekst {P}} = {\ Frac {m_ {\ tekst {P}}} {l_ {\ tekst {P}} ^ {3}}} = {\ Frac {\ Hbar t_ {\text{P}}}{l_{\text{P}}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5.1550 × 10 ⁹⁶ kg/m ³
przyspieszenie (LT- ² )	${\ Displaystyle a_ {\ tekst {P}} = {\ Frac {c} {t_ {\ tekst {P}}}} = {\ sqrt {\ Frac {c ^ {7}} {\ hbar G}}} }$	5,5608 × 10 ⁵¹ m/s ²
częstotliwość (T ^-1 )	${\ Displaystyle f_ {p} = {\ Frac {c} {l_ {\ tekst {P}}}} = {\ sqrt {\ Frac {c ^ {5}} {\ hbar G}}}}$	1,8549 × 10 ⁴³ s ^-1

Niektóre jednostki Plancka, takie jak czas i długość, są o wiele rzędów wielkości zbyt duże lub zbyt małe, aby można je było zastosować w praktyce, tak więc jednostki Plancka jako układ są zwykle istotne tylko dla fizyki teoretycznej. W niektórych przypadkach jednostka Plancka może sugerować granicę zakresu wielkości fizycznej, do której mają zastosowanie współczesne teorie fizyki. Na przykład, nasze rozumienie Wielkiego Wybuchu nie rozciąga się na epokę Plancka , tj. kiedy wszechświat miał mniej niż jeden czas Plancka. Opisanie wszechświata w epoce Plancka wymaga teorii grawitacji kwantowej , która włączyłaby efekty kwantowe do ogólnej teorii względności . Taka teoria jeszcze nie istnieje.

Kilka wielkości nie jest „ekstremalnych” pod względem wielkości, tak jak masa Plancka, która wynosi około 22 mikrogramy : bardzo duże w porównaniu z cząstkami subatomowymi i mieszczące się w zakresie mas istot żywych. Spekulowano, że może to być w przybliżeniu dolna granica, przy której czarna dziura może powstać w wyniku kolapsu. Podobnie, powiązane jednostki energii i pędu mieszczą się w zakresie niektórych codziennych zjawisk.

Znaczenie

Jednostki Plancka mają niewiele antropocentrycznej arbitralności, ale nadal wiążą się z pewnymi arbitralnymi wyborami w zakresie stałych definiujących. W przeciwieństwie do metra i sekundy , które z powodów historycznych istnieją jako jednostki podstawowe w układzie SI , długość Plancka i czas Plancka są koncepcyjnie powiązane na podstawowym poziomie fizycznym. W konsekwencji jednostki naturalne pomagają fizykom przeformułować pytania. Frank Wilczek ujmuje to zwięźle:

Widzimy, że pytanie [postawione] nie brzmi: „Dlaczego grawitacja jest tak słaba?” ale raczej: „Dlaczego masa protonu jest tak mała?” Bo w jednostkach naturalnych (Plancka) siła grawitacji jest po prostu tym, czym jest, jest wielkością pierwotną, podczas gdy masa protonu jest malutką liczbą [1/(13 kwintylionów )].

Chociaż prawdą jest, że elektrostatyczna siła odpychająca między dwoma protonami (same w wolnej przestrzeni) znacznie przekracza siłę przyciągania grawitacyjnego między tymi samymi dwoma protonami, nie chodzi tu o względną siłę tych dwóch podstawowych sił. Z punktu widzenia jednostek Plancka jest to porównanie jabłek z pomarańczami , ponieważ masa i ładunek elektryczny są wielkościami niewspółmiernymi . Raczej różnica wielkości siły jest przejawem faktu, że ładunek protonów jest w przybliżeniu ładunkiem jednostkowym, ale masa protonów jest znacznie mniejsza niż masa jednostkowa.

Skala Plancka

W fizyce cząstek elementarnych i kosmologii fizycznej skala Plancka jest skalą energii wokół1,22 × 10 ¹⁹ GeV (energia Plancka, odpowiadająca ekwiwalentowi energii masy Plancka,2,176 45 x 10 ^-8 kilogramów ), przy której efekty kwantowe od ciężkości się silny. W tej skali obecne opisy i teorie oddziaływań cząstek subatomowych w kategoriach kwantowej teorii pola załamują się i stają się niewystarczające ze względu na wpływ pozornej nierenormalizacji grawitacji w obecnych teoriach.

