Precesja - Precession

Precesja żyroskopu

Precesja to zmiana orientacji osi obrotu wirującego ciała. W odpowiednim układzie odniesienia można go zdefiniować jako zmianę pierwszego kąta Eulera , podczas gdy trzeci kąt Eulera określa sam obrót . Innymi słowy, jeśli oś obrotu ciała sama obraca się wokół drugiej osi, mówi się, że ciało to przemieszcza się wokół drugiej osi. Ruch, w którym zmienia się drugi kąt Eulera, nazywamy nutacją . W fizyce istnieją dwa rodzaje precesji: bez momentu obrotowego i wywołana momentem obrotowym.

W astronomii precesja odnosi się do dowolnej z kilku powolnych zmian parametrów rotacyjnych lub orbitalnych ciała astronomicznego. Ważnym przykładem jest ciągła zmiana orientacji osi obrotu Ziemi , zwana precesją równonocy .

Bez momentu obrotowego

Precesja bez momentu obrotowego oznacza, że ​​na ciało nie jest przykładany żaden zewnętrzny moment (moment obrotowy). W precesji bez momentu obrotowego moment pędu jest stały, ale wektor prędkości kątowej zmienia orientację w czasie. Umożliwia to zmienny w czasie moment bezwładności , a ściślej zmienna w czasie macierz bezwładności . Macierz bezwładności składa się z momentów bezwładności ciała obliczonych względem poszczególnych osi współrzędnych (np. x , y , z ). Jeśli obiekt jest asymetryczny względem swojej głównej osi obrotu, moment bezwładności względem każdego kierunku współrzędnych będzie się zmieniać w czasie, przy zachowaniu momentu pędu. W rezultacie składowa prędkości kątowych ciała wokół każdej osi będzie się zmieniać odwrotnie z momentem bezwładności każdej osi.

Szybkość precesji bez momentu obrotowego obiektu o osi symetrii, takiego jak dysk, obracającego się wokół osi niezrównanej z tą osią symetrii, można obliczyć w następujący sposób:

gdzie ω p to prędkość precesji, ω s to prędkość wirowania wokół osi symetrii, I s to moment bezwładności wokół osi symetrii, I p to moment bezwładności wokół jednej z pozostałych dwóch równych prostopadłych osi głównych, a α jest kątem między kierunkiem momentu bezwładności a osią symetrii.

Gdy obiekt nie jest idealnie solidny , wewnętrzne wiry będą miały tendencję do tłumienia precesji bez momentu obrotowego, a oś obrotu zrówna się z jedną z osi bezwładności ciała.

W przypadku ogólnego obiektu bryłowego bez żadnej osi symetrii ewolucja orientacji obiektu, reprezentowana (na przykład) przez macierz obrotu R, która przekształca współrzędne wewnętrzne na zewnętrzne, może być symulowana numerycznie. Biorąc pod uwagę ustalony wewnętrzny moment tensora bezwładności I 0 obiektu i ustalony zewnętrzny moment pędu L , chwilowa prędkość kątowa wynosi

Precesja następuje przez wielokrotne przeliczanie ω i przyłożenie małego wektora rotacji ω dt na krótki czas dt ; np:

dla macierzy skośno-symetrycznej [ ω ] × . Błędy wywołane przez skończone kroki czasowe mają tendencję do zwiększania obrotowej energii kinetycznej:

tej niefizycznej tendencji można przeciwdziałać, wielokrotnie stosując mały wektor rotacji v prostopadły zarówno do ω, jak i L , zauważając, że

Indukowany momentem obrotowym

Precesja wywołana momentem obrotowym (precesja żyroskopowa ) to zjawisko, w którym wirującego obiektu (np. żyroskopu ) opisuje stożek w przestrzeni, gdy przyłożony jest do niego zewnętrzny moment obrotowy . Zjawisko to jest powszechnie obserwowane w wirującym blacie zabawki , ale wszystkie obracające się obiekty mogą podlegać precesji. Jeśli prędkość obrotu i wielkość zewnętrznego momentu obrotowego są stałe, oś obrotu będzie poruszać się pod kątem prostym do kierunku , który intuicyjnie wynikałby z zewnętrznego momentu obrotowego. W przypadku blatu zabawki jego ciężar działa w dół od jego środka masy, a normalna siła (reakcja) podłoża napiera na niego w miejscu kontaktu z podporą. Te dwie przeciwstawne siły wytwarzają moment obrotowy, który powoduje precesję czubka.

