Przypuszczenie Poincarégo - Poincaré conjecture

przypuszczenie Poincaré
P1S2all.jpg
Zwarta powierzchnia 2-wymiarowej bez granic jest topologicznie homeomorficzny do 2-kuli jeśli każda pętla może być stale dokręcone do punktu. Hipoteza Poincarégo twierdzi, że to samo dotyczy przestrzeni trójwymiarowych.
Pole Topologia geometryczna
Przypuszczalne przez Henri Poincaré
Przypuszczam w 1904
Pierwszy dowód autorstwa Grigorij Perelman
Pierwszy dowód w 2002
Zasugerowany przez
Równoważny
Uogólnienia Uogólniona hipoteza Poincare

W matematyce The przypuszczenie Poincare ( UK : / s W ć k ær / , USA : / ˌ P W ć k ɑː R / , francuski:  [pwɛkaʁe] ) jest twierdzenie o charakterystyce od 3 sfery , czyli hipersfera, która ogranicza kulę jednostkową w przestrzeni czterowymiarowej.

Przypuszczenie mówi:

Każdy prosto połączony , zamknięty 3- rozmaitość jest homeomorficzny z 3-sferą .

Ekwiwalentna forma przypuszczenia wiąże się z grubszą formą równoważności niż homeomorfizm, zwaną równoważnością homotopii : jeśli 3-rozmaitość jest homotopia równoważna 3-sferze, to z konieczności jest z nią homeomorficzna .

Twierdzenie pierwotnie wysunięte przez Henri Poincaré dotyczy przestrzeni, która lokalnie wygląda jak zwykła przestrzeń trójwymiarowa, ale jest połączona, ma skończony rozmiar i nie ma żadnych granic ( zamknięta trójdzielność ). Hipoteza Poincarégo głosi, że jeśli taka przestrzeń ma dodatkową właściwość polegającą na tym, że każda pętla w przestrzeni może być w sposób ciągły zaciskana do punktu, to z konieczności jest to sfera trójwymiarowa. W analogicznych przypuszczenia wszystkich większych wymiarach udowodniono przed stwierdzono dowód pierwotnej hipotezy.

Po prawie stuleciu wysiłków matematyków, Grigori Perelman przedstawił dowód hipotezy w trzech artykułach udostępnionych w 2002 i 2003 roku na temat arXiv . Dowód oparty na programie Richarda S. Hamiltona polegający na użyciu przepływu Ricciego do próby rozwiązania problemu. Hamilton później wprowadził modyfikację standardowego przepływu Ricciego, zwanego przepływem Ricciego z chirurgią, aby systematycznie wycinać pojedyncze regiony w miarę ich rozwoju, w kontrolowany sposób, ale nie był w stanie udowodnić, że ta metoda jest „zbieżna” w trzech wymiarach. Perelman uzupełnił tę część dowodu. Kilka zespołów matematyków potwierdziło, że dowód Perelmana był poprawny.

Hipoteza Poincarégo, zanim została udowodniona, była jednym z najważniejszych otwartych pytań w topologii . W 2000 r. został uznany za jeden z siedmiu problemów związanych z Nagrodą Milenijną , za które Clay Mathematics Institute zaoferował nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów za pierwsze prawidłowe rozwiązanie. Praca Perelmana przetrwała przegląd i została potwierdzona w 2006 roku, co doprowadziło do zaproponowania mu Medalu Fieldsa , ale odmówił. Perelman otrzymał Nagrodę Milenijną 18 marca 2010 r. 1 lipca 2010 r. odrzucił nagrodę, mówiąc, że wierzy, iż jego wkład w udowodnienie hipotezy Poincarégo nie jest większy niż wkład Hamiltona. Na dzień 17 października 2021 r. hipoteza Poincarégo jest jedynym rozwiązanym problemem milenijnym.

22 grudnia 2006 r. czasopismo Science uhonorowało dowód Perelmana dotyczący hipotezy Poincaré jako naukowy „ Przełom Roku ”, po raz pierwszy przyznając to wyróżnienie w dziedzinie matematyki.

Historia

Żadna z dwóch kolorowych pętli na tym torusie nie może być stale dociągana do punktu. Torus nie jest homeomorficzny ze sferą.

Pytanie Poincare

Henri Poincaré pracował nad podstawami topologii — co później nazwano topologią kombinatoryczną, a następnie topologią algebraiczną . Szczególnie interesowało go, jakie własności topologiczne charakteryzują sferę .

Poincaré twierdził w 1900 roku, że homologia , narzędzie, które wymyślił na podstawie wcześniejszych prac Enrico Bettiego , wystarcza do stwierdzenia, czy 3-rozmaitość jest 3-sferą . Jednak w artykule z 1904 roku opisał kontrprzykład tego twierdzenia, przestrzeń zwaną obecnie sferą homologii Poincarégo . Sfera Poincarégo była pierwszym przykładem sfery homologii , rozmaitości, która miała taką samą homologię jak sfera, z której od tego czasu skonstruowano wiele innych. Aby ustalić, że sfera Poincaré różni się od sfery 3, Poincaré wprowadził nowy niezmiennik topologiczny , grupę fundamentalną i wykazał, że sfera Poincaré ma podstawową grupę o porządku 120, podczas gdy sfera 3 ma trywialną grupę podstawową. W ten sposób mógł wywnioskować, że te dwie przestrzenie są rzeczywiście różne.

W tej samej pracy Poincaré zastanawiał się, czy 3-rozmaitość z homologią 3-sfery, a także trywialna grupa podstawowa musi być 3-sferą. Nowy warunek Poincarégo – tj. „trywialna grupa podstawowa” – może być powtórzony jako „każda pętla może zostać zmniejszona do punktu”.

Pierwotne sformułowanie brzmiało następująco:

Rozważmy kompaktową, trójwymiarową rozmaitość V bez granic. Czy to możliwe, że podstawowa grupa V może być trywialna, mimo że V nie jest homeomorficzna z trójwymiarową sferą?

Poincaré nigdy nie oświadczył, czy wierzy, że ten dodatkowy warunek będzie charakteryzował 3-sferę, niemniej jednak stwierdzenie, że tak jest, znane jest jako przypuszczenie Poincarégo. Oto standardowa forma przypuszczenia:

Każdy prosto połączony , zamknięty 3- rozmaitość jest homeomorficzny z 3-sferą.

Zwróć uwagę, że „zamknięty” oznacza tutaj, jak zwykle w tym obszarze, warunek bycia zwartym pod względem ustalonej topologii, a także bez granic (3-wymiarowa przestrzeń euklidesowa jest przykładem po prostu połączonej 3-rozmaitości, która nie jest homeomorficzna z 3). -sfera, ale nie jest zwarta, a zatem nie jest kontrprzykładem).

Rozwiązania

Problem ten wydawał się być uśpiony, dopóki JHC Whitehead nie ożywił zainteresowania hipotezą, kiedy w latach 30. po raz pierwszy zażądał dowodu, a następnie go wycofał. W tym procesie odkrył kilka przykładów prosto połączonych (w rzeczywistości kurczliwych, tj. homotopicznie równoważnych punktowi) niezwartych 3-rozmaitości nie homeomorficznych do , których prototyp nazywa się obecnie rozmaitością Whiteheada .

W latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych inni matematycy próbowali udowodnić te przypuszczenia tylko po to, by odkryć, że zawierają one wady. Wpływowi matematycy, tacy jak Georges de Rham , RH Bing , Wolfgang Haken , Edwin E. Moise i Christos Papakyriakopoulos, próbowali udowodnić to przypuszczenie. W 1958 r. Bing udowodnił słabą wersję hipotezy Poincarégo: jeśli każda prosta zamknięta krzywa zwartej trójki jest zawarta w trójkuli, to rozmaitość jest homeomorficzna z trójsferą. Bing opisał również niektóre pułapki w próbie udowodnienia hipotezy Poincarégo.

Włodzimierz Jakobsche wykazał w 1978 r., że jeśli hipoteza Binga–Borsuka jest prawdziwa w wymiarze 3, to hipoteza Poincarégo również musi być prawdziwa.

Z biegiem czasu przypuszczenie zyskało reputację szczególnie trudnego do rozwiązania. John Milnor zauważył, że czasami błędy w fałszywych dowodach mogą być „raczej subtelne i trudne do wykrycia”. Praca nad hipotezą poprawiła zrozumienie 3 rozmaitości. Eksperci w tej dziedzinie często niechętnie ogłaszali dowody i mieli tendencję do patrzenia na takie ogłoszenie ze sceptycyzmem. Lata 80. i 90. były świadkiem kilku dobrze nagłośnionych fałszywych dowodów (które w rzeczywistości nie zostały opublikowane w formie recenzowanej ).

