Krzywa płaszczyzny - Plane curve

W matematyce, A krzywej płaszczyzna jest krzywą w płaszczyźnie , która może być albo euklidesowa płaszczyzny An afinicznej samolot lub rzutowym płaszczyzny . Najczęściej badanymi przypadkami są gładkie krzywe płaskie (w tym odcinkowo gładkie krzywe płaskie) i algebraiczne krzywe płaskie . Krzywe płaskie obejmują również krzywe Jordana (krzywe, które obejmują obszar płaszczyzny, ale nie muszą być gładkie) oraz wykresy funkcji ciągłych .

Symboliczna reprezentacja

Krzywa płaska może być często reprezentowana we współrzędnych kartezjańskich za pomocą niejawnego równania postaci dla określonej funkcji f . Jeśli to równanie może być rozwiązane wprost dla y lub x – to znaczy przepisane jako lub dla określonej funkcji g lub h – to zapewnia to alternatywną, jawną formę reprezentacji. Krzywa płaska może być również często reprezentowana we współrzędnych kartezjańskich za pomocą równania parametrycznego postaci dla określonych funkcji i${\ Displaystyle f (x, y) = 0}$${\ Displaystyle y = g (x)}$${\displaystyle x=h(y)}$${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t))}$${\displaystyle x(t)}$${\ Displaystyle y (t).}$

Krzywe płaskie mogą czasami być również reprezentowane w alternatywnych układach współrzędnych , takich jak współrzędne biegunowe, które wyrażają położenie każdego punktu w postaci kąta i odległości od początku.

Gładka krzywa płaszczyzny

Gładka krzywa płaszczyzny jest krzywą w rzeczywistej płaszczyźnie euklidesowej R ² i jest jednowymiarową gładką rozmaitością . Oznacza to, że gładka krzywa płaska jest krzywą płaską, która „lokalnie wygląda jak linia ”, w tym sensie, że w pobliżu każdego punktu można ją odwzorować na linii za pomocą funkcji gładkiej . Równoważnie gładką krzywą płaską można podać lokalnie równaniem f ( x , y ) = 0 , gdzie f  : R ² → R jest funkcją gładką , a pochodne cząstkowe ∂ f /∂ x i ∂ f /∂ y są nigdy oba 0 w punkcie krzywej.

Krzywa płaszczyzny algebraicznej

Algebraiczna płaszczyzny krzywa jest krzywą w afinicznej lub rzutowej płaszczyzny określonej przez jeden wielomian równania F ( x , y ) = 0 (lub F ( x , y , Z ) = 0 , gdzie F jest jednorodny wielomian W rzutowej przypadku .)

Krzywe algebraiczne były intensywnie badane od XVIII wieku.

Każda krzywa płaszczyzny algebraicznej ma stopień, stopień równania definiującego, który jest równy, w przypadku ciała algebraicznie domkniętego , liczbie przecięć krzywej z prostą w położeniu ogólnym . Na przykład okrąg określony równaniem x ² + y ² = 1 ma stopień 2.

W nieosobliwe płaszczyzny algebraiczna krzywe stopnia 2 nazywane są stożkowe , a ich rzutowa zakończenia są izomorficzne z rzutowej zakończeniu okręgu x ² + r ² = 1 (to jest rzutowa krzywa równanie x ² + y ² - z ² = 0 ). Krzywe płaskie stopnia 3 nazywane są krzywymi płaszczyzny sześciennej i, jeśli nie są osobliwe, krzywymi eliptycznymi . Te z 4 stopnia nazywane są krzywymi płaszczyzny kwarcowej .

Przykłady

Liczne przykłady krzywych płaskich są pokazane w Galerii krzywych i wymienione na Liście krzywych . Tutaj pokazane są krzywe algebraiczne stopnia 1 lub 2 (krzywa algebraiczna stopnia mniejszego niż 3 jest zawsze zawarta w płaszczyźnie):

Nazwa	Niejawne równanie	Równanie parametryczne	Jako funkcja	wykres
Linia prosta	${\ Displaystyle topór + przez = c}$	${\ Displaystyle (x, y) = (x_ {0}+ \ alfa t, y_ {0}+ \ beta t)}$	${\displaystyle y=mx+c}$
Koło	${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${\ Displaystyle (x, y) = (r \ cos t, r \ sin t)}$
Parabola	${\ Displaystyle yx ^ {2} = 0}$	${\ Displaystyle (x, y) = (t, t ^ {2})}$	${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$
Elipsa	${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ Frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ Displaystyle (x, y) = (a \ cos t, b \ sin t)}$
Hiperbola	${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ Frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ Displaystyle (x, y) = (a \ cosh t, b \ sinh t)}$

Zobacz też

• Geometria różnicowa
• Geometria algebraiczna
• Krzywa Osgooda
• Dopasowanie krzywej płaskiej
• Odmiany projekcyjne

Bibliografia

• Coolidge, JL (28 kwietnia 2004), Traktat o algebraicznych krzywych płaskich , Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
• Yates, RC (1952), Podręcznik o krzywych i ich własnościach , JW Edwards, ASIN  B0007EKXV0.
• Lawrence, J. Dennis (1972), Katalog specjalnych krzywych płaszczyzny , Dover, ISBN 0-486-60288-5.

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. "Łaszczyzna" . MatematykaŚwiat .