Ogólna topologia — General topology

W sinusoida zagęszczona , dobrym przykładem punktu nastawy topologii. Jest połączony, ale nie połączony ścieżką.

W matematyce , topologia ogólna jest oddział topologii , która zajmuje się podstawowymi set-teoretyczne definicje i konstrukcje wykorzystywane w topologii. To jest podstawą większości innych gałęzi topologii, w tym topologii różniczkowej , topologii geometrycznej i topologii algebraicznej . Inną nazwą topologii ogólnej jest topologia z zestawem punktów .

Podstawowe pojęcia w topologii zbioru punktów to ciągłość , zwartość i łączność :

  • Ciągłe funkcje intuicyjnie przenoszą pobliskie punkty do pobliskich punktów.
  • Kompaktowe zestawy to takie, które można pokryć skończoną liczbą zestawów o dowolnie małych rozmiarach.
  • Połączone zestawy to zestawy, których nie można podzielić na dwie części, które są daleko od siebie.

Terminy „w pobliżu”, „arbitralnie mały” i „daleko od siebie” można sprecyzować za pomocą koncepcji zbiorów otwartych . Jeśli zmienimy definicję „zbioru otwartego”, zmienimy to, czym są funkcje ciągłe, zbiory zwarte i zbiory połączone. Każdy wybór definicji „zbioru otwartego” jest nazywany topologią . Zbiór z topologią nazywamy przestrzenią topologiczną .

Przestrzenie metryczne to ważna klasa przestrzeni topologicznych, w którychna parach punktów w zbiorze można zdefiniowaćrzeczywistą, nieujemną odległość, zwaną również metryką . Posiadanie metryki upraszcza wiele dowodów, a wiele z najczęstszych przestrzeni topologicznych to przestrzenie metryczne.

Historia

Ogólna topologia wyrosła z kilku obszarów, przede wszystkim z następujących:

Ogólna topologia przybrała obecną postać około 1940 roku. Ujmuje, można powiedzieć, prawie wszystko w intuicji ciągłości , w formie adekwatnej technicznie, która może być zastosowana w dowolnej dziedzinie matematyki.

Topologia na zestawie

Niech X będzie zbiorem i niech τ być rodzina z podzbiorów w X . Wtedy τ nazywamy topologią na X, jeśli:

  1. Zarówno zbiór pusty, jak i X są elementami τ
  2. Każda suma elementów τ jest elementem τ
  3. Każde przecięcie skończenie wielu elementów τ jest elementem τ

Jeżeli τ jest topologią na X , to para ( X , τ ) nazywana jest przestrzenią topologiczną . Notacja X τ może być użyta do oznaczenia zbioru X wyposażonego w określoną topologię τ .

Członkowie τ są w X nazywani zbiorami otwartymi . Mówi się, że podzbiór X jest zamknięty, jeśli jego uzupełnienie jest w τ (tj. jego uzupełnienie jest otwarte). Podzbiór X może być otwarty, zamknięty, oba ( zbiór clopen ) lub żaden. Pusty zestaw i sam X są zawsze zamknięte i otwarte.

Podstawa topologii

Bazowa (albo podstawa ) B na przestrzeni topologicznej X z topologii T jest zbiorem zbiorów otwartych w T takie, że każdy zbiór otwarty w T może być zapisany jako unii elementów B . Mówimy, że baza generuje topologię T . Bazy są przydatne, ponieważ wiele właściwości topologii można zredukować do stwierdzeń dotyczących bazy, która generuje daną topologię — i ponieważ wiele topologii najłatwiej jest zdefiniować w kategoriach bazy, która je generuje.

Podprzestrzeń i iloraz

Każdemu podzbiorowi przestrzeni topologicznej można nadać topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przecięciami zbiorów otwartych większej przestrzeni z podzbiorem. Dla dowolnej zindeksowanej rodziny przestrzeni topologicznych produktowi można nadać topologię iloczynu , która jest generowana przez odwrócone obrazy otwartych zbiorów czynników pod odwzorowaniami rzutowania . Na przykład w produktach skończonych podstawą topologii produktów są wszystkie produkty zbiorów otwartych. W przypadku produktów nieskończonych istnieje dodatkowy wymóg, aby w podstawowym otwartym zestawie prawie wszystkie rzuty obejmowały całą przestrzeń.

Przestrzeń iloraz jest określona następująco: Jeżeli X jest topologii powierzchni i Y jest zestaw i f  : XY jest suriekcją funkcja , to Topologia iloraz na Y jest zbiór podzbiorów Y , które mają otwarte obrazów odwrotnych pod f . Innymi słowy, topologia ilorazowa jest najlepszą topologią na Y, dla której f jest ciągłe. Typowym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności w przestrzeni topologicznej X . Mapa f jest więc naturalnym odwzorowaniem na zbiór klas równoważności .

Przykłady przestrzeni topologicznych

Dany zestaw może mieć wiele różnych topologii. Jeśli zestaw ma inną topologię, jest postrzegany jako inna przestrzeń topologiczna.

Dyskretne i trywialne topologie

Każdemu zestawowi można nadać dyskretną topologię , w której każdy podzbiór jest otwarty. Jedyne zbieżne sekwencje lub sieci w tej topologii to te, które ostatecznie są stałe. Ponadto każdemu zbiorowi można nadać topologię trywialną (zwaną też topologią niedyskretną), w której otwarty jest tylko zbiór pusty i cała przestrzeń. Każda sekwencja i sieć w tej topologii zbiegają się w każdym punkcie przestrzeni. Ten przykład pokazuje, że w ogólnych przestrzeniach topologicznych granice ciągów nie muszą być niepowtarzalne. Jednak często przestrzenie topologiczne muszą być przestrzeniami Hausdorffa, w których punkty graniczne są unikalne.

Topologie koskończone i przeliczalne

Dowolnemu zbiorowi można nadać topologię koskończoną, w której zbiory otwarte są zbiorem pustym i zbiorami, których dopełnienie jest skończone. Jest to najmniejszy T 1 topologia na dowolnym nieskończonego zbioru.

Dowolnemu zbiorowi można nadać topologię przeliczalną , w której zbiór jest zdefiniowany jako otwarty, jeśli jest pusty lub jego uzupełnienie jest policzalne. Gdy zbiór jest niepoliczalny, ta topologia służy jako kontrprzykład w wielu sytuacjach.

Topologie na liczbach rzeczywistych i zespolonych

Jest wiele sposobów na zdefiniowanie topologii na R , zbiorze liczb rzeczywistych . Standardowa topologia na R jest generowana przez otwarte przedziały . Zbiór wszystkich przedziałów otwartych tworzy podstawę lub podstawy dla topologii, co oznacza, że każdy zbiór otwarty jest sumą pewnego zbioru zestawów z podstawy. W szczególności oznacza to, że zbiór jest otwarty, jeśli istnieje otwarty przedział o niezerowym promieniu wokół każdego punktu w zbiorze. Bardziej ogólnie, euklidesowe R n może mieć topologii. W zwykłym topologię R n podstawowych zestawów czynne są otwarte kulki . Podobnie C , zbiór liczb zespolonych i C n mają standardową topologię, w której podstawowymi zbiorami otwartymi są otwarte kule.

Linia rzeczywista może mieć również topologię dolnego limitu . Tutaj podstawowymi zbiorami otwartymi są interwały półotwarte [ a , b ). Ta topologia na R jest ściślejsza niż zdefiniowana powyżej topologia euklidesowa; sekwencja zbiega się do punktu w tej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega się od góry w topologii euklidesowej. Ten przykład pokazuje, że w zestawie może być zdefiniowanych wiele różnych topologii.

Topologia metryczna

Każdej przestrzeni metrycznej można nadać topologię metryczną, w której podstawowymi zbiorami otwartymi są otwarte kule zdefiniowane przez metrykę. Jest to standardowa topologia dowolnej znormalizowanej przestrzeni wektorowej . W skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej ta topologia jest taka sama dla wszystkich norm.

Dalsze przykłady

Funkcje ciągłe

Ciągłość jest wyrażona w dzielnicach : F jest ciągły w pewnym punkcie x  ∈  X , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej okolicy V o f ( x ) , jest okolica U z X , tak że F ( U ) ⊆  V . Intuicyjnie ciągłość oznacza, że ​​bez względu na to, jak "małe" staje się V , zawsze istnieje U zawierające x, które odwzorowuje wewnątrz V i którego obraz pod f zawiera f ( x ) . Jest to równoznaczne z warunkiem, że obrazy wstępne zbiorów otwartych (zamkniętych) w Y są otwarte (zamknięte) w X . W przestrzeniach metrycznych ta definicja jest równoważna definicji ε–δ, która jest często używana w analizie.

Skrajny przykład: jeśli zestaw X otrzyma topologię dyskretną , wszystkie funkcje

do dowolnej przestrzeni topologicznej T są ciągłe. Z drugiej strony, jeśli X jest wyposażony w niedyskretną topologię, a zbiór przestrzeni T wynosi co najmniej T 0 , to jedynymi funkcjami ciągłymi są funkcje stałe. I odwrotnie, każda funkcja, której zakres jest niedyskretny, jest ciągła.

Alternatywne definicje

Istnieje kilka równoważnych definicji struktury topologicznej, a zatem istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania funkcji ciągłej.

Definicja sąsiedztwa

Definicje oparte na wstępnych obrazach są często trudne do bezpośredniego użycia. Następujące kryterium wyraża ciągłość w kategoriach sąsiedztw : f jest ciągłe w pewnym punkcie x  ∈  X wtedy i tylko wtedy , gdy dla dowolnego sąsiedztwa V od f ( x ) istnieje sąsiedztwo U od x takie , że f ( U ) ⊆  V . Intuicyjnie ciągłość oznacza, że ​​bez względu na to, jak "małe" staje się V , zawsze istnieje U zawierające x, które odwzorowuje wewnątrz V .

Jeśli X i Y są przestrzenie metryczne, jest to równoważne pod uwagę układ sąsiedztwa z otwartymi kulki skupionych w x i f ( x ) zamiast wszystkich dzielnicach. Oddaje to powyższą definicję ciągłości δ-ε w kontekście przestrzeni metrycznych. Jednak w ogólnych przestrzeniach topologicznych nie ma pojęcia bliskości ani odległości.

Należy jednak zauważyć, że jeśli miejsce docelowe jest Hausdorff jest to prawdą, że F jest ciągła w wtedy i tylko wtedy, gdy granica f co X zbliża jest f ( ). W izolowanym punkcie każda funkcja jest ciągła.

Sekwencje i sieci

W kilku kontekstach topologia przestrzeni jest dogodnie określana za pomocą punktów granicznych . W wielu przypadkach osiąga się to poprzez określenie, kiedy punkt jest granicą ciągu , ale dla niektórych przestrzeni, które są w pewnym sensie zbyt duże, określa się również, kiedy punkt jest granicą bardziej ogólnych zbiorów punktów indeksowanych przez ukierunkowaną zestaw , znany jako sieci . Funkcja jest ciągła tylko wtedy, gdy przyjmuje granice ciągów do granic ciągów. W pierwszym przypadku wystarczające jest również zachowanie granic; w tym ostatnim funkcja może zachowywać wszystkie granice ciągów, ale nadal nie być ciągła, a zachowanie sieci jest warunkiem koniecznym i wystarczającym.

Szczegółowo, funkcja f : XY jest sekwencyjnie ciągła, jeśli kiedykolwiek ciąg ( x n ) w X zbiega się do granicy x , ciąg ( f ( x n )) zbiega się do f ( x ). W ten sposób sekwencyjnie ciągłe funkcje „zachowują granice sekwencyjne”. Każda funkcja ciągła jest sekwencyjnie ciągła. Jeśli X jest pierwszą policzalną przestrzenią, a wybór jest policzalny , to zachodzi również odwrotność: każda funkcja zachowująca granice sekwencyjne jest ciągła. W szczególności, jeśli X jest przestrzenią metryczną, ciągłość sekwencyjna i ciągłość są równoważne. W przypadku przestrzeni nieprzeliczalnych od początku ciągłość sekwencyjna może być ściśle słabsza niż ciągłość. (Przestrzenie, dla których te dwie własności są równoważne, nazywane są przestrzeniami sekwencyjnymi ). To motywuje rozważanie sieci zamiast sekwencji w ogólnych przestrzeniach topologicznych. Funkcje ciągłe zachowują granice sieci iw rzeczywistości ta właściwość charakteryzuje funkcje ciągłe.

Definicja operatora zamknięcia

Zamiast określać otwarte podzbiory przestrzeni topologicznej, topologię można również określić za pomocą operatora domknięcia (oznaczonego cl), który przypisuje dowolnemu podzbiorowi AX jego domknięcie , lub operatora wewnętrznego (oznaczonego int), który przypisuje dowolnemu podzbiorowi podzbiór A od X jego wnętrze . W tych terminach funkcja

między przestrzeniami topologicznymi jest ciągła w powyższym sensie wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich podzbiorów A od X

To znaczy, biorąc pod uwagę dowolny element x z X, który jest w domknięciu dowolnego podzbioru A , f ( x ) należy do domknięcia f ( A ). Odpowiada to wymaganiu, aby dla wszystkich podzbiorów A ' z X '

Ponadto,

jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

dla dowolnego podzbioru A z X .

Nieruchomości

Jeżeli f : XY i g : YZ są ciągłe, to taki jest złożenie gf : XZ . Jeśli f : XY jest ciągła i

Możliwe topologie na ustalonym zbiorze Xczęściowo uporządkowane : mówi się, że topologia τ 1 jest bardziej zgrubna niż inna topologia τ 2 (zapis: τ 1 ⊆ τ 2 ) jeśli każdy otwarty podzbiór względem τ 1 jest również otwarty względem t 2 . Następnie mapa tożsamości

id X : ( X , τ 2 ) → ( X , τ 1 )

jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy τ 1 ⊆ τ 2 (patrz też porównanie topologii ). Mówiąc bardziej ogólnie, funkcja ciągła

pozostaje ciągła, jeśli topologia τ Y zostanie zastąpiona przez grubszą topologię i/lub τ X zostanie zastąpiona przez drobniejszą topologię .

Homeomorfizmy

Symetryczna wobec koncepcji mapy ciągłej jest mapa otwarta , dla której otwarte są obrazy zbiorów otwartych. W rzeczywistości, jeśli otwarte odwzorowanie f ma funkcję odwrotną , to odwrotność jest ciągła, a jeśli ciągłe odwzorowanie g ma odwrotność, odwrotność ta jest otwarta. Biorąc pod uwagę bijective funkcji F pomiędzy dwoma pomieszczeniami topologicznych odwrotnością funkcji F -1 nie muszą być ciągłe. Bijektywna funkcja ciągła z ciągłą funkcją odwrotną nazywana jest homeomorfizmem .

Jeśli ciągła bijection ma na domenie jest zwarta i jego codomain jest Hausdorffa , to jest homeomorfizmem.

Definiowanie topologii za pomocą funkcji ciągłych

Biorąc pod uwagę funkcję

gdzie X jest przestrzenią topologiczną, a S jest zbiorem (bez określonej topologii), ostateczna topologia na S jest definiowana przez przyzwolenie, aby otwarte zbiory S były tymi podzbiorami A z S, dla których f −1 ( A ) jest otwarte w X . Jeśli S ma istniejącą topologię, f jest ciągłe w odniesieniu do tej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy istniejąca topologia jest bardziej zgrubna niż ostateczna topologia na S . Tak więc ostateczną topologię można scharakteryzować jako najlepszą topologię na S, która sprawia, że f jest ciągłe. Jeśli f jest surjektywne , topologia ta jest kanonicznie utożsamiana z topologią ilorazową w relacji równoważności określonej przez f .

Podwójnie, dla funkcji f ze zbioru S do przestrzeni topologicznej, początkowa topologia na S ma jako otwarte podzbiory A od S te podzbiory, dla których f ( A ) jest otwarte w X . Jeśli S ma istniejącą topologię, f jest ciągłe w odniesieniu do tej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy istniejąca topologia jest dokładniejsza niż początkowa topologia w S . Zatem początkową topologię można scharakteryzować jako najgrubszą topologię na S, która sprawia, że f jest ciągłe. Jeśli f jest za pomocą wstrzyknięć, Topologia kanonicznej jest identyfikowany z topologią podprzestrzeni z S , patrząc w podgrupie X .

Topologia na zbiorze S jest jednoznacznie określona przez klasę wszystkich funkcji ciągłych we wszystkich przestrzeniach topologicznych X . Podwójnie podobny pomysł można zastosować do map

Kompaktowe zestawy

Formalnie przestrzeń topologiczną X nazywamy zwartą, jeśli każda z jej otwartych pokryw ma skończoną podpokrywę . W przeciwnym razie nazywa się to niekompaktowym . Wprost oznacza to, że dla każdego arbitralnego zbioru

otwartych podzbiorów X takich, że

nie jest ograniczony podzbiór J z tak, że

Niektóre gałęzie matematyki, takie jak geometria algebraiczna , typowo pod wpływem francuskiej szkoły Bourbaki , używają terminu quasi-zwartego dla ogólnego pojęcia i rezerwują termin zwarty dla przestrzeni topologicznych, które są zarówno Hausdorffa, jak i quasi-zwarte . Zbiór kompaktowy jest czasami określany jako compactum , liczba mnoga compacta .

Każdy domknięty przedział w R o skończonej długości jest zwarty . Więcej jest prawdą: w R n zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty i ograniczony. (Patrz twierdzenie Heinego-Borela ).

Każdy ciągły obraz zwartej przestrzeni jest zwarty.

Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest zamknięty.

Każda ciągła bijekcja z przestrzeni zwartej do przestrzeni Hausdorffa jest z konieczności homeomorfizmem .

Każda sekwencja punktów w zwartej przestrzeni metrycznej ma zbieżny podciąg.

Każda zwarta rozmaitość skończenie wymiarowa może być osadzona w pewnej przestrzeni euklidesowej R n .

Połączone zestawy

Przestrzeń topologiczna X mówi się, że odłączone , jeśli jest to związek dwóch rozłącznych niepustych zbiorów otwartych . W przeciwnym razie mówi się, że X jest połączony . Podzbiór przestrzeni topologicznej mówi się być podłączony jest połączona na jej topologię podprzestrzeni . Niektórzy autorzy wykluczają pusty zbiór (z jego unikalną topologią) jako przestrzeń połączoną, ale ten artykuł nie jest zgodny z tą praktyką.

Dla przestrzeni topologicznej X warunki są równoważne:

  1. X jest podłączony.
  2. X nie może być podzielony na dwa rozłączne niepuste zbiory zamknięte .
  3. Jedyne podzbiory X, które są zarówno otwarte, jak i zamknięte ( zbiory clopen ) to X i zbiór pusty.
  4. Jedynymi podzbiorami X z pustą granicąX i zbiór pusty.
  5. X nie może być zapisane jako suma dwóch niepustych oddzielonych zbiorów .
  6. Jedyne funkcje ciągłe od X do {0,1}, dwupunktowej przestrzeni wyposażonej w dyskretną topologię, są stałe.

Każdy przedział w R jest połączony .

Ciągły obraz połączonej przestrzeni jest połączony.

Połączone komponenty

Te maksymalne połączone podzbiory (zamówione przez włączenie ) o niepusty przestrzeni topologicznej nazywane są połączone elementy przestrzeni. Składniki dowolnej przestrzeni topologicznej X utworzyć partycjęX : są rozłączne , niepuste, a ich związek jest cała przestrzeń. Każdy komponent jest zamkniętym podzbiorem oryginalnej przestrzeni. Wynika z tego, że w przypadku, gdy ich liczba jest skończona, każdy składnik jest również podzbiorem otwartym. Jednak jeśli ich liczba jest nieskończona, może tak nie być; na przykład połączone składowe zbioru liczb wymiernych są zbiorami jednopunktowymi, które nie są otwarte.

Pozwolić być podłączony komponent X w przestrzeni topologicznej X , i być przecięcia wszystkich otwartych zamknięty zestawów zawierających X (zwane quasi-component of X ). Następnie , gdzie równość jeśli X jest zwarta Hausdorffa lub podłączone lokalnie.

Odłączone przestrzenie

Przestrzeń, w której wszystkie komponenty są zbiorami jednopunktowymi, nazywana jest całkowicie odłączonymi . Powiązana z tą własnością przestrzeń X nazywana jest całkowicie oddzieloną, jeśli dla dowolnych dwóch odrębnych elementów x i y z X istnieją rozłączne otwarte sąsiedztwa U od x i V od y takie, że X jest sumą U i V . Najwyraźniej każda całkowicie oddzielona przestrzeń jest całkowicie odłączona, ale odwrotnie nie działa. Na przykład weź dwie kopie liczb wymiernych Q i zidentyfikuj je w każdym punkcie z wyjątkiem zera. Powstała przestrzeń z topologią ilorazową jest całkowicie odłączona. Jednak rozważając dwie kopie zera, widać, że przestrzeń nie jest całkowicie oddzielona. W rzeczywistości nie jest to nawet Hausdorff , a warunek bycia całkowicie rozdzielonym jest ściśle silniejszy niż warunek bycia Hausdorffem.

Zestawy połączone ścieżką

Ta podprzestrzeń R ² jest połączona ścieżką, ponieważ ścieżka może być narysowana między dowolnymi dwoma punktami w przestrzeni.

Ścieżkę od punktu X do punktu Y w przestrzeni topologicznej X jest funkcją ciągłą f z przedziału jednostkowej [0,1] do X z F (0) = x i M (1) = Y . Ścieżka Komponent z X jest klasa równoważna z X na podstawie stosunku równoważnikowym , co sprawia, że x równoważne Y jeśli istnieje ścieżka od x do y . Przestrzeń X mówi się, że ścieżka połączony (albo pathwise połączony lub 0-związany ), jeżeli występuje co najwyżej jedną ścieżkę składnika, to znaczy, jeśli istnieje ścieżka łączenia dowolnych dwóch punktów X . Znowu wielu autorów wyklucza pustą przestrzeń.

Każda przestrzeń połączona ścieżką jest połączona. Odwrotność nie zawsze jest prawdziwa: przykłady połączonych przestrzeni, które nie są połączone ścieżką, obejmują przedłużoną długą linię L * i krzywą sinusoidalną topologa .

Jednak podzbiory rzeczywistej linii R są połączone wtedy i tylko wtedy, gdy są połączone ścieżką; Te podgrupy są odstępy z badań . Ponadto, otwarte podzbiory z R n lub C n są połączone tylko wtedy, gdy są one połączone ścieżki. Dodatkowo, łączność i łączność ze ścieżkami są takie same dla skończonych przestrzeni topologicznych .

Produkty przestrzeni

Biorąc pod uwagę X takie, że

jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych X i , indeksowanych przez , i rzutów kanonicznych p i  : XX i , topologia iloczynowa na X jest zdefiniowana jako topologia najgrubsza (tj. topologia z najmniejszą liczbą zbiorów otwartych), dla której wszystkie Wypusty P iciągłe . Topologia produktu jest czasami nazywana topologią Tychonowa .

Zbiory otwarte w topologii iloczynu są sumami (skończonymi lub nieskończonymi) zbiorów postaci , gdzie każdy U i jest otwarty w X i, a U i  ≠  X i tylko skończenie wiele razy. W szczególności dla iloczynu skończonego (w szczególności dla iloczynu dwóch przestrzeni topologicznych) iloczyny elementów bazowych X i dają podstawę iloczynu .

Topologia iloczynowa X jest topologią generowaną przez zbiory postaci p i -1 ( U ), gdzie i jest w I , a U jest otwartym podzbiorem X i . Innymi słowy, zbiory { p i -1 ( U )} tworzą podbazę dla topologii na X . Podzbiór z X jest otwarty tylko wtedy, gdy jest to (być może nieskończony) związek z przecięcia skończenie wielu zestawów postaci p ı -1 ( U ). P i -1 ( U ), są niekiedy zwane otwarte cylindrów , a ich przekroje są zestawy cylindra .

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn topologii każdego X i stanowi podstawę dla tak zwanej topologii pudełkowej na X . Ogólnie rzecz biorąc, topologia pudełkowa jest bardziej precyzyjna niż topologia produktu, ale w przypadku produktów skończonych są one zbieżne.

Ze zwartością wiąże się twierdzenie Tychonowa : (dowolny) iloczyn przestrzeni zwartych jest zwarty.

Aksjomaty separacji

Wiele z tych nazw ma alternatywne znaczenia w niektórych literaturach matematycznych, jak wyjaśniono w Historii aksjomatów separacji ; na przykład, znaczenia „normalne” i „T 4 ” są czasami zamiennie, podobnie jak „normalne” i „T 3 ”, itd. Wiele z tych pojęć również mieć kilka nazw; jednak ten wymieniony jako pierwszy jest zawsze najmniej niejednoznaczny.

Większość z tych aksjomatów ma alternatywne definicje o tym samym znaczeniu; podane tu definicje układają się w spójny wzorzec, który odnosi się do różnych pojęć separacji zdefiniowanych w poprzedniej sekcji. Inne możliwe definicje można znaleźć w poszczególnych artykułach.

We wszystkich poniższych definicjach X ponownie jest przestrzenią topologiczną .

  • X to T 0 lub Kołmogorowa , jeśli jakiekolwiek dwa różne punkty w Xtopologicznie rozróżnialne . (Wśród aksjomatów separacji powszechnym tematem jest posiadanie jednej wersji aksjomatu, która wymaga T 0 i jednej wersji, która tego nie wymaga).
  • X to T 1 , dostępne lub Fréchet , jeśli jakiekolwiek dwa różne punkty w X są rozdzielone. Zatem X jest T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno T 0 jak i R 0 . (Chociaż możesz mówić takie rzeczy jak przestrzeń T 1 , topologia Frécheta i Załóżmy, że przestrzeń topologiczna X to Fréchet , unikaj w tym kontekście mówienia o przestrzeni Frécheta , ponieważ w analizie funkcjonalnej istnieje zupełnie inne pojęcie przestrzeni Frécheta .)
  • X to Hausdorff lub T 2 lub oddzielone , jeśli dowolne dwa różne punkty w X są oddzielone sąsiedztwem. Zatem X jest Hausdorffem wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno T 0 jak i R 1 . Pole Hausdorffa również musi mieć wartość T 1 .
  • X to T lub Urysohn , jeśli dowolne dwa różne punkty w X są oddzielone zamkniętymi sąsiedztwami. W przestrzeni musi być również Hausdorff.
  • X jest regularne lub T 3 , jeśli jest T 0 i jeśli dany punkt x i zbiór domknięty F w X taki, że x nie należy do F , są one oddzielone sąsiedztwem. (W rzeczywistości w przestrzeni regularnej każde takie x i F są również oddzielone zamkniętymi sąsiedztwami.)
  • X to Tychonoff , lub T , całkowicie T 3 , lub całkowicie regularne , jeśli jest to T 0 i jeśli f , dany punkt x i zbiór domknięty F w X taki, że x nie należy do F , są oddzielone ciągiem funkcjonować.
  • X jest normalnym lub T 4 , jeśli jest to Hausdorff i jeśli dowolne dwa rozłączne zamknięte podzbiory X są oddzielone sąsiedztwem. (W rzeczywistości przestrzeń jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielone funkcją ciągłą; jest to lemat Urysohna .)
  • X jest całkowicie normalne lub T 5 lub całkowicie T 4 , jeśli jest to T 1 i jeśli dowolne dwa oddzielone zbiory są oddzielone sąsiedztwem. Całkowicie normalna przestrzeń musi być również normalna.
  • X jest idealnie normalne lub T 6 lub doskonale T 4 , jeśli jest to T 1 i jeśli dowolne dwa rozłączne zbiory domknięte są dokładnie oddzielone funkcją ciągłą. Całkowicie normalna przestrzeń Hausdorffa musi być również całkowicie normalną przestrzenią Hausdorffa.

Twierdzenie Tietze o rozszerzeniach : W normalnej przestrzeni każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych zdefiniowana na zamkniętej podprzestrzeni może zostać rozszerzona do ciągłej mapy zdefiniowanej na całej przestrzeni.

Aksjomaty przeliczalności

Aksjomat countability jest właściwość pewnych obiektów matematycznych (najczęściej w kategorii ), które wymaga istnienia zbiór przeliczalny z pewnymi właściwościami, a bez niego takie zestawy nie może istnieć.

Ważne aksjomaty obliczalności dla przestrzeni topologicznych :

Relacje:

  • Każda pierwsza policzalna spacja jest sekwencyjna.
  • Każda policzalna druga przestrzeń jest policzalna jako pierwsza, oddzielna i Lindelöf.
  • Każda przestrzeń σ-kompaktowa to Lindelöf.
  • Metryki przestrzeni jest pierwszym przeliczalny.
  • W przestrzeniach metrycznych liczebność sekund, rozdzielność i własność Lindelöfa są równoważne.

Przestrzenie metryczne

Przestrzeń metryczna jest uporządkowane pary gdzie jest zestaw i jest metryką na , tj funkcja

tak, że dla dowolnego , obowiązuje:

  1.     ( nieujemne ),
  2. iff     ( tożsamość nieodróżnialnych ),
  3.     ( symetria ) i
  4.     ( trójkąt nierówności ) .

Funkcja ta jest również nazywana funkcją odległości lub po prostu odległością . Często jest pomijany i po prostu pisze się dla przestrzeni metryki, jeśli z kontekstu jasno wynika, jaka metryka jest używana.

Każda przestrzeń metryczna jest parakompaktowa i Hausdorffa , a więc normalna .

Te twierdzenia metrization dostarczyć niezbędne i wystarczające warunki dla topologii pochodzić z metryki.

Twierdzenie Baire'a o kategorii

Twierdzenie Baire'a o kategorii mówi: Jeśli X jest całkowitą przestrzenią metryczną lub lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, to wnętrze każdej sumy niezliczonej liczby nigdzie gęstych zbiorów jest puste.

Każda otwarta podprzestrzeń przestrzeni Baire'a sama jest przestrzenią Baire'a.

Główne obszary badań

Trzy iteracje konstrukcji krzywej Peano, której ograniczeniem jest krzywa wypełniająca przestrzeń. Krzywa Peano jest badana w teorii kontinuum , gałęzi ogólnej topologii .

Teoria kontinuum

Kontinuum (pl continua ) jest niepusty kompaktowy połączone przestrzenią metryczną , lub rzadziej, o kompaktowych połączone przestrzenią Hausdorffa . Teoria continuum jest gałęzią topologii poświęconą badaniu continuów. Obiekty te pojawiają się często w niemal wszystkich obszarach topologii i analizy , a ich właściwości są wystarczająco silne, aby uzyskać wiele cech „geometrycznych”.

Układy dynamiczne

Dynamika topologiczna dotyczy zachowania przestrzeni i jej podprzestrzeni w czasie poddawanych ciągłym zmianom. Wiele przykładów z zastosowaniami w fizyce i innych dziedzinach matematyki obejmuje dynamikę płynów , bilard i przepływy na rozmaitościach. Charakterystyki topologiczne fraktali w geometrii fraktalnej, zbiorów Julii i zbioru Mandelbrota powstających w złożonej dynamice oraz atraktorów w równaniach różniczkowych są często krytyczne dla zrozumienia tych systemów.

Topologia bezcelowa

Bezcelowe Topologia (zwane również pointfree lub topologia pointfree ) jest podejście do topologii , że pomija punkty. Nazwa „topologia bezsensowna” pochodzi od Johna von Neumanna . Idee bezsensownej topologii są ściśle związane z mereotopologiami , w których regiony (zbiory) są traktowane jako podstawowe bez wyraźnego odniesienia do leżących u ich podstaw zbiorów punktów.

Teoria wymiarów

Teoria wymiar jest gałęzią topologii ogólnej czynienia z niezmienników wymiarowych o przestrzeniach topologicznych .

Algebry topologiczne

Topologiczna Algebra przez topologiczny pola K jest topologiczna miejsca wektora wraz z ciągłym mnożenia

to sprawia, że ​​jest algebrą nad K . Unital asocjacyjny topologiczna Algebra JeSt topologii pierścienia .

Termin został ukuty przez Davida van Dantzig ; pojawia się w tytule jego rozprawy doktorskiej (1931).

Teoria mierzalności

W topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki , przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią topologiczną, która jest homeomorficzna z przestrzenią metryczną . Oznacza to, że mówi się, że przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, jeśli istnieje metryka

tak, że topologia indukowana przez d to . Twierdzenia o metryzacji to twierdzenia, które dają wystarczające warunki, aby przestrzeń topologiczna była metryzowalna.

Topologia mnogościowa

Topologia mnogościowa to przedmiot łączący teorię mnogości i ogólną topologię. Koncentruje się na pytaniach topologicznych, które są niezależne od teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZFC). Znanym problemem jest zwykłe pytanie o przestrzeń Moore'a , pytanie w ogólnej topologii, które było przedmiotem intensywnych badań. Ostatecznie okazało się, że odpowiedź na normalne pytanie o przestrzeń Moore'a jest niezależna od ZFC.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Niektóre standardowe podręczniki dotyczące topologii ogólnej obejmują:

ArXiv kod przedmiotem jest math.GN .

Zewnętrzne linki