Odpowiedź systemu wirującego na przyłożony moment obrotowy. Gdy urządzenie się obraca i dodaje się trochę rolki, koło ma tendencję do kołysania.

Urządzenie przedstawione po prawej stronie (lub powyżej na urządzeniach mobilnych) jest zamontowane na gimbalu . Od wewnątrz na zewnątrz są trzy osie obrotu: piasta koła, oś gimbala i pionowa oś.

Aby odróżnić dwie osie poziome, obrót wokół piasty koła zostanie nazwany kręceniem , a obrót wokół osi gimbala będzie nazywany pochylaniem . Obrót wokół pionowej osi obrotu nazywa się obrotem .

Najpierw wyobraź sobie, że całe urządzenie obraca się wokół (pionowej) osi obrotu. Następnie dodaje się kręcenie się koła (wokół piasty). Wyobraź sobie, że oś gimbala ma być zablokowana, aby koło nie mogło się kołysać. Oś gimbala posiada czujniki, które mierzą moment obrotowy wokół osi gimbala.

Na zdjęciu fragment koła został nazwany dm 1 . W przedstawionym momencie sekcja dm 1 znajduje się na obwodzie ruchu obrotowego wokół (pionowej) osi obrotu. Sekcja dm 1 ma zatem dużą prędkość kątową obrotu w stosunku do obrotu wokół osi obrotu, a ponieważ dm 1 jest zmuszana bliżej osi obrotu (poprzez dalsze obracanie się koła), ze względu na efekt Coriolisa w odniesieniu do pionowej osi obrotu, DM 1 ma tendencję do przemieszczania się w kierunku górnej lewej strzałki na wykresie (pokazany pod kątem 45 °) w kierunku obrotu wokół osi obrotu. Sekcja dm 2 koła oddala się od osi obrotu, a więc siła (znów siła Coriolisa) działa w tym samym kierunku, co w przypadku dm 1 . Zauważ, że obie strzałki wskazują ten sam kierunek.

To samo rozumowanie dotyczy dolnej połowy koła, ale tam strzałki wskazują w przeciwnym kierunku niż górne strzałki. W połączeniu na całym kole występuje moment obrotowy wokół osi gimbala, gdy do obrotu wokół osi pionowej dodaje się trochę wirowania.

Ważne jest, aby pamiętać, że moment obrotowy wokół osi gimbala pojawia się bez żadnych opóźnień; odpowiedź jest natychmiastowa.

W powyższej dyskusji konfiguracja pozostała niezmienna, zapobiegając przechylaniu się wokół osi gimbala. W przypadku bączka zabawki, gdy bączek zaczyna się przechylać, grawitacja wywiera moment obrotowy. Jednak zamiast się przewracać, bączek po prostu trochę się pochyla. Ten ruch pochylania zmienia orientację bączka w odniesieniu do wywieranego momentu obrotowego. W rezultacie moment obrotowy wywierany przez grawitację – poprzez ruch pochylania – wywołuje precesję żyroskopową (co z kolei daje przeciwny moment obrotowy w stosunku do momentu grawitacyjnego), zamiast powodować opadanie wirującego bączka na bok.

Precesja lub względy żyroskopowe mają wpływ na osiągi roweru przy dużej prędkości. Precesja jest również mechanizmem żyrokompasów .

Klasyczny (Newtonowski)

Moment powodowany przez siłę normalną - C g a ciężar górnej powoduje zmiany momentu pędu L w kierunku tego momentu. To powoduje, że wierzchołek się presuje.

Precesja to zmiana prędkości kątowej i momentu pędu wywołana momentem obrotowym. Ogólne równanie, które wiąże moment obrotowy z szybkością zmiany momentu pędu, to:

gdzie i są odpowiednio wektorami momentu obrotowego i momentu pędu.

Ze względu na sposób definiowania wektorów momentu obrotowego jest to wektor prostopadły do ​​płaszczyzny sił, które go tworzą. Można więc zauważyć, że wektor momentu pędu będzie się zmieniał prostopadle do tych sił. W zależności od tego, jak powstają siły, często obracają się one z wektorem momentu pędu, a następnie tworzy się precesja kołowa.

W tych warunkach prędkość kątowa precesji dana jest wzorem:

gdzie I s to moment bezwładności , ω s to prędkość kątowa wirowania wokół osi wirowania, m to masa, g to przyspieszenie ziemskie, θ to kąt między osią wirowania a osią precesji ir to odległość między środkiem masy a osią. Wektor momentu ma swój początek w środku masy. Używając ω = /T, stwierdzamy, że okres precesji jest określony wzorem:

Gdzie I s jest momentem bezwładności , T s jest okresem wirowania wokół osi obrotu, a τ jest momentem obrotowym . Ogólnie rzecz biorąc, problem jest jednak bardziej skomplikowany.

Dyskusja

Istnieje prosty sposób na zrozumienie, dlaczego precesja żyroskopowa występuje bez użycia matematyki. Zachowanie wirującego obiektu po prostu podlega prawom bezwładności, opierając się każdej zmianie kierunku. Wirujący obiekt ma właściwość znaną jako sztywność w przestrzeni, co oznacza, że ​​oś obrotu jest odporna na wszelkie zmiany orientacji. To bezwładność materii składającej się na przedmiot, która opiera się jakiejkolwiek zmianie kierunku, zapewnia tę właściwość. Oczywiście kierunek, w którym porusza się ta materia, stale się zmienia, gdy obiekt się obraca, ale każda dalsza zmiana kierunku jest powstrzymywana. Jeśli na przykład siła jest przyłożona do powierzchni wirującego dysku, materia nie zmienia kierunku w miejscu przyłożenia siły (lub 180 stopni od tego miejsca). Ale 90 stopni przed i 90 stopni za tym miejscem, materia zmuszona jest zmienić kierunek. Powoduje to, że obiekt zachowuje się tak, jakby siła została przyłożona w tych miejscach. Kiedy siła jest przyłożona do czegokolwiek, obiekt wywiera równą siłę z powrotem, ale w przeciwnym kierunku. Ponieważ żadna rzeczywista siła nie została przyłożona 90 stopni przed ani po, nic nie stoi na przeszkodzie, aby reakcja zaszła, a obiekt porusza się w odpowiedzi. Dobrym sposobem na zobrazowanie tego, dlaczego tak się dzieje, jest wyobrażenie sobie wirującego obiektu jako dużego pustego pączka wypełnionego wodą, jak opisano w książce Thinking Physics Lewisa Epsteina. Pączek jest trzymany nieruchomo, podczas gdy woda w nim krąży. Po przyłożeniu siły woda wewnątrz zmienia kierunek o 90 stopni przed i za tym punktem. Woda następnie wywiera swoją własną siłę na wewnętrzną ścianę pączka i powoduje obrót pączka, jakby siła była przyłożona 90 stopni do przodu w kierunku obrotu. Epstein wyolbrzymia pionowy i poziomy ruch wody, zmieniając kształt pączka z okrągłego na kwadratowy z zaokrąglonymi rogami.

Teraz wyobraź sobie, że przedmiot jest obracającym się kołem rowerowym, trzymanym na obu końcach osi w rękach podmiotu. Koło kręci się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, patrząc od widza po prawej stronie obiektu. Pozycje zegara na kole są podane względem tej przeglądarki. Gdy koło się kręci, zawarte w nim molekuły poruszają się dokładnie poziomo i na prawo w chwili, gdy przekraczają pozycję na godzinie 12-tej. Następnie poruszają się pionowo w dół w chwili, gdy mijają godzinę trzecią, poziomo w lewo o godzinie 6, pionowo w górę o godzinie 9 i ponownie poziomo w prawo o godzinie 12-tej. Pomiędzy tymi pozycjami każda cząsteczka przemieszcza składowe tych kierunków. Teraz wyobraź sobie widza przykładającego siłę do obręczy koła na godzinie 12-tej. Na potrzeby tego przykładu wyobraź sobie, że koło przechyla się po przyłożeniu tej siły; przechyla się w lewo, patrząc od podmiotu trzymającego go na swojej osi. Gdy koło przechyla się do nowej pozycji, cząsteczki na godzinie 12 (gdzie przyłożono siłę) oraz na godzinie 6, nadal poruszają się poziomo; ich kierunek się nie zmienił, gdy koło się przechylało. Nie zmienia się też ich kierunek po ustawieniu koła w nowej pozycji; nadal poruszają się poziomo, gdy mijają godziny 12 i 6. ALE cząsteczki przechodzące przez godzinę 3 i 9 zostały zmuszone do zmiany kierunku. Ci na godzinie 3 byli zmuszeni do zmiany ruchu z ruchu prosto w dół, w dół i w prawo, patrząc od osoby trzymającej koło. Cząsteczki przechodzące przez godzinę 9 zostały zmuszone do zmiany ruchu z ruchu prosto w górę, w górę iw lewo. Tej zmianie kierunku przeciwdziała bezwładność tych cząsteczek. A kiedy doświadczają tej zmiany kierunku, wywierają równą i przeciwną siłę w odpowiedzi W TYCH LOKALIZACJACH NA GODZINIE 3 I 9. O godzinie trzeciej, kiedy zostali zmuszeni do zmiany ruchu z prosto w dół na dół i w prawo, wywierali na lewo swoją równą i przeciwną siłę reaktywną. O godzinie 9 wywierają swoją własną siłę reakcji w prawo, patrząc od osoby trzymającej koło. To sprawia, że ​​koło jako całość reaguje chwilowo obracając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc bezpośrednio z góry. Tak więc, ponieważ siła została przyłożona na godzinie 12, koło zachowywało się tak, jakby siła została przyłożona na godzinie 3, czyli 90 stopni do przodu w kierunku wirowania. Można też powiedzieć, że zachowywał się tak, jakby siła z przeciwnego kierunku została przyłożona na godzinie 9, 90 stopni przed kierunkiem wirowania.

Podsumowując, kiedy przykładasz siłę do wirującego obiektu, aby zmienić kierunek jego osi obrotu, nie zmieniasz kierunku materii składającej się z obiektu w miejscu przyłożenia siły (ani w 180 stopniach od niego); materia doświadcza w tych miejscach zerowej zmiany kierunku. Materia doświadcza maksymalnej zmiany kierunku 90 stopni przed i 90 stopni poza tym miejscem, a mniejsze ilości bliżej niego. Równa i przeciwna reakcja, która występuje 90 stopni przed i po, powoduje, że obiekt zachowuje się tak, jak się zachowuje. Efekt jest dramatycznie odczuwalny na motocyklach. Motocykl nagle przechyli się i skręci w kierunku przeciwnym do skrętu kierownicy.

Precesja żyroskopowa powoduje w tym scenariuszu inne zjawisko związane z obracającymi się przedmiotami, takimi jak koło rowerowe. Jeśli osoba trzymająca koło zdejmie rękę z jednego końca osi, koło nie przewróci się, ale pozostanie w pozycji pionowej, podparte tylko na drugim końcu. Jednak natychmiast przyjmie dodatkowy ruch; zacznie się obracać wokół pionowej osi, obracając się w punkcie podparcia, gdy będzie się obracać. Jeśli pozwolisz, aby koło nadal się obracało, musiałbyś obrócić swoje ciało w tym samym kierunku, w którym obraca się koło. Gdyby koło się nie obracało, to oczywiście przewróciłoby się i upadło po usunięciu jednej ręki. Początkowe działanie koła, które zaczyna się przewracać, jest równoważne przyłożeniu do niego siły na godzinie 12 w kierunku strony niepodpartej (lub siły na godzinie 6 w kierunku strony podpartej). Gdy koło się kręci, nagły brak podparcia na jednym końcu jego osi jest równoważny tej samej sile. Tak więc, zamiast przewracać się, koło zachowuje się tak, jakby przyłożona była do niego ciągła siła na godzinie 3 lub 9, w zależności od kierunku wirowania i tego, która ręka została zdjęta. Powoduje to, że koło zaczyna obracać się na jednym podpartym końcu swojej osi, pozostając w pozycji pionowej. Chociaż w tym momencie obraca się, robi to tylko dlatego, że jest tam podtrzymywany; rzeczywista oś obrotu precesyjnego przebiega pionowo przez koło, przechodząc przez jego środek masy. Wyjaśnienie to również nie uwzględnia wpływu zmienności prędkości wirującego obiektu; ilustruje tylko, jak zachowuje się oś wirowania z powodu precesji. Bardziej poprawnie, obiekt zachowuje się zgodnie z równowagą wszystkich sił w oparciu o wielkość przyłożonej siły, masę i prędkość obrotową obiektu. Gdy zobrazujemy sobie, dlaczego koło pozostaje w pozycji pionowej i obraca się, łatwo można zauważyć, dlaczego oś obracającego się blatu powoli się obraca, podczas gdy blat obraca się, jak pokazano na ilustracji na tej stronie. Blat zachowuje się dokładnie jak koło rowerowe ze względu na siłę grawitacji ciągnącą w dół. Punkt kontaktu z powierzchnią, na której się obraca, odpowiada końcowi osi, na której opiera się koło. Gdy rotacja blatu zwalnia, siła reakcji, która utrzymuje go w pozycji pionowej z powodu bezwładności, jest pokonywana przez grawitację. Gdy zwizualizujemy przyczynę precesji żyroskopu, matematyczne wzory nabierają sensu.

relatywistyczny (einsteinowski)

Specjalne i ogólne teorie względności podają trzy rodzaje poprawek do precesji Newtona, żyroskopu w pobliżu dużej masy, takiej jak Ziemia, opisanej powyżej. Oni są:

  • Precesja Thomasa , specjalna-relatywistyczna korekta uwzględniająca przyspieszenie obiektu (takiego jak żyroskop) po zakrzywionej ścieżce.
  • Precesja de Sittera , generalno-relatywistyczna poprawka uwzględniająca metrykę Schwarzschilda zakrzywionej przestrzeni w pobliżu dużej masy nieobrotowej.
  • Precesja Lense-Thirring , poprawka generalno-relatywistyczna uwzględniająca przeciąganie ramki przez metrykę Kerra zakrzywionej przestrzeni w pobliżu dużej masy wirującej.

Astronomia

W astronomii precesja odnosi się do dowolnej z kilku wywołanych grawitacją, powolnych i ciągłych zmian w osi obrotu lub ścieżce orbitalnej ciała astronomicznego. Precesja równonocy, precesja peryhelium, zmiany nachylenia osi Ziemi względem jej orbity oraz ekscentryczność jej orbity na przestrzeni dziesiątek tysięcy lat to ważne części astronomicznej teorii epok lodowcowych . (Zobacz cykle Milankovitcha .)

Precesja osiowa (precesja równonocy)

Precesja osiowa to ruch osi obrotu ciała astronomicznego, przy czym oś powoli kreśli stożek. W przypadku Ziemi ten rodzaj precesji jest również znany jako precesja równonocy , precesja księżycowo-słoneczna lub precesja równika . Ziemia przechodzi przez jeden taki kompletny cykl precesyjny w okresie około 26 000 lat lub 1° co 72 lata, podczas których pozycje gwiazd będą się powoli zmieniać zarówno pod względem współrzędnych równikowych, jak i długości ekliptycznej . W ciągu tego cyklu północny biegun osiowe ruchy ziemi z którym jest, w ciągu 1 ° Polaris w kole wokół ekliptycznej słup z kątowym promienia około 23,5 ° C.

Starożytny grecki astronom Hipparch (ok. 190-120 pne) jest ogólnie przyjęte, że najwcześniejszym znanym astronomem rozpoznać i ocenić precesji równonocy około 1 ° na wiek (co nie jest dalekie od rzeczywistej wartości dla starożytności, 1,38 °), choć istnieje pewien drobny spór o to, czy był. W starożytnych Chinach , oficjalny uczony z dynastii Jin Yu Xi (fl. 307-345 ne) dokonał podobnego odkrycia wieki później, zauważając, że pozycja Słońca podczas przesilenia zimowego przesunęła się o mniej więcej jeden stopień w ciągu pięćdziesięciu lat względem pozycji gwiazd. Precesja osi Ziemi została później wyjaśniona przez fizykę newtonowską . Będąc spłaszczoną sferoidą , Ziemia ma kształt niesferyczny, wybrzuszony na równiku. Grawitacyjne siły pływowe z Księżyca i Słońca zastosować moment do równika, próbując wyciągnąć równikową wybrzuszenie do płaszczyzny ekliptyki , lecz powodując jej precesji. Istotną rolę odgrywa również moment obrotowy wywierany przez planety, zwłaszcza Jowisza .

Małe białe krążki reprezentujące gwiazdy północne na czarnym tle, nałożone na okrąg pokazujący położenie bieguna północnego w czasie
Precesyjny ruch osi (po lewej), precesja równonocy w stosunku do odległych gwiazd (w środku) oraz ścieżka północnego bieguna niebieskiego wśród gwiazd z powodu precesji. Vega to jasna gwiazda u dołu (po prawej).

Precesja apsydowa

Precesja apsydowa — orbita obraca się stopniowo w czasie.

Że orbity planet wokół Słońca naprawdę nie śledzić identyczny elipsa za każdym razem, ale w rzeczywistości prześledzić kształt kwiat płatek ponieważ główna oś każdego planety eliptycznej orbicie precesuje również w jej płaszczyźnie orbitalnej, częściowo w odpowiedzi na perturbacje w formie zmieniających się sił grawitacyjnych wywieranych przez inne planety. Nazywa się to precesją peryhelium lub precesją apsydową .

Na obrazie towarzyszącym zilustrowana jest precesja apsydowa Ziemi. Gdy Ziemia okrąża Słońce, jej eliptyczna orbita stopniowo się obraca. Ekscentryczność jego elipsy i szybkość precesji jej orbity są dla wizualizacji wyolbrzymione. Większość orbit w Układzie Słonecznym ma znacznie mniejszy mimośród i preces w znacznie wolniejszym tempie, co sprawia, że ​​są prawie okrągłe i prawie nieruchome.

Rozbieżności między obserwowanym peryhelium tempie precesji planety Merkury i że przewidywaniami mechaniki klasycznej były widoczne wśród form eksperymentalnych dowodów prowadzącej do przyjęcia Einstein „s Teorii Względności (w szczególności jego OTW ), który dokładnie przewidzieć anomalie. Odchodząc od prawa Newtona, teoria grawitacji Einsteina przewiduje dodatkowy wyrazA/r 4, co dokładnie daje obserwowaną nadmierną szybkość obracania 43″ co 100 lat.

Siły grawitacyjne wywoływane przez Słońce i Księżyc wywołują precesję na orbicie ziemskiej. Ta precesja jest główną przyczyną oscylacji klimatu na Ziemi trwającej od 19 000 do 23 000 lat. Wynika z tego, że zmiany parametrów orbity Ziemi (np. nachylenie orbity, kąt między osią obrotu Ziemi a płaszczyzną jej orbity) mają znaczenie dla badania klimatu Ziemi, w szczególności dla badania minionych epok lodowcowych.

Precesja węzłów

Węzły orbitalne również z czasem ulegają precesji .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki