Topologia produktu - Product topology

W topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki , przestrzeń produktu jest iloczynem kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych wyposażonych w naturalną topologię zwaną topologią produktu . Ta topologia różni się od innej, być może bardziej oczywistej, topologii zwanej topologią pudełkową , którą można również przypisać do przestrzeni produktu i która jest zgodna z topologią produktu, gdy produkt ma tylko skończoną liczbę przestrzeni. Jednak topologia produktu jest „poprawna”, ponieważ sprawia, że ​​przestrzeń produktu jest iloczynem kategorycznym jego czynników, podczas gdy topologia pudełkowa jest zbyt precyzyjna ; w tym sensie topologia produktu jest naturalną topologią produktu kartezjańskiego.

Definicja

Przez cały czas zostanie ustawiony jakiś niepusty indeks, a dla każdego indeksu będzie przestrzeń topologiczna . Pozwolić ${\ Displaystyle I}$${\displaystyle ja\w ja}$ ${\ Displaystyle X_ {i}}$

${\ Displaystyle X: = \ prod _ {i \ w I} X_ {i}}$

jako iloczyn zestawów i oznaczają kanonicznych występy przez The topologii produktu , czasami nazywany Topologia Tichonowa na jest określona jako zgrubna topologii (tj topologia z najmniejszą liczbą otwartych odbiorników) na którym wszystkie występy są ciągłe . Produkt kartezjański wyposażony w topologię produktu nazywamy przestrzenią produktu . Topologia iloczynowa nazywana jest również topologią zbieżności punktowej ze względu na następujący fakt: ciąg (lub net ) zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego rzuty na przestrzenie są zbieżne. W szczególności, jeśli weźmie się pod uwagę przestrzeń wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych na zbieżności w topologii iloczynu jest taka sama jak zbieżność punktowa funkcji. ${\ Displaystyle X_ {i},}$${\ Displaystyle p_ {i}: X \ do X_ {i}.}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle p_{i}}$${\ Displaystyle X: = \ prod _ {i \ w I} X_ {i}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {I}}$${\ Displaystyle I}$

Zbiory otwarte w topologii iloczynowej są sumami (skończonymi lub nieskończonymi) zbiorów postaci, w których każdy jest otwarty w i tylko dla skończonych wielu W szczególności dla iloczynu skończonego (w szczególności dla iloczynu dwóch przestrzeni topologicznych) zbiór wszystkich iloczynów kartezjańskich pomiędzy jednym elementem bazy z każdego daje podstawę dla topologii iloczynu skończonego To znaczy, dla iloczynu skończonego, zbiór wszystkich gdzie jest elementem (wybranej) bazy jest podstawą topologii iloczynu${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} U_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i} \ neq X_ {i}}$${\displaystyle ja.}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} X_ {i}.}$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} U_ {i}}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {i},}$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} X_ {i}.}$

Topologia produktu włączona jest topologią generowaną przez zbiory w postaci gdzie i jest otwartym podzbiorem Innymi słowy, zbiory ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p_ {i} ^ {-1} \ lewo (U_ {i} \ po prawej)}$${\displaystyle ja\w ja}$${\ Displaystyle U_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {i}.}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {p_ {i} ^ {-1} \ lewo (U_ {i} \ po prawej) ~: ~ i \ w I {\ tekst {i}} U_ {i} \ podseq X_ {i} {\text{ jest otwarty za }}X_{i}\right\}}$

tworzą Płyta przyłączeniowa za topologię A podzbioru od jest otwarty tylko wtedy, gdy jest to (być może nieskończony) związek z przecięcia skończenie wielu zbiorów postaci są niekiedy zwane otwarte cylindrów , a ich przekroje są zestawy cylindra . ${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle p_ {i} ^ {-1} \ lewo (U_ {i} \ po prawej).}$${\ Displaystyle p_ {i} ^ {-1} \ lewo (U_ {i} \ po prawej)}$