Ekspozycja prób udowodnić hipotezę można znaleźć w książce nietechnicznym Prize Poincarego przez George'a Szpiro .

Wymiary

Klasyfikacja zamkniętych powierzchni daje odpowiedź twierdzącą analogiczny problem, w dwóch wymiarach. Dla wymiarów większych niż trzy można postawić uogólnioną hipotezę Poincarégo: czy n- sfera homotopii jest homeomorficzna z n- sferą? Konieczne jest silniejsze założenie; wymiary i czterech wyższych są prosto połączonych, zamkniętych, które nie są kolektory homotopią równoważne do n -sphere.

Historycznie, podczas gdy przypuszczenie w trzecim wymiarze wydawało się wiarygodne, uogólnione przypuszczenie uważano za fałszywe. W 1961 roku Stephen Smale zaszokował matematyków, udowadniając hipotezę uogólnionego Poincarégo dla wymiarów większych niż cztery i rozszerzył swoje techniki, aby udowodnić fundamentalne twierdzenie o h-kobordyzmie . W 1982 roku Michael Freedman udowodnił hipotezę Poincarégo w czterech wymiarach. Praca Freedmana pozostawiła otwartą możliwość, że istnieje gładka czterorozmaitościowa homeomorficzna do czterosfery, która nie jest dyfeomorficzna do czterosfery . Ta tak zwana gładka hipoteza Poincarégo, w wymiarze czwartym, pozostaje otwarta i uważana za bardzo trudną. MILNOR „s egzotycznych kulki pokazują, że gładka Hipoteza Poincarégo jest fałszywe w wymiarze siedmiu, na przykład.

Te wcześniejsze sukcesy w wyższych wymiarach pozostawiły przypadek trzech wymiarów w stanie zawieszenia. Przypuszczenie Poincarégo było zasadniczo prawdziwe zarówno w czwartym wymiarze, jak i we wszystkich wyższych wymiarach, z zasadniczo różnych powodów. W trzecim wymiarze hipoteza miała niepewną reputację, dopóki hipoteza geometryzacyjna nie umieściła jej w ramach rządzących wszystkimi trzema rozmaitościami. John Morgan napisał:

Uważam, że przed pracą Thurstona nad hiperbolicznymi trójrozmaitościami i . . . hipoteza geometryzacyjna wśród ekspertów nie było zgody co do tego, czy hipoteza Poincarégo jest prawdziwa czy fałszywa. Po pracy Thurstona, pomimo faktu, że nie miała ona bezpośredniego związku z hipotezą Poincarégo, rozwinął się konsensus, że hipoteza Poincaré (i hipoteza geometryzacyjna) jest prawdziwa.

Program i rozwiązanie Hamiltona

Kilka etapów przepływu Ricciego na dwuwymiarowej rozmaitości

Program Hamiltona został zapoczątkowany w jego pracy z 1982 r., w której przedstawił przepływ Ricciego na rozmaitości i pokazał, jak go użyć do udowodnienia pewnych szczególnych przypadków hipotezy Poincarégo. W następnych latach przedłużył tę pracę, ale nie był w stanie udowodnić przypuszczenia. Rzeczywiste rozwiązanie nie zostało znalezione, dopóki Grigori Perelman nie opublikował swoich artykułów.

Pod koniec 2002 i 2003 Perelman opublikował trzy artykuły na temat arXiv . W tych pracach naszkicował dowód hipotezy Poincarégo i bardziej ogólnej hipotezy, hipotezy geometryzacyjnej Thurstona , uzupełniając program przepływu Ricciego nakreślony wcześniej przez Richarda S. Hamiltona .

Od maja do lipca 2006 r. kilka grup przedstawiło następujące artykuły, które uzupełniały szczegóły dowodu hipotezy Poincarégo przedstawionego przez Perelmana:

  • Bruce Kleiner i John W. Lott opublikowali artykuł na temat arXiv w maju 2006 r., który wypełnił szczegóły dowodu Perelmana na hipotezę geometryzacyjną, po częściowych wersjach, które były publicznie dostępne od 2003 r. Ich rękopis został opublikowany w czasopiśmie „Geometry and Topologia” w 2008 r. Niewielka liczba poprawek została dokonana w latach 2011 i 2013; na przykład pierwsza wersja ich opublikowanego artykułu wykorzystywała nieprawidłową wersję twierdzenia Hamiltona o zwartości dla przepływu Ricciego.
  • Huai-Dong Cao i Xi-Ping Zhu opublikowali artykuł w czerwcowym wydaniu Asian Journal of Mathematics z czerwcowym przedstawieniem pełnego dowodu hipotez Poincaré i geometryzacji. W pierwszym akapicie ich artykułu stwierdzono:

W niniejszym artykule przedstawimy teorię przepływu Ricciego Hamiltona-Perelmana. Na tej podstawie przedstawimy pierwszy pisemny opis pełnego dowodu hipotezy Poincarégo i hipotezy geometryzacyjnej Thurstona. Podczas gdy cała praca jest skumulowanym wysiłkiem wielu analityków geometrycznych, głównymi wkładami są bez wątpienia Hamilton i Perelman.

Niektórzy obserwatorzy interpretowali Cao i Zhu jako przypisujące zasługi pracy Perelmana. Później opublikowali poprawioną wersję, z nowym sformułowaniem, na arXiv. Ponadto strona ich ekspozycji była zasadniczo identyczna ze stroną jednego z wczesnych publicznie dostępnych szkiców Kleinera i Lotta; zostało to również zmienione w poprawionej wersji, wraz z przeprosinami ze strony redakcji czasopisma.
  • John Morgan i Gang Tian opublikowali artykuł na temat arXiv w lipcu 2006 roku, który dał szczegółowy dowód jedynie hipotezy Poincarégo (która jest nieco łatwiejsza niż hipoteza pełnej geometryzacji) i rozszerzył ją do postaci książki. W 2015 r. Abbas Bahri wskazał, że strony 441-445 ekspozycji Morgana i Tiana były błędne. Błąd został później naprawiony przez Morgana i Tiana.

Wszystkie trzy grupy stwierdziły, że luki w pracach Perelmana były niewielkie i można je było uzupełnić jego własnymi technikami.

22 sierpnia 2006 r. ICM przyznał Perelmanowi Medal Fieldsa za jego pracę nad przypuszczeniem, ale Perelman odmówił przyznania medalu. John Morgan przemawiał w ICM na temat hipotezy Poincarégo 24 sierpnia 2006 r., deklarując, że „w 2003 r. Perelman rozwiązał hipotezę Poincarégo”.

W grudniu 2006 r. czasopismo Science uhonorowało dowód hipotezy Poincarégo Przełomem Roku i umieścił go na okładce.

Ricci flow z operacją

Program Hamiltona do udowodnienia hipotezy Poincarégo polega najpierw na umieszczeniu metryki Riemanna na nieznanym, prosto połączonym zamkniętym trójdzielnym rozmaitości. Podstawową ideą jest próba „ulepszenia” tej metryki; na przykład, jeśli metrykę można poprawić na tyle, aby miała stałą dodatnią krzywiznę, to zgodnie z klasycznymi wynikami w geometrii riemannowskiej, musi to być 3-sfera. Hamilton przepisał „ Równania przepływu Ricciego ” w celu ulepszenia metryki;

gdzie g to metryka, a R to krzywizna Ricciego, i można mieć nadzieję, że wraz ze wzrostem czasu t rozmaitość stanie się łatwiejsza do zrozumienia. Przepływ Ricciego rozszerza część kolektora o ujemnej krzywiźnie i kurczy część o dodatniej krzywiźnie.

W niektórych przypadkach Hamilton był w stanie wykazać, że to działa; na przykład jego pierwotnym przełomem było wykazanie, że jeśli rozmaitość Riemanna ma wszędzie dodatnią krzywiznę Ricciego, to powyższa procedura może być zastosowana tylko dla ograniczonego przedziału wartości parametrów, z , a co ważniejsze, że istnieją liczby takie jak , metryki Riemanna płynnie zbiegają się do jednej o stałej dodatniej krzywiźnie. Zgodnie z klasyczną geometrią Riemanna, jedyną połączoną zwartą rozmaitością, która może obsługiwać metrykę Riemanna o stałej dodatniej krzywiźnie, jest sfera. W efekcie Hamilton pokazał szczególny przypadek hipotezy Poincarégo: jeśli zwarta, po prostu połączona 3-rozmaitość obsługuje metrykę Riemanna o dodatniej krzywiźnie Ricciego, to musi być ona dyfeomorficzna do 3-sfery.

Jeśli zamiast tego mamy tylko arbitralną metrykę Riemanna, równania przepływu Ricciego muszą prowadzić do bardziej skomplikowanych osobliwości. Największym osiągnięciem Perelmana było pokazanie, że jeśli przyjmie się pewną perspektywę, jeśli pojawią się w skończonym czasie, te osobliwości mogą tylko wyglądać jak kurczące się kule lub cylindry. Mając ilościowe zrozumienie tego zjawiska, przecina on rozmaitość wzdłuż osobliwości, dzieląc rozmaitość na kilka kawałków, a następnie kontynuuje przepływ Ricciego na każdym z tych kawałków. Ta procedura jest znana jako przepływ Ricci z operacją.

Perelman przedstawił osobny argument oparty na przepływie skracającym krzywą, aby pokazać, że na prosto podłączonym kompaktowym trójdzielnym układzie każde rozwiązanie przepływu Ricciego z operacją wygasa w skończonym czasie. Alternatywnego argumentu, opartego na teorii min-max powierzchni minimalnych i teorii miary geometrycznej, przedstawili Tobias Colding i William Minicozzi . Stąd, w prostym kontekście, powyższe zjawiska skończonego czasu przepływu Ricciego z operacją są wszystkim, co jest istotne. W rzeczywistości jest to prawdą nawet wtedy, gdy grupa podstawowa jest wolnym produktem grup skończonych i grup cyklicznych.

Ten warunek na grupie podstawowej okazuje się konieczny i wystarczający do wygaśnięcia w skończonym czasie. Jest to równoznaczne z powiedzeniem, że główny rozkład rozmaitości nie zawiera składników acyklicznych i okazuje się równoważny z warunkiem, że wszystkie elementy geometryczne rozmaitości mają geometrie oparte na dwóch geometriach Thurstona S 2 × R i S 3 . W kontekście, że jeden sprawia żadnych założeń o fundamentalnej grupy ogóle, Perelman wykonane dalsze badania technicznego limitu kolektora dla nieskończenie dużych czasów, aw ten sposób udowodnił Thurston za geometryzację przypuszczenie: w dużych czasów kolektor ma grubościenna cienki rozkład , którego gruby kawałek ma strukturę hiperboliczną, a cienki kawałek jest rozmaitością grafową . Jednak ze względu na wyniki Perelmana, Coldinga i Minicozziego te dalsze wyniki są niepotrzebne, aby udowodnić przypuszczenie Poincarégo.

Rozwiązanie

13 listopada 2002 r. rosyjski matematyk Grigori Perelman opublikował pierwszy z serii trzech eprintów na arXiv przedstawiający rozwiązanie hipotezy Poincarégo. Dowód Perelmana wykorzystuje zmodyfikowaną wersję programu przepływowego Ricciego opracowanego przez Richarda S. Hamiltona . W sierpniu 2006 roku Perelman został nagrodzony, ale odmówił, Medal Fieldsa (o wartości 15 000 CAD) za swój dowód. 18 marca 2010 r. Clay Mathematics Institute przyznał Perelmanowi nagrodę Millenium w wysokości 1 miliona dolarów w uznaniu jego dowodu. Perelman również odrzucił tę nagrodę.

Perelman udowodnił przypuszczenie, deformując rozmaitość za pomocą przepływu Ricciego (który zachowuje się podobnie do równania ciepła opisującego dyfuzję ciepła przez obiekt). Przepływ Ricciego zwykle odkształca rozmaitość w kierunku bardziej zaokrąglonego kształtu, z wyjątkiem niektórych przypadków, w których rozciąga rozmaitość od siebie w kierunku tzw. osobliwości . Perelman i Hamilton następnie posiekają rozmaitość w osobliwościach (proces zwany „chirurgią”), powodując, że oddzielne kawałki formują się w kształty podobne do kuli. Główne etapy dowodu polegają na wykazaniu, jak zachowują się rozmaitości, gdy są odkształcone przez przepływ Ricciego, zbadaniu, jakiego rodzaju osobliwości się rozwijają, ustaleniu, czy ten proces chirurgiczny może zostać ukończony i ustaleniu, że operacja nie musi być powtarzana nieskończenie wiele razy.

Pierwszym krokiem jest odkształcenie kolektora za pomocą przepływu Ricciego . Przepływ Ricciego został zdefiniowany przez Richarda S. Hamiltona jako sposób deformacji rozmaitości. Wzór na przepływ Ricciego jest imitacją równania ciepła, które opisuje sposób przepływu ciepła w ciele stałym. Podobnie jak przepływ ciepła, przepływ Ricciego ma tendencję do jednolitego zachowania. W przeciwieństwie do przepływu ciepła, przepływ Ricciego może wpaść w osobliwości i przestać działać. Osobliwość w rozmaitości to miejsce, w którym nie da się jej odróżnić: jak róg lub wierzchołek, czy uszczypnięcie. Przepływ Ricciego zdefiniowano tylko dla gładkich rozmaitości różniczkowalnych. Hamilton użył przepływu Ricciego, aby udowodnić, że niektóre zwarte rozmaitości są dyfeomorficzne względem sfer i miał nadzieję zastosować go do udowodnienia hipotezy Poincarégo. Musiał zrozumieć osobliwości.

Hamilton stworzył listę możliwych osobliwości, które mogą powstać, ale obawiał się, że niektóre osobliwości mogą prowadzić do trudności. Chciał wyciąć rozmaitość w osobliwościach i wkleić w czapki, a następnie ponownie uruchomić przepływ Ricciego, więc musiał zrozumieć osobliwości i pokazać, że pewne rodzaje osobliwości nie występują. Perelman odkrył, że wszystkie osobliwości są bardzo proste: zasadniczo trójwymiarowe cylindry wykonane z kul rozciągniętych wzdłuż linii. Zwykły walec wykonuje się za pomocą kółek rozciągniętych wzdłuż linii. Perelman udowodnił to, używając czegoś, co nazywa się „Objętością zredukowaną”, która jest ściśle związana z wartością własną pewnego równania eliptycznego .

Czasami skomplikowana operacja sprowadza się do mnożenia przez skalar (liczbę). Takie liczby nazywane są wartościami własnymi tej operacji. Wartości własne są ściśle związane z częstotliwościami drgań i są wykorzystywane w analizie słynnego problemu: czy słyszysz kształt bębna? Zasadniczo wartość własna jest jak nuta grana przez rozmaitość. Perelman udowodnił, że ta nuta rośnie, gdy rozmaitość jest deformowana przez przepływ Ricciego. To pomogło mu wyeliminować niektóre z bardziej kłopotliwych osobliwości, które dotyczyły Hamiltona, zwłaszcza roztwór solitonu cygar, który wyglądał jak nitka wystająca z kolektora bez niczego po drugiej stronie. W istocie Perelman wykazał, że wszystkie tworzące się pasma można ciąć i zakrywać, a żadne nie wystają tylko z jednej strony.

Uzupełniając dowód, Perelman bierze dowolną zwartą, po prostu połączoną, trójwymiarową rozmaitość bez granic i zaczyna uruchamiać przepływ Ricciego. Powoduje to deformację kolektora na okrągłe kawałki z biegnącymi między nimi pasmami. Przecina pasma i dalej deformuje rozmaitość, aż w końcu zostaje z kolekcją okrągłych trójwymiarowych sfer. Następnie odbudowuje pierwotną rozmaitość, łącząc sfery razem za pomocą trójwymiarowych cylindrów, przekształca je w okrągły kształt i widzi, że pomimo całego początkowego zamieszania, rozmaitość była w rzeczywistości homeomorficzna ze sferą.

Natychmiast zadano pytanie, jak można być pewnym, że nieskończenie wiele cięć nie jest koniecznych. Zostało to podniesione ze względu na cięcie potencjalnie postępujące w nieskończoność. Perelman udowodnił, że to niemożliwe, używając minimalnych powierzchni na kolektorze. Minimalna powierzchnia to zasadniczo film mydlany. Hamilton wykazał, że pole powierzchni minimalnej zmniejsza się, gdy rozmaitość przechodzi przez przepływ Ricciego. Perelman sprawdził, co się stało z obszarem minimalnej powierzchni, gdy kolektor został pocięty. Udowodnił, że ostatecznie obszar jest tak mały, że każde nacięcie za obszarem jest tak małe, że może być tylko odcinaniem trójwymiarowych kul, a nie bardziej skomplikowanych kawałków. Jest to opisane w walce z Hydra przez Sormani w książce Szpiro w cytowanym poniżej. Ta ostatnia część dowodu pojawiła się w trzecim i ostatnim artykule Perelmana na ten temat.

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki