Równanie algebraiczne -Algebraic equation

W matematyce równanie algebraiczne lub równanie wielomianowe jest równaniem postaci

gdzie P jest wielomianem ze współczynnikami w jakimś ciele , często w ciele liczb wymiernych . Dla wielu autorów termin równanie algebraiczne odnosi się tylko do równań jednowymiarowych , czyli równań wielomianowych, które dotyczą tylko jednej zmiennej . Z drugiej strony równanie wielomianowe może obejmować kilka zmiennych. W przypadku kilku zmiennych ( przypadek wielowymiarowy ) termin równanie wielomianowe jest zwykle preferowany niż równanie algebraiczne .

Na przykład,

jest równaniem algebraicznym ze współczynnikami całkowitymi i

jest wielowymiarowym równaniem wielomianowym nad wymiernymi.

Niektóre, ale nie wszystkie równania wielomianowe ze współczynnikami wymiernymi mają rozwiązanie, które jest wyrażeniem algebraicznym , które można znaleźć za pomocą skończonej liczby operacji obejmujących tylko te same typy współczynników (czyli można je rozwiązać algebraicznie ). Można to zrobić dla wszystkich takich równań stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego lub czwartego; ale dla stopnia piątego lub wyższego można to zrobić tylko dla niektórych równań, nie dla wszystkich . Wiele badań poświęcono na wydajne obliczanie dokładnych przybliżeń rzeczywistych lub złożonych rozwiązań jednowymiarowego równania algebraicznego (patrz Algorytm znajdowania pierwiastków ) oraz wspólnych rozwiązań kilku wielowymiarowych równań wielomianowych (patrz Układ równań wielomianowych ).

Terminologia

Termin „równanie algebraiczne” pochodzi z czasów, gdy głównym problemem algebry było rozwiązywanie jednowymiarowych równań wielomianowych. Problem ten został całkowicie rozwiązany w XIX wieku; patrz Podstawowe twierdzenie algebry , twierdzenie Abela-Ruffiniego i teoria Galois .

Od tego czasu zakres algebry został radykalnie poszerzony. W szczególności obejmuje badanie równań zawierających n - te pierwiastki i, bardziej ogólnie, wyrażeń algebraicznych . To sprawia, że ​​termin równanie algebraiczne jest niejednoznaczny poza kontekstem starego problemu. Zatem termin równanie wielomianowe jest generalnie preferowane, gdy ta niejednoznaczność może wystąpić, szczególnie w przypadku równań wielowymiarowych.

Historia

Badanie równań algebraicznych jest prawdopodobnie tak stare jak matematyka: matematycy babilońscy już w 2000 r. p.n.e. potrafili rozwiązywać niektóre rodzaje równań kwadratowych (wyświetlane na glinianych tabliczkach starobabilońskich ).

Równania algebraiczne jednowymiarowe nad wymiernymi (tj. ze współczynnikami wymiernymi ) mają bardzo długą historię. Starożytni matematycy chcieli rozwiązań w postaci wyrażeń radykalnych , takich jak pozytywne rozwiązanie . Starożytni Egipcjanie wiedzieli, jak w ten sposób rozwiązywać równania stopnia 2. Indyjski matematyk Brahmagupta (597–668 ne) wyraźnie opisał kwadratową formułę w swoim traktacie Brāhmasphuṭasiddhānta opublikowanym w 628 r., ale pisanym słowami zamiast symboli. W IX wieku Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi i inni islamscy matematycy wyprowadzili wzór kwadratowy , ogólne rozwiązanie równań stopnia 2, i uznali znaczenie wyróżnika . W okresie renesansu w 1545 r. Gerolamo Cardano opublikował rozwiązanie Scipione del Ferro i Niccolò Fontany Tartaglia do równań stopnia 3 i Lodovico Ferrariego dla równań stopnia 4 . Ostatecznie Niels Henrik Abel udowodnił w 1824 roku, że równania stopnia 5 i wyższego nie mają ogólnych rozwiązań z użyciem pierwiastków. Teoria Galois , nazwana na cześć Évariste'a Galois'a , pokazała, że ​​niektóre równania co najmniej stopnia 5 nie mają nawet idiosynkratycznego rozwiązania na pierwiastki i podała kryteria decydowania, czy równanie jest rzeczywiście rozwiązywalne za pomocą pierwiastków.

Obszary nauki

Równania algebraiczne są podstawą wielu dziedzin współczesnej matematyki: Algebraiczna teoria liczb to badanie (jednowymiarowych) równań algebraicznych nad wymiernymi (to znaczy ze współczynnikami wymiernymi ). Teoria Galois została wprowadzona przez Évariste Galois w celu określenia kryteriów decydujących o tym, czy równanie algebraiczne można rozwiązać za pomocą pierwiastków. W teorii pola rozszerzenie algebraiczne jest rozszerzeniem takim, że każdy element jest pierwiastkiem równania algebraicznego nad ciałem podstawowym. Teoria liczb transcendentalnych to nauka o liczbach rzeczywistych, które nie są rozwiązaniami równania algebraicznego nad liczbami wymiernymi. Równanie diofantyczne to (zazwyczaj wielowymiarowe) równanie wielomianowe ze współczynnikami całkowitymi, dla których interesują nas rozwiązania liczb całkowitych. Geometria algebraiczna to badanie rozwiązań w algebraicznie domkniętym polu wielowymiarowych równań wielomianowych.

Dwa równania są równoważne, jeśli mają ten sam zestaw rozwiązań . W szczególności równanie jest równoważne . Wynika z tego, że badanie równań algebraicznych jest równoważne badaniu wielomianów.

Równanie wielomianowe nad wymiernymi zawsze można przekształcić w równoważne, w którym współczynnikiliczbami całkowitymi . Na przykład mnożąc przez 42 = 2,3,7 i grupując jego wyrazy w pierwszym elemencie, wspomniane wcześniej równanie wielomianowe staje się

Ponieważ sinus , potęgowanie i 1/ T nie są funkcjami wielomianowymi,

nie jest równaniem wielomianowym w czterech zmiennych x , y , z i T na liczbach wymiernych. Jest to jednak równanie wielomianowe w trzech zmiennych x , y i z nad ciałem funkcji elementarnych w zmiennej T .

Teoria

Wielomiany

Biorąc pod uwagę równanie w nieznanym x

,

ze współczynnikami w polu K można równoważnie powiedzieć, że rozwiązania (E) w K są pierwiastkami w K wielomianu

.

Można wykazać, że wielomian stopnia n w polu ma najwyżej n pierwiastków. Równanie (E) ma zatem najwyżej n rozwiązań.

Jeżeli K' jest rozszerzeniem pola K , można uznać (E) za równanie ze współczynnikami w K , a rozwiązania (E) w K są także rozwiązaniami w K' (odwrotność generalnie nie zachodzi). Zawsze można znaleźć rozszerzenie pola K znane jako pole zerwania wielomianu P , w którym (E) ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Istnienie rozwiązań równań rzeczywistych i złożonych

Podstawowe twierdzenie algebry mówi, że ciało liczb zespolonych jest domknięte algebraicznie, to znaczy, że wszystkie równania wielomianowe o współczynnikach zespolonych i stopniu co najmniej jeden mają rozwiązanie.

Wynika z tego, że wszystkie równania wielomianowe stopnia 1 lub wyższego o współczynnikach rzeczywistych mają rozwiązanie złożone . Z drugiej strony, równanie takie, jak nie ma rozwiązania w (rozwiązaniami są jednostki urojone i oraz –i ).

O ile rzeczywiste rozwiązania równań rzeczywistych są intuicyjne (są to współrzędne x punktów, w których krzywa y = P ( x ) przecina oś x ), to istnienie złożonych rozwiązań równań rzeczywistych może być zaskakujące i trudniejsze do wyobrażać sobie.

Jednak wielomian moniczny nieparzystego stopnia musi koniecznie mieć prawdziwy pierwiastek. Powiązana funkcja wielomianowa w x jest ciągła i zbliża się do x i zbliża się do x . Zgodnie z twierdzeniem o wartości pośredniej , musi zatem przyjąć wartość zero w pewnej rzeczywistej x , która jest wtedy rozwiązaniem równania wielomianowego.

Połączenie z teorią Galois

Istnieją wzory dające rozwiązania wielomianów rzeczywistych lub złożonych o stopniu mniejszym lub równym cztery w funkcji ich współczynników. Abel wykazał, że nie jest możliwe znalezienie takiego wzoru w ogóle (wykorzystując tylko cztery operacje arytmetyczne i wyciągając pierwiastki) dla równań stopnia piątego lub wyższego. Teoria Galois dostarcza kryterium, które pozwala określić, czy rozwiązanie danego równania wielomianowego można wyrazić za pomocą pierwiastków.

Jawne rozwiązanie równań numerycznych

Zbliżać się

Wyraźne rozwiązanie rzeczywistego lub złożonego równania stopnia 1 jest trywialne. Rozwiązanie równania wyższego stopnia n sprowadza się do faktoryzacji związanego z nim wielomianu, czyli przepisania (E) w postaci

,

gdzie rozwiązania to . Problem polega więc na tym, aby wyrazić w kategoriach .

Podejście to ma zastosowanie bardziej ogólnie, jeśli współczynniki i rozwiązania należą do dziedziny integralnej .

Techniki ogólne

Faktoring

Jeśli równanie P ( x ) = 0 stopnia n ma pierwiastek wymierny α , powiązany wielomian można rozłożyć na czynniki, aby otrzymać postać P ( X ) = ( X – α) Q ( X ) (poprzez podzielenie P ( X ) przez X – α lub pisząc P ( X ) – P (α) jako kombinację liniową wyrazów postaci X k – α k i wyciągając X – α . Rozwiązanie P ( x ) = 0 sprowadza się zatem do rozwiązania stopnia n – 1 równanie Q ( x ) = 0. Zobacz na przykład przypadek n = 3 .

Eliminacja subdominującego terminu

Aby rozwiązać równanie stopnia n ,

,

powszechnym krokiem wstępnym jest wyeliminowanie członu stopnia- n-1 : przez ustawienie , równanie (E) staje się

.

Leonhard Euler opracował tę technikę dla przypadku n = 3 , ale można ją również zastosować na przykład w przypadku n = 4 .

Równania kwadratowe

Aby rozwiązać równanie kwadratowe postaci , oblicza się dyskryminator Δ określony przez .

Jeśli wielomian ma rzeczywiste współczynniki, to ma:

  • dwa różne pierwiastki rzeczywiste if  ;
  • jeden prawdziwy podwójny pierwiastek if  ;
  • brak prawdziwego korzenia if , ale dwa złożone sprzężone korzenie.

Równania sześcienne

Najbardziej znaną metodą rozwiązywania równań sześciennych przez zapisywanie pierwiastków w postaci pierwiastków jest wzór Cardano .

Równania kwarcowe

Aby uzyskać szczegółowe omówienie niektórych metod rozwiązania, zobacz:

Równanie kwadratowe z może zostać zredukowane do równania kwadratowego przez zmianę zmiennej, pod warunkiem, że jest albo dwukwadratowe ( b = d = 0 ) albo quasi-palindromiczne ( e = a , d = b ).

Niektóre równania sześcienne i kwarcowe można rozwiązać za pomocą funkcji trygonometrycznych lub hiperbolicznych .

Równania wyższego stopnia

Évariste Galois i Niels Henrik Abel wykazali niezależnie, że ogólnie wielomian stopnia 5 lub wyższego nie jest rozwiązywalny za pomocą rodników. Niektóre konkretne równania mają rozwiązania, takie jak te związane z wielomianami cyklotomicznymi stopni 5 i 17.

Z drugiej strony Charles Hermite wykazał, że wielomiany stopnia 5 można rozwiązać za pomocą funkcji eliptycznych .

W przeciwnym razie można znaleźć przybliżenia liczbowe do pierwiastków za pomocą algorytmów wyszukiwania pierwiastków , takich jak metoda Newtona .

Zobacz też

Bibliografia

  • „Równanie algebraiczne” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. „Równanie algebraiczne” . Matematyka Świat .