Produkt z topologii każdy tworzy podstawę do tego, co nazywamy topologia pudełko na Zasadniczo, topologia pudełko jest drobniejsza niż topologia produktowa, ale dla produktów skończonych one zbieżne. ${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle X.}$

Przykłady

Jeśli linia rzeczywista jest wyposażona w swoją standardową topologię, to topologia iloczynu na iloczynie kopii równych zwykłej topologii euklidesowej na${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Zbiór Cantora jest homeomorficzny iloczynowi przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnej i w przestrzeni liczb nieracjonalne jest homeomorficzny produktu przeliczalnie wielu kopii liczb naturalnych , gdzie ponownie dla każdej z nich niesie dyskretnej topologii. ${\ Displaystyle \ {0,1 \}}$

Kilka dodatkowych przykładów podano w artykule dotyczącym początkowej topologii .

Nieruchomości

Przestrzeń produktu wraz z rzutami kanonicznymi można scharakteryzować następującą uniwersalną własnością : Jeśli jest przestrzenią topologiczną, a dla każdego jest odwzorowaniem ciągłym, to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe takie, że dla każdego następuje komutacja następującego diagramu : ${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle ja\w ja}$ ${\ Displaystyle f_ {i}: Y \ do X_ {i}}$${\displaystyle f:Y\do X}$${\displaystyle ja\w ja}$

To pokazuje, że przestrzeń produktowa jest produktem w kategorii przestrzeni topologicznych . Z powyższej uniwersalnej własności wynika, że ​​odwzorowanie jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłe dla wszystkich W wielu przypadkach łatwiej jest sprawdzić, czy funkcje składowe są ciągłe. Sprawdzenie, czy mapa jest ciągła, jest zwykle trudniejsze; próbuje się wykorzystać fakt, że są one w jakiś sposób ciągłe. ${\displaystyle f:Y\do X}$ ${\ Displaystyle f_ {i} = p_ {i} \ circ f}$${\displaystyle ja\w ja.}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f:Y\do X}$${\displaystyle p_{i}}$

Oprócz tego, że są ciągłe, projekcje kanoniczne są mapami otwartymi . Oznacza to, że każdy otwarty podzbiór przestrzeni produktu pozostaje otwarty, gdy rzutowany jest w dół . Odwrotność nie jest prawdą: jeśli jest podprzestrzenią przestrzeni produktu, której rzuty w dół do wszystkich są otwarte, to nie musi być otwarta w (rozważmy na przykład ) Rzuty kanoniczne nie są na ogół mapami zamkniętymi (rozważmy na przykład zbiór zamknięty, którego rzuty na obie osie to ). ${\ Displaystyle p_ {i}: X \ do X_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {i}.}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle W = \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus (0,1) ^ {2}.}$${\ Displaystyle \ lewo \ {(x, y) \ w \ mathbb {R} ^ {2}: xy = 1 \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$

Załóżmy, że jest iloczynem dowolnych podzbiorów, gdzie dla każdego Jeśli wszystkie są niepuste, to jest to domknięty podzbiór przestrzeni produktu wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jest domkniętym podzbiorem ogólniej, domknięcie iloczynu dowolnych podzbiorów w produkcie przestrzeń jest równa iloczynowi zamknięć: ${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} S_ {i}}$${\ Displaystyle S_ {i} \ podseteq X_ {i}}$${\displaystyle ja\w ja.}$${\displaystyle S_{i}}$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} S_ {i}}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle S_{i}}$${\ Displaystyle X_ {i}.}$${\ Displaystyle \ prod _ {i \ w I} S_ {i}}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Cl} _ {X} \ po lewej (\ prod _ {i \ w I} S_ {i} \ po prawej) = \ prod _ {i \ w I} \ po lewej (\ nazwa operatora {Cl} _ {X_{i}}S_{i}\prawo).}$

Każdy iloczyn przestrzeni Hausdorffa jest znowu przestrzenią Hausdorffa.

