Rzutowe obiekt - Projective object

W teorii kategorii , pojęcie projekcyjnej obiektu uogólnia pojęcie modułu projekcyjnej . Rzutowe obiekty abelian kategorie są stosowane w algebrze homologicznej . Podwójny pojęcie projekcyjnej obiektu jest to, że o injective obiektu .

Obiekt w kategorii jest rzutowe , jeśli dla każdej epimorfizmem i morfizmu , jest morfizmem takie, że , czyli dojazdy następujących schematów: ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle e: e \ twoheadrightarrow X}$ ${\ Displaystyle f P \ X}$${\ Displaystyle {\ overline {f}}: p \ E}$${\ Displaystyle e \ Circ {\ overline {f}} = f}$

Oznacza to, że co morfizmem czynniki przez każdego epimorfizmem .${\ Displaystyle P \ X}$ ${\ Displaystyle e \ twoheadrightarrow X}$

W lokalnie kategorii małych , następujące stwierdzenie jest równoważne: jest rzutowe jeżeli funktor hom${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {hom} (P, -) \ okrężnicy {\ mathcal {C}} \ z \ mathbf {celu}}$

zachowuje epimorfizm .

Niech być Kategoria Abelowa. W tym kontekście celem jest nazywany rzutowe przedmiot jeśli ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle P \ in {\ mathcal {C}}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {hom} (P, -) \ okrężnicy {\ mathcal {C}} \ z \ mathbf {AB}}$

Jest to dokładna funktor , gdzie jest kategoria z grupa przemienna . ${\ Displaystyle \ mathbf {AB}}$

Nieruchomości

• Współprodukt dwóch rzutowych obiektów jest rzutowe.
• Odciągane z rzutowej przedmiotu jest rzutowe.

Wystarczające projectives

Niech być Kategoria Abelowa . mówi się, że mają wystarczająco dużo projectives jeżeli dla każdego obiektu z , jest rzutowe obiekt od i dokładna kolejność${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle P \ longrightarrow A \ 0} longrightarrow$

Innymi słowy, mapa jest „epicka”, albo epimorfizmem . ${\ Displaystyle P \ okrężnicy P \ do A}$

Przykłady

Stwierdzenie, że wszystkie zestawy są rzutowe jest równoznaczne z aksjomatu wyboru .

Rzutowej obiekty w kategorii grupa przemienna są darmowe grupa przemienna .

Niech będzie pierścień z 1. Rozważmy (Abelowych) kategorię pozostawionych -modules . Rzutowej obiekty są dokładnie rzutowe lewej R moduły . W związku z tym, jest sama w sobie przedmiotem rzutowe w podwójnie, gdy injective obiekty są dokładnie injective lewo R-modułów . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$

Kategorię z lewej strony (po prawej) -modules również ma wystarczająco projectives. Jest to prawdą, ponieważ dla każdego lewej (prawej) -module , możemy wziąć się za darmo (i stąd rzutowe) -module generowane przez prądotwórczego dla (w rzeczywistości możemy podjąć się ). Następnie kanoniczne występ jest wymagane surjection . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\} M displaystyle$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\} M displaystyle$${\ Displaystyle X}$${\} M displaystyle$ ${\ Displaystyle \ pi \ okrężnicy K \ M}$

Referencje

Ten artykuł zawiera materiał z rzutowych obiektu na PlanetMath , który jest licencjonowany w ramach Creative Commons Attribution Share-Alike / licencji .

Ten artykuł zawiera materiał z Enough projectives na PlanetMath , który jest licencjonowany w ramach Creative Commons Attribution / Share-Alike License .