Właściwa długość - Proper length

Prawidłowa długość lub długość spoczynkowa to długość obiektu w jego ramce spoczynkowej .

Pomiar długości jest bardziej skomplikowany w teorii względności niż w mechanice klasycznej . W mechanice klasycznej długości są mierzone w oparciu o założenie, że lokalizacje wszystkich zaangażowanych punktów są mierzone jednocześnie. Ale w teorii względności pojęcie jednoczesności zależy od obserwatora.

Inny termin, właściwa odległość , dostarcza miary niezmiennej, której wartość jest taka sama dla wszystkich obserwatorów.

Właściwa odległość jest analogiczna do właściwego czasu . Różnica polega na tym, że właściwa odległość jest definiowana między dwoma zdarzeniami oddzielonymi w sposób podobny do przestrzeni (lub wzdłuż ścieżki podobnej do przestrzeni), podczas gdy właściwy czas jest definiowany między dwoma zdarzeniami oddzielonymi w sposób podobny do czasu (lub wzdłuż ścieżki podobnej do czasu).

Właściwa długość lub długość spoczynku

Długości właściwego lub reszta długość przedmiotu jest długość przedmiotu mierzonego przez obserwatora, który znajduje się w stanie spoczynku w porównaniu do tego, przez zastosowanie standardowych prętów pomiarowych na obiekcie. Pomiar końcowych obiektu nie musi odbywać się równocześnie, ponieważ punkty końcowe są ciągle w spoczynku, w tych samych pozycjach w spoczynku ramie obiektu, dzięki czemu jest niezależna hemibursztynianu t . Długość ta jest zatem dana wzorem:

${\displaystyle L_{0}=\delta x.}$

Jednak we względnie ruchomych klatkach punkty końcowe obiektu muszą być mierzone jednocześnie, ponieważ stale zmieniają swoje położenie. Wynikowa długość jest krótsza niż długość spoczynkowa i jest wyrażona wzorem na skrócenie długości (gdzie γ jest współczynnikiem Lorentza ):

${\ Displaystyle L = {\ Frac {L_ {0}} {\ Gamma}}.}$

Dla porównania, niezmienna właściwa odległość między dwoma przypadkowymi zdarzeniami zachodzącymi w punktach końcowych tego samego obiektu jest dana wzorem:

${\ Displaystyle \ Delta \ Sigma = {\ sqrt {\ Delta x ^ {2}-c ^ {2} \ Delta t ^ {2}}}.}$

Zatem Δ σ zależy od Δ t , podczas gdy (jak wyjaśniono powyżej) długość spoczynku obiektu L ₀ może być mierzona niezależnie od Δ t . Wynika stąd, że Δ Ď i L ₀ , mierzona w końcowych tego samego obiektu tylko zgadzają się ze sobą, gdy te zdarzenia pomiarowe były równoczesne w ramce spoczynku obiektu tak, że Δ t jest równy zero. Jak wyjaśnił Fayngold:

P. 407: "Zauważ, że właściwa odległość między dwoma zdarzeniami generalnie nie jest taka sama jak właściwa długość obiektu, którego punkty końcowe są odpowiednio zbieżne z tymi zdarzeniami. Rozważ lity pręt o stałej właściwej długości l ₀ . Jeśli jesteś w reszta ramy K ₀ pręta, a chcesz zmierzyć jej długość, możesz to zrobić najpierw zaznaczając jej punkty końcowe. I nie jest konieczne, aby zaznaczać je jednocześnie w K ₀ . Możesz teraz zaznaczyć jeden koniec (w moment t ₁ ), a drugi kończy się później (w chwili t ₂ ) w K ₀ , a następnie spokojnie zmierzymy odległość między znakami. fizyki doświadczalnej, wymóg, aby znaki były wykonywane jednocześnie jest zbędny dla nieruchomego obiektu o stałym kształcie i rozmiarze i może w tym przypadku zostać usunięty z takiej definicji.Ponieważ pręt jest nieruchomy w K ₀ , odległość między znakami jest równa Prawidłowa długość z wędkę niezależnie od czasu, jaki upłynął między dwoma oznaczeniami. Z drugiej strony nie jest to właściwa odległość między zdarzeniami znakowania, jeśli znaki nie są wykonane jednocześnie w K ₀ ”.

Właściwa odległość między dwoma wydarzeniami w płaskiej przestrzeni

W szczególnej teorii względności właściwa odległość między dwoma zdarzeniami rozdzielonymi przestrzennie jest odległością między tymi dwoma zdarzeniami, mierzoną w bezwładnościowym układzie odniesienia, w którym zdarzenia są równoczesne. W tak konkretnej ramie odległość jest podawana przez

$${\ Displaystyle \ Delta \ Sigma = {\ sqrt {\ Delta x ^ {2} + \ Delta Y ^ {2} + \ Delta z ^ {2}}}}$$

gdzie

• Δ x , A r , a Δ z różnice w liniowych , wzajemnie prostopadłych , przestrzennych współrzędnych dwoma zdarzeniami.

Definicję można podać równoważnie w odniesieniu do dowolnego inercjalnego układu odniesienia (bez konieczności jednoczesnego występowania zdarzeń w tym układzie) przez

$${\ Displaystyle \ Delta \ Sigma = {\ sqrt {\ Delta x ^ {2} + \ Delta Y ^ {2} + \ Delta z ^ {2} - c ^ {2} \ Delta t ^ {2}}} ,}$$

gdzie

• Δ t jest różnicą współrzędnych czasowych dwóch zdarzeń, a
• c to prędkość światła .

Dwa wzory są równoważne ze względu na niezmienniczości czasoprzestrzeni przedziałach i od hemibursztynianu t = 0, gdy dokładnie zdarzenia są równoczesne w danej ramce.

Dwa zdarzenia są oddzielone spacjami wtedy i tylko wtedy, gdy powyższy wzór daje rzeczywistą, niezerową wartość dla Δ σ .

Właściwa odległość wzdłuż ścieżki

Powyższy wzór na właściwą odległość między dwoma zdarzeniami zakłada, że ​​czasoprzestrzeń, w której te dwa zdarzenia zachodzą, jest płaska. Stąd powyższy wzór nie może być w zasadzie stosowany w ogólnej teorii względności , w której rozważane są zakrzywione czasoprzestrzenie. Możliwe jest jednak określenie odpowiedniej odległości wzdłuż ścieżki w dowolnej czasoprzestrzeni, zakrzywionej lub płaskiej. W płaskiej czasoprzestrzeni właściwa odległość między dwoma zdarzeniami to właściwa odległość po prostej ścieżce między tymi dwoma zdarzeniami. W zakrzywionej czasoprzestrzeni może istnieć więcej niż jedna prosta ścieżka ( geodetyczna ) między dwoma zdarzeniami, więc właściwa odległość wzdłuż prostej ścieżki między dwoma zdarzeniami nie określałaby jednoznacznie właściwej odległości między tymi dwoma zdarzeniami.

Wzdłuż dowolnej, przestrzennej ścieżki P , właściwą odległość w składni tensorowej podaje całka krzywoliniowa

$${\ Displaystyle L = c \ int _ {P} {\ sqrt {-g_ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}}}}$$

gdzie

• g _μν jest tensorem metrycznym dla bieżącej czasoprzestrzeni i odwzorowania współrzędnych , a
• dx ^μ jest separacją współrzędnych między sąsiednimi zdarzeniami na ścieżce P .

W powyższym równaniu zakłada się, że tensor metryki używa sygnatury metryki i jest znormalizowany tak, aby zwracał czas zamiast odległości. Znak − w równaniu należy usunąć z tensorem metrycznym, który zamiast tego używa sygnatury metrycznej. Ponadto należy odrzucić tensor metryczny, który jest znormalizowany do korzystania z odległości lub używa jednostek zgeometryzowanych . +−−− −+++${\displaystyle c}$

Zobacz też

• Niezmienny przedział
• Odpowiedni czas
• Comoving odległość
• Względność równoczesności

Bibliografia