Twierdzenie Tychonowa , które jest równoważne aksjomatowi wyboru , stwierdza, że ​​każdy produkt przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą. Specjalizacja twierdzenia Tychonoffa, która wymaga tylko lematu ultrafiltra (a nie pełnej siły aksjomatu wyboru) mówi, że każdy iloczyn zwartych przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią zwartą.

Jeśli jest ustalony, to zestaw ${\ Displaystyle Z = \ lewo (z_ {i} \ po prawej) _ {i \ w I} \ w X}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {x = \ lewo (x_ {i} \ po prawej) _ {i \ w I} \ w X \ okrężnicy x_ {i} = z_ {i} {\ tekst { dla wszystkich, z wyjątkiem co najwyżej skończonego wiele }}i\prawo\}}$

jest gęstym podzbiorem przestrzeni produktu . ${\ Displaystyle X}$

Związek z innymi pojęciami topologicznymi

Separacja

• Każdy produkt z T ₀ przestrzeniach T ₀
• Każdy produkt z T ₁ przestrzeniach T ₁
• Każdy produkt przestrzeni Hausdorffa to Hausdorff
• Każdy iloczyn regularnych przestrzeni jest regularny
• Każdy produkt przestrzeni Tychonowa to Tychonow
• Iloczyn normalnych przestrzeni nie musi być normalny

Ścisłość

• Każdy iloczyn przestrzeni zwartych jest zwarty ( twierdzenie Tychonowa )
• Produkt lokalnie zwartych przestrzeni nie musi być lokalnie zwarty. Jednak arbitralny iloczyn przestrzeni lokalnie zwartych, gdzie prawie wszystkie są zwarte, jest lokalnie zwarty (ten warunek jest wystarczający i konieczny).

Powiązanie

• Każdy iloczyn połączonych (ewentualnie połączonych ścieżką) przestrzeni jest połączony (ewentualnie połączony ścieżką)
• Każdy produkt dziedzicznie odłączonych przestrzeni jest dziedzicznie odłączony.

Przestrzenie metryczne

• Iloczyny policzalne przestrzeni metrycznych to przestrzeń metryzowalna

Aksjomat wyboru

Jednym z wielu sposobów wyrażenia aksjomatu wyboru jest stwierdzenie, że jest on równoważny stwierdzeniu, że iloczyn kartezjański zbioru zbiorów niepustych jest niepusty. Dowód, że jest to równoznaczne ze stwierdzeniem aksjomatu w kategoriach funkcji wyboru, jest natychmiastowy: wystarczy wybrać element z każdego zbioru, aby znaleźć reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentantem produktu jest zestaw, który zawiera dokładnie jeden element z każdego komponentu.

Aksjomat wyboru pojawia się ponownie w badaniu (topologicznych) przestrzeni produktowych; na przykład twierdzenie Tychonoffa o zbiorach zwartych jest bardziej złożonym i subtelnym przykładem zdania, które wymaga aksjomatu wyboru i jest mu równoważne w jego najbardziej ogólnym sformułowaniu, i pokazuje, dlaczego topologia produktu może być uważana za bardziej użyteczną topologię. na produkcie kartezjańskim.

Zobacz też

• Związek rozłączny (topologia)
• Topologia końcowa  – najlepsza topologia zapewniająca ciągłość niektórych funkcji
• Topologia początkowa  – topologia najgrubsza zapewniająca ciągłość pewnych funkcji – czasami nazywana topologią limitu rzutowego
• Granica odwrotna
• Zbieżność punktowa  – pojęcie zbieżności w matematyce
• Przestrzeń ilorazowa (topologia)
• Podprzestrzeń (topologia)
• Słaba topologia  — topologia, w której zbieżność punktów jest definiowana przez zbieżność ich obrazu pod ciągłymi funkcjonałami liniowymi

Uwagi

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topologia ogólna: Rozdziały 1–4 [ Topologie Générale ]. Elementy matematyczne . Berlin Nowy Jork: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Willard, Stephen (1970). Ogólna topologia . Czytanie, Mass.: Pub Addison-Wesley. Co. ISBN 0486434796. Źródło 13 lutego 2013 .