Wielościan - Polyhedron

Przykłady z literatury
Czworościan regularny Bryła platońska	Mały dwunastościan gwiaździsty Kepler-Poinsot solid
Ikozyd-dwunastościan Bryła Archimedesa	Wielki sześcienny sześcienny Jednolita gwiazda-wielościan
rombowy triacontahedron kataloński stały	Toroidalny wielościan

W geometrii , A wielościan (mnogiej wielościany lub wielościanów ) jest trójwymiarowy kształt z płaskich wielokątnych powierzchni prostych krawędzi i ostrych krawędzi lub wierzchołków . Słowo wielościan pochodzi od klasycznego greckiego πολύεδρον, jako poli- (rdzeń od πολύς , „wiele”) + -hedron (forma ἕδρα , „podstawa” lub „siedzisko”).

Wypukły wielościan jest wypukłe kadłuba z skończenie wielu punktach, nie wszyscy na tej samej płaszczyźnie. Sześciany i piramidy są przykładami wielościanów wypukłych.

Wielościan jest trójwymiarowym przykładem bardziej ogólnego wielościanu w dowolnej liczbie wymiarów.

Definicja

Szkieletowy wielościan (a konkretnie rombikuboktaedr ) narysowany przez Leonarda da Vinci ilustrujący książkę Luca Pacioli

Wielościany wypukłe są dobrze zdefiniowane, z kilkoma równoważnymi definicjami standardowymi. Jednak formalna matematyczna definicja wielościanów, które nie muszą być wypukłe, była problematyczna. Wiele definicji „wielościanu” zostało podanych w określonych kontekstach, niektóre bardziej rygorystyczne niż inne, i nie ma powszechnej zgody co do wyboru. Niektóre z tych definicji wykluczają kształty, które często były uważane za wielościany (takie jak wielościany samoprzecinające się ) lub obejmują kształty, które często nie są uważane za prawidłowe wielościany (takie jak bryły, których granice nie są rozmaitościami ). Jak zauważył Branko Grünbaum ,

„Grzech pierworodny w teorii wielościanów sięga Euklidesa, a poprzez Keplera, Poinsota, Cauchy'ego i wielu innych… na każdym etapie… pisarzom nie udało się zdefiniować, czym są wielościany”.

Niemniej jednak istnieje ogólna zgoda, że wielościan jest bryłą lub powierzchnią, którą można opisać za pomocą swoich wierzchołków (punktów narożnych), krawędzi (odcinków linii łączących pewne pary wierzchołków), ścian ( wielokątów dwuwymiarowych ) i że czasami może można powiedzieć, że ma szczególną trójwymiarową objętość wewnętrzną . Można rozróżnić te różne definicje w zależności od tego, czy opisują wielościan jako bryłę, czy opisują go jako powierzchnię, czy też opisują go bardziej abstrakcyjnie w oparciu o geometrię padania .

Powszechną i nieco naiwną definicją wielościanu jest to, że jest to bryła, której granice mogą pokrywać skończenie wiele płaszczyzn lub że jest to bryła utworzona jako połączenie skończenie wielu wielościanów wypukłych. Naturalne udoskonalenia tej definicji wymagają, aby bryła była ograniczona, posiadała połączone wnętrze i być może również posiadała połączoną granicę. Ściany takiego wielościanu można zdefiniować jako połączone elementy części granicy w każdej z płaszczyzn, które ją pokrywają, a krawędzie i wierzchołki jako segmenty linii i punkty, w których spotykają się ściany. Jednak tak zdefiniowane wielościany nie obejmują samoprzecinających się wielościanów gwiaździstych, których ściany nie mogą tworzyć prostych wielokątów , a niektóre z krawędzi mogą należeć do więcej niż dwóch ścian.
Powszechne są również definicje oparte na idei powierzchni ograniczającej, a nie bryły. Na przykład O'Rourke (1993) definiuje wielościan jako sumę wielokątów wypukłych (jego ścianki), rozmieszczonych w przestrzeni tak, że przecięcie dowolnych dwóch wielokątów jest wspólnym wierzchołkiem lub krawędzią lub zbiorem pustym i tak, że ich suma jest kolektora . Jeśli płaska część takiej powierzchni sama nie jest wielokątem wypukłym, O'Rourke wymaga podziału na mniejsze wielokąty wypukłe z płaskimi kątami dwuściennymi pomiędzy nimi. Nieco bardziej ogólnie Grünbaum definiuje wielościan akoptyczny jako zbiór prostych wielokątów, które tworzą osadzoną rozmaitość, z każdym wierzchołkiem nachodzącym na co najmniej trzy krawędzie, a każda z dwóch ścian przecina się tylko we wspólnych wierzchołkach i krawędziach każdego z nich. Polyhedra Cromwella podaje podobną definicję, ale bez ograniczenia co najmniej trzech krawędzi na wierzchołek. Ponownie, ten rodzaj definicji nie obejmuje wielościanów samoprzecinających się. Podobne pojęcia stanowią podstawę topologicznych definicji wielościanów, jako podpodziały topologicznej rozmaitości na dyski topologiczne (twarze), których przecięcia w parach muszą być punktami (wierzchołkami), topologicznymi łukami (krawędziami) lub zbiorem pustym. Istnieją jednak wielościany topologiczne (nawet z trójkątami o wszystkich ścianach), których nie można zrealizować jako wielościany akoptyczne.
Jedno z nowoczesnych podejść opiera się na teorii abstrakcyjnych wielościanów . Można je zdefiniować jako zestawy częściowo uporządkowane, których elementami są wierzchołki, krawędzie i ściany wielościanu. Element wierzchołka lub krawędzi jest mniejszy niż element krawędzi lub ściany (w tej częściowej kolejności), gdy wierzchołek lub krawędź jest częścią krawędzi lub ściany. Dodatkowo można dołączyć specjalny element dolny tego porządku częściowego (reprezentujący zbiór pusty) oraz element górny reprezentujący cały wielościan. Jeśli sekcje częściowego porządku pomiędzy elementami trzy poziomy od siebie (to znaczy pomiędzy każdą ścianą a dolnym elementem oraz pomiędzy górnym elementem a każdym wierzchołkiem) mają taką samą strukturę jak abstrakcyjna reprezentacja wielokąta, wtedy te częściowe zestawy niosą dokładnie te same informacje, co wielościan topologiczny. Jednak wymagania te są często złagodzone, zamiast tego wymaga się, aby sekcje pomiędzy elementami znajdującymi się dwa poziomy od siebie miały taką samą strukturę jak abstrakcyjna reprezentacja odcinka linii. (Oznacza to, że każda krawędź zawiera dwa wierzchołki i należy do dwóch ścian, a każdy wierzchołek na ścianie należy do dwóch krawędzi tej ściany). Wielościany geometryczne, definiowane na inne sposoby, można w ten sposób opisać abstrakcyjnie, ale możliwe jest również wykorzystanie abstrakcyjnych wielościanów jako podstawy definicji wielościanów geometrycznych. Realizacja abstrakcyjnego wielościanu jest zasadniczo być mapowanie wierzchołków abstrakcyjnego wielościanu do punktów geometrycznych tak, że punkty każdej ściany są współpłaszczyznowe. Wielościan geometryczny można zatem zdefiniować jako realizację wielościanu abstrakcyjnego. Rozważano również realizacje pomijające wymóg płaskości, nakładające dodatkowe wymagania symetrii lub mapujące wierzchołki do przestrzeni wyższych wymiarowych. W przeciwieństwie do definicji opartych na bryłach i powierzchni, działa to doskonale w przypadku wielościanów gwiaździstych. Jednak bez dodatkowych ograniczeń definicja ta dopuszcza wielościany zdegenerowane lub niewierne (na przykład poprzez mapowanie wszystkich wierzchołków do jednego punktu), a pytanie, jak ograniczyć realizacje, aby uniknąć tych degeneracji, nie zostało rozstrzygnięte.

We wszystkich tych definicjach wielościan jest zwykle rozumiany jako trójwymiarowy przykład bardziej ogólnego wielościanu w dowolnej liczbie wymiarów. Na przykład wielokąt ma dwuwymiarowe ciało i nie ma ścian, podczas gdy 4-politop ma czterowymiarowe ciało i dodatkowy zestaw trójwymiarowych „komórek”. Jednak część literatury na temat geometrii wielowymiarowej używa terminu „wielościan” w znaczeniu czegoś innego: nie trójwymiarowego wielokąta, ale kształtu, który w pewien sposób różni się od wielościanu. Na przykład, niektóre źródła wyznaczenia wypukłego wielościan się przecięcie skończenie wielu pół-przestrzeni i Polytope być ograniczonym wielościanu. Pozostała część tego artykułu dotyczy tylko wielościanów trójwymiarowych.

Charakterystyka

Liczba twarzy

Wielościany mogą być klasyfikowane i często są nazywane według liczby twarzy. System nazewnictwa oparty jest na klasycznej grece, na przykład czworościan (wielościan o czterech ścianach), pięciościan (pięć ścian), sześcian (sześć ścian), trójścian (30 ścian) i tak dalej.

Pełną listę greckich przedrostków liczbowych można znaleźć w Przedrostku liczbowym § Tabela przedrostków liczbowych w języku angielskim , w kolumnie dla greckich liczb kardynalnych.

Klasyfikacja topologiczna

Samoprzecinająca się wielościenna butelka Kleina z czworobocznymi ścianami

Niektóre wielościany mają dwie różne strony na swojej powierzchni. Na przykład, wewnątrz i na zewnątrz papierowego modelu wypukłego wielościanu można nadać inny kolor (chociaż kolor wewnętrzny będzie niewidoczny). Te wielościany są orientowalne . To samo dotyczy wielościanów niewypukłych bez samoskrzyżowań. Niektóre niewypukłe, samoprzecinające się wielościany mogą być zabarwione w ten sam sposób, ale mają regiony odwrócone „wewnątrz na zewnątrz”, tak że oba kolory pojawiają się na zewnątrz w różnych miejscach; są one nadal uważane za możliwe do zorientowania. Jednak w przypadku niektórych innych samoprzecinających się wielościanów z prostymi ścianami wielokąta, takich jak czworokąt sześciokątny , nie jest możliwe pokolorowanie dwóch stron każdej ściany dwoma różnymi kolorami, aby sąsiadujące ściany miały spójne kolory. W tym przypadku mówi się, że wielościan jest niezorientowany. W przypadku wielościanów ze ścianami samoprzecinającymi się może nie być jasne, co to znaczy, że sąsiednie ściany są konsekwentnie zabarwione, ale w przypadku tych wielościanów nadal można określić, czy są one orientowalne, czy nie, poprzez rozważenie topologicznego kompleksu komórkowego z takie same wystąpienia między jego wierzchołkami, krawędziami i ścianami.

Bardziej subtelne rozróżnienie między powierzchniami wielościanu jest podane przez ich charakterystykę Eulera , która łączy liczby wierzchołków , krawędzi i ścian wielościanu w jedną liczbę określoną wzorem ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ chi}$

{\ Displaystyle \ chi = V-E + F. \ }

Ten sam wzór stosuje się również do charakterystyki Eulera innych rodzajów powierzchni topologicznych. Jest to niezmiennik powierzchni, co oznacza, że gdy pojedyncza powierzchnia jest podzielona na wierzchołki, krawędzie i ściany na więcej niż jeden sposób, charakterystyka Eulera będzie taka sama dla tych podpodziałów. Dla wielościanu wypukłego, lub ogólniej dowolnego wielościanu prosto połączonego o powierzchni sfery topologicznej, zawsze wynosi 2. Dla bardziej skomplikowanych kształtów charakterystyka Eulera dotyczy liczby toroidalnych otworów, uchwytów lub nasadek krzyżowych w powierzchni i będzie mniej niż 2. Wszystkie wielościany o nieparzystej charakterystyce Eulera są nieorientowalne. Dana figura z nawet charakterystyką Eulera może, ale nie musi być orientowalna. Na przykład toroid z jednym otworem i butelka Kleina mają , przy czym pierwszy jest orientowalny, a drugi nie. ${\ Displaystyle \ chi = 0}$

Dla wielu (ale nie wszystkich) sposobów definiowania wielościanów powierzchnia wielościanu musi być rozmaitością . Oznacza to, że każda krawędź jest częścią granicy dokładnie dwóch ścian (nie zezwalając na kształty, takie jak połączenie dwóch sześcianów, które spotykają się tylko wzdłuż wspólnej krawędzi) i że każdy wierzchołek jest powiązany z pojedynczym naprzemiennym cyklem krawędzi i ścian (nie zezwalając na kształty takie jak połączenie dwóch sześcianów dzielących tylko jeden wierzchołek). W przypadku wielościanów zdefiniowanych w ten sposób klasyfikacja rozmaitości implikuje, że topologiczny typ powierzchni jest całkowicie określony przez kombinację jej charakterystyki Eulera i orientowalności. Na przykład każdy wielościan, którego powierzchnia jest orientowalną rozmaitością i którego charakterystyka Eulera wynosi 2, musi być sferą topologiczną.

Toroidalny wielościan jest wielościanem którego cechą Eulera jest mniejsze niż lub równe 0 lub równoważnie, której rodzaj jest jeden lub większa. Topologicznie powierzchnie takich wielościanów są powierzchniami torusa, które mają jeden lub więcej otworów przechodzących przez środek.

Dwoistość

Oktaed jest podwójna do sześcianu

Dla każdego wielościanu wypukłego istnieje wielościan podwójny mający

twarze zamiast wierzchołków oryginału i odwrotnie, oraz
taką samą liczbę krawędzi.

Podwójny wielościan wypukły można uzyskać w procesie odwrotności biegunowej . Podwójny wielościan istnieje w parach, a podwójna podwójna jest znowu tylko oryginalnym wielościanem. Niektóre wielościany są samodualne, co oznacza, że dualność wielościanu jest przystająca do oryginalnego wielościanu.

Abstrakcyjne wielościany mają również dualności, które dodatkowo zapewniają, że mają tę samą charakterystykę Eulera i orientowalność, co wielościan początkowy. Jednak ta forma dwoistości nie opisuje kształtu podwójnego wielościanu, a jedynie jego strukturę kombinatoryczną. W przypadku niektórych definicji niewypukłych wielościanów geometrycznych istnieją wielościany, których abstrakcyjne dualności nie mogą być zrealizowane jako wielościany geometryczne zgodnie z tą samą definicją.

Liczby wierzchołków

Dla każdego wierzchołka można zdefiniować figurę wierzchołkową , która opisuje lokalną strukturę wielościanu wokół wierzchołka. Dokładne definicje są różne, ale figurę wierzchołkową można traktować jako wielokąt odsłonięty w miejscu, w którym przecięcie wielościanu odcina róg. Jeśli figura wierzchołka jest wielokątem foremnym , mówimy, że sam wierzchołek jest regularny.

Tom

Wielościenne bryły mają powiązaną wielkość zwaną objętością, która mierzy, ile miejsca zajmują. Proste rodziny brył mogą mieć proste wzory na ich objętości; na przykład objętości piramid, graniastosłupów i równoległościanów można łatwo wyrazić za pomocą długości krawędzi lub innych współrzędnych. (Patrz Wzory objętości § Wzory objętości, aby zapoznać się z listą zawierającą wiele z tych formuł.)

Tomy bardziej skomplikowanych wielościanów mogą nie mieć prostych wzorów. Objętości takich wielościanów można obliczyć dzieląc wielościan na mniejsze części (na przykład przez triangulację ). Na przykład, objętość wielościanu foremnego można obliczyć dzieląc go na przystające ostrosłupy , przy czym każda ostrosłup ma ścianę wielościanu jako podstawę i środek wielościanu jako wierzchołek.

Ogólnie rzecz biorąc, może być uzyskany z twierdzeniem rozgałęzienia , że objętość wielościan jest wyrażony wzorem gdzie suma przekracza stoi $F$ wielościanu, $P$ $F$ jest dowolnym punktem na twarzy $F$ , $N$ $F$ to jednostka wektor prostopadły do $F$ wskazuje na zewnątrz bryły, a kropka mnożenia jest iloczynem skalarnym . W wyższych wymiarach obliczenie objętości może być trudne, po części ze względu na trudność wymienienia ścian wielościanu wypukłego określonego tylko przez jego wierzchołki, a w takich przypadkach istnieją wyspecjalizowane algorytmy określające objętość. ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {3}} \ lewo | \ suma _ {F} (Q_ {F} \ cdot N_ {F}) \ operatorname {obszar} (F) \ po prawej |,}$

Niezmiennik Dehna

W dwóch wymiarach twierdzenie Bolyai-Gerwiena zakłada, że dowolny wielokąt może zostać przekształcony w dowolny inny wielokąt o tym samym obszarze, dzieląc go na skończoną liczbę wielokątów i zmieniając je . Analogiczne pytanie o wielościany było przedmiotem trzeciego problemu Hilberta . Max Dehn rozwiązał ten problem, pokazując, że w przeciwieństwie do przypadku 2D, istnieją wielościany o tej samej objętości, których nie można pociąć na mniejsze wielościany i ponownie złożyć w siebie. Aby to udowodnić, Dehn odkrył inną wartość związaną z wielościanem, niezmiennik Dehna , tak że dwa wielościany mogą być podzielone na siebie tylko wtedy, gdy mają tę samą objętość i ten sam niezmiennik Dehna. Sydler udowodnił później, że jest to jedyna przeszkoda w sekcji: co dwie wielościany euklidesowe o tych samych objętościach i niezmiennikach Dehna można pociąć i ponownie złożyć w siebie. Niezmiennik Dehna nie jest liczbą, lecz wektorem w nieskończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej.

Kolejny problem Hilberta, 18. problem Hilberta dotyczy (między innymi) wielościanów tej przestrzeni kafli . Każdy taki wielościan musi mieć niezmiennik Dehna zero. Niezmiennik Dehna został również połączony z elastycznym wielościanem przez twierdzenie o silnych miechach, które mówi, że niezmiennik Dehna dowolnego wielościanu elastycznego pozostaje niezmienny podczas zginania.

Wielościany wypukłe

Wypukłe bloki wielościanu na wystawie w muzeum Universum w Meksyku

Bryła trójwymiarowa jest zbiorem wypukłym, jeśli zawiera każdy odcinek linii łączący dwa z jej punktów. Wypukłego wielościanu znaczy wielościan, który, w postaci stałej, stanowi zbiór wypukłych. Wypukła wielościan może być również zdefiniowany jako ograniczonego przecięcia skończenie wieloma połowicznej przestrzeni lub jako wypukłej skończenie wielu punktach.

Ważne klasy wielościanów wypukłych zawierają wysoce symetrycznych brył platońskich Z Archimedesa ciał stałych i ich bliźniacze z brył Kataloński , a regularne twarzy ciał stałych Johnson .

Symetrie

Odtwórz multimedia

Niektóre wielościany obracające się wokół osi symetrycznej (w Matemateca IME-USP )

Wiele z najbardziej przebadanych wielościanów jest wysoce symetrycznych , to znaczy, że ich wygląd jest niezmieniony przez pewne odbicie lub obrót przestrzeni. Każda taka symetria może zmienić położenie danego wierzchołka, ściany lub krawędzi, ale zbiór wszystkich wierzchołków (podobnie jak ściany, krawędzie) pozostaje niezmieniony. Zbiór symetrii wielościanu nazywa się jego grupą symetrii .

Mówi się, że wszystkie elementy, które mogą się na siebie nakładać przez symetrie, tworzą orbitę symetrii . Na przykład wszystkie ściany sześcianu leżą na jednej orbicie, podczas gdy wszystkie krawędzie leżą na innej. Jeśli wszystkie elementy danego wymiaru, powiedzmy wszystkie twarze, leżą na tej samej orbicie, mówi się, że figura jest przechodnia na tej orbicie. Na przykład sześcian jest przechodni względem ścian, podczas gdy sześcian obcięty ma dwie orbity symetrii ścian.

Ta sama abstrakcyjna struktura może wspierać mniej lub bardziej symetryczne wielościany geometryczne. Ale tam, gdzie podana jest nazwa wielościenna, na przykład dwudziestodwunastościan dwudziestościan , prawie zawsze implikowana jest najbardziej symetryczna geometria, chyba że zaznaczono inaczej.

Istnieje kilka typów wysoce symetrycznych wielościanów, sklasyfikowanych według rodzaju elementu – ścian, krawędzi lub wierzchołków – należących do pojedynczej orbity symetrii:

Regular : przechodnie wierzchołki, przechodnie krawędzi i przechodnie ścian. (To implikuje, że każda ściana jest tym samym wielokątem foremnym ; oznacza to również, że każdy wierzchołek jest regularny.)
Quasi-regularne : wierzchołki przechodnie i krawędzie przechodnie (a zatem ma regularne ściany), ale nie przechodnie względem ścian. Quasi-regularna liczba dualna jest przechodnia twarzowa i przechodnia krawędziowa (a zatem każdy wierzchołek jest regularny), ale nie jest przechodnia wierzchołkowa.
Semi-regular : wierzchołki przechodnie, ale nie przechodnie krawędzi, a każda ściana jest regularnym wielokątem. (Jest to jedna z kilku definicji tego terminu, w zależności od autora. Niektóre definicje pokrywają się z klasą quasi-regularną.) Te wielościany obejmują półregularne pryzmaty i antypryzmaty . Podwójna półregularna jest przechodnia twarzowa, ale nie przechodnia wierzchołków, a każdy wierzchołek jest regularny.
Jednolity : wierzchołek przechodni i każda ściana jest wielokątem foremnym, tzn. jest regularna, quasi-regularna lub półregularna. Jednolity dual jest przechodni względem ścian i ma regularne wierzchołki, ale niekoniecznie jest wierzchołkiem przechodnim.
Izogonalny : wierzchołek przechodni.
Izotoksal : przechodni brzegowo .
Isohedral : twarz przechodnia.
Noble : przechodnie na twarz i przechodnie na wierzchołki (ale niekoniecznie przechodnie od krawędzi). Wielościany regularne są również szlachetne; są jedynymi szlachetnymi, jednolitymi wielościanami. Duale szlachetnych wielościanów same są szlachetne.

Niektóre klasy wielościanów mają tylko jedną główną oś symetrii. Należą do nich piramidy , bipiramidy , trapezoedry , kopuły , a także półregularne graniastosłupy i antypryzmaty.

Wielościany regularne

Najbardziej symetryczne są wielościany regularne. W sumie istnieje dziewięć wielościanów foremnych: pięć wielościanów wypukłych i cztery gwiaździste.

Pięć wypukłych przykładów jest znanych od starożytności i nazywane są bryłami platońskimi . Są to trójkątna piramida lub czworościan , sześcian , ośmiościan , dwunastościan i dwudziestościan :

Istnieją również cztery regularne wielościany gwiaździste, znane jako wielościany Keplera-Poinsota od ich odkrywców.

Podwójny wielościan foremny jest również regularny.

Jednolite wielościany i ich dualne

Jednolite wielościany są wierzchołkami przechodnie i każda ściana jest regularnym wielokątem . Mogą być podzielone na regularne , quasi-regularne lub pół-regularne oraz mogą być wypukłe lub gwiaździste.

Podwójne wielościany jednolite mają nieregularne ściany, ale są przechodnie względem ścian , a każda figura wierzchołka jest wielokątem foremnym. Jednolity wielościan ma takie same orbity symetrii jak jego podwójna, z twarzami i wierzchołkami po prostu zamienionymi. Podwójne wypukłe wielościany Archimedesa są czasami nazywane bryłami katalońskimi .

Jednolite wielościany i ich pary są tradycyjnie klasyfikowane według ich stopnia symetrii i tego, czy są wypukłe, czy nie.

	Wypukły mundur	Wypukły jednolity podwójny	Gwiazda munduru	Gwiazda jednolity podwójny
Regularny	Bryły platońskie		Wielościany Keplera-Poinsota
quasi-regularny	Bryły Archimedesa	Katalońskie ciała stałe	Jednolity wielościan gwiazdowy
Półregularny	Bryły Archimedesa	Katalońskie ciała stałe	Jednolity wielościan gwiazdowy
	Pryzmaty	bipiramidy	Pryzmaty gwiazd	Gwiazda bipiramidy
	Antypryzmaty	Trapezoedry	Antypryzmaty gwiazd	Trapezoedry gwiaździste

Izoedra

Isohedron jest wielościan z symetrii działających przechodni na jego twarzy. Ich topologia może być reprezentowana przez konfigurację ścian . Wszystkie 5 brył platońskich i 13 brył katalońskich to izohedry, a także nieskończone rodziny trapezoedrów i bipiramid . Niektóre izohedry pozwalają na wariacje geometryczne, w tym formy wklęsłe i samoprzecinające się.

Grupy symetrii

Pełna symetria dwudziestościenna dzieli sferę na 120 trójkątnych domen.

Wiele symetrii lub grup punktowych w trzech wymiarach jest nazwanych na cześć wielościanów mających powiązaną symetrię. Obejmują one:

T – chiralna symetria czworościenna ; grupa rotacyjna dla czworościanu foremnego ; zamów 12.
T _d – pełna symetria czworościenna ; grupa symetrii dla czworościanu foremnego ; zamów 24.
T _h – symetria pirytoedryczna ; symetria pirytoościanu ; zamów 24.
O – chiralna symetria oktaedryczna ;grupa obrotowa sześcianu i oktaedru ; zamów 24.
O _h – pełna symetria oktaedryczna ; grupa symetrii sześcianu i ośmiościanu ; zamówienie 48.
I – chiralna symetria dwudziestościenna ; grupa rotacyjna dwudziestościanu i dwunastościanu ; zamów 60.
I _h – pełna symetria dwudziestościenna ; grupa symetrii dwudziestościanu i dwunastościanu ; zamów 120.
C _nv – n -krotna symetria piramidalna
D _nh – n- krotna symetria pryzmatyczna
D _nv – n- krotna symetria antypryzmatyczna .

Te z symetrią chiralną nie mają symetrii odbicia, a zatem mają dwie enancjomorficzne formy, które są odbiciami siebie nawzajem. Przykłady obejmują sześcian sześcienny typu snub i dwudziestodwunastościan typu snub .

Inne ważne rodziny wielościanów

Wielościany o regularnych twarzach

Oprócz regularnych i jednolitych wielościanów istnieją inne klasy, które mają regularne ściany, ale mają niższą ogólną symetrię.

Równe regularne twarze

Wielościany wypukłe, w których każda ściana jest tym samym rodzajem wielokąta foremnego, można znaleźć wśród trzech rodzin:

Trójkąty: te wielościany nazywane są deltahedrami . Istnieje osiem wypukłych deltaedrów: trzy z brył platońskich i pięć przykładów niejednorodnych.
Kwadraty: sześcian jest jedynym wypukłym przykładem. Inne przykłady ( polisześciany ) można uzyskać łącząc ze sobą sześciany, chociaż należy zachować ostrożność, aby uniknąć współpłaszczyznowych ścian.
Pięciokąty: dwunastościan foremny jest jedynym wypukłym przykładem.

Wielościany z przystającymi regularnymi ścianami o sześciu lub więcej bokach nie są wypukłe.

Całkowita liczba wielościanów wypukłych o równych ścianach regularnych wynosi zatem dziesięć: pięć brył platońskich i pięć niejednorodnych deltaedrów. Istnieje nieskończenie wiele przykładów niewypukłych. W niektórych z tych rodzin istnieją nieskończone, podobne do gąbki przykłady zwane nieskończonymi wielościanami skośnymi .

ciała stałe Johnsona

Norman Johnson szukał, które wypukłe niejednorodne wielościany mają regularne twarze, choć niekoniecznie wszystkie jednakowe. W 1966 opublikował listę 92 takich brył, nadał im nazwy i numery i przypuszczał, że nie ma innych. Victor Zalgaller udowodnił w 1969 roku, że lista tych brył Johnsona jest kompletna.

Piramidy

Piramidy obejmują jedne z najbardziej znanych i znanych ze wszystkich wielościanów, takie jak czworoboczne piramidy egipskie .

Stelacje i fasetowanie

Stelacja wielościanu to proces wydłużania ścian (w ich płaszczyznach) tak, aby spotkały się, tworząc nowy wielościan.

Jest to dokładna odwrotność procesu facetingu, czyli procesu usuwania części wielościanu bez tworzenia nowych wierzchołków.

Poniższe rysunki pokazują niektóre stelacje ośmiościanu foremnego, dwunastościanu i dwudziestościanu.

Zonohedra

Zonohedron to wielościan wypukły, w którym każda ściana jest wielokątem symetrycznym przy obrotach o 180°. Zonohedry można również scharakteryzować jako sumy Minkowskiego odcinków linii i obejmują kilka ważnych wielościanów wypełniających przestrzeń.

Wielościany wypełniające przestrzeń

Wielościan wypełniający przestrzeń pakuje się z kopiami samego siebie, aby wypełnić przestrzeń. Takie ciasne upakowanie lub wypełnianie przestrzeni jest często nazywane teselacją przestrzeni lub plastrem miodu. Wielościany wypełniające przestrzeń muszą mieć niezmiennik Dehna równy zero. Niektóre plastry miodu zawierają więcej niż jeden rodzaj wielościanu.

Wielościany kratowe

Wielościan wypukły, w którym wszystkie wierzchołki mają współrzędne całkowite, nazywany jest wielościanem kratowym lub wielościanem integralnym . Wielomian Ehrharta wielościanu kratowego zlicza, ile punktów o współrzędnych całkowitych znajduje się w przeskalowanej kopii wielościanu, w zależności od współczynnika skali. Badanie tych wielomianów leży na przecięciu kombinatoryki i algebry przemiennej .

Elastyczne wielościany

Niektóre wielościany mogą zmienić swój ogólny kształt, zachowując te same kształty twarzy, zmieniając kąty ich krawędzi. Wielościan, który to potrafi, nazywany jest wielościanem elastycznym. Według twierdzenia Cauchy'ego o sztywności elastyczne wielościany muszą być niewypukłe. Objętość elastycznego wielościanu musi pozostać stała, gdy się zgina; ten wynik jest znany jako twierdzenie miecha.

Związki

Wielościenny związek składa się z dwóch lub więcej wielościanów mających wspólny środek. Związki symetryczne często mają te same wierzchołki co inne dobrze znane wielościany i często mogą być również tworzone przez stelację. Niektóre z nich znajdują się na liście modeli wielościanów Wenningera .

Wielościany ortogonalne

Wielościan ortogonalny to taki, którego wszystkie powierzchnie stykają się pod kątem prostym i wszystkie krawędzie są równoległe do osi kartezjańskiego układu współrzędnych. ( Dwudzieścian Jessena stanowi przykład wielościanu spełniającego jeden , ale nie oba z tych dwóch warunków . ) Oprócz prostokątnych prostokątów , wielościany ortogonalne nie są wypukłe. Są to analogi 3D ortogonalnych wielokątów 2D, znanych również jako wielokąty prostoliniowe . Wielościany ortogonalne są wykorzystywane w geometrii obliczeniowej , gdzie ich ograniczona struktura umożliwiła postęp w rozwiązywaniu problemów nierozwiązanych dla dowolnych wielościanów, na przykład rozwinięcie powierzchni wielościanu do sieci wielokątnej .

Uogólnienia wielościanów

Nazwa „wielościan” zaczęła być używana dla różnych obiektów o podobnych właściwościach strukturalnych do tradycyjnych wielościanów.

Apeiroedra

Klasyczna powierzchnia wielościenna ma skończoną liczbę ścian połączonych parami wzdłuż krawędzi. Apeirohedra tworzą klasę obiektów powiązanych z nieskończenie wielu twarzach. Przykłady apeiroedry obejmują:

kafelki lub teselacje samolotu oraz
struktury gąbczaste zwane nieskończonymi wielościanami skośnymi .

Wielościany złożone

Istnieją obiekty zwane wielościanami złożonymi, dla których podstawową przestrzenią jest złożona przestrzeń Hilberta, a nie rzeczywista przestrzeń euklidesowa. Dokładne definicje istnieją tylko dla regularnych złożonych wielościanów, których grupy symetrii są złożonymi grupami odbicia . Złożone wielościany są matematycznie bardziej powiązane z konfiguracjami niż z rzeczywistymi wielościanami.

Zakrzywione wielościany

Niektóre kierunki studiów pozwalają, aby wielościany miały zakrzywione ściany i krawędzie. Zakrzywione ściany mogą umożliwiać istnienie ścian dwukątnych z dodatnim obszarem.

Wielościany sferyczne

Gdy powierzchnia kuli jest podzielona skończoną liczbą wielkich łuków (odpowiednik płaszczyzn przechodzących przez środek kuli), wynik nazywa się wielościanem kulistym. Wiele politopów wypukłych o pewnym stopniu symetrii (na przykład wszystkie bryły platońskie) można rzutować na powierzchnię koncentrycznej kuli, tworząc wielościan kulisty. Jednak proces odwrotny nie zawsze jest możliwy; niektóre sferyczne wielościany (takie jak hosohedra ) nie mają odpowiednika o płaskiej powierzchni.

Zakrzywione wielościany wypełniające przestrzeń

Jeśli ściany mogą być zarówno wklęsłe, jak i wypukłe, sąsiadujące ściany mogą się spotykać bez przerwy. Niektóre z tych zakrzywionych wielościanów można spakować razem, aby wypełnić przestrzeń. Dwa ważne typy to:

Pęcherzyki w piankach i piankach, takie jak bąbelki Weaire-Phelana .
Formy stosowane w architekturze.

Idealny wielościan

Wielościany wypukłe można zdefiniować w trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej w taki sam sposób, jak w przestrzeni euklidesowej, jako wypukłe łuski skończonych zbiorów punktów. Jednak w przestrzeni hiperbolicznej możliwe jest również uwzględnienie punktów idealnych, a także punktów leżących w przestrzeni. Idealny wielościan jest wypukła kadłub skończonego zbioru punktów idealnych. Jego ściany są idealnymi wielokątami, ale jego krawędzie są określone przez całe hiperboliczne linie, a nie przez segmenty linii, a jego wierzchołki (idealne punkty, których jest wypukłym kadłubem) nie leżą w przestrzeni hiperbolicznej.

Szkielety i wielościany jako grafy

Zapominając o strukturze twarzy, z dowolnego wielościanu powstaje graf , zwany jego szkieletem , z odpowiednimi wierzchołkami i krawędziami. Takie dane mają długą historię: Leonardo da Vinci opracował modele rama regularnych brył, które zwróciły na Pacioli „s book Divina Proportione i podobne wire-frame wielościany pojawiają się w MC Escher ” s drukowania gwiazdami . Jednym z najważniejszych punktów tego podejścia jest twierdzenie Steinitza , które daje czysto grafowo-teoretyczną charakterystykę szkieletów wielościanów wypukłych: stwierdza ono, że szkielet każdego wielościanu wypukłego jest 3-spójnym grafem planarnym , a każdy 3-spójny graf planarny jest szkielet jakiegoś wielościanu wypukłego.

Wczesna idea abstrakcyjnych wielościanów została rozwinięta w studium Branko Grünbauma nad „wielościanami o pustych powierzchniach”. Grünbaum zdefiniował ściany jako cyklicznie uporządkowane zestawy wierzchołków i pozwolił na ich skośne, jak również płaskie.

Perspektywa grafowa pozwala na zastosowanie terminologii grafowej i własności do wielościanów. Na przykład czworościan i wielościan Császára są jedynymi znanymi wielościanami, których szkielety są kompletnymi grafami (K ₄ ), a różne ograniczenia symetrii dotyczące wielościanów powodują powstanie szkieletów będących grafami symetrycznymi .

Alternatywne zastosowania

Od drugiej połowy XX wieku odkryto, że różne konstrukty matematyczne mają właściwości obecne również w tradycyjnych wielościanach. Zamiast ograniczać termin „wielościan” do opisu trójwymiarowego wielościanu, przyjęto go do opisywania różnych powiązanych, ale odrębnych rodzajów struktur.

Wielościany o wyższych wymiarach

Wielościan został zdefiniowany jako zbiór punktów w rzeczywistej przestrzeni afinicznej (lub euklidesowej ) o dowolnym wymiarze n o płaskich bokach. Alternatywnie może ona być określona jako przecięcie skończenie wielu pół-przestrzeni . W przeciwieństwie do konwencjonalnego wielościanu może być ograniczony lub nieograniczony. W tym rozumieniu, o Polytope jest ograniczonym wielościan.

Analitycznie taki wielościan wypukły wyrażany jest jako zbiór rozwiązań układu nierówności liniowych. Zdefiniowanie wielościanów w ten sposób zapewnia geometryczną perspektywę problemów w programowaniu liniowym . W tym sensie wiele tradycyjnych form wielościennych to wielościany. Inne przykłady obejmują:

Kwadrant w samolocie. Na przykład obszar płaszczyzny kartezjańskiej składający się ze wszystkich punktów powyżej osi poziomej i na prawo od osi pionowej: ${ (x, y): x \geq 0, y \geq 0 }$ . Jego boki są dwiema dodatnimi osiami i jest poza tym nieograniczona.
Oktant w przestrzeni 3 euklidesowej, ${ (x, y, z): x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0}$ .
Pryzmat o nieskończonej rozciągłości. Na przykład podwójnie nieskończony graniastosłup kwadratowy w przestrzeni 3, składający się z kwadratu w płaszczyźnie xy przesuniętej wzdłuż osi z : ${ (x, y, z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 }$ .
Każda komórka w teselacji Voronoi jest wielościanem wypukłym. W teselacji Woronoja zbiorze S , komórka odpowiadającym punktowi $c$ $\in$ $S$ jest ograniczona (stąd tradycyjny polihedronu) przy C polega na wnętrze części wypukłej z S lub w inny sposób (przy C leży na granicy z wypukły kadłub S ) A jest nieograniczony.

Wielościany topologiczne

Topologiczny politop to przestrzeń topologiczna nadana wraz z określonym rozkładem na kształty, które są topologicznie równoważne politopom wypukłym i które są ze sobą połączone w regularny sposób.

Taką figurę nazywamy simplicjalną, jeśli każdy z jej regionów jest simpleksem , tj. w przestrzeni n- wymiarowej każdy region ma n +1 wierzchołków. Podwójny simplicial polytope nazywa się simple . Podobnie szeroko badana klasa wielościanów (wielościanów) to wielościany sześcienne, w których podstawowym elementem budulcowym jest n- wymiarowy sześcian.

Abstrakcyjne wielościany

Streszczenie Polytope jest częściowy porządek (poset) elementów, których częściowe uporządkowanie przestrzega pewnych zasad padania (connectivity) oraz klasyfikację. Elementy zbioru odpowiadają wierzchołkom, krawędziom, ścianom i tak dalej politopu: wierzchołki mają rangę 0, krawędzie 1, itd. z częściowo uporządkowanym rankingiem odpowiadającym wymiarowości elementów geometrycznych. Pusty zbiór, wymagany przez teorię mnogości, ma rangę -1 i czasami mówi się, że odpowiada zerowemu wielotopowi. Abstrakcyjny wielościan to abstrakcyjny wielościan mający następujący ranking:

ranga 3: Element maksymalny, czasem utożsamiany z ciałem.
pozycja 2: Ściany wielokątne.
ranga 1: Krawędzie.
pozycja 0: wierzchołki.
rank -1: Pusty zestaw, czasami identyfikowany z null polytope lub nullitope .

O każdym geometrycznym wielościanie mówi się wówczas, że jest „realizacją” w rzeczywistej przestrzeni pozy abstrakcyjnego, jak opisano powyżej.

Historia

Starożytny

Pre-historia

Wielościany pojawiły się we wczesnych formach architektonicznych, takich jak sześciany i prostopadłościany, a najwcześniejsze czworoboczne piramidy starożytnego Egiptu również pochodzą z epoki kamienia.

W Etruskowie poprzedzone Greków w ich świadomości przynajmniej niektóre z regularnych wielościanów, o czym świadczy odkryciu Etrusków dwunastościanu wykonana z steatytu na Monte Loffa . Jego twarze były oznaczone różnymi wzorami, co sugeruje niektórym badaczom, że mógł być używany jako kość do gry.

cywilizacja grecka

Najwcześniejsze znane pisemne wzmianki o tych kształtach pochodzą od autorów klasycznej Grecji , którzy podali również pierwszy znany ich opis matematyczny. Wcześniejsi Grecy interesowali się przede wszystkim wypukłymi wielościanami foremnymi , które zaczęto nazywać bryłami platońskimi . Pitagoras znał co najmniej trzy z nich, a Theaetetus (ok. 417 p.n.e.) opisał wszystkie pięć. Ostatecznie Euclid opisał ich budowę w swoich Elementach . Później Archimedes rozszerzył swoje studium o wypukłe jednolite wielościany, które teraz noszą jego imię. Jego oryginalne dzieło zaginęło, a jego bryły dotarły do nas przez Pappusa .

Chiny

Sześcienne kostki do gier w Chinach datuje się już na 600 lat p.n.e.

Do roku 236 ne Liu Hui opisał rozcięcie sześcianu na charakterystyczny czworościan (ortoschemat) i pokrewne bryły, używając zespołów tych brył jako podstawy do obliczania objętości ziemi, która ma zostać przeniesiona podczas wykopalisk inżynieryjnych.

Cywilizacja islamska

Po zakończeniu ery klasycznej uczeni w cywilizacji islamskiej nadal rozwijali wiedzę grecką (patrz Matematyka w średniowiecznym islamie ).

Uczony z IX wieku Thabit ibn Qurra podał wzory obliczania objętości wielościanów, takich jak ścięte piramidy.

Następnie w X wieku Abu'l Wafa opisał wypukłe regularne i quasi-regularne wielościany sferyczne.

renesans

Podobnie jak w przypadku innych obszarów myśli greckiej utrzymywanych i wzmacnianych przez uczonych islamskich, zainteresowanie Zachodu wielościanami odrodziło się podczas włoskiego renesansu . Artyści skonstruowali szkieletowe wielościany, przedstawiając je z życia w ramach swoich poszukiwań perspektywy . Kilka z nich pojawia się w intarsjach z tamtego okresu. Piero della Francesca podał pierwszy pisemny opis bezpośredniej konstrukcji geometrycznej takich perspektywicznych widoków wielościanów. Leonardo da Vinci wykonał modele szkieletowe kilku wielościanów i wykonał ich ilustracje do książki Pacioli. Obraz anonimowego artysty Pacioli i ucznia przedstawia szklany rombikuboktaedr wypełniony do połowy wodą.

W miarę jak renesans rozprzestrzenił się poza Włochy, późniejsi artyści, tacy jak Wenzel Jamnitzer , Dürer i inni, również przedstawiali różnego rodzaju wielościany, wiele z nich nowatorskie, w fantazyjnych akwafortach.

Wielościany gwiaździste

Przez prawie 2000 lat koncepcja wielościanu jako wypukłej bryły pozostawała rozwinięta przez starożytnych matematyków greckich.

W okresie renesansu odkryto formy gwiazd. Marmurowy tarsia w posadzce bazyliki św. Marka w Wenecji przedstawia gwiaździsty dwunastościan. Artyści tacy jak Wenzel Jamnitzer z upodobaniem przedstawiali nowe, gwiaździste formy o coraz większej złożoności.

Johannes Kepler (1571–1630) użył wielokątów gwiezdnych , zazwyczaj pentagramów , do zbudowania wielościanów gwiezdnych. Niektóre z tych figur mogły zostać odkryte przed czasami Keplera, ale on jako pierwszy zauważył, że można je uznać za „regularne”, jeśli usunie się ograniczenie, że regularne wielościany muszą być wypukłe. Później Louis Poinsot zdał sobie sprawę, że można również wykorzystać figury z wierzchołków gwiazdy (obwody wokół każdego rogu) i odkrył pozostałe dwie regularne wielościany gwiaździste. Cauchy dowiódł, że lista Poinsota jest kompletna, a Cayley nadał im przyjęte angielskie nazwy: (Keplera) mały gwiaździsty dwunastościan i wielki gwiaździsty dwunastościan oraz (Poinsota) wielki dwudziestościan i wielki dwunastościan . Łącznie nazywa się je wielościanami Keplera-Poinsota .

Wielościany Keplera-Poinsota mogą być zbudowane z brył platońskich w procesie zwanym stelacją . Większość stelacji nie jest regularna. HSM Coxeter i inni w 1938 roku poświęcili na badanie gwiazdozbiorów brył platońskich słynną już pracę The 59 icosahedra .

Wzajemny proces stellacji nazywa się facetingiem (lub facetingiem ). Każda stelacja jednego wielotopu jest podwójna lub odwrotna w stosunku do pewnego fasetowania podwójnego wielotopu. Wielościany regularne gwiaździste można również uzyskać przez fasetowanie brył platońskich. Bridge (1974) wymienił prostsze fasetki dwunastościanu i odwzajemnił je, aby odkryć gwiazdę dwudziestościanu, której brakowało w zestawie „59”. Od tego czasu odkryto więcej, a historia jeszcze się nie skończyła.

Wzór i topologia Eulera

Dwa inne współczesne osiągnięcia matematyczne wywarły głęboki wpływ na teorię wielościanów.

W 1750 roku Leonhard Euler po raz pierwszy rozważył krawędzie wielościanu, co pozwoliło mu odkryć formułę wielościanu określającą liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian. To sygnalizowało narodziny topologii , czasami określanej jako „geometria arkusza gumy”, a Henri Poincaré rozwinął jej podstawowe idee pod koniec XIX wieku. Pozwoliło to na rozwiązanie wielu długotrwałych problemów dotyczących tego, co było wielościanem, a co nie.

Max Brückner podsumował dotychczasowe prace nad wielościanami, w tym wiele własnych odkryć, w swojej książce „Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte” (Wielokąty i wielościany: teoria i historia). Wydana po niemiecku w 1900 r. pozostała mało znana.

Tymczasem odkrycie wyższych wymiarów doprowadziło do pomysłu wielościanu jako trójwymiarowego przykładu bardziej ogólnego wielościanu.

Odrodzenie XX wieku

We wczesnych latach dwudziestego wieku matematycy posunęli się dalej, a geometria była mało badana. Analiza Coxetera w The Fifty-Nine Icosahedra wprowadziła nowoczesne idee z teorii grafów i kombinatoryki do badań nad wielościanami, sygnalizując odrodzenie zainteresowania geometrią.

Sam Coxeter po raz pierwszy wyliczył wielościany jednostajne, traktował kafelki płaszczyzny jako wielościany, odkrył wielościany regularne skośne i rozwinął teorię wielościanów złożonych odkrytych przez Shepharda w 1952 roku, a także wkład w wiele innych dziedzin geometrii.

W drugiej połowie XX wieku Grünbaum publikował ważne prace z dwóch dziedzin. Jeden z nich dotyczył politopów wypukłych , gdzie zauważył tendencję matematyków do definiowania „wielościanu” na różne i czasami niekompatybilne sposoby, aby dopasować się do potrzeb chwili. Druga to seria artykułów poszerzających przyjętą definicję wielościanu, np. odkrywanie wielu nowych wielościanów foremnych . Pod koniec XX wieku te ostatnie idee połączyły się z innymi pracami nad kompleksami występowania, tworząc współczesną ideę abstrakcyjnego wielościanu (jako abstrakcyjnego trójścianu), przedstawioną w szczególności przez McMullena i Schulte'a.

W naturze

Dla naturalnych wystąpień regularnych wielościanów, patrz Regularny wielościan § Regularny wielościan w przyrodzie .

Wielościany nieregularne pojawiają się w przyrodzie w postaci kryształów .

Zobacz też

Bibliografia

Uwagi

Źródła

Cromwell, Peter R. (1997), Wielościany , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55432-9, MR 1458063.
Grünbaum, Branko (1994), "Wielościany z pustymi ścianami", w Bisztriczky, Tibor; Schneidera, Petera McMullena; Rolfa; Weiss, A. (red.), Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., s. 43-70, doi : 10.1007/978-94-011-0924-6_3 , ISBN 978-94-010-4398-4, MR 1322057.
Grünbaum, Branko (2003), "Czy twój wielościan jest taki sam jak mój wielościan?" (PDF) , w Aronov, Boris ; Basu, Saugata; Pach, Janos ; Sharir, Micha (red.), Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift , Algorithms and Combinatorics, 25 , Berlin: Springer, s. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , doi : 10.1007/978-3- 642-55566-4_21 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
Richeson, David S. (2008), Klejnot Eulera: wzór wielościanu i narodziny topologii , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12677-7, MR 2440945.

Zewnętrzne linki

Ogólna teoria

Listy i bazy danych wielościanów

Wielościany wirtualnej rzeczywistości – encyklopedia wielościanów
Elektroniczne modele geometrii — zawiera recenzowany wybór wielościanów o nietypowych właściwościach.
Modele wielościanów – Wirtualne wielościany
Papierowe modele jednolitych (i innych) wielościanów

Darmowe oprogramowanie

A Plethora of Polyhedra – Interaktywna i bezpłatna kolekcja wielościanów w Javie. Funkcje obejmują sieci, przekroje planarne, podwójne, obcięcia i stelacje ponad 300 wielościanów.
Hyperspace Star Polytope Slicer – applet Java Explorer, zawiera różne opcje przeglądarki 3D.
openSCAD – bezpłatne, wieloplatformowe oprogramowanie dla programistów. Wielościany to tylko jedna z rzeczy, które możesz modelować. Instrukcja obsługi openSCAD jest również dostępna.
OpenVolumeMesh — wieloplatformowa biblioteka C++ typu open source do obsługi siatek wielościennych. Opracowany przez Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
Polyhedronisme – internetowe narzędzie do generowania modeli wielościanów przy użyciu notacji Conway Polyhedron Notation . Modele można eksportować jako obrazy 2D PNG lub jako pliki 3D OBJ lub VRML2. Pliki 3D można otwierać w oprogramowaniu CAD lub przesyłać do drukowania 3D w usługach takich jak Shapeways .

Zasoby do tworzenia modeli fizycznych

Papierowe modele wielościanów Wolne sieci wielościanów
Proste instrukcje budowania ponad 30 papierowych wielościanów
Wielościany plecione paskami papieru – Modele wielościanów skonstruowane bez użycia kleju.
Zaadoptuj wielościan — interaktywny wyświetlacz, sieci i dane z drukarki 3D dla wszystkich kombinatorycznych typów wielościanów z maksymalnie dziewięcioma wierzchołkami.

v T mi Podstawowe wypukłe politopy regularne i jednolite o wymiarach 2–10
Rodzina	A _n	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Wielokąt foremny	Trójkąt	Kwadrat	p-gon	Sześciokąt	Pięciokąt
Jednolity wielościan	Czworościan	Ośmiościan • kostka	Demicube		Dwunastościan • Icosahedron
Jednolita polichoron	Pentachoron	16-ogniwowy • Tesseract	Demitesseract	24-komorowy	120-ogniwowy • 600-ogniwowy
Jednolity 5-politop	5-simplex	5-ortopleks • 5-kostka	5-demicube
Jednolity 6-politop	6-simplex	6-ortopleks • 6-kostka	6-demicube	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Jednolity 7-politop	7-simplex	7-ortopleks • 7-kostka	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Jednolity 8-politop	8-simplex	8-ortopleks • 8-kostka	8-demicube	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Jednolity 9-politop	9-simplex	9-ortopleks • 9-kostka	9-demicube
Jednolity 10-politop	10-simplex	10-ortopleks • 10-kostka	10-demicube
Jednolity n - polytope	n - simpleks	n - ortoplex • n - sześcian	n - demicube	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - pięciokątny politop
Tematy: Rodziny Polytope • Regularny polytope • Lista regularnych polytopów i związków

Languages

In other projects