Związek z grawitacją

W skali długości Plancka oczekuje się, że siła grawitacji stanie się porównywalna z innymi siłami i zakłada się, że wszystkie podstawowe siły są zjednoczone w tej skali, ale dokładny mechanizm tego zjednoczenia pozostaje nieznany. Skala Plancka jest zatem punktem, w którym efekty grawitacji kwantowej nie mogą być dłużej ignorowane w innych fundamentalnych interakcjach , gdzie obecne obliczenia i podejścia zaczynają się załamywać i konieczne jest uwzględnienie jej wpływu.

Podczas gdy fizycy dość dobrze rozumieją inne fundamentalne interakcje sił na poziomie kwantowym, grawitacja jest problematyczna i nie można jej zintegrować z mechaniką kwantową przy bardzo wysokich energiach przy użyciu zwykłych ram kwantowej teorii pola. Przy niższych poziomach energii jest on zwykle ignorowany, podczas gdy dla energii zbliżających się lub przekraczających skalę Plancka konieczna jest nowa teoria grawitacji kwantowej . Inne podejścia do tego problemu obejmują teorię strun i M-teorię , pętlową grawitację kwantową , geometrię nieprzemienną , względność skali , teorię mnogości przyczynowych i p -adiczną mechanikę kwantową .

W kosmologii

W Big Bang kosmologii The epoka Plancka lub Plancka epoki jest najwcześniejszym etapie Big Bang , przed upływem czasu jest równy czasowi Plancka T _P lub około 10 ^-43 sekund. Nie ma obecnie dostępnej teorii fizycznej opisującej tak krótkie czasy i nie jest jasne, w jakim sensie pojęcie czasu ma znaczenie dla wartości mniejszych niż czas Plancka. Ogólnie przyjmuje się, że kwantowe efekty grawitacji dominują w oddziaływaniach fizycznych w tej skali czasowej. W tym skalę, zunifikowany siła z Modelu Standardowego Zakłada się zunifikowany z grawitacji . Niezmiernie gorący i gęsty stan epoki Plancka został zastąpiony przez epokę wielkiej unifikacji , w której grawitacja jest oddzielona od zunifikowanej siły Modelu Standardowego, po czym następuje z kolei epoka inflacji , która zakończyła się po około ^10–32 sekundach (lub około 10 ¹⁰ t _P ).

Właściwości obserwowalnego wszechświata wyrażone dzisiaj w jednostkach Plancka:

Tabela 2: Dzisiejszy wszechświat w jednostkach Plancka
Własność współczesnego obserwowalnego wszechświata	Przybliżona liczba jednostek Plancka	Odpowiedniki
Wiek	8,08 × 10 ⁶⁰ t _P	4,35 × 10 ¹⁷ s lub 13,8 × 10 ⁹ lat
Średnica	5,4 × 10 ⁶¹ l _P	8,7 × 10 ²⁶ m lub 9,2 × 10 ¹⁰ lat świetlnych
Masa	około. 10 ⁶⁰ m _P	3 × 10 ⁵² kg lub 1,5 × 10 ²² mas Słońca (tylko liczenie gwiazd) 10 ⁸⁰ protonów (czasami znane jako liczba Eddingtona )
Gęstość	1,8 x 10 ^-123 m _P ⋅ L _P^-3	9,9 × 10 ^-27 kg⋅m ^-3
Temperatura	1,9 × 10 ^-32 T _P	2,725 K temperatura kosmicznego mikrofalowego promieniowania tła
Stała kosmologiczna	2,9 × ^10-122 l^-2 _P	1,1 × 10 ⁻⁵² m ⁻²
Stała Hubble'a	1,18 × 10 ⁻⁶¹ t^-1 _P	2,2 x ^10-18 s ^-1 lub 67,8 (km / s) / MPC

Po pomiarze stałej kosmologicznej (Λ) w 1998 roku, oszacowanej na ^10-122 w jednostkach Plancka, zauważono, że jest ona sugestywnie bliska odwrotności kwadratu wieku wszechświata ( T ). Barrow i Shaw zaproponowali zmodyfikowaną teorię, w której Λ jest polem ewoluującym w taki sposób, że jego wartość pozostaje Λ ~ T ^{-2 w} całej historii wszechświata.

Analiza jednostek

Długość Plancka

Długość Plancka, oznaczona $ℓ P$ , jest jednostką długości zdefiniowaną jako:

${\ Displaystyle \ ell _ {\ operatorname {P} } = {\ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ {3}}}}}$

Jest równy 1,616 255 (18) × 10 ^-35 m , gdzie dwie cyfry ujęte w nawiasy są szacowanym błędem standardowym związanym z podaną wartością liczbową lub około10 ^-20 razy średnica protonu .

Czas Plancka

Czas Plancka $t P$ to czas potrzebny do przebycia przez światło odległości 1 długości Plancka w próżni , co stanowi przedział czasu w przybliżeniu5.39 x 10 ^-44 s . Wszystkie eksperymenty naukowe i ludzkie doświadczenia odbywają się w skalach czasowych, które są o wiele rzędów wielkości dłuższe niż czas Plancka, co sprawia, że wszelkie zdarzenia zachodzące w skali Plancka są niewykrywalne przy obecnej technologii naukowej. Według stanu na październik 2020 r. najmniejsza niepewność przedziału czasowego w pomiarach bezpośrednich była rzędu 247 zeptosekund (2,47 x 10 ^-19 s ).

Chociaż obecnie nie ma znanego sposobu mierzenia przedziałów czasowych w skali czasu Plancka, naukowcy w 2020 roku zaproponowali teoretyczny aparat i eksperyment, który, jeśli kiedykolwiek zostanie zrealizowany, może podlegać wpływowi czasu tak krótkiego jak ^10–33 sekund, ustanawiając w ten sposób górną granicę wykrywalności dla kwantyzacji czasu, który jest około 20 miliardów razy dłuższy niż czas Plancka.

Energia Plancka

Większość jednostek Plancka jest niezwykle mała, jak w przypadku długości Plancka lub czasu Plancka, lub bardzo duża, jak w przypadku temperatury Plancka lub przyspieszenia Plancka. Dla porównania, energia Plancka E _P jest w przybliżeniu równa energii zmagazynowanej w samochodowym zbiorniku gazu (57,2 l benzyny przy 34,2 MJ/l energii chemicznej). Ultra wysokiej energii promieniowania kosmicznego obserwowano 1991 że zmierzona wartość energetyczną około 50 J, co odpowiada około2,5 x 10 ^-8 E _P .

Jednostka siły Plancka

Jednostka siły Plancka może być traktowana jako pochodna jednostka siły w systemie Plancka, jeśli jednostki Plancka czasu, długości i masy są uważane za jednostki podstawowe.

{\ Displaystyle F_ {\ tekst {P}} = {\ Frac {m_ {\ tekst {P}} c} {t_ {\ tekst {P}}}} = {\ Frac {c ^ {4}}{G }}=1.210295\razy 10^{44}{\text{ N.}}}

Jest to grawitacyjna siła przyciągania dwóch ciał o masie 1 Plancka, które są utrzymywane w odległości 1 długości Plancka; równoważnie jest to elektrostatyczna siła przyciągania lub odpychania dwóch jednostek ładunku Plancka, które są utrzymywane w odległości 1 długości Plancka.

Różni autorzy twierdzili, że siła Plancka jest rzędu maksymalnej siły, jaką można zaobserwować w przyrodzie. Jednak ważność tych przypuszczeń została zakwestionowana.

Temperatura Plancka

Temperatura Plancka T _P wynosi1,416 784 (16) × 10 ³² K . Nie są znane żadne modele fizyczne w stanie opisać temperaturach wyższych niż T _P ; do modelowania osiąganych ekstremalnych energii potrzebna byłaby kwantowa teoria grawitacji.

Lista równań fizycznych

Wielkości fizyczne, które mają różne wymiary (takie jak czas i długość), nie mogą być utożsamiane, nawet jeśli są liczbowo równe (1 sekunda to nie to samo co 1 metr). W fizyce teoretycznej jednak te skrupuły można odłożyć na bok dzięki procesowi zwanemu niewymiarowaniem . Tabela 3 pokazuje, w jaki sposób użycie jednostek Plancka upraszcza wiele podstawowych równań fizyki, ponieważ daje to każdej z pięciu podstawowych stałych i ich produktom prostą wartość liczbową 1 . W formularzu SI należy uwzględnić jednostki. W formie bezwymiarowej jednostki, które są teraz jednostkami Plancka, nie muszą być zapisywane, jeśli ich użycie jest zrozumiałe.

Tabela 3: Jak jednostki Plancka upraszczają kluczowe równania fizyki
	Formularz SI	Forma jednostek Plancka
Prawo powszechnego ciążenia Newtona	${\ Displaystyle F = G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$	${\ Displaystyle F = {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$
Równania pola Einsteina w ogólnej teorii względności	${\ Displaystyle {G_ {\ mu \ nu} = 8 \ pi {G \ nad c ^ {4}} T_ {\ mu \ nu}} \}$	${\ Displaystyle {G_ {\ mu \ nu} = 8 \ pi T_ {\ mu \ nu}} \}$
Równoważność masy i energii w szczególnej teorii względności	${\ Displaystyle {E = mc ^ {2}} \ }$	${\ Displaystyle {E = m} \ }$
Relacja energia-pęd	${\ Displaystyle E ^ {2} = (MC ^ {2}) ^ {2} + (PC) ^ {2} \;}$	${\ Displaystyle E ^ {2} = m ^ {2} + p ^ {2} \;}$
Energia cieplna na cząstkę na stopień swobody	${\ Displaystyle {E = {\ tfrac {1} {2}} k_ {\ tekst {B}} T} \}$	${\ Displaystyle {E = {\ tfrac {1} {2}} T} \ }$
Wzór na entropię Boltzmanna	${\ Displaystyle {S = k_ {\ tekst {B}} \ ln \ Omega} \}$	${\ Displaystyle {S = \ ln \ Omega} \}$
Relacja Plancka-Einsteina dla energii i częstotliwości kątowej	${\ Displaystyle {E = \ hbar \ omega} \ }$	${E=\omega}\$
Prawo Plancka ( natężenie powierzchni na jednostkę kąta bryłowego na jednostkę częstotliwości kątowej ) dla ciała doskonale czarnego w temperaturze T .	${\ Displaystyle I (\ omega, T) = {\ Frac {\ hbar \ omega ^ {3} {4 \ pi ^ {3} c ^ {2}}} ~ {\ Frac {1} {e ^ { \frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T}}-1}}}$	${\ Displaystyle I (\ omega, T) = {\ Frac {\ omega ^ {3}}{4 \ pi ^ {3}}} ~ {\ Frac {1} {e ^ {\ omega / T} -1 }}}$
Stała Stefana-Boltzmanna σ zdefiniowana	${\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {\ pi ^ {2} k_ {\ tekst {B}} ^ {4}}{60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}}}$	${\ Displaystyle \ sigma = {\ Frac {\ pi ^ {2}} {60}}}$
Bekenstein – Hawking entropia czarnej dziury	${\ Displaystyle S_ {\ tekst {BH}} = {\ Frac {A_ {\ tekst {BH}} k_ {\ tekst {B}} c ^ {3}} {4G \ hbar}} = {\ Frac {4 \pi Gk_{\text{B}}m_{\text{BH}}^{2}}{\hbar c}}}$	${\ Displaystyle S_ {\ tekst {BH}} = {\ Frac {A_ {\ tekst {BH}}} {4}} = 4 \ pi m_ {\ tekst {BH}} ^ {2}}$
równanie Schrödingera	${\ Displaystyle - {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {2 m}} \ nabla ^ {2} \ psi (\ mathbf {r} t) + V (\ mathbf {r} t) \ psi ( \mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\częściowy \psi (\mathbf {r} ,t)}{\częściowy t}}}$	${\ Displaystyle - {\ Frac {1} {2 m}} \ nabla ^ {2} \ psi (\ mathbf {r} t) + V (\ mathbf {r} t) \ psi (\ mathbf {r} ,t)=i{\frac {\częściowy \psi (\mathbf {r} ,t)}{\częściowy t}}}$
Hamiltonian forma równania Schrödingera	${\ Displaystyle H \ lewo \| \ psi _ {t} \ prawo \ rangle = ja \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ po lewej \| \ psi _ {t} \ po prawej \ rangle}$	${\ Displaystyle H \ lewo \| \ psi _ {t} \ prawo \ rangle = ja {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo \| \ psi _ {t} \ po prawej \ rangle}$
Forma kowariantna równania Diraca	${\ Displaystyle \ (i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu}-mc) \ psi = 0}$	${\ Displaystyle \ (ja \ gamma ^ {\ mu} \ częściowy _ {\ mu}-m) \ psi = 0}$
Niesamowita temperatura	${\ Displaystyle T = {\ Frac {\ Hbar a} {2 \ pi ck_ {B}}}}$	${\ Displaystyle T = {\ Frac {a} {2 \ pi}}}$
prawo Coulomba	${\ Displaystyle F = {\ Frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ Frac {q_ {1} q_ {2}} {r ^ {2}}}}$	${\ Displaystyle F = {\ Frac {q_ {1} q_ {2}} {r ^ {2}}}}$
równania Maxwella	${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {e} = {\ Frac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ rho}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {E} =-{\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B}} {\ częściowy t}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {B} = {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ lewo ({\ Frac {1} {\ epsilon _ {0}}} \ mathbf {J} +{\frac {\częściowy \mathbf {E} }{\częściowy t}}\prawo)}$	${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {e} = 4 \ pi \ rho \}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {E} =-{\ Frac {\ częściowy \ mathbf {B}} {\ częściowy t}}}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ mathbf {B} = 4 \ pi \ mathbf {J} + {\ Frac {\ częściowy \ mathbf {E}} {\ częściowy t}}}$
Prawo gazu doskonałego	${\ Displaystyle PV = Nk_ {B} T}$ lub $PV=nRT$	$PV=NT$

Alternatywne wybory normalizacji

Jak już wspomniano powyżej, jednostki Plancka są uzyskiwane przez „normalizację” wartości liczbowych pewnych stałych podstawowych do 1. Te normalizacje nie są ani jedyne możliwe, ani koniecznie najlepsze. Co więcej, wybór, które czynniki normalizować, wśród czynników występujących w podstawowych równaniach fizyki, nie jest oczywisty, a wartości jednostek Plancka są na ten wybór wrażliwe.

Współczynnik 4 $π$ jest wszechobecny w fizyce teoretycznej, ponieważ pole powierzchni kuli o promieniu r wynosi 4 $π$ r ² w kontekstach o symetrii sferycznej w trzech wymiarach. To, wraz z koncepcją topnika , są podstawą do prawa odwrotnych kwadratów , Prawo Gaussa , a rozbieżności operatora stosowanej do indukcji . Na przykład pola grawitacyjne i elektrostatyczne wytwarzane przez ładunki punktowe mają symetrię sferyczną (Barrow 2002: 214–15). Na przykład 4 $π$ r ² występujące w mianowniku prawa Coulomba w postaci zracjonalizowanej wynika ze strumienia pola elektrostatycznego rozłożonego równomiernie na powierzchni kuli. Podobnie dla prawa powszechnego ciążenia Newtona. (Gdyby przestrzeń miała więcej niż trzy wymiary przestrzenne, współczynnik 4 $π$ byłby zmieniony zgodnie z geometrią kuli w wyższych wymiarach ).

Stąd znaczna część teorii fizycznych opracowanych od czasu Plancka (1899) sugeruje normalizację nie G, ale 4 $π$ G (lub 8 $π$ G ) do 1. W ten sposób wprowadzonoby czynnik1/4 $π$ (lub 1/8 $π$ ) w niewymiarową formę prawa powszechnego ciążenia, zgodną z nowoczesnym zracjonalizowanym sformułowaniem prawa Coulomba w kategoriach przenikalności próżniowej. W rzeczywistości alternatywne normalizacje często zachowują współczynnik1/4 $π$ również w bezwymiarowej postaci prawa Coulomba, tak że niewymiarowe równania Maxwella dla elektromagnetyzmu i grawitoelektromagnetyzmu przyjmują taką samą postać jak równania dla elektromagnetyzmu w układzie SI, które nie mają żadnych współczynników 4 $π$ . Kiedy zastosuje się to do stałych elektromagnetycznych ε ₀ , ten system jednostek nazywa się „ zracjonalizowanym ” . W przypadku zastosowania dodatkowo do grawitacji i jednostek Plancka, są one nazywane zracjonalizowanymi jednostkami Plancka i są postrzegane w fizyce wysokich energii.

Zracjonalizowane jednostki Plancka są tak zdefiniowane, że . ${\ Displaystyle c = 4 \ pi G = \ hbar = \ varepsilon _ {0} = k_ {\ tekst {B}} = 1}$

Istnieje kilka możliwych alternatywnych normalizacji.

Stała grawitacyjna

W 1899 r. prawo powszechnego ciążenia Newtona było nadal postrzegane jako dokładne, a nie jako wygodne przybliżenie dotyczące „małych” prędkości i mas (przybliżona natura prawa Newtona została pokazana po opracowaniu ogólnej teorii względności w 1915 r.). Stąd Planck znormalizował do 1 stałą grawitacyjną G w prawie Newtona. W teoriach powstałych po 1899 r. G prawie zawsze występuje we wzorach pomnożonych przez 4 $π$ lub małą ich wielokrotność całkowitą. Dlatego przy projektowaniu układu jednostek naturalnych należy dokonać wyboru, czy przypadki wystąpienia 4 $π$ występujące w równaniach fizyki mają zostać wyeliminowane poprzez normalizację.

Normalizacja 4 $π$ G do 1 (a zatem ustawienie G =1/4 $π$ ):

Prawa Gaussa dla ciężkości staje Φ _g = - M (zamiast Φ _g = -4 $π$ M w jednostkach Plancka).
Eliminuje 4 $π$ G z równania Poissona .
Eliminuje 4 $π$ G w równaniach grawitoelektromagnetycznych (GEM), które zachodzą w słabych polach grawitacyjnych lub lokalnie płaskiej czasoprzestrzeni . Równania te mają taką samą postać jak równania Maxwella (i równanie siły Lorentza ) elektromagnetyzmu , z gęstością masową zastępującą gęstość ładunku i z1/4 $π$ Gzastępując ε ₀ .
Normalizuje impedancję Z _g na promieniowanie grawitacyjnego w wolnej przestrzeni 1 (normalnie wyrażane4 $π$ G/C).
Eliminuje 4 $π$ G ze wzoru Bekensteina–Hawkinga (dla entropii czarnej dziury wyrażonej masą m _BH i powierzchnią jej horyzontu zdarzeń A _BH ), który jest uproszczony do S _BH = $π$ A _BH = ( m _BH ) ² .

Ustawienie 8 $π$ G = 1 (a zatem ustawienie G =1/8 $π$ ). To wyeliminowałoby 8 $π$ G z równań pola Einsteina , działania Einsteina-Hilberta i równań Friedmanna dla grawitacji. Jednostki Plancka zmodyfikowane tak, że 8 $π$ G = 1 są znane jako zredukowane jednostki Plancka , ponieważ masa Plancka jest podzielona przez √ 8 $π$ . Również wzór Bekensteina-Hawkinga na entropię czarnej dziury upraszcza się do S _BH = ( m _BH ) ² /2 = 2 $π$ A _BH .

Jednostki Plancka i niezmiennicze skalowanie natury

Niektórzy teoretycy (tacy jak Dirac i Milne ) proponowali kosmologie, które przypuszczają, że fizyczne „stałe” mogą faktycznie zmieniać się w czasie (np. zmienna prędkość światła lub teoria G Diraca zmienna ). Takie kosmologie nie zyskały powszechnej akceptacji, a jednak nadal istnieje duże zainteresowanie naukowe możliwością zmiany fizycznych „stałych”, chociaż takie propozycje wprowadzają trudne pytania. Być może pierwsze pytanie, na które należy odpowiedzieć, brzmi: w jaki sposób taka zmiana spowodowałaby zauważalną różnicę operacyjną w pomiarach fizycznych lub, bardziej fundamentalnie, w naszym postrzeganiu rzeczywistości? Gdyby zmieniła się jakaś konkretna stała fizyczna, jak byśmy to zauważyli lub jak zmieniłaby się rzeczywistość fizyczna? Które zmienione stałe powodują znaczącą i mierzalną różnicę w fizycznej rzeczywistości? Jeśli fizyczny stałej że nie jest bezwymiarowy , takich jak prędkość światła , zrobił w zmianę rzeczywistości, bylibyśmy w stanie dostrzec, czy mierzyć go jednoznacznie? – pytanie rozpatrywane przez Michaela Duffa w swoim artykule „Komentarz na temat zmienności w czasie stałych fundamentalnych”.

George Gamow argumentował w swojej książce Mr Tompkins in Wonderland, że wystarczająca zmiana wymiarowej stałej fizycznej, takiej jak prędkość światła w próżni, spowoduje oczywiste dostrzegalne zmiany. Ale ten pomysł jest kwestionowany:

Ważna lekcja, jaką wyciągamy ze sposobu, w jaki czyste liczby, takie jak α, definiują świat, jest tym, co tak naprawdę oznacza, że światy są różne. Czysta liczba, którą nazywamy stałą struktury subtelnej i oznaczamy przez α, jest kombinacją ładunku elektronu e , prędkości światła c i stałej Plancka h . Na początku możemy ulec pokusie, by pomyśleć, że świat, w którym prędkość światła byłaby mniejsza, byłby innym światem. Ale to byłby błąd. Jeśli c , h i e zostały zmienione tak, że wartości, które mają w jednostkach metrycznych (lub innych) były różne, gdy szukaliśmy ich w naszych tabelach stałych fizycznych, ale wartość α pozostała taka sama, ten nowy świat byłby obserwacyjnie nie do odróżnienia od naszego świata. Jedyne, co się liczy w definicji światów, to wartości bezwymiarowych stałych Natury. Jeśli wszystkie masy byłyby podwojone [w tym masa Plancka m _P ], nie można powiedzieć, ponieważ wszystkie czyste liczby określone przez stosunki dowolnej pary mas pozostają niezmienione.

— Taczka 2002

Odnosząc się do „Komentarza o zmienności w czasie stałych fundamentalnych” Duffa oraz artykułu Duffa, Okuna i Veneziano „Trialogue on the number of Fundamental Fundamentals”, zwłaszcza w części zatytułowanej „Operatorycznie nie do odróżnienia świat pana Tompkinsa”, jeśli wszystkie wielkości fizyczne (masy i inne właściwości cząstek) były wyrażone w jednostkach Plancka, wielkości te byłyby liczbami bezwymiarowymi (masa podzielona przez masę Plancka, długość podzielona przez długość Plancka itp.) i jedynymi wielkościami, które ostatecznie mierzymy w eksperymentach fizycznych lub w naszym postrzeganiu rzeczywistości są liczbami bezwymiarowymi. Kiedy zwykle mierzy się długość za pomocą linijki lub taśmy mierniczej, osoba ta faktycznie liczy znaki podziałki na danym wzorcu lub mierzy długość względem tego wzorca, co jest wartością bezwymiarową. Nie inaczej jest w przypadku eksperymentów fizycznych, ponieważ wszystkie wielkości fizyczne są mierzone względem jakiejś innej wielkości o podobnych wymiarach.

Możemy zauważyć różnicę, gdy zmienia się jakaś bezwymiarowa wielkość fizyczna, taka jak stała struktury subtelnej , α , lub stosunek mas protonu do elektronu ,m _str/m _e, zmienia się (struktury atomowe uległyby zmianie), ale gdyby wszystkie bezwymiarowe wielkości fizyczne pozostały niezmienione (obejmuje to wszystkie możliwe stosunki wielkości fizycznych o identycznych wymiarach), nie możemy stwierdzić, czy zmieniła się wielkość wymiarowa, taka jak prędkość światła , c . I rzeczywiście, koncepcja Tompkinsa traci sens w naszym postrzeganiu rzeczywistości, jeśli wielkość wymiarowa, taka jak c , zmieniła się , nawet drastycznie.

Gdyby prędkość światła c , została jakoś nagle zmniejszona o połowę i zmieniona na1/2C (ale z pewnik, że wszystkie bezwymiarowe ilości fizyczne pozostają takie same), wówczas długość Plancka będzie zwiększać się o czynnik 2 √ 2 z punktu widzenia niektórych nienaruszone obserwatora na zewnątrz. Mierzona przez „śmiertelnych” obserwatorów w jednostkach Plancka, nowa prędkość światła pozostałaby jako 1 nowa długość Plancka na 1 nowy czas Plancka – co nie różni się od starego pomiaru. Ale ponieważ przez aksjomat, wielkość atomów (w przybliżeniu promień Bohra ) jest związana z długością Plancka przez niezmienną bezwymiarową stałą proporcjonalności:

{\ Displaystyle a_ {0} = {\ Frac {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} m_ {e} e ^ {2}}} = {\ Frac {m_ {\ tekst { P}}}{m_{e}\alfa }}l_{\text{P}}.}

Wtedy atomy byłyby większe (w jednym wymiarze) o 2 √ 2 , każdy z nas byłby wyższy o 2 √ 2 , a nasze metry byłyby wyższe (i szersze i grubsze) o współczynnik 2 √ 2 . Nasze postrzeganie odległości i długości w stosunku do długości Plancka jest, zgodnie z aksjomatem, niezmienną bezwymiarową stałą.

Nasze zegary by zaznaczyć wolniej przez współczynnik 4 √ 2 (z punktu widzenia tej niezmienionej obserwatora na zewnątrz), ponieważ czas Plancka wzrosła o 4 √ 2 , ale nie będziemy znać różnicę (nasze postrzeganie trwania czasu względem czasu Plancka jest, zgodnie z aksjomatem, niezmienną bezwymiarową stałą). Ten hipotetyczny, nienaruszony obserwator na zewnątrz może zaobserwować, że światło rozchodzi się teraz z o połowę mniejszą prędkością niż poprzednio (jak również ze wszystkimi innymi obserwowanymi prędkościami), ale nadal będzie się przemieszczać299 792 458 naszych nowych metrów w czasie, który upłynął o jedną z naszych nowych sekund (1/2c × 4 √ 2 ÷ 2 √ 2 nadal jest równe299 792 458 m/s ). Nie zauważylibyśmy żadnej różnicy.

Jest to sprzeczne z tym, co pisze George Gamow w swojej książce Mr. Tompkins ; tam, Gamow sugeruje, że jeśli wymiar zależny uniwersalną stałą, takich jak C istotnej zmianie, to byłoby łatwo zauważyć różnicę. Niezgodność tę lepiej traktować jako dwuznaczność wyrażenia „zmiana stałej fizycznej” ; to, co by się stało, zależy od tego, czy (1) wszystkie inne stałe bezwymiarowe byłyby takie same, czy (2) wszystkie inne stałe zależne od wymiaru byłyby takie same. Drugi wybór jest nieco mylącą możliwością, ponieważ większość naszych jednostek miary jest definiowana w odniesieniu do wyników eksperymentów fizycznych, a wyniki eksperymentów zależą od stałych. Gamow nie odnosi się do tej subtelności; eksperymenty myślowe, które przeprowadza w swoich popularnych pracach, zakładają drugi wybór dla „zmiany stałej fizycznej” . A Duff czy Barrow zwracają uwagę, że przypisywanie zmiany w mierzalnej rzeczywistości, tj. α , do określonej wielkości składnika wymiarowego, np. c , jest nieuzasadnione. Ta sama operacyjna różnica w pomiarze lub postrzeganej rzeczywistości może być równie dobrze spowodowana zmianą h lub e, jeśli zmieni się α i nie zmienią się żadne inne stałe bezwymiarowe. Tylko bezwymiarowe stałe fizyczne ostatecznie mają znaczenie przy definiowaniu światów.

Ten niezmienny aspekt skali względnej Plancka lub jakiegokolwiek innego systemu jednostek naturalnych prowadzi wielu teoretyków do wniosku, że hipotetyczna zmiana wymiarowych stałych fizycznych może objawiać się jedynie jako zmiana bezwymiarowych stałych fizycznych . Jedną z takich bezwymiarowych stałych fizycznych jest stała struktury subtelnej . Niektórzy fizycy eksperymentalni twierdzą, że w rzeczywistości zmierzyli zmianę stałej struktury subtelnej, co zintensyfikowało debatę na temat pomiaru stałych fizycznych. Według niektórych teoretyków istnieją bardzo szczególne okoliczności, w których zmiany stałej struktury subtelnej mogą być mierzone jako zmiana wymiarowych stałych fizycznych. Inni jednak odrzucają możliwość pomiaru zmiany wymiarowych stałych fizycznych w każdych okolicznościach. Trudność lub nawet niemożność zmierzenia zmian wymiarowych stałych fizycznych skłoniła niektórych teoretyków do debaty między sobą, czy wymiarowa stała fizyczna ma w ogóle jakiekolwiek znaczenie praktyczne, a to z kolei prowadzi do pytań o to, które wymiarowe stałe fizyczne mają znaczenie.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Cytaty

Źródła

Barrow, John D. (2002). Stałe natury; Od Alfy do Omegi – Liczby, które kodują najgłębsze tajemnice Wszechświata . Nowy Jork: Książki Panteonu. Numer ISBN 978-0-375-42221-8. Łatwiej.
Barrow, John D .; Tipler, Frank J. (1986). Antropiczna zasada kosmologiczna . Oxford: Claredon Press. Numer ISBN 978-0-19-851949-2. Trudniej.
Penrose, Roger (2005). „Sekcja 31.1”. Droga do rzeczywistości . Nowy Jork: Alfred A. Knopf. Numer ISBN 978-0-679-45443-4.
Planck, Max (1899). „Über nieodwracalne Strahlungsvorgänge” . Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (w języku niemieckim). 5 : 440–480.str. 478-80 zawiera pierwszy występ jednostek bazowych Plancka innym niż za Plancka , i stałą Plancka , który Plancka oznaczonej B . a i f w tym artykule odpowiadają k i G w tym wpisie.
Tomilin, KA (1999). Naturalne układy jednostek: do stulecia systemu Planck (PDF) . Materiały XXII Warsztatu Fizyki Wysokich Energii i Teorii Pola. s. 287-296. Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 17 czerwca 2006 r.

Zewnętrzne linki

Wartość stałych podstawowych , w tym jednostek Plancka, podana przez Narodowy Instytut Standardów i Technologii (NIST).
"Era Plancka" i "Planck Time" (do 10 ^-43 sekund po urodzeniu od Wszechświata ) ( University of Oregon ).
Skala Plancka: względność spotyka mechanikę kwantową spotyka się z grawitacją z „Światła Einsteina” na UNSW
Wyższa Dimensional Algebra i Planck-Scale Fizyka przez Johna C. Baez
Adler, Ronald J. (2010). „Sześć łatwych dróg na skalę Plancka”. American Journal of Physics . 78 (9): 925-932. arXiv : 1001.1205 . Kod Bib : 2010AmJPh..78..925A . doi : 10.1119/1.3439650 . S2CID 55181581 .
Sivaram, C. (1 sierpnia 1986). „Ewolucja Wszechświata w epoce Plancka”. Astrofizyka i nauka o kosmosie . 125 (1): 189–199. Kod Bibcode : 1986 Ap&SS.125..189S . doi : 10.1007/BF00643984 . S2CID 123344693 .

Languages

In other projects