Miejsce Arago - Arago spot

Eksperyment Arago spot. Źródło punktowe oświetla okrągły obiekt, rzucając cień na ekran. W centrum cienia pojawia się jasna plama z powodu dyfrakcji , co jest sprzeczne z przewidywaniami optyki geometrycznej .
Zdjęcie plamki Arago w cieniu okrągłej przeszkody o średnicy 5,8 mm
Symulacja numeryczna natężenia światła monochromatycznego o długości fali λ = 0,5 µm za kolistą przeszkodą o promieniu R = 5 µm = 10λ .
Tworzenie spotu Arago (wybierz "źródło WebM" dla dobrej jakości)
Plamka Arago tworząca się w cieniu

W optyce , miejscem Arago , Poissona miejscem lub Fresnela plamka jest jasne punkty, które pojawiają się w środku okrągły obiektu cienia powodu Fresnela dyfrakcji . Spot ten odegrał ważną rolę w odkryciu natury falowej o światło i jest powszechnym sposobem wykazania, że światło zachowuje się jak fala (na przykład w licencjackich ćwiczeń laboratoryjnych fizyka).

Podstawowa konfiguracja eksperymentalna wymaga źródła punktowego, takiego jak oświetlony otworek lub rozbieżna wiązka laserowa . Wymiary układu muszą być zgodne z wymaganiami dyfrakcji Fresnela . Mianowicie liczba Fresnela musi spełniać

gdzie

d jest średnicą okrągłego przedmiotu,
to odległość między obiektem a ekranem, oraz
λ to długość fali źródła.

Wreszcie krawędź okrągłego obiektu musi być wystarczająco gładka.

Te warunki razem wyjaśniają, dlaczego jasny punkt nie jest spotykany w życiu codziennym. Jednak przy dostępnych obecnie źródłach laserowych przeprowadzenie eksperymentu z plamką Arago jest mało wymagające.

W astronomii plamę Arago można również zaobserwować na silnie nieostrym obrazie gwiazdy w teleskopie Newtona . Tam gwiazda stanowi niemal idealne źródło punktowe w nieskończoności, a zwierciadło wtórne teleskopu stanowi okrągłą przeszkodę.

Kiedy światło pada na okrągłą przeszkodę, zasada Huygensa mówi, że każdy punkt na płaszczyźnie przeszkody działa jak nowe punktowe źródło światła. Światło padające z punktów na obwodzie przeszkody i idące do środka cienia pokonuje dokładnie tę samą odległość, więc całe światło przechodzące blisko obiektu dociera do ekranu w fazie i konstruktywnie przeszkadza . Skutkuje to jasnym punktem w środku cienia, gdzie optyka geometryczna i teorie cząstek światła przewidują, że w ogóle nie powinno być światła.

Historia

Na początku XIX wieku popularność zyskała idea, że ​​światło nie rozchodzi się po prostu po liniach prostych. Thomas Young opublikował swój eksperyment z podwójną szczeliną w 1807 roku. Oryginalny eksperyment punktowy Arago został przeprowadzony dekadę później i był decydującym eksperymentem w kwestii tego, czy światło jest cząstką, czy falą. Jest to zatem przykład eksperymentu crucis .

W tamtym czasie wielu popierało korpuskularną teorię światła Izaaka Newtona, wśród nich teoretyk Siméon Denis Poisson . W 1818 roku Francuska Akademia Nauk ogłosiła konkurs wyjaśniający właściwości światła, w którym Poisson był jednym z członków komisji sędziowskiej. Inżynier budownictwa Augustin-Jean Fresnel wziął udział w konkursie, przedstawiając nową falową teorię światła .

Poisson szczegółowo przestudiował teorię Fresnela i będąc zwolennikiem teorii cząstek światła, szukał sposobu, aby udowodnić, że jest ona błędna. Poisson sądził, że znalazł błąd, gdy twierdził, że konsekwencją teorii Fresnela jest istnienie na osi jasnego punktu w cieniu okrągłej przeszkody, gdzie zgodnie z cząsteczkową teorią światła powinna być całkowita ciemność. Ponieważ plama Arago nie jest łatwa do zaobserwowania w codziennych sytuacjach, Poisson zinterpretował ją jako wynik absurdalny i powinien obalić teorię Fresnela.

Jednak szef komitetu Dominique-François-Jean Arago (który notabene został później premierem Francji) postanowił przeprowadzić eksperyment bardziej szczegółowo. Uformował 2 mm metalowy krążek na szklanej płytce woskiem. Udało mu się zaobserwować przewidywane miejsce, co przekonało większość naukowców o falowej naturze światła i dało zwycięstwo Fresnelowi.

Arago zauważył później, że zjawisko to (później znane jako „plamka Poissona” lub „plamka Arago”) było już obserwowane przez Delisle'a i Maraldiego sto lat wcześniej.

Okazało się, że tylko wieku później (w jednym z Einstein jest annus mirabilis papierów ), który światło musi być opisane zarówno jako cząstki i fali ( fal cząstek dualizmu światła).

Teoria

Zapis do obliczania amplitudy fali w punkcie P 1 ze sferycznego źródła punktowego w P 0 .

Sercem teorii fal Fresnela jest zasada Huygensa-Fresnela , która stwierdza, że ​​każdy niezakłócony punkt czoła fali staje się źródłem wtórnej falki sferycznej, a amplituda pola optycznego E w punkcie na ekranie jest dana przez superpozycja wszystkich tych fal wtórnych z uwzględnieniem ich faz względnych. Oznacza to, że pole w punkcie P 1 na ekranie dane jest całką powierzchniową:

gdzie współczynnik nachylenia, który zapewnia, że ​​falki wtórne nie rozchodzą się do tyłu, jest podany przez

oraz

A to amplituda fali źródłowej
to numer fali
S to powierzchnia bez przeszkód.

Pierwszy człon na zewnątrz całki reprezentuje oscylacje fali źródłowej w odległości r 0 . Podobnie, termin wewnątrz całki oznacza oscylacjami wtórnych falach w odległości r 1 .

W celu wyznaczenia natężenia za przeszkodą kołową za pomocą tej całki zakłada się, że parametry eksperymentalne spełniają wymagania reżimu dyfrakcji bliskiego pola (wielkość przeszkody kołowej jest duża w stosunku do długości fali i mała w stosunku do odległości g = P 0 ° C i b = CP 1 ). Przejście do współrzędnych biegunowych daje całkę dla okrągłego obiektu o promieniu a (patrz na przykład Born i Wolf):

Intensywność na osi w środku cienia małej okrągłej przeszkody zbiega się z intensywnością bez przeszkód.

Tę całkę można rozwiązać numerycznie (patrz poniżej). Jeśli g jest duże, a b jest małe, więc kąt nie jest nieistotny, można zapisać całkę dla przypadku osiowego (P 1 jest w środku cienia) jako (patrz ):

Źródłem intensywności , który jest kwadratowy amplitudy pola jest i intensywność na ekranie . Intensywność na osi w funkcji odległości b jest zatem dana wzorem:

To pokazuje, że intensywność na osi w środku cienia zmierza do intensywności źródła, tak jakby okrągły obiekt w ogóle nie był obecny. Co więcej, oznacza to, że plamka Arago jest obecna nawet kilka średnic przeszkód za tarczą.

Obliczanie obrazów dyfrakcyjnych

Aby obliczyć pełny obraz dyfrakcyjny widoczny na ekranie, należy wziąć pod uwagę całkę powierzchniową z poprzedniego rozdziału. Nie można już wykorzystywać symetrii kołowej, ponieważ linia między źródłem a dowolnym punktem na ekranie nie przechodzi przez środek okrągłego obiektu. Z funkcją przysłony, która wynosi 1 dla przezroczystych części płaszczyzny obiektu i 0 w przeciwnym razie (tzn. jest to 0, jeśli prosta linia między źródłem a punktem na ekranie przechodzi przez blokujący okrągły obiekt.) całka, którą należy rozwiązać, to podane przez:

Numeryczne obliczenie całki przy użyciu reguły trapezu lub reguły Simpsona jest mało wydajne i staje się numerycznie niestabilne, szczególnie dla konfiguracji z dużą liczbą Fresnela . Jednakże, możliwe jest rozwiązanie promieniowej części całki tak, że do wykonania numerycznego pozostaje tylko całkowanie po kącie azymutalnym. Dla określonego kąta należy rozwiązać całkę krzywoliniową dla promienia, którego początek znajduje się w punkcie przecięcia prostej P 0 P 1 z kołową płaszczyzną obiektu. Wkład dla konkretnego promienia o kącie azymutalnym i przechodzącej przez przeźroczystą część płaszczyzny obiektu od do wynosi:

Tak więc dla każdego kąta należy obliczyć punkt( y ) przecięcia promienia z obiektem kołowym, a następnie zsumować udziały dla pewnej liczby kątów od 0 do . Wyniki takiego obliczenia przedstawiono na poniższych ilustracjach.

Symulacja Poissonspot d4mm.jpg Symulacja Poissonspot d2mm.jpg Symulacja Poissonspot d1mm.jpg

Obrazy przedstawiają symulowane plamki Arago w cieniu dysku o różnej średnicy (4 mm, 2 mm, 1 mm – od lewej do prawej) w odległości 1 m od dysku. Źródło punktowe ma długość fali 633 nm (np. Laser He-Ne) i znajduje się 1 m od dysku. Szerokość obrazu odpowiada 16 mm.

Aspekty eksperymentalne

Intensywność i rozmiar

Dla idealnego źródła punktowego , intensywność plamki Arago jest równa intensywności niezakłóconego czoła fali . Jedynie szerokość piku intensywności plamki Arago zależy od odległości między źródłem, okrągłym obiektem i ekranem, a także od długości fali źródła i średnicy okrągłego obiektu. Oznacza to, że zmniejszenie długości fali źródła można skompensować zwiększając odległość l między obiektem kołowym a ekranem lub zmniejszając średnicę obiektu kołowego.

Rozkład natężenia poprzecznego na ekranie ma w rzeczywistości kształt kwadratowej zerowej funkcji Bessela pierwszego rodzaju, gdy znajduje się w pobliżu osi optycznej i przy użyciu źródła fali płaskiej (źródło punktowe w nieskończoności):

gdzie

r jest odległością punktu P 1 na ekranie od osi optycznej
d jest średnicą okrągłego przedmiotu
λ to długość fali
b to odległość między okrągłym obiektem a ekranem.

Poniższe obrazy pokazują rozkład intensywności promieniowej symulowanych obrazów punktowych Arago powyżej:

Symulacja Poissonspot d4mm lateral.jpg Symulacja Poissonspot d2mm lateral.jpg Symulacja Poissonspot d1mm lateral.jpg

Czerwone linie na tych trzech wykresach odpowiadają powyższym symulowanym obrazom, a zielone linie zostały obliczone przez zastosowanie odpowiednich parametrów do kwadratowej funkcji Bessela podanej powyżej.

Skończony rozmiar źródła i spójność przestrzenna

Głównym powodem, dla którego plama Arago jest trudna do zaobserwowania w okrągłych cieniach z konwencjonalnych źródeł światła, jest to, że takie źródła światła są złymi przybliżeniami źródeł punktowych. Jeśli źródło fal ma skończony rozmiar S, wówczas plamka Arago będzie miała zasięg określony przez Sb / g , tak jakby okrągły obiekt działał jak soczewka. Jednocześnie intensywność plamki Arago jest zmniejszona w stosunku do intensywności niezakłóconego czoła fali. Definiując względną intensywność jako intensywność podzieloną przez intensywność niezakłóconego czoła fali, względną intensywność dla rozszerzonego okrągłego źródła o średnicy w można wyrazić dokładnie za pomocą następującego równania:

gdzie i są pierwszymi funkcjami Bessela. R to promień dysku rzucającego cień, długość fali, a g odległość między źródłem a dyskiem. Dla dużych źródeł stosuje się następujące przybliżenie asymptotyczne:

Odchylenie od kołowości

Jeśli przekrój okrągłego obiektu nieznacznie odbiega od jego okrągłego kształtu (ale nadal ma ostrą krawędź w mniejszej skali), zmienia się kształt plamki Arago ze źródła punktowego. W szczególności, jeśli obiekt ma przekrój elipsoidalny, plamka Arago ma kształt ewolucyjny . Zauważ, że dzieje się tak tylko wtedy, gdy źródło znajduje się blisko idealnego źródła punktowego. Z rozszerzonego źródła wpływ na plamkę Arago ma tylko marginalny wpływ, ponieważ można ją zinterpretować jako funkcję rozrzutu punktów . W związku z tym obraz rozszerzonego źródła ulega jedynie rozmyciu na skutek splotu z funkcją point-spread, ale nie zmniejsza się w całym natężeniu.

Chropowatość powierzchni okrągłego obiektu

Plamka Arago jest bardzo wrażliwa na niewielkie odchylenia od idealnego okrągłego przekroju. Oznacza to, że niewielka ilość chropowatości powierzchni okrągłego obiektu może całkowicie zniwelować jasny punkt. Jest to pokazane na poniższych trzech wykresach, które są symulacjami plamki Arago z dysku o średnicy 4 mm ( g  =  b  = 1 m):

Symulacja Poissonspot d4mm boczny cor10.jpg Symulacja Poissonspot d4mm boczny cor50.jpg Symulacja Poissonspot d4mm boczny cor100.jpg

Symulacja obejmuje regularne sinusoidalne pofałdowanie kolistego kształtu o amplitudzie odpowiednio 10 μm, 50 μm i 100 μm. Zauważ, że pofałdowanie krawędzi o grubości 100 μm prawie całkowicie usuwa centralny jasny punkt.

Efekt ten można najlepiej zrozumieć za pomocą koncepcji strefy Fresnela . Pole przenoszone przez segment promieniowy, który pochodzi z punktu na krawędzi przeszkody, zapewnia udział, którego faza jest ściśle związana z położeniem punktu krawędziowego względem stref Fresnela. Jeżeli wariancja promienia przeszkody jest znacznie mniejsza niż szerokość strefy Fresnela w pobliżu krawędzi, wkłady od segmentów promieniowych są w przybliżeniu w fazie i interferują konstruktywnie. Jeśli jednak losowe pofałdowanie krawędzi ma amplitudę porównywalną lub większą niż szerokość tej sąsiedniej strefy Fresnela, udziały segmentów promieniowych nie są już w fazie i znoszą się wzajemnie, zmniejszając intensywność plamki Arago.

Sąsiednia strefa Fresnela jest w przybliżeniu dana przez:

Pofałdowanie krawędzi nie powinno przekraczać 10% tej szerokości, aby zobaczyć miejsce bliskie idealnej plamce Arago. W powyższych symulacjach z dyskiem o średnicy 4 mm sąsiednia strefa Fresnela ma szerokość około 77 μm.

Miejsce Arago z falami materii

W 2009 roku zademonstrowano eksperyment punktowy Arago z naddźwiękową wiązką rozprężania cząsteczek deuteru (przykład fal materii neutralnej ). Cząstki materialne zachowujące się jak fale są znane z mechaniki kwantowej . Falowa natura cząstek w rzeczywistości sięga hipotezy de Broglie oraz eksperymentów Davissona i Germera . Plamkę elektronów Arago, które również stanowią fale materii, można zaobserwować w transmisyjnych mikroskopach elektronowych podczas badania struktur kołowych o określonej wielkości.

Obserwacja plamki Arago z dużymi molekułami, udowadniająca tym samym ich falowy charakter, jest przedmiotem aktualnych badań.

Inne aplikacje

Oprócz demonstracji zachowania fal, spot Arago ma również kilka innych zastosowań. Jednym z pomysłów jest użycie plamki Arago jako linii odniesienia w systemach wyrównania. Innym jest badanie aberracji w wiązkach laserowych przy użyciu czułości plamki na aberracje wiązki . Wreszcie, aragoskop został zaproponowany jako metoda radykalnej poprawy rozdzielczości dyfrakcyjnej teleskopów kosmicznych.

Zobacz też

Bibliografia